人教版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
新人教A版高中数学(必修1)3.1《函数与方程》教案2篇
“方程的根与函数的零点”教学设计(1)一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。
而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。
3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。
人教A版高中数学必修一《函数与方程》PPT (1)
与内内，x轴，如的如图交图(1)点(所1)分所示示别，，得在得区间(－1,0)和(1,2)内,
f0f＝0＝2m2＋m＋1<10<，0，
得ff－1ff＝－11＝＝41m＝42＋m>20＋2>，<020，<，0，
题号
1 2 3 4 5
答案
(1.25, 1.5)
1 2
,
1 3
3
a1
(-2,0)
主页
题 型 一 判断函数在给定区间上零点的存在性
【例 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解: ∵ ∴ 故(1方)fff∵∴故∵∴故∵∴故方f((((法181xfff)))ffffff法)fff＝ ·＝(((((((((二f＝(((181181181(xxx一)))))))))818)))＝＝··＝＝＝·＝x)ff＝＝f＝22<2((－－(－8881188180xxx)))2222，2233<<22－－－－<32－－－－× ×－00x0，，3333－，3333183××××××xx－ －x1－－－818181811，－－－－－－88111＝＝88x81111，，11∈8888，－288＝＝＝＝2xx＝＝[x>2∈∈1－－22∈00,－2228<，[[2>>]2211[0存>210000,,，8800,<<，，8在]]<，00存存]0，，存零，在在在点零零零．点点点．．． 令令ff((xx))＝＝00，，得得xx22－－33xx－－1188＝＝00，，xx∈∈[[11,,88]]．． ∴∴((xx－－66))((xx＋＋33))＝＝00，，∵∵xx＝＝66∈∈[[11,,88]]，，xx＝＝－－33∉∉[[11,,88]]，，
2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人A教版)课件：3.1.1 函数的概念
2.实数集 R 的区间表示
实数集 R 可以用区间表示为_(_－__∞__，_＋_，∞“) ∞”读作“无穷大”；
“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a} _[_a_，_＋ __∞__)
{x|x>a} _(_a_，_＋__∞__)
{x|x≤b} _(_－_∞ __，__b_]
要点三 同一函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的 自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[教材答疑]
1．教材 P60 思考 根据问题 1 的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况， 所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到 t 的变化范围． 2．教材 P63 思考 反比例函数 y＝kx(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，对应关系为“倒数的 k 倍”， 值域为{y|y≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集 A＝{x|x≠0} 中的任意一个 x 值，按照对应关系 f“倒数的 k(k≠0)倍”，在集合 B＝{y|y≠0} 中都有唯一确定的数kx和它对应，那么此时 f：A→B 就是集合 A 到集合 B 的一 个函数，记作 f(x)＝kx(k≠0)，x∈A.
(1)求 f(2)＋f12，f(3)＋f13的值； (2)求 f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 021)＋f2 0121的值．
解析：(1)∵f(x)＝1＋x2x2，
∴f(2)＋f12＝1＋2222＋1＋12122 2＝1，f(3)＋f13＝1＋3232＋1＋13132 2＝1. (2)由(1)知 f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，又 f(4)＋f14＝1，…， f(2 021)＋f2 0121＝1， ∴f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 021)＋f2 0121＝2 020.
函数与方程、不等式之间的关系教案-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点）2．会求函数的零点．（重点）3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点）1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．【教学过程】一、新知初探1．函数的零点（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．（2）三者之间的关系：函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c 的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．二、初试身手1．函数y＝1＋1x的零点是（）A．（－1，0）B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0 答案：B解析：令1＋1x＝0解得x＝－1，故选B．2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个x －1012 3e x0．3712．727．4020．12x＋21234 5A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：C解析：令f（x）＝e x－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程e x－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内．3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（）A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3答案：A解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．4．不等式1＋x1－x≥0的解集为________．答案：[－1，1）解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．三、合作探究类型1：函数的零点及求法例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，∴（x3－x）－（6x－6）＝0，∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．规律方法求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像．（1）写出这个二次函数的零点；（2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系．解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1．（2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系例2：利用函数求下列不等式的解集：（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．（3）由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2，即9x 2－12x ＋4＞0．解方程9x 2－12x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝23．结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞． 规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a 的符号化为正；2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；3．求其对应一元二次方程的根；4．写出解集大于取两边，小于取中间． 跟踪训练2．利用函数求下列不等式的解集：（1）2x 2＋7x ＋3＞0；（2）－x 2＋8x －3＞0；（3）x 2－4x －5＜0；（4）－4x 2＋18x －814＞0．解：（1）对于方程2x 2＋7x ＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝－3，x 2＝－12．又因为二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞． （2）对于方程－x 2＋8x －3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝4－13，x 2＝4＋13． 又因为二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下，所以原不等式的解集为（4－13，4＋13）．（3）原不等式可化为（x －5）（x ＋1）＜0，所以原不等式的解集为（－1，5）．（4）原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922＜0， 所以原不等式的解集为∅．类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集例3：求函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－3，1，2．x （－∞，－3）（－3，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）－＋－＋由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．规律方法解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．跟踪训练3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－2，1，2．x （－∞，－2）（－2，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）＋－＋－由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．四、课堂小结1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．五、当堂达标1．下列图像表示的函数中没有零点的是（）答案：A解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．3．函数f（x）＝x－1x零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：令x－1x＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－1x的零点有两个．4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零点为±1，－2，3，共4个．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数．（重点）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）1．通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．【教学过程】一、新知初探1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f（x0）＝0．2．二分法的定义（1）二分法的条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0．（2）二分法的过程：通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f （x ）在[a ，b ]上的零点近似值的步骤是：第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间[a ，b ]的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步． 第三步 若f （a ）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f （b ）＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步． 二、初试身手1．下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）A ．f （x ）＝x 3－1B ．f （x ）＝ln x ＋3C ．f （x ）＝x 2＋22x ＋2D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1 答案：C解析：因为f （x ）＝x 2＋22x ＋2＝（x ＋2）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上不可能有零点B ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上一定有零点C ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则必有f （a ）·f （b ）＜0D ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0 答案：D解析：函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，如果f （a ）·f （b ）＜0，可知函数在（a ，b ）上有一个零点，如果f （a ）·f （b ）＞0，可知函数在[a ，b ]上没有零点，所以函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能没有零点，也可能有零点，所以A 不正确；函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能有零点，也可能没有零点；所以B 不正确； 若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则可能f （a ）·f （b ）＜0，也可能f （a ）·f （b ）＝0所以C 不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0，正确；故选D．]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．4．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．三、合作探究类型1：判断函数零点所在的区间例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．规律方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．跟踪训练1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0 答案：C解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．类型2：对二分法概念的理解例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）答案：B解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B 中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．跟踪训练2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（）A．（－2．1，－1）B．（1．9，2．3）C．（4．1，5）D．（5，6．1）答案：B解析：只有B 中的区间所含零点是不变号零点． 类型3：用二分法求函数零点例3：求函数f （x ）＝x 2－5的负零点．（精确度为0．1） 解：由于f （－2）＝－1<0，f （－3）＝4>0， 故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间， 区间 中点的值 中点函数近似值 （－3，－2） －2．5 1．25 （－2．5，－2） －2．25 0．0625 （－2．25，－2） －2．125 －0．4844 （－2．25，－2．125） －2．1875－0．2148 （－2．25，－2．1875）－2．21875－0．0771由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1， 所以函数的一个近似负零点可取－2．25． 规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练3．证明函数f （x ）＝2x ＋3x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．解：由于f （1）＝－1<0，f （2）＝4>0，又函数f （x ）在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1，2]．下面用二分（a ，b ） （a ，b ）的中点f （a ） f （b ） f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 （1，2）1．5f （1）<0f （2）>0f （1．5）>0（1，1．5） 1．25 f （1）<0 f （1．5）>0 f （1．25）>0 （1，1．25） 1．125f （1）<0 f （1．25）>0f （1．125）<0 （1．125，1．25）1．1875 f （1．125）<0f （1．25）>0f （1．1875）<0因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f （x ）＝2x ＋3x －6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．类型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）． 解：令f （x ）＝2x 3＋3x －3，经计算，f （0）＝－3<0，f （1）＝2>0，f （0）·f （1）<0， 所以函数f （x ）在（0，1）内存在零点， 即方程2x 3＋3x －3＝0在（0，1）内有解．取（0，1）的中点0．5，经计算f （0．5）<0，又f （1）>0， 所以方程2x 3＋3x －3＝0在（0．5，1）内有解． （a ，b ） 中点c f （a ） f （b ） f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 （0，1） 0．5 f （0）<0 f （1）>0 f （0．5）<0 （0．5，1） 0．75 f （0．5）<0 f （1）>0 f （0．75）>0 （0．5，0．75） 0．625 f （0．5）<0 f （0．75）>0 f （0．625）<0 （0．625，0．75） 0．6875f （0．625）<0f （0．75）>0f （0．6875）<0（0．6875，0．75）|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f （x ）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．（2）对于求形如f （x ）＝g （x ）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．跟踪训练4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）解：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．取2与3的平均数2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2与2．5的平均数2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此继续下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0∈（2．375，2．4375）．∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．四、课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间[a，b]上连续不断；（2）f（a）·f（b）<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．五、当堂达标1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（）A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点答案：B解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．2．用二分法求函数f （x ）＝x 3＋x 2－2x －2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝－2，f （1．5）＝0．625，f （1．25）≈－0．984，f （1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（ ）A ．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．3125） 答案：C解析：由二分法知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．4375）．故选C ．3．函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）答案：B4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当|a n －b n |＜ε时，函数的近似零点a n ＋b n2与真正零点的误差不超过A ．εB ．12εC ．2εD ．14ε 答案：B解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|a n －b n |＜ε时，区间[a n ，b n ]的中点x n ＝12（a n ＋b n ）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过12ε．故选B ．。
高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性
高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。
这一节我们继续学习函数的另一个性质。
请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。
图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。
大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。
教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。
即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。
（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。
人教版高中数学必修一教学案-函数及其表示方法
人教版高中数学必修一教学案年级：高二上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段函数及其表示方法□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容函数及其表示方法【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a<x<b}=(a,b);{x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a<x≤b}=(a,b]；{x|a≤x<b}=[a,b)；{x|x≤b}=(-∞,b];{x|a≤x}=[a,+∞).要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
高中数学人教版必修1函数与方程 课件PPT
思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是间断的，上述原理适应吗？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
理论迁移
例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 第一课时 方程的根与函数的零点
问题提出
t
p
1 2
5730
1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？
2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？ 其单调性如何？
思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表, 分析这些数据，你如何根据投资天数选择投 资方案？
天次
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
方案一 当天回 报 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 …
累计回 报 40 80 120 160 200 240 280 320 360 4x 4(x 1)
x
2
4x
3(x
和 1)
g(x) log2x 设h(x) f (x) g(x),试确定
函数h(x)的零点个数 .
例3 已知函数 f (x) 2ax2 x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
问题提出
1. 函数来源于实际又服务于实际，客观 世界的变化规律，常需要不同的数学模 型来描述，这涉及到函数的应用问题.
高中数学人教A版必修1教案-3.1_函数与方程_教学设计_教案_6
教学准备1. 教学目标教学目的：掌握两种思想：函数方程思想；数形结合思想，三种题型：求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间。
2. 教学重点/难点重难点：1、函数方程思想；数形结合思想2、求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间。
3. 教学用具4. 标签教学过程【环节一：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。
解方程：学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第四个方程我们没有学过它的解法，通过这节课的学习我们来解决这个问题。
上一章我们学习了基本初等函数，这节课我们就通过研究函数来解决方程根的问题。
画出前三个方程相应函数的图象，并求出图象和x轴交点.学生活动：动手画图并求解。
教师活动：用屏幕显示方程的根、函数的图象以及函数图象与x轴交点的坐标。
观察三者之间的关系。
学生活动：观察图象，思考作答。
得到方程的实数根是函数图象与x轴交点的横坐标，是使函数值为零的x的结论。
教师活动：我们就把使f（x）=0的实数x称做函数的零点．设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．通过回顾一次函数、二次函数、指数函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．【环节二：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。
板书函数零点的定义。
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。
板书方程的根与函数零点的等价关系。
在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点教师活动：强调方程与函数的思想。
教师活动：屏幕显示函数图象，指出这几个函数的零点是？学生活动：对比定义回答。
教师活动：强调：零点就是使函数值为0的实数而不是点！教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。
人教版高数必修一第13讲：函数与方程(学生版)
4-2函数与方程1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7B ．72C ．－72D ．－7类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9D ．a >0或a <0类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0D ．2或13、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.55、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－123．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－467．已知函数2f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．8．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝2,f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 10. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．。
31函数与方程 新人教A版必修1优秀教案.docx
3・1函数与方程新人教A版必修1优秀教案第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方而.学生学习函数的应用,目的就是利用C有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方稈这一节屮课木从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方稈的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活,从生活屮学习数学，使数学在社会生活屮得到应用和提高，让学生体会到数学是有川的，从而培养学生的学习兴趣f数学建模”也是高考考杏的重点.木章还是数学思想方法的载体，学生在学习屮会经常用到“函数方稈思想数形结合思想杠转化思想",从而提高H己的数学能力.因此应从三个方血把握木章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律. 木章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.13.1.1方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应川，与其他数学内容有着有机联系.课木选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图彖与x轴的交点的横坐标Z间的关系作为木节内容的入口，貝意图是让学生从熟悉的环境屮发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.木节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；木节体现的数学思想是:“数形结合”思想和“转化”思想.木节充分体现了函数图象和性质的应用.1大I此，把握课木要从三个方面入手：新I口知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，木节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方稈的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方稈根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今示学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过木节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图彖与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1・（情1景导入）据新华社体冇记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过稈（领先则喜，落后即悲）.请问:整场足球比赛岀现几次“比分相同''的时段?学生思考或讨论回答：三次:⑴开场;⑵由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分”时段. 教师点拨:足球比赛有“落后'”领先叫匕分相同”,函数值有“负正”“零",函数图象与足球比赛一样跌宕起伏•由此导入课题，为后面学习埋好伏笔.思路2・（事例导入）（多媒体动呦演示）•枚炮弹从地血发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,|nJ炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0,求方程20t-5t2=0的根，得t=4秒.如图3-1-1-1.思路3・（肓接导入）教师岚接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程X2-2X-3=0的根,画函数y=x2-2x-3的图象.②求方稈X2-2X+1=0的根，画函数y=x2・2x+l的图象.③求方程X2-2X+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图彖与x轴交点的个数，它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再冋答，经教师提示、点拨，对I叫答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：问题①:先求方稈的两个根，找出抛物线的顶点側出二次函数的图象（图3-I-1-2）. 问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上（图3-1-1-3）.问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是曲二次函数图彖的关键(图 3-1-1-4).问题④:方稈的根与函数的图象和x 轴交点的横坐标都是实数. 问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？ 问题⑥:函数的零点是一个实数. 问题⑦:可以利用“转化思想，问题⑧:足球比赛屮从落麻到领先是否一定经过“平分"？由此能占找出判断函数是否有零点 的方法？函数图彖穿过x 轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为・1, 3. ② 方程的实数根为1. ③ 方程没有实数根.④ 方程的根就是函数的图象与x 轴交点的横坐标.⑤ 一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x 轴交点的个数，可以用判别式来判定一元 二次方稈根的个数a 当△>()时，一元二次方稈有两个不等的实根X|、X2,相应的二次函数 的图彖与X 轴有两个交点(X],0)、(X2,0)；b.当A=0时，一元二次方程有两个相等的实根XLX2, 相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点(x h O);c.当△<()时，一元二次方程没有实根，相 应的二次函数的图象与x 轴没有交点.⑥ 一般地，对于函数y=f(x),我们把使f(x)=O 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. ⑦ 方程f(x)=O 有实根O 函数y=f(x)的图象与x 轴有交点O 函数y=f(x)有零点.⑧ 观察二次函数f!x)=x 2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x 2-2x-3在区间[-2,1] 上有零点.计算f (・2)与f(l)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间[2,4]同样如此.可以发现，f(-2)f(l)<0,函数y=x 2-2x-3在区间(・2, 1)内有零点x=-l,它是方稈 X 2-2X -3=0的一个根.同样地,f(2)f(4)<0,函数y=x 2-2x-3在(2, 4)内有零点x=3,它是方程 X 2-2X -3=0的另一个根.应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点； (2) 函数有三个零点； (3) 函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为 函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数不易讨论,所以可转化为方程|x 2-2x-3|-a=0根的个数来讨论, 即转化为方程|x 2-2x-3|=a 的根的个数问题，再转化为函数f(x)=|x 2-2x-3|与函数f(x)=a 交点个数 问题.解：设f(x)=|x 2-2x-3|和f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5),它们交点的个数，即 函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数.y\\ /3 ;/ 2I1 1 1 1■ 一 2-10 1 2 x-1图 3-1-1-4图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.⑶函数有四个零点，则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-l|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图彖(图3-1-1-6),函数y=|x-l|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-l|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2X2-3X-2=0的判别式23‘+4><2><2=25>0,所以一元二次方程2X2-3X-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2X2-3X-2=0可化为(2x+l)(x・2)=0,所以一元二次方稈2X2-3X-2=0有两个不相等的实根X|=2,x2=- —.2所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图彖是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.点评：判断函数零点个数可以结合函数的图彖.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x的方程3x'・5x+a=0的一根在(・2, 0)内,另一个根在(1, 3)内,求a的取值范围. 活动：学生白己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生屮巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大，能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象屮抽出与方稈的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察 分析.解：设f(x)=3x 2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线，如图3-1-1-8：因为f(x)=O 的两根分别在区间(・2, 0)、(1, 3)内,思路2例]若方程2农％匸0在(0, 1)内有解,求实数a 的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再冋答.教师根据实际，可以提示引导: ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.② 用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. ③ 有两种情况：a.a=0;b.a^0,A>0.解:令 f(x)=2ax 2-x-l,⑴当方程2ax 2-x-l=0在(0, 1)内恰有一个解时，f(0)-f(l)<0或妙0且△=(), 由 R0)・f(l)v0,得(・l)(2a ・2)<0,所以 a>l .由 20,得 l+8a=0,a=--8・•・方程为- -x 2-x-l= 0,即x=-2电(0,1)(舍却•综上可得a>l. 4 (2)当方程2ax2・x ・l=0在(0, 1)内有两个解时,则/(-2) > 0,22 + a > 0,所以 /(0)< 0, / ⑴ < 0,/(3) > °，即"V °’故所求a 的取值范囤是-12<a<0. —2 + a < 0,12 + a 〉0. 变式训练关于x 的方稈x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2,求实数a 的収值范序I. 解：设f(x)=x 2-ax+a 2-7,图彖为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9). 因为方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2, 所以函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的零点一个大于2,另一个小于2.即函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的图象与x 轴的两个交点在点(2, 0)的两侧. 只需 fi[2)<0,即 4・2a+a 「7<0,所以-l<a<3.a > 0, /（0） > 0, /（I ） > 0, 0v 丄<1,或<4a /（丄）< 0 4aa < 0, /（0）< o, /（l ）<0, 0<丄<1,4a /（丄）> 0, 4a容易解得实数a 不存在. 综合⑴⑵，知a>l.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1,求实数a 的取值范围.解：⑴当a=0时,x=0满足题意.(2)当 a 工0 时,设"x)=ax'+3x+4a. 方法一：若方稈ax 2+3x+4a=0的根都小于1,贝9——< a4 4a > 0或a < -1.5, ,\o<a <2.、 ~ 4 a > 0或a < -0.6,△ = 9-16/ >0,_±<!2a ' 妙⑴> 0,综上⑴⑵M 0<a< -.4方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1,则A = 9 — 16cr > 0, v 兀I + x 2 < 2,（兀[一 1）（兀2 一 1）> °， △ = 9 — 16d~ > 0,X ）+ x 2 < 2,%!x 2 -（X] +X ・2）+ 1 > 0,A = 9-16«2>0,3 3 * --- V 2,解得0<aW —.a44 + - + 1>0,综上⑴⑵，得0<a< -.4点评：有两种方法：(1)结合函数图彖利用函数符号列不等式纽.. (2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例 2 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=O 的两个根为 x r x?,满足 0<X|<x 2<—. a ⑴当 XW(O,X])时，求证:x<f(x)<xi ；⑵设函数f(x)的图彖关于肓线X=Xo对称，求证：x0<—.2活动：根据方稈与函数关系，学生先思考或讨论后再I川答，教师点拨、提示并及时评价学生. 因为方程f(x)-x=o的两个根为X|、X2,可考虑把f(x)・x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明：(1)VX|> X2是方程f(x)-x=O的两个根，且0<X|<X2<—,a・••当xW(O,xJ时,有f(x)-x=a(x-x 1 )(x-x2)=a(x l-x)(x2-x)>0,即f(x)-x>0.又fi(x)-x=a(xrx)(x2-x)<a- — (xi-x)=xi-x,即fi[x)-x<x l-x,故O<fi[x)-x<xi-x,即x<fi(x)<X|.a(2) Vf(x)-x=ax2+(b-l)x+c,K f(x)-x=O 的两个根为x【、x2,・・・二次函数f(x)-x的对称轴为x= 土士2 = 一1.・・・玉=—2 +丄—乞.22a 2 2a 2a 2又由已知，W x()=-—,・*. — =x()+ ——土.2a 2 2a 2又x2< ————土>0.故—=x()+ 丄一土>x(),即x0< —.a la 2 2 2a 2 2变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3・x)=f(3+x),且其两零点分别为Xi、x?,求X|+x2.解：T对任意x都有f(3-x)=f(3+x), /.函数f(x)的图象上有两点(3・x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.・・・二次函数f(x)的对称轴为x=3.・・・xi、X2为二次函数f(x)的两个零点，.*.X|+X2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3, /.3(xi+x2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为xi、x2, 则二次函数解析式为f(x)=a(x-xi)(x-x2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系忌二次函数f(X)的对称轴为x=^.总二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.知能训练讨论函数y=e x+4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出H己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.⑴利川f(a)f(b)<0及函数的单调性.⑵作出y=e x和y=4-4x的图象，把函数y=e'+4x-4的零点的个数转化为方程e x=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图彖交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x, f(x)的对应值表：由表和图可知，f(0)<0,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间(0,1)内有零点，由于函数在定义域(~,炖)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出尸h和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：⑴解方程;⑵呦图彖;(3)利用fl：a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测，理19已知mWR,设P:x】和x?是方x2 3-ax-2=0的两个根,4不等式|m-5|<|x i-x2|Xt任意实数aG ［1, 2］恒成立;Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+ —有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范I韦I.解：由题意知xi+x2=a,X|X2=-2, |xi-x2|= + X2)2-4X(X2 = Va2 + 8.当aw ［1,2］ H、J,Ja： +8的最小值为3.要使|m-5|<|x r x2|^j任意实数泻［1, 2］恒成立,只需|m—5|<3,B|J 2<m<8.4 4由已知得Q 'I l:f(x)=3x2+2mx+m+-的判别式△=4n?・12(m+—)=4n?・12m・16>0,得m<・l 或m>4.f2 < m < 8,综上，要使P和Q同时成立，只需4 / 解得实数m的取值范围是(4,8］ •［m <一 1 或加 > 4,2.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a ,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再冋答•利用函数图象进行探索分析：①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意白然数.下血讨论在区间［-3,31上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).2 可能有一个零点如图(图3-1-1-12).3 可能有两个零点如图(图3-1-1-13).(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(nGN)个零点,图略.点评：在区间[-3,31 ±函数零点个数可以是任意白然数.借助计算机可以验证同学们的判断, 激发学生学习兴趣.课堂小结木节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本Pgs练习1.设计感想木节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴木节主题，为示面讲解埠好了伏笔•因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以木节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方稈的根的问题•木节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高•另外，木节目的明确、层次分明、难度适屮，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢.第2课时方程的根与函数的零点复习提出问题①已知函数f(x)=mx2+mx+l没有零点,求实数m的范围.②证明函数f(x)=x2+6x4-10没有零点.③已知函数fl；x)=2mx2-x+ — m有一个零点，求实数m的范围.④已知函数fi[x)=2(m+l)x2+4mx+2m-l有两个零点，求实数m的范围.活动：先让学生动手做题示再冋答，经教师提示、点拨，对冋答正确的学生及时表扬，对冋答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为A=m2-4m<0或m=0,二0Wm<4.②因为△=36・40二4<0,・・・没有零点.(3)A= 1 -4m2=0 或m=0, m=—或m= 一丄或m=0._ 2 2④厶=16m2-8(m+1 )(2m-1 )=-8m+8>0 且2(m+1 )#),/. m< 1 且m/-l.导入新课思路1・(情景导入)歌中唱到:再“穿过,，一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过、轴的？学生思考或讨论冋答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.思路2・(直接导入)教师玄接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究①如果函数相应的方稈不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点？②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再冋答，经教师提不、点拨，对冋答正确的学生及时表扬，对冋答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果*①在闭区间［a,b］上,若f(a)f(b)<0, y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在cW(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根. 我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零占”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示：因为方稈lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易向出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0,及函数单调性.解：利用计算机作出x, f(x)的对应值表：由表和图3-1-1-15可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0,这说明賈x)在区间(2,3)内有零点.由于函变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,0为f(l)=-7,f(10)=3,Af(l)fi［10)<0.・•・函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.Vy=lgx为增函数,y=x-8是增函数,・•・函数fi［x)=lgx+x-8是增函数.・•・函数fi［x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:⑴利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.X— 2 例2已知函数f(x)=3x+-——，x + \(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.Y— 2解：⑴设g(x)=3\h(x)=-——-,x + 1作出它们的图象(图3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.X— 2 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3"+ —有且仅有一个零点.兀+ 1图3-1-1-17(2)因为f(0)=・l,f(l)=2.5,所以零点泻(0,1). 变式训练x图3-1-1-18由表和图3-1-M8可知，f(O)<O,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(8,+g)内是增函数.设X b X2^ (-00,4-00),且X02,nx1)-fi[x2)=2X1 +4X|・4・(2 勺+4X2-4)=2V,-2X2 +4(x r x2)=2 V2 (2X, -x2-l)+4(xrx2).Vxi<x2,・•.X|-X2<0,2V,・X2・l<0,2勺>0..•.f(Xi)-f(X2)<0.函数在定义域(4,+8)内是增函数. 则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x!-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-l-l-19,V f(-2)=2,f(0)=-1 卫2)=2,・•・ f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.・・・函数y=2|x!-2有两个零点.要证恰有两个零点，需证函数y=2|x|-2在(0, +©上为单调的，函数y=2|x|-2在(s 0)上为单调的. •・•在(0, +oo)上，函数y=2x|-2可化为y=2x-l, 下面证明f(x)=2x-l在(0, +oo)上为增函数.证明：设X],X2为(0, +oo)上任意两实数，且0<X]<x2,•・・ f(x!)-f(X2)=2 x, -2-(2 X2 -2)=2 x, -2 紐=2 七(2 x, -x2-l),V 0<X]<x2, /.X|-x产0,2Al・x产1./. 2 V2 >0,2 v,・X2・l<0.：.2X2 (2 v, -x2-l)<0.・・・f(xJ・f(X2)<0.・・・f(X|)<fi[X2).・•・函数y=2|x-2在(0, p)上为增函数. 同理可证函数y=2|x|-2在(s, 0)上为减函数.・•・函数y=2|x-2恰有两个零点.变式训练证明函数f(x)=x+ — -3在(0, +8)上恰有两个零点.证明:Vf(|)=|,f(l)=-l,f(3)=|,1/.f(-)f(l)<0,f(l)fi[3)<0.・・・函数f(x)=x+--3在(0, +oo)上有两个零点.X要证恰有两个零点，需证函数f(x)=x+ — -3在(0, 1)上为单调的,函数f(x)=x4- — -3在(1, +cc)上为单调的. X X证明：设X[,X2为(0, 1)上的任意两实数,且X1<X2.•・• f(X])・f(X2)=X|+ —-3-(X2+ 丄-3)=(X|-X2)+( ---- )=(X|・X2)+ 土— =(X r X2)( —-),x^x2x{x2— Xi X|X?— 1T 0<X|<x2<l, Ax r X2<0, ------ ------ <0. /• (x r x2)( ------ ---- )>0.x t x2x,x2.•.f(X!)-f(X2)>0.・•・函数f(x)=x+--3在(0, 1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+丄・3在(1, +8)上为增函数.X・•・函数f(x)=x+-1- -3在(0, +00)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).x点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基木初等函数可以借助函数图象和方稈来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f(x)=ax3+bx24-cx4-d有三个零点,分别是0、1、2,如图3-1-1-21,求证:b<0.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a、c表示b.方法二：用参数a表示函数.证法一：因为f(0)=f(l)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.… b 2所以a= ---- £= ------ b.3 3b r b所以f(x)= ---- x(x-3x+2)= ------- x(x-1 )(x-2).当x<0 时，f(x)<0,所以b<0.证法二因为f(0)=f(l)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-l)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=・3a.所以b<0.变式训练函数y=ax2-2bx的一个零点为1,求函数y=bx2-ax的零点. 答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.点评：如果题li给出函数的零点，这涉及到零点的应川问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. ⑵利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间?()A.(4,5)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在[・2,1]上存在零点，则实数m的取值范围是()A. [--4]B.(・®・2] U [l,+oo)2C. L-1,2]D.(-2,l)3.已知函数f(x)=—3x> — 6x +1,有如下对应值表：函数y=f(x)在哪儿个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0, 1),因为f(0)<l)<0.点评：结合函数图彖性质判断函数零点所在区间是木节重点，丿应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范弗I? 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：⑴观察函数的图象计算f(l)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f(x)=lnx+2x+3有一个零点xe(l,2).请同学们白己探究能否进一步缩小根所在范I韦I?借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方稈思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本卩88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过"是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别，并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理•木节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以木节是数与形的完美统一.3丄2用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这Z前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难•木节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程屮要让学生体会到人类在方稈求解屮的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方稈的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.冋忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（情景导入）师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50 元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半; 如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前血的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活屮我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3 500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样毎隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测.师：生3的冋答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）. 思路2・（事例导入）有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好•（让同学们白由发言，找出最好的办法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.笫三次，两端备放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程X2-X-2=0.③解方稈x '-2x~・x+2=0.④解方程(X L2)(X L3X+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2, 3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取屮点''后，怎样判断所在零点的区间？⑦什么叫二分法？⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2, 3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近彳以值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似値的特点.讨论结果：①x=&②x=・l,x=2.③x=・l,x=l,x=2.④x=-近,x= V2 ,x= 1 ,x=2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值•为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.(“取中点”，一般地,。
新课标人教A版必修一 3.1函数与方程(课件)
⇔
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象 如图 我们 的图象(如图 例:观察二次函数 观察二次函数 的图象 如图),我们 发现函数f(x)=x2-2x-3在区间 发现函数 在区间[-2,1]上有零点 计 上有零点.计 在区间 上有零点 的乘积,你能发现这个乘积有什么特 算f(-2)与f(1)的乘积 你能发现这个乘积有什么特 与 的乘积 在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢 上是否也具有这种特点呢? 点?在区间 在区间 上是否也具有这种特点呢
函数零点的性质: 函数零点的性质
如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线 上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f(a) • f(b)<0,那么 函数 那么,函数 在区间(a,b)内有零 并且有 那么 函数y=f(x)在区间 在区间 内有零 即存在c 使得f(c)=0,这个 也就是方程 这个c也就是方程 点,即存在 ∈ (a,b),使得 即存在 使得 这个 f(x)=0的根 的根. 的根
方法2:将函数 方法 将函数f(x)=lnx+2x-6零点个数转化为函 将函数 零点个数转化为函 的图象交点的个数. 数y=lnx,y=-2x+6的图象交点的个数 的图象交点的个数
练习:书本 页 ． 练习 书本97页1．２ 书本
小结:1方程的根与函数的零点的关系 小结 方程的根与函数的零点的关系; 方程的根与函数的零点的关系 2.判定方程在某个区间上存在根的基本步骤 判定方程在某个区间上存在根的基本步骤. 判定方程在某个区间上存在根的基本步骤 3体现特殊到一般的思想 数形结合 转化的思想 体现特殊到一般的思想,数形结合 转化的思想. 体现特殊到一般的思想 数形结合,转化的思想
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数 的零点的个数. 例1:求函数 求函数 的零点的个数
数学人教版必修1(B) 函数与方程
函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2007年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
人教版数学必修第一册综合复习：基本初等函数、函数与方程课件
B.(1,2)
C.(-2,-1)
3 −1 , > 0
作出函数f(x)= ൝ 2
的图象,如图.
− − 2 + 1, ≤ 0
关于x的方程[f(x)]2+(a-1)f(x)-a=0有7个不等的实数根,
即[f(x)+a][f(x)-1]=0有7个不等的实数根,易知f(x)=1有3
个不相等的实数根,则f(x)=-a必须有4个不相等的实数
因为x,y,z为正数,所以t>1,
因为 2 =
6
因为 2 =
10
6
23 =
5
25
所以 5 < 2 <
=
3
x
8,
10
3
3=
32,
5
6
32 =
5=
10
6
9,所以 2 <
25,所以 2 >
5
3.
3
x
5
x
分别作出y=( 2) ,y=( 3) ,y=( 5) 的图象,如图.
则3y<2x<5z.
3
3;
5,
)
[例3] (课标全国Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数, 且当x<0时, f(x)=-eax.
B.[0,+∞)
)
C.[-1,+∞)
D.[1,+∞)
, ≤ 0
[例6] (课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)= ቊ
，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)
ln, > 0
存在2个零点,则a的取值范围是( C )
A.[-1,0)
B.[0,+∞)
人教A版数学必修第一册期末复习：函数与方程课件(配套1)课件
随堂训练
1, ≤ 0
1．已知函数f(x)＝ ൝1
，则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的
, > 0
取值范围是( D )
A．(1，2)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；
1
当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋
图象交点的横坐标所在的范围．
作出两个函数的图象如图所示，
法二
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
方法总结
判断函数零点所在区间的方法
方法
定理法
解读
合适题型
利用函数零点的存在性定 容易判断区间端点值所
理进行判断
对应函数值的正负
画出函数图象，通过视察
图象法 图象与x轴在给定区间上
是否有交点来判断
显然y＝f(x)在区间
1
,1
内无零点，在区间(1，e)内有零点．
考点 2 函数零点个数的判断
2 + − 2, ≤ 0
[例2] (一题多解)函数f(x)＝ ቊ
的零点个数为( B )
−1 + ln, > 0
A．3
B．2
C．1
D．0
方法一(方程法)
由f(x)＝0，得ቊ
≤0
>0
性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函
数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就
有几个不同的零点．
跟踪训练
2 − 2, ≤ 0
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函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得，2<k <3，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5f(x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f(x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625f(x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875f(x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f(x 5)≈－0.171<0 [1.718 75,1.75] x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f(x 6)≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375]求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984 f (1.375)＝－0.260 f (1.438)＝0.165f (1.406 5)＝－0.0520.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案: C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－123．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的答案： A5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6答案： C能力提升6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.x －3－2－10123 4y 60－4－6－6－40 6 答案：(7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．①函数图象通过零点时，函数值一定变号；②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．答案：②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2,f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。