二年级奥数之图形的等积变换
等积变换
例3：利用等积变换作图
根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。
基本图形：
例题：
（1）如图△ ABC ，过A 点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。
你能过AB 边上一点E 作一条直线EF ，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？
（2）有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
（3）如图，欲将一块四方形的耕地中间的一条折路MPN 改直，但不能改变折路两边的耕地面积的大小，应如何画线？
（4）已知：如图，五边形ABCDE ，用三角尺和直尺作一个三角形，使该三角形的面积与所给的五边形ABCDE 的面积相等。
B C E
第4题
N B A P M D。
三角形面积等积变换
三角形面积等积变换
三角形面积等积变换是指在不改变三角形的形状的情况下，将一个三角形的面积等于另一个三角形的面积。
具体来说，等积变换包括以下几种：
1. 高度等积变换：将一个三角形的底分别平移或旋转，使得它的高保持不变。
这样，三角形的面积不变。
2. 角平分线等积变换：将一个三角形的内角或外角的平分线相交于对边，使得三角形被分成两个相似的三角形，它们的面积比例等于对应边长比例的平方。
因此，这个三角形的面积等于另一个三角形的面积。
3. 对称等积变换：将一个三角形相对于一条中线对称，这条中线将三角形分成两个相似的三角形。
三角形的面积比例等于两边比例的平方，因此，这个三角形的面积等于另一个三角形的面积。
4. 等角等积变换：将一个三角形绕着一个点旋转一定角度，会得到一个与原三角形相似的三角形。
它们的面积比例等于边长比例的平方，因此，这个三角形的面积等于另一个三角形的面积。
以上种种变换，都可以使得三角形面积等积变换。
这对于解决各种三角形问题非常有用。
等积变形问题归纳总结
等积变形问题归纳总结等积变形是数学中一个经典而重要的问题，涉及到几何和代数两个方面。
这类问题一般给定一个几何形状，然后要求找到一个变形的方法，使得该形状在变形后保持等面积不变。
在这篇文章中，我将对等积变形问题进行归纳和总结，介绍常见的等积变形方法及其应用。
一、等积变形的概念和意义等积变形是指通过某种方式改变一个几何形状，使得变形后的形状与原来的形状面积相等。
这个问题在工程、建筑、地理测量等领域有着广泛的应用。
等积变形的主要目的是在不改变面积的情况下，改变某个几何形状的外观或者其他性质。
在实际应用中，等积变形可以用于设计优化、曲面造型、地图绘制等方面。
二、等积变形的常见方法1. 平移变形：平移是最简单的等积变形方法之一。
平移变形是通过将几何形状整体平行地移动，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
平移变形的关键是保持对称性，即移动后的形状与原来的形状在空间中仍具有相同的位置关系。
2. 旋转变形：旋转变形是通过将几何形状绕一个确定的旋转点旋转一定角度，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
旋转变形的关键是确定旋转中心和旋转角度，以及保持旋转后的形状与原来的形状在空间中具有相同的位置关系。
3. 缩放变形：缩放变形是通过改变几何形状的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
缩放变形可以分为等比例缩放和非等比例缩放两种方式。
等比例缩放是将形状的所有尺寸同时按照相同的比例进行缩放；非等比例缩放是将形状的各个尺寸分别按照不同的比例进行缩放。
4. 拉伸变形：拉伸变形是通过改变几何形状的某个方向的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
拉伸变形可以在一维、二维和三维空间中进行。
在一维空间中，拉伸变形是指改变线段的长度；在二维空间中，拉伸变形是指改变面的某个方向的尺寸；在三维空间中，拉伸变形是指改变体的某个方向的尺寸。
5. 弯曲变形：弯曲变形是通过施加外力将几何形状弯曲，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。
等积变形问题
等积变形问题引言等积变形问题是数学中的一个重要概念，涉及到几何图形的形状变化和面积的关系。
在这个问题中，我们考虑一个固定面积的图形，在保持面积不变的情况下，改变图形的形状。
这个问题有着广泛的应用背景，例如在工程设计、物理学和经济学中都能找到对等积变形问题的研究。
等积变形问题的定义等积变形问题是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变图形的尺寸或者形状，使得其它属性发生相应的改变。
通常情况下，我们会固定一个属性（例如周长、直径等），然后通过调整另外一个属性（例如宽度、长度等）来实现对图形进行等积变形。
等积变形问题的解法1. 基于比例关系的解法在等积变形问题中，最常见且直观的解法就是基于比例关系。
假设我们有一个矩形，并且知道其面积为A。
如果我们要将这个矩形进行等积变换，并且保持其宽度不变，那么我们可以通过调整其长度来实现。
根据矩形的面积公式，我们可以得到长度与宽度之间的比例关系：长度/宽度 = A/宽度。
通过这个比例关系，我们可以计算出新的长度。
同样地，如果我们要保持矩形的长度不变，而调整其宽度来实现等积变换，我们也可以利用比例关系进行计算。
这种基于比例关系的解法适用于各种图形，包括矩形、圆形、三角形等。
2. 基于微积分的解法除了基于比例关系的解法外，我们还可以使用微积分方法来解决等积变形问题。
这种方法通常需要使用到函数的导数和积分等概念。
考虑一个简单的例子：一个圆形区域的面积为A。
现在我们要将这个圆形区域进行等积变换，并且保持其半径不变。
我们可以通过求解一个方程来找到新的半径。
设原始圆的半径为r，新圆的半径为R。
根据圆的面积公式，我们有πr^2 = πR2，即r2 = R^2。
由此可得R = ±r。
根据几何意义可知，R不能取负值，因此新圆的半径为r。
这意味着，在保持圆的半径不变的情况下，进行等积变换得到的仍然是一个圆形。
3. 基于几何变换的解法除了基于比例关系和微积分方法的解法外，我们还可以使用几何变换来解决等积变形问题。
第十讲 等积变换
◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。
⑵等底等高的两个三角形面积相等。
⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。
⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。
⑴等底等高的三角形面积相等。
⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。
典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。
求三角形ABC 的面积。
ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。
若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。
例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。
图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。
二年级奥数：图形的等积变换
图形的等积变换
【预备知识】
什么是图形的等积变换？有一张纸被分成大小相等的个方格请你沿着方格纸有一张纸，被分成大小相等的16个方格。
请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两部分正好可以拼成一个正方形。
该怎样剪拼呢？中间空白是空的个形怎样剪拼(中间)
有张被成相等请着张有一张纸，被分成大小相等的16个方格。
请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两部分正好可以拼成一个正方形。
该怎样剪拼呢？(中间空白是空的)下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个形状大小完全相同的图形。
将下图分割成大小、形状相同的三块，使每块都包含一个小圆圈。
在下面的方格中有4个圆圈，请你把方格分成形状大小完全一样的4块，使每部分都有1个圆圈(圆圈的位置相同)。
动手画出你的方法。
请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一“”
块内都含有“中国加油”这四个字中的一个，该怎么剪？琳达家有三块连在一起的地板砖，如下图所示，她想把它分成大小、形状都相同的四块来垫桌腿，你有没有好办法？
请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“史乐老师”4个字。
图形的剪拼方法一：
方法二：。
高斯小学奥数二年级(上)第10讲图形变换
第十讲图形变换前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物.图形变换是一种重要的数学思想，包含图形的平移和旋转，这在大家的生活中并不陌生，那么我们从生活中的直观实例入手，感知平移和旋转的运动特征，然后通过观察思考、操作验证的学习方法掌握平移的方法，为今后学习平行线和推导基本平面图形面积的计算公式等几何知识做铺垫.例题1 在表格里填空.【提示】找一找房子的墙角平移前后有什么变化吧!图形平移变换时，图形的大小、形状和方向不变；位置变化.在表格里填空.例题2 如图所示，数对（J 5,宀4）表示把中心的图形先向下平移5格，再向右平移4格.请画出数对（f 4, f 6）和（J 5,・7）分别对应的图形.【提示】最后结果是4个图形吗?练习2平移后的图形对应的数对是哪个？'—' A. (J 4,—11) B. (J 7,—14) C. (― 11,；7) D. (― 12,；4) F面这些现象都是旋转.图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化.例题3你能按照下图的规律，画出第4个图形吗?【提示】图形的4个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢?练习3下图旋转后，能得到选项中的哪个图?八八、八A UB UC D笑脸“”◎ ◎◎a例题4格中移动，并且只能向右或者向下移动到相邻的方格中，那么当“…”移动到“？”处是什么样子呢？【提示】找找最便捷的移动路径!应习b图形“▽”依照v <3 A O……的规律在下图方格中移动，并且只能向下或^习/者向右移动到相邻的方格中，那么当“g ”移动到“？”处是什么样子呢？111111 1 1 1 11 1 1 1 111111L ——1 1 1 1 1111111? ?例题5 观察下图，在可以经过平移和旋转到A位置的小鱼下面的括号中画“"”.【提示】不仅可以平移，还可以旋转哦！注意小鱼身体上的颜色.例题6观察下图，判断从前面到后面每次发生了怎样的变化，发生平移的在上的括号中写“①”，发生旋转的在上的括号中写“②” •【提示】根据平移和旋转的特点判断.摩天轮摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱.乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色•最常见到摩天轮存在的场合是游乐园（或主题公园）与园游会，作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”.但摩天轮也经常单独存在于其他的场合，通常被用来作为展会活动的观景台使用.世界上著名的摩天轮英航“伦敦眼”，坐落于泰晤士河畔，距地面总高达135公尺.位于日本福冈的“天空之梦福冈”，是座轮身直径112 公尺、离地面总高120公尺的摩天轮.该项目的设计方，是曾经设计英国观景摩天轮“伦敦眼”的荷兰艾维公司.作业1. 在表格里填空.2. 平移后的图形对应的数对是( ).A .(f 8, f 10) B. (f 18,f 8) C . (f 14 , f 4) D .(f 4,f 10)3. 下图绕田字格中心旋转之后，能得到选项中的哪个图？（）I AZL —」i! : ；耳 (i)A 4、平移多后或者向右移动到相邻的方格中，那么当——移动到“？”处是什么样子?4. 三角形△按照的规律在下图方格中移动，并且只能向下厂△•15.把可以通过平移和旋转到A位置的燕子圈出来.或者向右移动到相邻的方格中，那么当——移动到“？”处是什么样子?第十讲图形变换1. 例题1答案：如图所示:2. 例题2答案：如图所示:向下平移 6 格详解：房子在平移时,整体都在移动,找出房子墙角的一点作为关键点,注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化,并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：(T 4, — 6)（；5,・7）向 左 平移 8 格向 上 平移 5 格向右平移 7 格向下平移 6 格详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7 格(T 4, -6) (J 5,・7)向下平移 6 格详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7 格(T 4, -6) (J 5,・7)向下平移 6 格详解：房子在平移时,整体都在移动,找出房子墙角的一点作为关键点,注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化,并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7 格T 4,—6) （；5,・7）向下平移 6 格详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7格第十讲图形变换1. 例题1答案：如图所示：T 4，-6)(J 5,・7)详解：找关键点,注意图形大小、形状、方向不发生改变,只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移,先把中心的图形中的3 个顶点标出,然后分别把这3 个点按照数对的方向平。
最新小学奥数 三角形的等积变形学生版
最新小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC 高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．课后练习：1、如图，BDA长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
等积变换
【讨论5】如下图，已知正方形 ABCD的边长为4。E、P、F分别 是AD、CE、BP的中点。求三角 形DBF的面积。
S△BDF=S△BDP÷2 S△ BDP = S△ BCD－(S△ BCP + S△ CDP) 4×4=16
S△ BCD=16÷2=8, S△ BCP=8÷2=4 S△ CDE =8÷2=4,S△ CDP=4÷2=2 S△ DBP=8－4－2=2,S△BDF= 2÷2=1
∵S△ABG=S正÷2= S长÷2 ∴ S正= S长 8×8÷10=6.4(厘米)
【讨论3】三角形ABC的面积是14平
方厘米，AD=3AC，DE=EF，求 阴影部分面积。
D
[讨论4]如图，三角形ABC的面积是5平方厘 米，将AB延长一倍到D，BC延长二倍到E， CA延长三倍到F，两两连接D、E、F得到一 个新的三角形DEF，求三角形DEF的面积。
每格边长为1，求三角形的面积。
每格边长为1，求三角形的面积。
每格边长为1，求三角形的面积。
在
填上“＞”、“＜”或“=”。。
+
=
+
＜
[讨论1] 用不同的方法把任意一个三角形分成 四个面积相等的三角形。
[讨论2]如图，正方形ABCD的边长是8 厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米， 求长方形的宽。
[讨论6]两个边长都是2分米的正方形， 其中一个正方形的一个顶点在另一个 正方形的中心，求两个正方形重叠部 分的面积。
2×2÷4=1
10D的对角线交于O，三角形AOD 的面积为20平方厘米，三角形ABO的面积为30平方 厘米。三角形BCD的面积多少平方厘米？
A D
O
B C
第十一讲 等积变形讲义
第十一讲等积变形讲义1、让学生在直观的情境中想到转化，并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周长的变形。
2、在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。
3、进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的“转化”意识,提高学好数学的信心。
例1、（运用转化的策略巧算周长）求下面图形的周长。
（单位：厘米）分析与解：求这个图形的周长，就是求围成这个图形的所有线段的长度和。
图中有的线段的长度不知道，可以将其中的4条线段进行平移（如下图），平移之后形成一个长方形，长方形的周长和原来图形的周长是相等的。
因此求原来图形周长的问题就转化成了求下图这个长方形的周长。
例2、（将复杂的图形转化成简单的图形后计算面积）如图1是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米。
中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。
草地部分的面积有多大？图1 图2分析与解：求草地部分的面积，可以用大长方形的面积减去两条道路的面积，但要考虑两条道路的重叠部分，因此计算比较复杂。
可以将图1转化成图2，两条道路转化到了长方形草地的边上，很明显，图2草地部分（阴影部分）的面积和图1相等，现在求草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简单。
解答：（16 - 2 ）×（10 - 2） = 112（平方米）答：草地部分的面积是112平方米。
例三．一个底面半径是4厘米，高6厘米的圆柱，里面盛满水，现倒入一个长12厘米，宽6.28厘米的水槽内，求圆柱的高。
例四．两个底面半径是6厘米的圆锥高都是9厘米，现把它熔铸成一个底面半径是9厘米的圆柱，求圆柱的高。
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)目录模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升模型一——《等积变换》一、知识点梳理等积变换是指平面图形在平移、旋转、翻折、错位四种变换中，不改变其面积大小的变换。
在等积变换中，图形的各个部分相对位置关系保持不变，因此，等积变换也称为等面积变换或保角变换。
在等积变换中，我们需要掌握以下几个概念：1.平移：指图形沿着某一方向移动一段距离，保持图形大小和形状不变。
2.旋转：指图形绕某一点旋转一定角度，保持图形大小和形状不变。
3.翻折：指图形沿着某一直线对称，保持图形大小和形状不变。
4.错位：指图形中的各个部分按照一定规律移动，保持图形大小和形状不变。
二、例题精讲例1：如图，正方形ABCD经过变换后得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与正方形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。
其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将正方形ABCD逆时针旋转了90度得到的，因此，该变换是旋转变换。
例2：如图，图形ABCD经过变换得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与图形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。
其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将图形ABCD沿着直线EF翻折得到的，因此，该变换是翻折变换。
三、自我提升1.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小发生了改变，那么这个变换是什么变换？2.如果一个图形经过等积变换后，其形状发生了改变，那么这个变换是什么变换？3.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小和形状都没有发生改变，那么这个变换是什么变换？四、答案与解析本部分为题目的答案和解析，帮助读者检验自己的答题情况和巩固知识点。
等积变形问题数量关系公式
等积变形问题数量关系公式
变形前的体积等于变形后的体积
1、当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件解题；
2、当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积*高这一隐含条件解题；
3、要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积*高。
等积形是面积相等的平面图形，两个图形等积，形状不一定相同。
例如，一个正方形长为6cm，它的面积是36cm2；一个梯形上底为4cm，下底为8cm，高为6cm，它的面积也是36cm2，那么这个正方形与这个梯形是等积形。
又例如，同底等高的两个三角形即为等积形，这一结论常用于直线图形的等积变形。
高斯小学奥数二年级(上)第10讲图形变换
第十讲图形变换前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．图形变换是一种重要的数学思想，包含图形的平移和旋转，这在大家的生活中并不陌生，那么我们从生活中的直观实例入手，感知平移和旋转的运动特征，然后通过观察思考、操作验证的学习方法掌握平移的方法，为今后学习平行线和推导基本平面图形面积的计算公式等几何知识做铺垫．例题 1 在表格里填空．提示】找一找房子的墙角平移前后有什么变化吧！图形平移变换时，图形的大小、形状和方向不变；位置变化．练习1 在表格里填空．如图所示，数对（↓ 5，→ 4）表示把中心的图形先向下平移例题25 格，再向右平移 4 格．请画出数对（↑ 4，→6）和（↓ 5，←7）分别对应的图形．提示】最后结果是4 个图形吗？平移后的图形对应的数对是哪个？练习2A．（↓ 4，→ 11）B．（↓ 7，→ 14）C．（→ 11，↓ 7）D．（→ 12，↓ 4）面这些现象都是旋转．图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化．例题 3你能按照下图的规律，画出第 4 个图形吗？提示】图形的4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？练习 3 下图旋转后，能得到选项中的哪个图？DA B C D笑脸 “” 按照 ⋯⋯这样的规律在下图方 格中移动，并且只能向右或者向下移动到相邻的方格中， 那么当“ ”移动到“？”处是什么样子呢？提示】 找找最便捷的移动路径！例题4图形“ ”依照⋯⋯的规律在下图方格中移动，并且只能向下或练习4者向右移动到相邻练习4的方格中，那么当“ ”移动到“？”处是什么样子呢？？观察下图，在可以经过平移和旋转到 A 位置的小鱼下面的括例题5号中画“√”．提示】不仅可以平移，还可以旋转哦！注意小鱼身体上的颜色．例题 6观察下图，判断从前面到后面每次发生了怎样的变化，发生平移的在“→”上的括号中写“①”，发生旋转的在“→”上的括号中写“②” ．提示】根据平移和旋转的特点判断．摩天轮摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱．乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．最常见到摩天轮存在的场合是游乐园（或主题公园）与园游会，作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”．但摩天轮也经常单独存在于其他的场合，通常被用来作为展会活动的观景台使用．世界上著名的摩天轮英航“伦敦眼”，坐落于泰晤士河畔，距地面总高达135公尺．位于日本福冈的“天空之梦福冈” ，是座轮身直径112 公尺、离地面总高120 公尺的摩天轮．该项目的设计方，是曾经设计英国观景摩天轮“伦敦眼”的荷兰艾维公司．作业1.在表格里填空．2. 平移后的图形对应的数对是（ ）．A ．（↑ 8，→ 10）B ．（→ 18，↑ 8）C ．（→ 14，↑ 4）D ．（↑ 4，→ 10）3. 下图绕田字格中心旋转之后，能得到选项中的哪个图？（ ）平移 后4. 三角形按照的规律在下图方格中移动，并且只能向下或者向右移动到相邻的方格中，那么当移动到“？”处是什么样子？？5.把可以通过平移和旋转到A 位置的燕子圈出来．A第十讲图形变换1.例题1答案：如图所示：2.例题2答案：如图所示：详解：找关键点，注意图形大小、形状、方向不发生改变，只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移，先把中心的图形中的3 个顶点标出，然后分别把这3 个点按照数对的方向平移，最后用直线连接3 个点组成图形．3.例题3答案：如图所示：详解：找准图形的关键点和关键线，依次进行旋转，之后再连接画出完整的图形．注意旋转后图形大小、形状不变，位置、方向改变．4.例题4答案：详解：“笑脸”是按照逆时针方向进行旋转，再进行移动，注意题中要求只能向右或者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．6. 例题 6答案：如图所示：详解：根据平移和旋转的特点判断．平移：大小、形状、方向不变，位置变．旋转：大小、形状 不变，方向、位置变．旋转方向可分为顺时针和逆时针方向旋转．7. 练习 1答案：如图所示： 5. 例题 5答案：如图所3 条鱼符合要求，其中有 1条可以经过平移到 A 位置，其余 2 条都是旋转加平移到 A 位置．详解：先观察 A 位置的鱼的特点，再按照平移和旋转的要求找．只有简答：图形在平移时，整体都在移动，找出图形的一点作为关键点，注意平移前后大小、形状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．8.练习2 答案：A 简答：找关键点，注意图形大小、形状、方向不发生改变，只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移，先把图形中的1 个顶点标出，然后把这1 个点按照数对的方向平移，画出平移的轨迹，可知图形是向下平移4格，向右平移11 格．所以选择A．9.练习3 答案：B 简答：图中长条颜色不同，最下面是绿色，再橘黄色，最上面是蓝色．所以旋转之后图形颜色先后顺序不能改变．10.练习4简答：“ ”是按照顺时针方向进行旋转，再进行移动，注意题中要求只能向右或者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．11.作业1 答案：向上平移6格；向右平移12 格简答：从关键点入手，根据关键点的移动推测图形的移动．12.作业2 答案：C 简答：在观察图形平移的距离时，要找平移前后的图形相同位置之间的距离．本题可以看箭头最下面的顶点与向上平移后箭头最下面顶点间的距离，可以看出是4 格，判断向右平移时方法一致．13.作业3 答案：C 简答：本题的关键点在于审题，题目要求是绕田字格中心旋转，需要注意平行四边形中直线的对应．平行四边形绕田字格中心位置旋转时，顶点一直在田字格的中心上，所以综合考虑下来只有答案C 满足要求．14.作业4答案：简答：“ ”是按照逆时针方向进行旋转，再进行移动，注意题中要求只能向右或者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．15.作业5答案：如图所示：简答：平移只改变图形位置，不改变图形方向、大小；旋转只改变图形方向、位置，而不改变图形大小．观察可知只有1只小鸟可以平移到A 小鸟的位置，有2只可以旋转加平移到A 小鸟的位置．。
高斯小学奥数二年级(上)第10讲图形变换
第十讲图形变换前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物.图形变换是一种重要的数学思想，包含图形的平移和旋转，这在大家的生活中并不陌生，那么我们从生活中的直观实例入手，感知平移和旋转的运动特征，然后通过观察思考、操作验证的学习方法掌握平移的方法，为今后学习平行线和推导基本平面图形面积的计算公式等几何知识做铺垫.例题1 在表格里填空.【提示】找一找房子的墙角平移前后有什么变化吧!图形平移变换时，图形的大小、形状和方向不变；位置变化.在表格里填空.例题2 如图所示，数对（J 5,宀4）表示把中心的图形先向下平移5格，再向右平移4格.请画出数对（f 4, f 6）和（J 5,・7）分别对应的图形.【提示】最后结果是4个图形吗?平移后的图形对应的数对是哪个？ A . (J 4,— 11) B . (J 7,— 14)【提示】图形的4个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢? C . （— 11，； 7） D . （— 12，； 4）平移后F 面这些现象都是旋转.图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化.例题3 你能按照下图的规律，画出第4个图形吗?练习2---L平移后的图形对应的数对是哪个？A . (J 4,— 11)B . (J 7,— 14)C . (— 11,J 7)D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 平移后的图形对应的数对是哪个?A .（J 4，f 11）B .（J 7，f 14）平移后面这些现象都是旋转.图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化. 练习 2 C .（f 11，J 7） D .（f 12，J 4）例题3你能按照下图的规律，画出第4个图形吗? 练习2平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．提示】图形的4个顶点中哪个点不变?还有哪些特殊的线呢?平移后的图形对应的数对是哪个？ A . (J 4,— 11) B . (J 7,— 14) C . (— 11,J 7) D . (— 12,J 4) 提示】图形的4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题 3 你能按照下图的规律,画出第 4 个图形吗？提示】 图形的 4个顶点中哪个点不变?还有哪些特殊的线呢?平移后的图形对应的数对是哪个?A .（J 4，f 11）B .（J 7，f 14）平移后面这些现象都是旋转.图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化. 练习 2 C .（f 11，J 7） D .（f 12，J 4）平移后的图形对应的数对是哪个？ A . (J 4,— 11) B . (J 7,— 14) C . (— 11,J 7) D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题 3 你能按照下图的规律，画出第 4个图形吗?平移后的图形对应的数对是哪个？A ．（； 4，—11）B ．（； 7，—14）C ．（—11，； 7）D ．（—12，； 4）提示】 图形的 4个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？A . (J 4,— 11)B . (J 7,— 14)C . (— 11,J 7)D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律，画出第 4个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？A . (J 4,— 11)B . (J 7,— 14)C . (— 11,J 7)D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律,画出第4 个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？A ．(J 4,—11)B ．(J 7,—14)C ．(—11,J 7)D ．(—12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律,画出第4 个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？A ．（； 4，—11）B ．（； 7，—14）C ．（—11，； 7）D ．（—12，； 4） 提示】 图形的 4个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律，画出第 4个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？ A ．(J 4,—11) B ．(J 7,—14) C ．(—11,J 7) D ．(—12,J 4) 提示】图形的4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题 3 你能按照下图的规律,画出第 4 个图形吗？平移后的图形对应的数对是哪个？A．(J 4,—11) B．(J 7,—14) C．(—11,J 7) D．(—12,J 4) 练习2平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．提示】图形的4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？平移后的图形对应的数对是哪个？A . (J 4,— 11)B . (J 7,— 14)C . (— 11,J 7)D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律,画出第4 个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？A . (J 4,— 11)B . (J 7,— 14)C . (— 11,J 7)D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律,画出第4 个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？A . (J 4,— 11)B . (J 7,— 14)C . (— 11,J 7)D . (— 12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？ 例题3 你能按照下图的规律,画出第4 个图形吗？练习 2 平移后面这些现象都是旋转．图形旋转变换时,图形的大小、形状不变；位置和方向变化．平移后的图形对应的数对是哪个？ A ．(J 4,—11) B ．(J 7,—14) C ．(—11,J 7) D ．(—12,J 4) 提示】 图形的 4 个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？例题 3 你能按照下图的规律,画出第 4 个图形吗？。
积的转变规律奥运会女排积分规则
积的转变规律-奥运会女排积分
规则
奥数-等积规律
等积规律
【三角形等积的基本规律】如果两个三角形的底相等，高也相等，那么，这两个三角形的面积相等。
例如，在图中，D是BC的中点，则△ABD与△ACD的面积相等。
【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律，可以推出下面
几个结论。
结论1 如果两个三角形有公共的底边，且这底边所对的顶点所在直线，与这底边平行，则这两个三角形面积相等。
例如，在图中，A1A2的连线与BC平行，则△A1BC与△A2BC的面积相等。
结论2 在两个三角形中，若相等的底在同一直线上，底所对的顶点在与底平行的另一同一直线上，则这两个三角形的面积相等。
例如图中的△A1B1C1与△A2B2C2，它们的底B1C1=B2C2，而且
底同在直线B1C2上，极点A一、A2的连线A1A2，与B1C2平行，那么△A1B1C1与△A2B2C2的面积即是相等的。
结论3 如果一个三角形的一边被分成了n等分，并把这些等分点与顶点连结，那么这个三角形就被分成了n+1个等积的三角形。
例如图中，BC被点D1、D2、D3、D4、D5分成了六等分，则△A BC 的面积也就被AD一、AD二、AD3、AD4、AD5也分
成了六等分。
即△ABD一、△AD1D二、△AD2D3、△AD3D4、△AD4D五、△
结论4 若是两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例如，在图中，△ABC的高AD，和△A払扖挼母逜扗捪嗟龋珺C=3B扖挘敲础鰽BC的面积，即是△A払扖挼拿婊—3倍。
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图形的等积变换
【预备知识】
什么是图形的等积变换？有一张纸被分成大小相等的个方格请你沿着方格纸有一张纸，被分成大小相等的16个方格。
请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两部分正好可以拼成一个正方形。
该怎样剪拼呢？中间空白是空的个形怎样剪拼(中间)
有张被成相等请着张有一张纸，被分成大小相等的16个方格。
请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两部分正好可以拼成一个正方形。
该怎样剪拼呢？(中间空白是空的)下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个形状大小完全相同的图形。
将下图分割成大小、形状相同的三块，使每块都包含一个小圆圈。
在下面的方格中有4个圆圈，请你把方格分成形状大小完全一样的4块，使每部分都有1个圆圈(圆圈的位置相同)。
动手画出你的方法。
请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一“”
块内都含有“中国加油”这四个字中的一个，该怎么剪？琳达家有三块连在一起的地板砖，如下图所示，她想把它分成大小、形状都相同的四块来垫桌腿，你有没有好办法？
请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“史乐老师”4个字。
图形的剪拼方法一：
方法二：。