离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案

作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。

（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。

（6）王强与刘威都学过法语。

答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。

符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。

答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。

符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

答：:p 2是素数；:q 4是素数。

符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。

:r 太阳从西方升起。

求下列复合命题的真值。

（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。

（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。

（7）所以为可满足式。

P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。

（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。

（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。

（3）()()p q p r ∨→∧ 解答：()()()()()()p q p r p q p r p q p r ∨→∧⇔⌝∨∨∧⇔⌝∧⌝∨∧为可满足式。

真值表为4、用等值演算法证明下面的等值式。

（2）(()())(())p q p r p q r →∧→⇔→∧ 解答：(()())()()()()p q p r p q p r p q r p q r →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧（4）()()()()p q p q p q p q ∧⌝∨⌝∧⇔∨∧⌝∨ 解答：()()()()()()()()()()p q p q p p p q q p q q p q q p p q q p ∧⌝∨⌝∧⇔∨⌝∧∨∧⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨∧⌝∨⌝⇔∨∧⌝∧5、求下列公式的主析取范式，并求它们的成真赋值。

（1）()()p q q p ⌝→→⌝∨ 解答：023()()()()()()()()()(()(())(())()(()())(()())()())()p q q p p q q p p q q p p q q p p q q pp q p p q p q q p q p q p q p q p q p q p q p q m m m ⌝→→⌝∨⇔∨→⌝∨⇔⌝∨∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⇔⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⇔∨∨析取范式）所以成真赋值为00，10，11 （3）(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 解答：(())()(())()(())()(())()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q p r p q r∨∧→∨∨⇔⌝∨∧∨∨∨⇔⌝∧⌝∧∨∨∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨∨∨⇔⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨∨∨析取范式(())(())(()())(()())(()())()()()()()()()()()()()()(p q r r p q q r p q q r r p p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∨∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧∧∨∧∧⌝∨∧∧∨01234567)()()()()()()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m m m m ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧∧∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧⇔∨∨∨∨∨∨∨所以为永真式，成真赋值为000，001，010，011，100，101，110，1116、求下列公式的主合取范式，并求它们的成假赋值。

（1）()q p p ⌝→⌝∧⌝ 解答:0123()()()()(())(())(())()()()()()()()()()()q p p q p p q p p p p qp q q p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q M M M M ⌝→⌝∧⌝⇔⌝⌝∨⌝∧⌝⇔∧∧⌝⇔∧⌝∧⇔∨∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨⌝∨⇔∨∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨⌝∧∨∧⌝∨⇔∨∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨⌝⇔∧∧∧合取范式为永假式，成假赋值为00，01，10，11（3）(())p p q r →∨∨ 解答：(())(())()1p p q r p p q r p p q r →∨∨⇔⌝∨∨∨⇔⌝∨∨∨⇔永真式，无成假赋值7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式。

（1）()p q r ∧∨ 解答：13567024()()(())(()())()()()()()()()()()()()p q r p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M ∧∨⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧⇔∨∨∨∨⇔∧∧已经是析取范式8、求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式。

（2）()p q r ↔→ 解答：06123457()(()())(()())(()())(()())()()()()()()()()p q rp q q p r p q q p r p q q p r p q q p rp q r p p r q q r q p r p q r q p r p q r p q r M M m m m m m m ↔→⇔→∧→→⇔⌝∨∧⌝∨→⇔⌝⌝∨∧⌝∨∨⇔∧⌝∨∧⌝∨⇔∨∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨∧⌝∨⌝∨⇔∨∨∧⌝∨⌝∨⇔∨∨∧⌝∨⌝∨⇔∧⇔∨∨∨∨∨13、已知公式A 含3个命题变项,,p q r ，并且它的成假赋值为010，011，110，111，求A 的主析取范式和主合取范式。

解答：成真赋值为000,001,100,101 所以主析取范式为0145m m m m ∨∨∨ 而主合取范式为2367M M M M ∧∧∧ 15、用主析取范式判断下列公式是否等值。

（2）()p q ⌝∧和()p q ⌝∨ 解答：012()(())(())()()()()()()()p q p qp q q p p q p q p q p q p q p q p q p q m m m ⌝∧⇔⌝∨⌝⇔⌝∧⌝∨∨⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∨⌝∧∨∧⌝⇔∨∨()p q p q m ⌝∨⇔⌝∧⌝⇔ 所以两式并不等值。

18、将下列公式化成与之等值且仅含有{,}⌝∧中联结词的公式 （3）(())p q r p →∧∨ 解答：(())(())()1p q r p p q r p p p q r →∧∨⇔⌝∨∧∨⇔⌝∨∨∧⇔29、在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会。

该班的的甲、乙、丙3位同学预言： 甲说：王小红为班长，李强为生活委员； 乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员。

丙说：李强为班长，王小红为学习委员。

班委会分工名单公布后发现，甲乙丙三人都恰好猜对了一半。

问王小红、李强、丁金生各任何职？（用等值演算求解） 解答：命题符号化：:p 王小红为班长；:q 李强为生活委员；:r 丁金生为班长；:s 王小红为生活委员；:u 李强为班长；:v 王小红为学习委员。

设1:A p q ∧⌝；2:A p q ⌝∧；1:B r s ∧⌝；2:B r s ⌝∧；1:C u v ∧⌝；2:C u v ⌝∧； 由题意可知：0;0;0;0;0;0;0;0p r p s p u p v q s q u r u s v ∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔所以1112111222210;0;0;0;0;0;A B A B A C A C A B A C ∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔11220,0B C B C ∧⇔∧⇔所以121212111112121122211212221222212212()()()()()()()()()()()00000()00A A B B C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ∨∧∨∧∨⇔∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧⇔∨∨∨∨∨∧∧∨∨⇔∧∧ 所以选举结果为：李强为生活委员；丁金生为班长；王小红为学习委员。

30、某公司要从赵、钱、孙、李、周5名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。

选派必须满足条件：（1）若赵去，钱也去； （2）李、周两人中必有一人去； （3）钱、孙两人中去且仅去一人； （4）孙、李两人同去或同不去； （5）若周去，则赵、钱也同去。

用等值演算法分析该公司该如何选派他们出国。

解答：命题符号化：:p 赵去；:q 钱去；:r 孙去；:s 李去；:t 周去。

所满足的条件即为（1）若赵去，钱也去：p q →； （2）李、周两人中必有一人去：s t ∨；（3）钱、孙两人中去且仅去一人：()()q r q r ∧⌝∨⌝∧； （4）孙、李两人同去或同不去：()()r s r s ∧∨⌝∧⌝； （5）若周去，则赵、钱也同去：()t p q →∧。