魔术师的地毯

魔术师的地毯
一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？
过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长
和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01
平方米）的窟窿．秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼
把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米．敬师傅很为难，
觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到．秋
先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的
尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好．敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了．魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗？
你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你
怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地
方呢？
数学工作者在研究和解决问题时，通常
采用另一种方法—数学计算，即通过精细的
数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何
处．
现在我们先来分析第一个魔术。

比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图
1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为，，，（图1.7）．现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？
也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的为直
角三角形，如果时，点是否恰好落在矩形的对角线
上？同样，如果时，点是否恰好落在上？让我们通过计算来回答这个问题．
如图1.8建立直角坐标系，以所在直线为轴，所在直线为轴，单位长度表示0.1米，于是有（0，0），（0，21），（8，21），（8，
0），（0，13），（5，13），（3，8），（8，8）．如何判断和
是否恰好落在直线上呢？一种办法是，的坐标代入直线的方程，
看是否满足方程；另一种办法是分别计算，，的斜率，比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．
设线段的斜率为，则有，，．比较之，
由得，即的斜角大于的斜角，的斜角又
大于的斜角，可见和都不在对角线上，它们分别落在的两侧
（图1.8）：又由，得，，
即，．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形（图1.8）．正是这一微小的重叠
（3，8）到对角
导致面积减少，减少的正是这个重叠的的面积．记
线（）的距离为，
米，
米，
．
把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”．
如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即
5，8，13，21，
这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项．我们称这个数列为斐波那契数列．魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试．把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）．
这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65，凭空增加了1个单位面积．通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形．不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.11）．这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在．
我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积．这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）．面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？
我们把斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
记为 ， ， ， ， ，…
这里
，
，
，
，
，…，且具有递推关系
考察以 为边长的正方形面积与以 及 为两边长的矩形面积之间的关系．随着 从小到大依次取2，3，4，5，…，我们得到
当 时有 ，即 ；
当 时有 ，即 ；
当 时有 ，即 ；
当
时有
，即
；
从中我们发现，随着 的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现．对
于数列的第 项 ，当 是大于1的奇数时有
，此时正方形
的面积比矩形小1．写成统一的表示式就是
．
将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列
，
， ， ， ， ， ，…
该数列的极限
是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”．
相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400～前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项．”欧几里得把它收入《几何原本》之中，并称它分线段为中外比．据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达·芬奇取的，从此就广为留传，直至今日．
对于长度为的线段，使的分点称为“黄金分割点”（图
1.12）．设，则
．即黄金分割比．从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学价值．在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的．难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计的．甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比．据说“维纳斯”雕像以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的比，都近于0.618，于是人们就把这个比作为形体美的标准．芭蕾舞女演员腰以下部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地，使腰以下部分的长度增长8～10厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13），给观众以美的艺术享受．
黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义．工厂里广泛使用的“优选法”，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618法”．
在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似
值来代替．越大，比值越近似黄金分割比．
我们接着分析魔术师秋先生的第二个魔术，其秘密在
哪里呢？补洞用的那一小块面积是从哪里来的呢？根据识破第
一个魔术的经验，我们来考查拼成新的无洞正方形的各个尺寸
（图1.14）是否全都准确无误？这就要追查到分割有洞正方形
的各个尺寸（图1.15）是否全都准确无误码？在图1.15中分
割正方形四边的尺寸是取定的，用不着怀疑．值得怀疑的是中
间的那条分割线，它的尺寸可靠吗？其中是正确
的，“”及“”对吗？
而它们正是新拼正方形两边上线段及的尺寸．如图1.15所示，分
别以直线和为轴和轴建立坐标系，于是有（0，7），（12，
12），（7，0），（7，3），要得到及的长度，只须求出点的
坐标即可．是直线与直线的交点．直线的方程是，即
；直线的方程是．两方程联立解得交点的坐标为（7，
）．于是得到，因而．这就是说，在
新拼正方形（图1.14）中，左边上的线段的长不是7而是
，右边上的线段的长不是10而是．这样，新拼
图形的左边长为，右边长为
，上下两边，因此新拼图形不是边
长为12的正方形，而是一个的长方形，比原来的有
洞正方形稍微短了一点点（短1个单位长的）．两者的面积相差（单位面积），而这正好等于那个洞的面积．这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的就是两者之差是一个很狭窄的细长条，不易被人觉察，但在精确的数学计算面前，秘密马上就被揭穿了．
我们也可以用平面几何方法算出图1.15中的线段实际长多少．过作
的平行线交于（图1.15），则～，于是有
，即，得，于是
．。