高考数学定积分的定义

教案6：定积分的定义与性质

一、课前检测

1. 2

21(21)x x dx ++=⎰ ；

2. 由抛物线2y x =与直线2y x =-围成的平面图形的面积

为 .

3. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F

做的功W 为 J.

二、知识梳理 1.定积分的概念：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分

成n 分小区间，每个小区间长度为x ∆(x ∆= ),在每个小区间上

取一点，依次为12,,,,i n x x x x ，作和n S = .如果x ∆无限

趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S

为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为S = ，其

中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限，

2.微积分基本定理：对于被积函数()f x ，如果()()F x f x '=，则

()b

a f x dx ⎰= .

3.定积分的运算性质：⑴()b a kf x dx ⎰= ；

⑵[()()]b

a f x g x dx ±=⎰ ；⑶()b

a f x dx =⎰ .()a c

b <<

4.定积分的几何意义：在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的 (即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)；

⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b a f x dx ⎰表示由直线

,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义.

⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，()b a f x dx ⎰表示由直线

,(),x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的 . ⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()b a f x dx ⎰表示介于直线

,()x a x b a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 .

5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()v t 在时间区间[,]a b 上的定积分，即s = .

⑵变力做功公式，一物体在变力()F x (单位：N )的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<(单位：m )，则力F 所作的功为W = .

三、典型例题分析

例1．求定积分

⑴21

⎰(2x 2

－1x )d x ； ⑵32⎰(x ＋1x )2d x ； （3）30π⎰(sin x －sin2x )d x ；

变式训练：求定积分：222||x x dx --⎰；

定积分的几何意义：

例2．求曲多边形的面积

（1）如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，

则该闭合图形的面积是 ( )

A ．1 B.43 C. 3 D ．2

（2）已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所

示)的面积为43，

则k ＝________.

变式训练：已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则6

6-⎰f (x )d x 等于 ( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16

定积分在物理中的应用

例3．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( )

A.176

B.143

C.136

D.116

变式训练：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

4.教学反思（不足并查漏）：