不等式及其性质(教师版)
7、不等式及其性质- 教师版
【课内练习】1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 > -3+2； ② 6×（-2） < -3×（-2）； ③ 6÷2 > -3÷2； ④ 6÷（-2） < -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则不能确定，不能确定，〉，〈2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”： （1）若a ＞b ，则2a+1 > 2b+1; （2）若＜10，则y > -8；（3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c > bc+c ； （4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c < 0。
3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a ＞b 两边都加上-4； （2）-3a ＜b 两边都除以-3； （3）a ≥3b 两边都乘以2； （4）a ≤2b 两边都加上c ； （1）（3）（4）仍成立4、设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.（1）a －3 〉 b －3; （2）2a > 2b; （3）－4a < －4b ; （4）5a > 5b ;（5）当a ＞0, b > 0时，a b ＞0; （6）当a ＞0, b < 0时，a b ＜0; （7）当a ＜0, b < 0时，a b ＞0; （8）当a ＜0, b > 0时，a b ＜0.5．当x 取何值时，不等式3x ＜5x+1成立（C ）A.-B.-1C.0D.-3.5 6．下列不等式的变形中，正确的是（AB ） A.若2x ＜-3，则x ＜- , B.若-x ＜0，则x ＞0C.若- ，则x ＞y 。
D.若- ，则x ＜-67．若关于x 的不等式ax ＞b （a ≠0），有x ＜ ,那么a 一定是（ B ）A.正数B.负数C.非正数D.任何数 8．若a ＞b 且a ≠0,b ≠0，则（C ） A.B.C.a ＞b ＞0时，b ＜a ＜0时，，D.ab 同号时， ,a 、b 异号时，知识点2 不等式的解集及求不等式的整数解 1.不等式的解集：（1）在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解的全体叫做不等式的解集. （3）求不等式的解集的过程叫做解不等式.（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向.大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆. 例题：已知不等式57.5x ->.（1）x 的下列这些值：-5、-3.5、-2.5、0、1.5中，哪些是不等式57.5x ->的解？哪些不是？（2）利用不等式的基本性质求出不等式的解，并把它的解集表示在数轴上. -5, -3.5 X<2.5 练习1.下列说法中错误的是（ D ）.A.0是不等式12043x x+->的解 B.2x <的解有无数个C.2x <的整数解有无数个D.2x <的正数解只有有限多个例1：解不等式521123x x ++-≤，并把解集在数轴上表示出来. X ≥7例2：解不等式3112x x --≤-，并在数轴上表示它的解集. X ≥3 练习1.在数轴上表示不等式的解集：（1）1x >-， （2）1x ≤， （3）122x <， （4）314x ≥-.略2.已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示，求a 的值. 12. 一元一次不等式的简单应用一元一次不等式的应用与列方程解应用题类似，根据某个量所满足的不等关系，列出不等式，从而求出这个量的取值范围.1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 解：设导火索的长度为x 米8.0x≥100÷5 x ≥162.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 解：设以后平均每天要比原计划多完成x 方土a<49-3.已知不等式2x－1＞x 与ax －6＞5x 同解，试求a 的值. a=24.如果关于x 的不等式－k －x ＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k 应取怎样的值？-3≤k ≤-25.不等式a (x －1)>x +1－2a 的解集是x <－1,请确定a 是怎样的值. a<1巩固练习 一．填空题1.把“x 的3倍与b 的和是负数”用不等式表示为 3x+b<0 .2.如果x y <，且mx my >，则m <0 ；若a b <，则31a -+ > 31b -+.3.如果0x m +≥的解集是4x ≥，那么m = -4 ；不等式1543x ->的解集为 x<-203 . 4.当x ≥-1/8 时，2313x x ++≥；当x <0 时，2(3)6x +-的值是负的.5.不等式310x -<的负整数解为 -1,-2,-3 ；23xx +<的最小整数解是 4 .6.如果一个工人每小时装配12个零件，那么至少需要 11 个工人才能使一小时装配的零件不少于130个.7.不等式(1)(0)a x x a a +≥+<的解是 x ≤1 . 8.根据数轴比较下列各式的大小：（1）a c - > b c -； （2）ac < bc ； （3）2b < b -； （4）ac> a -.。
2.1 等式性质与不等式性质 教师版
不等关系与不等式要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变：符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数：符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：0,,10n n a b n N n a b +>>∈>⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>>要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>；②1b a a b<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过2180m ；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩此即为所求满足题意的不等式组举一反三：【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？【答案】假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：类型二：不等式性质的应用例2．已知22ππαβ-≤<≤，求2αβ+，2αβ-的取值范围．【解析】 因为22ππαβ-≤<≤，所以424παπ-≤<，424πβπ-<≤. 两式相加，得222παβπ+-<<. 因为424πβπ-<≤，所以424πβπ-≤-<，则222παβπ--≤<. 又α＜β，所以02αβ-<，则022παβ--≤<.举一反三：【变式1】【变式】已知23,14a b <<<<，求（1）,a b - (2)a b的取值范围.【答案】（1）22a b -<-<；（2）132a b<<【变式2】已知实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则4x+2y 的取值范围是________。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质：a. 不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。
b. 不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
c. 不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及运用。
2. 教学难点：不等式性质的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 利用例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
3. 小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔2. 例题及练习题3. 学生分组合作的材料教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学的相关知识。
2. 提问：不等式有什么特点？如何表示不等式？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解不等式的基本性质，引导学生发现规律。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
四、小组讨论（10分钟）1. 教师给出讨论题目，让学生分组合作解决问题。
2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结不等式的基本性质及运用。
2. 教师补充讲解，强调重点知识点。
六、课后作业（课后自主完成）1. 巩固不等式的基本性质，提高解题能力。
2. 结合生活实际，解决相关问题。
六、教学拓展（10分钟）1. 引导学生思考：不等式性质在实际生活中的应用。
2. 举例说明：如购物时比较价格、比赛成绩排名等。
七、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些巩固不等式性质的习题。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
八、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题，让学生分组讨论、回答。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维的认知。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质1) 不等式的两边加减同一个数，不等号的方向不变。
2) 不等式的两边乘除同一个正数，不等号的方向不变。
3) 不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变。
3. 运用不等式的基本性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质及其运用。
2. 教学难点：不等式性质3的理解与应用。
四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式解决实际问题。
3. 利用小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：复习相关知识点，如实数、比较大小等，为学生学习不等式打下基础。
2. 新课讲解：介绍不等式的定义及表示方法，讲解不等式的基本性质，并通过例题展示运用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固不等式的基本性质。
4. 实际问题解决：引导学生运用不等式解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 课堂小结：总结不等式的基本性质及运用方法。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对不等式基本性质的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 对比等式的性质，引导学生发现等式与不等式的异同。
2. 介绍不等式的其他性质，如不等式的传递性、同向不等式的可加性等。
八、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论不等式性质的应用，分享解题心得。
2. 教学游戏：设计有关不等式的游戏，提高学生的学习兴趣。
九、教学策略调整1. 根据学生掌握情况，针对性地讲解不等式的难点知识点。
2. 对于学习困难的学生，提供个别辅导，帮助他们跟上课堂进度。
第7讲 不等式(教师与学生版)
第7讲 不等式【知识梳理】1. 比较大小的方法：(1) 作差比较法：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.步骤：作差——变形——定号——结论. (2) 作商比较法：若0b >，则1;1;1a a aa b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. (3) 性质法；(4) 单调性法； (5) 图象法； (6) 特值法 (选填题) .2.不等式的性质：(1)对称性：a b b a >⇔<.(2)传递性：,a b b c a c >>⇒>.(3)可加性：a b a c b c >⇔+>+.(4)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<. (5)加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+. (6)乘法法则：0,0a b c d ac bd >>>>⇒>.(7)乘方、开方法则：00rra b a b >>⇒>>(r 为正有理数) . (8)倒数法则：11,0a b ab a b>>⇔<，同号取倒反向. 3. 一元二次不等式的解法：数形结合：开口方向、根的情况⇔解集. 4.基本不等式：(1) 若,a b R ∈，则222a b ab +≥(和转积).当且仅当a b =时等号成立.变形：若,a b R ∈，则：①222a b ab +≥ (和转积)；②222a b ab +≤(积转和)；③22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭(和转和)，记忆：平方均不小于均平方.(2) 均值不等式：若0,0a b >>，则2a b+≥和转积)，当且仅当a b =时等号成立.变形：若0,0a b >>，则：①a b +≥和转积)2a b+≤(积转和)；③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(积转和) .(3) 不等式链：若0,0a b >>，则22ab a b a b +≤≤≤+5．求最值:如果,x y 都是正数，那么:(1) 若积xy 是定值P ,则当x y =时，和x y +有最小值(2) 若和x y +是定值S ，则当x y =时，积xy 有最大值22S ⎛⎫⎪⎝⎭.点拨：(1) 正、定、等三个条件缺一不可；(2) 关键是获得定值条件，常需拆项、添项、配凑、“1” 代换等; (3) 多次放缩必需同时取等号才可取得最值.【典例精析】例1. (1)设0,0>>y x ，1x y A x y +=++，11x yB x y=+++，则A B 、的大小关系为 ．(2)已知三个不等式：①0>ab ，②bda c >，③ad bc >。
2024版高考数学总复习：不等式的性质与基本不等式教师用书
第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．2．掌握基本不等式푎 ≤푎+2(a >0，b >0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个实数比较大小的依据(1)a －b >0⇔a >b .(2)a －b ＝0⇔a ＝b .(3)a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a .(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(同向可加性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(正数同向可乘性)(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(6)可开方性：a >b >0푎(1)a ＞b ，ab ＞0⇒ 3．基本不等式푎 ≤푎+2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中푎+2称为正数a ，b 的算术平均数，푎 称为正数a ，b 的几何平均数．4．利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2�(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是�24(简记：和定积最大)．1．使用基本不等式求最值时，2．“当且仅当(1)푎2+ 22≥(a ，b ∈R )．(2) 푎+푎≥2(ab ＞0)(当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)21푎+1≤푎 ≤푎+2≤a ＞0，b ＞0)．(4)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 푎＜+�푎+�； 푎＞−�푎−�(b －m ＞0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(×)(3)不等式a 2＋b 2≥2ab 与푎+2≥푎 成立的条件是相同的．(×)(4)函数f (x )＝sinx ＋4sin �的最小值为4.(×)2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A．a －c <b －d B．ac <bd C．a ＋c >b ＋dD．a ＋d >b ＋cC 解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．当x >0时，函数f (x )＝2��2+1有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2B 解析：f (x )＝2�+1�≤x ＝1�(x >0)，即x ＝1时取等号，所以f (x )有最大值1.4．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是()A．P ≤Q B．P <Q C．P ≥Q D．P >QA解析：不妨取a ＝b ＝12，则P －Q ＝14(x ＋y )2－12x 2－12y 2＝－14(x －y )2≤0，所以P ≤Q .5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_______________．a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b.考点1不等式的性质——基础性1．下列命题正确的是()A．若a>b，则1푎<1B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bdC解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1푎<1 不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b ＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是()A．푎 >푎�B．a(c－b)<0C．ac2>bc2D．ab(b－a)>0B解析：因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B 正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则푎 <푎�，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma， −�푎−�______ 푎.(填“>”或“<”)＜＜解析：因为b >a >0，m <0，所以b －a >0.因为mb －ma ＝m (b －a )<0，所以mb <ma .因为−�푎−�−푎＝<0，所以 −�푎−�< 푎.解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，作差法比较两个代数式的大小．考点2利用基本不等式求最值——综合性考向1配凑法求最值(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；23解析：因为0＜x ＜1，所以4－3x >0，所以x (4－3x )＝13·3�4−3�≤13＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，等号成立．(2)当�+�+1x ＝_______．4解析：��＋1＋9－1＝5，当且仅当�＋1＝x ＝4时，等号成立．(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1푎+1的最小值为_________．4解析：因为a ＋b ＝1，所以1푎+1＝+a ＋b a ＝b ＝12时，等号成立．(2)已知x ＋2y ＝xy (x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为_________．9解析：由x＋2y ＝xy 得2�+1�＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y +＝5＋2��+2��≥5＋2＝9，当且仅当2��＝2��，即x ＝y 时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为9.(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为(1)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则푎�2的最大值为()A．8B．2C．18D ．16C 解析：因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以푎�2＝푎�4푎2+4푎�+�2＝14푎�+�푎+4≤＝18，当且仅当c ＝2a ＞0时，等号成立．(2)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x2＝1−�45�2，由x 2≥0，可得y 2∈(0，1]，则x 2＋y2＝1−�45�2＋y 2＝1+4�45�2＝154�2+≥15·2＝45，当且仅当y 2＝12，x 2＝310时，等号成立，故x 2＋y 2的最小值为45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2＝254(x 2＋y 2)2，当且仅当5x 2＋y 2＝4y 2＝2，即y 2＝12，x 2＝310，等号成立，故x 2＋y 2≥45，即x 2＋y 2的最小值为45.(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，(2)如果出现多元的问题，(多选题)设正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，则()A．1�+2�的最小值为22B．�+�的最小值为2C．��的最大值为1D．m 2＋n 2的最小值为2CD 解析：因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，所以1�+2�＝m ＋n )×12＝123+��+≥123+＝3+222，当且仅当��＝2��且m ＋n ＝2，即m ＝22－2，n ＝4－22时取等号，A 错误；(�+�)2＝m ＋n ＋2��＝2＋2��≤2＋2×�+�2＝4，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以�+�≤2,即最大值为2，B 错误；由mn＝1,当且仅当m ＝n ＝1时取等号，此时��2取最大值12，C 正确；m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，即m 2＋n 2的最小值为2，D 正确．考点3利用基本不等式解决实际问题——应用性某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入�4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的单价提高a 元，则(10－a )·(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5.所以商品的单价最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋�4＋50(x ＞5)即可，此时m ＝12x ＋34+50�≥234＝434，当且仅当12x ＝50�，即x ＝10时等号成立．故销售量m 至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．(1)利用基本不等式解决实际问题时，的函数关系式，然后用基本不等式求解．1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为��+��2�＝�+�2，乙的平均单价为2���+��＝2���+�.因为x ≠y ，所以�+�22���+�＝�2+�2+2��4��>4��4��＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．2．(多选题)(2022·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km，从P 点沿海岸线正东方向12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t (单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸距点P 处的距离．设u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，则()A．函数v ＝f (u )为减函数B．15t －u －4v ＝32C．当x ＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x ＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h AC 解析：因为u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，所以�2+4＝�+�2，x ＝�−�2，uv ＝4，则v ＝4�，其在(0，＋∞)上是减函数，A 正确；t ＝�2+43+12−�5＝�+�6+125−�−�10，整理得15t ＝u ＋4v ＋36，B 错误；15t ＝u ＋16�＋36≥2�·16�＋36＝44，当且仅当u ＝16�，即u ＝4时等号成立，则4＝�2+4＋x ，解得x ＝1.5，C 正确；当x ＝4时，t ＝253+85，t －3＝253−75＝105−2115＝500−44115＞0，则t ＞3，D 错误．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．8解析：每台机器运转x 年的年平均利润为��＝18－�25�而x >0，故��≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．拓展考点绝对值三角不等式定理1如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立定理2如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A．x ＋y ≤1B．x ＋y ≥－2C．x 2＋y 2≤2D．x 2＋y 2≥1[四字程序]读想算思若实数x ，y 满足x 2＋y2－xy ＝1不等式的性质、基本不等式、配方法的应用x 2＋y 2，xy ，(x ±y )2的关系转化与化归x ＋y ≤1；x ＋y ≥－2；x 2＋y 2≤2；x 2＋y 2≥11．构造不等式．2．代数换元．3．三角换元1．构造关于所求代数式的不等式．2．令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．3．求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数．4．三角换元1.利用基本不等式可以实现积化和、和化积、和化和．2．三角代换的适用条件和新变元范围的确定思路参考：利用xy ，xy ≤�2+�22构造关于x ＋y ，x 2＋y2的不等式，解不等式求范围．BC 解析：由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x＝y 时，取等号，即当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确．由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x 2＋y 2)－1＝xy ≤�2+�22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确．当x y x 2＋y 2＝23<1，D 错误．故选BC.思路参考：令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．BC 解析：令x ＋y ＝t ，则y ＝t －x ，代入x 2＋y 2－xy ＝1得关于x 的方程3x 2－3tx ＋(t 2－1)＝0，则Δ＝(－3t )2－4×3×(t 2－1)≥0，解得－2≤t ≤2，即－2≤x ＋y ≤2.令x 2＋y 2＝m ，则由x 2＋y 2－xy ＝1得xy ＝m －1，于是有m ≥2|m －1|，解得23≤m ≤2，即x 2＋y 2232，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.思路参考：求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数，求函数的值域得范围．BC解析：由xy ＋1＝x 2＋y 2≥2|xy |得xy ∈−13，1，则x 2＋y 2＝xy 232，(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1∈[0，4]，即x ＋y ∈[－2，2]，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．已知x ＞0，y ＞1，且x ＋2y ＝xy ＋1，则x ＋y 的最小值为_________．5解析：令x ＋y ＝t ，则x ＝t －y .将x ＝t －y 代入x ＋2y ＝xy ＋1，得t ＋y ＝ty －y 2＋1，即y 2＋(1－t )y ＋t －1＝0，Δ＝(1－t )2－4(t －1)＝t 2－6t ＋5≥0，得t ≤1(舍去)或t ≥5.故x ＋y 的最小值为5.课时质量评价(四)A 组全考点巩固练1．(2023·日照模拟)若a ，b ，c 为实数，且a <b ，c >0，则下列不等关系一定成立的是()A．a ＋c <b ＋c B．1푎<1C．ac >bc D．b －a >cA解析：对于A，因为a <b ，c ＝c ，所以由不等式的性质可得，a ＋c <b ＋c ，故A 正确；对于B，令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b ，1푎>1，故B 错误；对于C，令a ＝－2，b ＝1，c ＝1，满足a <b ，c >0，但ac <bc ，故C 错误；对于D，令a ＝1，b ＝2，c ＝1，满足a <b ，c >0，但b －a ＝c ，故D 错误．故选A.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件是()A．x ＝y B．x ＝2y C．x ＝2且y ＝1D．x ＝y 或y ＝1C 解析：因为x >0，y >0，所以x ＋2y ≥22��，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件．3．(2022·滨州三校高三联考)已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+恒成立，则m 的最大值为()A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则ma ＋b )恒成立，转化成求y a ＋b )的最小值．y a ＋b )＝5＋4 푎+푎≥5＋2当且仅当a＝2b 时，等号成立，所以m ≤9.故选D.4．(多选题)已知1푎<1<0，则下列结论正确的有()A．a <b B．a ＋b <ab C．|a |>|b |D．ab <b 2BD 解析：由1푎<1<0，得b <a <0，所以a ＋b <0<ab ，|b |>|a |，b 2>ab .因此BD 正确，AC 不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E ，则下列不等式可以表示CD ≥DE 的是()A．푎 ≥2푎푎+(a ＞0，b ＞0)B．푎+2푎 (a ＞0，b ＞0)≥푎+2(a ＞0，b ＞0)D．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)A解析：连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.在Rt△ADB 中，中线OD ＝퐴2＝푎+2.由射影定理可得CD 2＝AC ·BC ＝ab .所以CD ＝푎 .在Rt△DCO 中，由射影定理可得CD 2＝DE ·OD ，即DE ＝��2푂�＝푎푎+ 2＝2푎푎+.由CD ≥DE 得푎 ≥2푎푎+.6．(2023·济南模拟)若正数a ，b 满足ab ＝4，则1푎+9的最小值为_________．3解析：因为a ＞0，b ＞0，且ab ＝4，所以1푎+9≥21푎·9 ＝2×푎＝2×4＝3，当且仅当1푎＝9，即a ＝23，b ＝6时取“＝”，所以1푎+9的最小值为3.7．若a >0，b >0，则1푎+푎2＋b 的最小值为_________．22解析：因为a >0，b >0，所以1푎+푎2＋b ≥21푎·푎 2＋b ＝2＋b ≥22· ＝22，当且仅当1푎＝푎2且2＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，所以1푎+푎2＋b 的最小值为22.8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是_________．3解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3−�22�＝32�−12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32�−12x ＝3�2+32�≥23�2·32�＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.9．(2022·唐山模拟)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式푎�+ ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab 푎+ 2＋1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．解得(a ＋b )2≤4.又a >0，b >0，所以a ＋b ≤2.(2)解：不能成立．理由：a >0，b >0，c >0，d >0，由基本不等式得푎�+ ≤푎+�2++2，当且仅当a ＝c 且b＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以푎�+ ≤1＋�+2.因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝�+2+�+2≥�+2+� >�+2＋1≥푎�+ ，故푎�+ ＝c ＋d 不能成立．B 组新高考培优练10．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11+푎+44+的最小值为()A．1B．78C．98D．2C解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+푎+44+＝18[(1＋a)＋(4＋b＝185+4+1+푎+≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝53，b＝43时等号成立．11．(2022·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则m的最大值为() A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4푎+1 ≥�푎+ 恒成立，则ma＋b)恒成立，转化成求y a＋b)的最小值．y a＋b)＝5＋4 푎+푎 ≥5＋2当且仅当a ＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D.12．(多选题)(2023·重庆模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当�푎 取最小值时，下列说法正确的是()A．a＝4bB．c＝6b2C．a＋b－c的最大值为34D．a＋b－c的最大值为38BD解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则�푎 ＝푎 +4 푎－1≥2－1＝3，当且仅当푎 ＝4푎，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当�푎 取最小值时，由�푎 =3，푎=2 ，得c＝6b2，故B正确；对于C，D，a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－6＋38≤38，当且仅当a＝12，b＝14，c＝38时等号成立，所以(a＋b－c)max＝38，故C不正确，D正确．13．若不等式1�+11−4�－m≥0对x∈0m的最大值为()A．7B．8C．9D．10C解析：将不等式化为1�+11−4�≥m，只需当x∈0m+即可．由1�+11−4�＝+x＋1－4x)＝4＋1−4��+4�1−4�＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x ＝16时，等号成立，故m ≤9.故m 的最大值为9.故选C.14．(2022·贵阳模拟)已知正实数x ，y 满足等式1�+3�＝2.(1)求xy 的最小值；(2)若3x ＋y ≥m 2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)2＝1�+3�≥2xy ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为3.(2)3x ＋y ＝12(3x ＋y＝126+9��≥126+x ＝1，y ＝3时等号成立，即(3x ＋y )min ＝6，所以m 2－m ≤6，所以－2≤m ≤3.15．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是R (x )＝−14�2＋500x (单位：元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？求P (x )的最大值．(2)求乐观系数λ的值．(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．解：(1)依题意，总利润为－14x 2＋500x －100x －40000＝－14x 2＋400x －40000，所以P (x )＝−14�2+400�−40000�＝－14x －40000�＋400≤－200＋400＝200.当且仅当14x ＝40000�，即x＝400时，等号成立，故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b ＝a ＋λ(c －a )得λ＝−푎�−푎.因为b －a 是c －b ，c －a 的比例中项，所以(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边除以(b －a )2，得−푎·�−푎−푎＝−1·�−푎−푎，所以−1·1�，解得λ＝5−12.(3)由(1)知，当x ＝400时，厂家平均利润最大，所以a ＝40000�＋100＋P (x )＝40000400＋100＋200＝400(元)．每件产品的利润为b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)，所以b ＝100(5＋3)，所以a ＝400，b ＝100(5＋3)．。
北师大版八年级(下)数学第5讲：不等式的性质(教师版)——王琪
不等式的性质一、不等式：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分.6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。
）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.1．贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27解：∵贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，某一天的气温为t℃，∴18≤t≤27．故选D．2．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①是用“＞”连接的式子，是不等式；②是用“≤”连接的式子，是不等式；③是等式，不是不等式；④没有不等号，不是不等式；⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；∴不等式有①②⑤共3个，故选C．3．2015年2月1日宿迁市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天宿迁市气温变化范围t（℃）是（）A．t＞8 B．t＜2 C．﹣2＜t＜8 D．﹣2≤t≤8解：由题意得﹣2≤t≤8．故选：D．4．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞O，③x=3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①②⑤为不等式，共有3个．故选B．5．式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（）A．2个B．3个 C．4个 D．5个解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，∴共4个不等式．故选C．6．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b解：A、由a＞b，得ac＞bc（c＞0），故此选项错误；B、由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故此选项错误；C、由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a（a＞0），故此选项错误；D、由a＞b，得c﹣a＜c﹣b，此选项正确．故选：D．7．若a＞b，则下列各式中一定成立的是（）A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．＞D．﹣2a＞﹣2b解：（A）a+2＞b+2，故A错误；（B）a﹣2＞b﹣2，故B错误；（D）﹣2a＜﹣b，故D错误；故选（C）8．若a＜b，则下列各式中一定正确的是（）A．ab＜0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．﹣a＞﹣b解：因为a＜bA、ab不一定小于0，本选项错误；B、ab不一定大于0，本选项错误；C、a﹣b＜0，故本选项错误；D、﹣a＞﹣b不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，正确；故选：D．9．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（）A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax解：∵x＜a＜0，∴两边都乘以x得：x2＞ax，故选A．10．如果a＞b，则下列各式中不成立的是（）A．a+4＞b+4 B．2+3a＞2+3b C．a﹣6＞b﹣6 D．﹣3a＞﹣3b解：根据不等式的基本性质3可知：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；即﹣3a＜3b，故D错误；故选D．11．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（）A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，故选：A．12．给出下面5个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①3＞0；②4x+3y≠0；⑤x+2≤3是不等式，故选：B．13．下列给出四个式子，①x＞2；②a≠0；③5＜3；④a≥b，其中是不等式的是（）A．①④ B．①②④C．①③④D．①②③④解：①x＞2；②a≠0；③5＜3，④a≥b，是不等式，故选：D．14．已知x+3与y﹣5的和是负数，以下所列关系式正确的是（）A．（x+3）+（y﹣5）＞0 B．（x+3）+（y﹣5）＜0C．（x+3）﹣（y﹣5）＞0 D．（x+3）+（y﹣5）≤0解：∵x+3与y﹣5的和是负数，∴（x+3）+（y﹣5）＜0，故选：B．15．x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（）A．0＜x＜5 B．0＜x≤5 C．0≤x≤5 D．x≤5解：∵x是不大于5的正数，∴0＜x≤5，故选B．16．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0解：两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得x+y＞0，故选：A．17．若x+5＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；故选D．18．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．19．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确；故选：D．20．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．＞C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b解：A、由不等式的性质1可知A错误；B、由不等式的性质2可知B正确；C、不符合不等式的基本性质，故C错误；D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．故选：B．基础演练1．下列各式是不等式的有（）个．①﹣3＜0 ②4x+3y＞0 ③x=4 ④x+y ⑤x≠5 ⑥x+2＞y+3．A．1 B．2 C．3 D．4解：根据不等式的定义可知，符号不等式定义的有①②⑤⑥．故选D．2．若m是非负数，则用不等式表示正确的是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥0解：非负数即正数或0，即＞或等于0的数，则m≥0．故选D．3．下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①﹣2＜0；②2x+3y＜0是用不等号连接的式子，故是不等式．故选B．4．下列数学表达式中：①﹣2＜0，②2x+3y＞0，③x=2，④x2+2xy+y2，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≤，≥，≠，则不等式有：①②⑤⑥．故选D5．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330±10g，表明了这罐八宝粥的净含量x的范围是（）A．320＜x＜340 B．320≤x＜340 C．320＜x≤340 D．320≤x≤340解：净含量的合格范围是330﹣10≤x≤330+10，即320≤x≤340，故选：D．6．已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．2a＜2b D．a+2＜b+2解：A、若a＜b，则a﹣2＜b﹣2，故A选项正确；B、若a＜b，则﹣2a＞﹣2b，故B选项错误；C、若a＜b，则2a＜2b，故C选项正确；D、若a＜b，则a+2＜b+2，故D选项正确．故选：B．7．已知a＞b，下列不等式中错误的是（）A．a+1＞b+1 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣4a＜﹣4b D．2a＜2b解：A、B、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A、B正确；C、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C正确；D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；故选：D．8．若a＞b，则下列式子正确的是（）A．﹣5a＞﹣5b B．a﹣3＞b﹣3 C．4﹣a＞4﹣b D．a＜ b解：A、不等式两边都乘﹣5，不等号的方向改变，故错误；B、不等式两边都加﹣3，不等号的方向不变，正确；C、不等式两边都乘﹣1，得到﹣a＜﹣b，则4﹣a＜4﹣b，不等号的方向改变，故错误；D、不等式两边都乘以，不等号的方向不变，故错误；故选：B．9．若a＜b，则下列不等式中成立的是（）A．a+5＞b+5 B．﹣5a＞﹣5b C．3a＞3b D．解：A、∵a＜b，∴a+5＜b+5，本选项错误；B、∵a＜b，∴﹣5a＞﹣5b，本选项正确；C、∵a＜b，∴3a＜3b，本选项错误；D、∵a＜b，∴＜，本选项错误，故选B10．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣3＞b﹣3 B．a+m＜b+n C．m2a＜m2b D．c﹣a＞c﹣b解：A、不等式a＜b的两边同时减去3，可得a﹣3＜b﹣3，不符合题意；B、只有在不等式a＜b的两边加上同一个数，不等号的方向才不变，m≠n时不等式不成立，不符合题意；C、当m=0时，不等式a＜b的两边同时乘以m2，可得m2a=m2b，不符合题意；D、不等式a＜b的两边同时乘以﹣1，可得﹣a＞﹣b，再两边同时加上c，可得c﹣a＞c﹣b，符合题意．故选D．巩固提高11．某地夏天的最低气温是13℃，最高气温是30℃，则这天气温是t（℃）的取值范围是（）A．t＜13 B．t＞30 C．13＜t＜30 D．13≤t≤30解：由题意，得13≤t≤30，故选：D．12．在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选：C．13．下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：不等式有，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；④a+2＞b+3，共3个，故选：C．14．数x不小于3是指（）A．x≤3 B．x≥3 C．x＞3 D．x＜3解：数x不小于3是指x≥3，故选：B．15．下列式子：①﹣2＜0；②2x﹣3y＜0；③x=3；④x+y．其中不等式的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①﹣2＜0；②2x﹣3y＜0是用不等号连接的式子，故是不等式．故选：B．16．已知x＞y，若对任意实数a，以下结论：甲：ax＞ay；乙：a2﹣x＞a2﹣y；丙：a2+x≤a2+y；丁：a2x≥a2y其中正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：甲：ax＞ay，a≤0，不成立；乙：a2﹣x＞a2﹣y两边都乘以﹣1，不等号的方向不改变，不成立；丙：a2+x≤a2+y两边都加同一个整式，不等号的方向不变，不成立；丁：a2x≥a2y两边都乘以非负数，不等号的方向不变，成立，故选：D．17．若a＜b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣3＜b﹣3 B．＞ C．3a＞2b D．3+a＞3+b解：A、由不等式的性质1可知A选项正确，符合题意；B、由不等式的性质2可知B错误，不合题意；C、不符合不等式的基本性质，故C错误；D、由不等式的性质1可知D选项正确，不符合题意．故选：A．18．若a＜b，则下列各式中，错误的是（）A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a＜ b解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A不符合题意；B、两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故B符合题意；C、两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C不符合题意；D、两边都除以3，不等号的方向不变，故D不符合题意；故选：B．19．若﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（）A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变D．以上答案均不对解：若﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故选：C．20．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b解：∵a＜b，∴a﹣2b＜b﹣2b，即a﹣2b＜﹣b，故选D．1．下面给出了6个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：其中是不等式的有：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．共4个．故选C．2．下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：不等式有：：①3x＞5；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0共3个．故选B．3．下面给出了6个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式，故选：C．4．下列式子①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（）个．A．2 B．3 C．4 D．1解：①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2是不等式，故选：C．5．今年昭通市4月5日，这一天最低气温8℃，最高气温26℃，则昭通市这一天气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞8 B．t≤26 C．8＜t＜26 D．8≤t≤26解：根据题意可得：8≤t≤26，故选D6．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0解：两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得x+y＞0，故选：A．7．若x+5＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；故选D．8．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．9．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确；故选：D．10．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．＞C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b解：A、由不等式的性质1可知A错误；B、由不等式的性质2可知B正确；C、不符合不等式的基本性质，故C错误；D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．故选：B．1．无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）A．x+5＞0 B．x+5＜0 C．x2＜0 D．x2≥0解：A、当x≤﹣5时，不等式不成立，故此选项错误；B、当x≥﹣5时，不等式不成立，故此选项错误；C、当x=0时，不等式不成立，故此选项错误；D、无论x为何值，不等式总成立，故此选项正确；故选：D．2．数学表达式①﹣5＜7；②3y﹣6＞0；③a=6；④2x﹣3y；⑤a≠2；⑥7y﹣6＞y+2，其中是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：数学表达式①﹣5＜7；②3y﹣6＞0；⑤a≠2；⑥7y﹣6＞y+2是不等式，故选：C．3．下列式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1≠5；⑤x+2≤3是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以：①3＞0；②4x+3y＞0；④x﹣1≠5；⑤x+2≤3为不等式，共有4个．故选：C．4．下列式子中，是不等式的有（）①2x=7；②3x+4y；③﹣3＜2；④2a﹣3≥0；⑤x＞1；⑥a﹣b＞1．A．5个B．4个C．3个D．1个解：①2x=7是等式；②3x+4y不是不等式；③﹣3＜2是不等式；④2a﹣3≥0是不等式；⑤x＞1是不等式；⑥a﹣b＞1是不等式，故选B5．今年西安市4月份最低气温4℃，最高气温33℃，则西安市该月份气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞4 B．t≤33 C．4＜t＜33 D．4≤t≤33解：∵西安市4月份最低气温4℃，最高气温33℃，∴西安市该月份气温t（℃）的变化范围是：4≤t≤33．故选：D．6．如果a＞b，则下列不等式中不正确的是（）A．a+2＞b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．解：根据不等式的性质，可得，A、∵a＞b，∴a+2＞b+2，故本选项正确，B、∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故本选项正确，C、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故本选项错误，D、∵a＞b，∴a＞b，故本选项正确．故选C．7．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．2a＜2b B．a﹣2＞b﹣2 C． D．a﹣b＜0解：A、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故A错误；B、D、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故B正确，D错误；C、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；故选：B．8．如果c为有理数，且c≠0，下列不等式中正确的是（）A．3c＞2c B．C．3+c＞2+c D．﹣3c＜﹣2c解：A、在不等式3＞2的两边同时乘以不为零的正有理数c，不等式仍成立，即3c＞2c．但是，当c＜0时，不等式3c＜2c．故本选项错误；B、在不等式3＞2的两边同时除以不为零的正有理数c，不等式仍成立，即．但是，当c＜0时，不等式．故本选项错误；C、在不等式3＞2的两边同时加上有理数c，不等式仍成立，即3+c＞2+c．故本选项正确；D、在不等式﹣3＜﹣2的两边同时乘以负有理数c，则﹣3c＞﹣2c．故本选项错误；故选：C．9．设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③＜；④b2＞ab，其中正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵a＞b，∴a﹣b＞0．故①正确；②若c≤0时，ac≤bc．故②错误；③∵a＞b＞0，∴＜．故③正确；④∵a＞b＞0，∴0＜b＜a，则b•b＜ab，即b2＜ab．故④错误．综上所述，正确的不等式是①③，共2个．故选：B．10．若a＜b，则下列各式正确的是（）A．3a＞3b B．﹣3a＞﹣3b C．a﹣3＞b﹣3 D．＞解：A、∵a＜b，∴3a＜3b，故本选项错误；B、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴﹣3a＞﹣3b，故本选项正确；C、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项错误；D、∵a＜b，∴＜，故本选项错误．故选B．11．“a＜b”的反面是（）A．a≠b B．a＞b C．a=b D．a≥b解：a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．故选；D．12．生物兴趣小组在同一温箱里培育甲、乙两种菌种，如果甲菌种生长温度x℃的范围是34≤x≤37，乙菌种生长温度y℃的范围是33≤y≤35．那么温箱里应设置温度T℃的范围是（）A．34≤T≤37 B．34≤T≤35 C．33≤T≤35 D．35≤T≤37解：∵甲菌种生长温度x℃的范围是34≤x≤37，乙菌种生长温度y℃的范围是33≤y≤35，∴温箱里应设置温度T℃的范围是：34≤T≤35．故选：B．13．2015年深圳空气质量优良指数排名入围全国城市前十，空气污染指数API值不超过50时，说明空气质量为优，相当于达到国家空气质量一级标准，其中API值不超过50时可以表示为（）A．API≤50 B．API≥50 C．API＜50 D．API＞50解：2015年深圳空气质量优良指数排名入围全国城市前十，空气污染指数API值不超过50时，说明空气质量为优，相当于达到国家空气质量一级标准，其中API值不超过50时可以表示为API≤50，故选A14．据我市气象台报道，今天的气温t的范围是19℃≤t≤21℃，则今天的最低气温是（）A．19℃ B．19.1℃C．18.9℃D．21℃解：据我市气象台报道，今天的气温t的范围是19℃≤t≤21℃，则今天的最低气温是19℃，故选A15．下列各式中，不是不等式的是（）A．3x+2y﹣1＞0 B．﹣2x＞5 C．3+2=5 D．x2﹣4x+5＞0解：A、是不等式，故A不符合题意；B、是不等式，故B不符合题意；C、是等式，故C符合题意；D、是不等式，故D不符合题意；故选：C．16．已知a＞b，若c是任意实数，则下列不等式中总成立的是（）A．a+c＜b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac＜bc D．ac＞bc解：A、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；B、∵a＞b，c是任意实数，∴a﹣c＞b﹣c，故本选项正确；C、当a＞b，c＜0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；D、当a＞b，c＞0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；故选B．17．若m＞n，下列不等式一定成立的是（）A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C．﹣＞ D．m2＞n2解：A、左边减2，右边2，故A错误；B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、左边除以﹣2，右边除以2，故C错误；D、两边乘以不同的数，故D错误；故选：B．18．如果a＜b，下列各式中正确的是（）A．ac2＜bc2B．＞C．﹣3a＞﹣3b D．＞解：A、c=0时，ac2＜bc2不成立，故本选项错误；B、若a、b异号则ab＜0，不等式两边都除以ab得，＞，所以，＜，故本选项错误；C、a＜b不等式两边都乘以﹣3得，﹣3a＞﹣3b，故本选项正确；D、a＜b不等式两边都除以4得，＜，故本选项错误．故选C．19．若0＜x＜1，则下列不等式成立的是（）A．x2＞＞x B．＞x2＞x C．x＞＞x2D．＞x＞x2解：可以取x=0.1代入x2和求出值，从而得到＞x＞x2，故选D．20．若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x+＞y+B．x﹣3＞y﹣3 C．＞D．﹣3x＞﹣3y 解：A、根据不等式的性质1，可得x+＞y+，故A选项正确；B、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故B选项正确；C、根据不等式的性质2，可得＞，故C选项正确；D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D选项错误；故选：D．。
高考一轮复习教案一(4)不等式的基本性质(教师)
模块：一、集合、命题、不等式 课题： 4、不等式的基本性质与基本不等式教学目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题．重难点： 不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明．一、 知识要点1、 比较两数大小的基本方法（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=（2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b=⇔= 2、 不等式的基本性质性质1：a b b a >⇔<（对称性）性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）性质3：若a b >，则a c b c +>+性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+结论2：若0a b >>，则n n a b >()*n N ∈结论3：若0a b >>)*,1n N n >∈>3、 基本不等式（均值不等式）对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b +≥a b =时取等号 变式：222()22a b a b ab ++≥≥二、 例题精讲例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞cb ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？答案：1个，（1）例2、已知三个不等式：①0ab ②bc ad ③a c >bd ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题． 答案：可以组成下列3个命题．命题一：若0ab ，a c >b d , 则bc ad 命题二：若0ab ，bc ad 则a c >b d ，命题三：若a c >b d ,bc ad 则0ab例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（ ）A. ab b a + B. a b b a - C. a bb a - D. a b b a - 答案：C例4、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a <，现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg ()x y >，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为 ．答案：()()12ax by a b x y +>++例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是 ．答案：(5,4)-例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）ab b a ≥+2； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+ab b a （7）222)(2b a b a +≥+）（ 答案：（2）（3）（6）（7）例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是 ，最小值是（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y +的最小值为 （3）若01,x <<则491y x x=+-的最小值为（4）若+∈R x ，则x x 212+有最 值，且值为 （5）若13,3a a a >+-有最 值，是 ，此时a = （6）若1x <，则2231x x x -+-有最 大 值，值为答案：（1；（2）3+（3）25（4）小；1（5）小；5；4（6）大；-例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则的最大值是 （2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ）A 、a b +有最小值)12(2+B 、a b +有最大值2)12(+C 、ab 有最大值12+D 、ab 有最小值)12(2+答案：（1（2）A例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）答案：10小时三、 课堂练习1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y 的取值范围是 ． 答案：7,35⎛⎫ ⎪⎝⎭2、若()2f x ax c =-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 ．答案：[]1,20-3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是 ． 答案：144、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n +的最小值为 ． 答案：85、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦成立的x 的取值范围是 ．答案：()22,5⎤⎡-⎦⎣四、课后作业一、填空题1、已知,22ππαπβπ<<<<，则αβ-的取值范围是 ，2βα-的取值范围是 ．答案：3,,,0222πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成 个正确命题．答案：33、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．答案：lg 64、已知0a b >>，2c a b=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得 ．答案：l n m <<5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于 ．6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ． 答案：10a ≤二、选择题7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A 、2B 、4C 、6D 、8答案：B 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A 、[)9,+∞B 、[)6,+∞C 、(]0,9D 、()0,6 答案：B9、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A 、22a b <B 、22a b ab <C 、2211ab a b <D 、b a a b< 答案：C三、解答题 10、当1x >-时，求2311x x y x -+=+的最小值；答案：511、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()lg lg xy a ≤对一切满足1,1x y >>的实数恒成立．答案：（1）M N ⊆；（2）a ≥12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．答案：安排每批进货为120台电视机，则资金够用．。
高一秋-03-不等式的性质与基本不等式-教师版
知识点一、不等式的性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a . （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . （3）可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .（4）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . （5）加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .（7）乘方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （8）开方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （9）倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<；a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >.（10）重要不等式：若a >b >0，m >0，则b b ma a m+<+. 知识点二、比较大小的方法（1）作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b −后比较a b −与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．（2）作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．题型一：用不等式（组）表示不等关系【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ） A ．120km/h v ≤且10m d ≥B ．120km/h v ≤或10m d ≥第3讲 不等式的性质与基本不等式知识梳理例题分析模块一：不等式的性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C ．120km/h v ≤且10m d >D ．120km/h v <或10m d >【难度】★ 【答案】A【解析】由速度v 的最大值为120km/h ，故120km/h v ≤，由车间距d 不得小于10m ，故10m d ≥，即有120km/h v ≤且10m d ≥.【例2】某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【难度】★ 【答案】D题型二：利用不等式的性质判断命题真假【例1】已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc >B ．22a b >C ．2211ab a b >D ．22b a a b<【难度】★ 【答案】C【例2】下列说法正确的是（ ）. A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c> C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+ D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a−>− 【难度】★ 【答案】D【例3】若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则11b ba a+<+ C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >【难度】★ 【答案】D【解析】选项A ，若0,0a b <>，则结论错误，故选项A 错误； 选项B ，根据糖水不等式可知，10,1b ba b a a+>>>+，故选项B 错误； 选项C ，当0c =时，220ac bc ==，故选项C 错误；选项D ，22,ac bc >可知20c >，a b ∴>，故选项D 正确.【例4】 若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b<，④1>ab ，⑤11a b a>−，⑥a b >−中，正确结论的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①④⑥【解析】因为0a b <<，则0a b −>−>，所以()()22a b −>−，即22a b >，故①正确； 由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确； 由()()()11a a b ba b a a b a a b a −−−==−−−，因为0,0a b a −<<，所以()0a b a −>，又因为0b <，所以110a b a −<−，即11a b a<−，故⑤错误； 由0a b <<可得，a b b >=−，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.题型三：利用不等式的性质比较大小【例1】已知0a b >>−（填“＞”“＜”或“＝”） 【难度】★ 【答案】<【解析】()(22a b b −−=，因为0a b >>，所以20abb b >，所以()20a b −−<，()2a b <−，0>，0a b −【例2】在下列空格上填适当的不等号： （1）若x y ≠，则()x x y − ()y x y −； （2）若0a b <<，0c >，则a b 1；a c bc．【难度】★【答案】 > > <【解析】（1）由于x y ≠，故()()()20y x y x x x y y −−=−−>，即()()y x x x y y −>−，（2）由于0a b <<，则1>ab，又0c >，a b c c <，【例3】若0,0a b c d >><<，试比较()2ca c −和()2cb d −的大小.【难度】★★ 【答案】()()22cca cb d >−−【详解】0c d <<，0c d ∴−>−>，又0a b >>，∴0a c b d −>−>，∴()()22a cb d −>−，∴()()2211a cb d <−−，又∵0c <，∴()()22cca cb d >−−.题型四：作差（作商）法比较大小【例1】设x 是实数，比较()()211x x x +−+与()()211x x x −++的值的大小.【难度】★【解析】23(1)(1)1x x x x −++=−，23(1)(1)1x x x x +−+=+，因为()331120x x +−−=>，所以3311x x +>−，即22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−+>−++.【例2】已知1a ≥−，求证：321a a a +≥+. 【难度】★★【解析】()()()()()()()32221111121a a a a a a a a a a a +−+=+−+−+=+−+()()211a a =+−，因为1a ≥−，所以10a +≥，又()210a −≥，所以()()()()2321110a a a a a +−+=+−≥，所以321a a a +≥+.【例3】原有酒精溶液a （单位：g ），其中含有酒精b （单位：g ），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x （单位：g ），新溶液的浓度变为b xa x++.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若0a b >>，0x >，则1b b x a a x+<<+. 试加以证明. 【难度】★★【解析】因为0a b >>，0x >，所以0a x b x +>+>，所以1b xa x+<+； 又()()()()()ab bx ab ax x b a b b x a a x a a x a a x +−+−+−==+++， 因为0a b >>，0x >，所以()0x b a −<，()0a a x +>， 所以()()0x b a b b x a a x a a x −+−=<++，即b b xa a x +<+ 综上，1b b xa a x+<<+.【例4】设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【难度】★★【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【详解】依题意，,a b R +∈， 当a b =时，a b b a a b a b =；当ab 时，a ba b b a a b a a b b −⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >−>，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<−<，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.题型五：利用不等式的性质证明不等式【例1】已知a 、b 为任意给定的正数，求证：3322a b ab ba +≥+，并指出等号成立的条件． 【难度】★★【解析】由题意可知：()()()()23322a b ab ba a b a b +−+=+−，因为0,0a b >>，则0a b +>，且()20a b −≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以()()()()233220a b ab ba a b a b +−+=+−≥，即3322a b ab ba +≥+，等号成立的条件为a b =.【例2】证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>−−. 【难度】★★【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><， 则0a c b c −>−>，则()()0a c b c −−>，则10()()a cbc >−−，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅−>⋅−>−−−−，则110b c a c>>−−，又0c < 则c c a c b c>−−.命题得证.【例3】（1）已知0a b >>，0c d <<，求证：b aa cb d<−−； （2）已知0bc ad −≥，0bd >，求证：a b c db d++≤． 【难度】★★【解析】证明：（1）因为0c d <<，所以0c d −>−>． 又0a b >>．所以0a c b d −>−>，所以110a c b d<<−−． 又因为0b a <<，所以b a ac bd <−−． （2）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+， 即ad bc ≤，0bc ad −≥ 因为0bc ad −≥成立，所以a b c db d++≤成立．题型六：利用不等式的性质求取值范围【例1】若13a <<，24b −<<，则2a b −的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】()2,8−【详解】因为13a <<，24b −<<，所以226a <<，42b −<−<，故228a b −<−<.【例2】已知12,24a b a b ≤−≤≤+≤，则2a b −的取值可以为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【难度】★★ 【答案】ABC【解析】设()()()()2a b m a b n a b m n a n m b −=−++=++−，则21m n n m +=⎧⎨−=−⎩，解得31,22m n ==，()()31222a b a b a b ∴−=−++， ()()3313,12222a b a b ≤−≤≤+≤，()()5315222a b a b ∴≤−++≤，即52,52a b ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦， 【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<−<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y + ”“x y − ”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+−−，所以需分别求出51(),()22x y x y +−−的范围，两范围相加可得23x y +的范围．【例3】若变量x ，y 满足条件329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，则2z x y =+的最小值为（ ） A ．7− B ．6− C ．5− D ．4−【难度】★★ 【答案】B【解析】设()()22z x y m x y n x y =+=++−，故21m n +=且2m n −=， 所以,11m n ==−，故()()22z x y x y x y =+=+−−，由于329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，所以()()()39296x y x y +−≤+−−≤+−，623x y −≤+≤，故最小值为6−，此时4,5x y ==−，【例4】（多选题）已知13a −≤≤，12b ≤≤，则以下命题正确的是（ ） A ．16ab −≤≤ B ．05a b ≤+≤ C ．21a b −≤−≤ D ．()()114a b +−≤【难度】★★ 【答案】BD【解析】对于A ：[][][]1,3,1,22,6a b ab ∈−∈∴∈−,故A 错误.对于B ：[][][]1,3,1,20,5a b a b ∈−∈∴+∈,故B 正确. 对于C ：[][]1,23,2b a b ∈∴−∈−,故C 错误.对于D;[][]()()[]10,4,10,1,110,4a b a b +∈−∈∴+−∈,故D 正确.【例5】已知13a <<，24b <<，则ab的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】13,42⎛⎫⎪⎝⎭【详解】∵24b <<，∴11142b <<，又∵13a <<，∴1342a b <<，∴a b 的取值范围是13,42⎛⎫⎪⎝⎭.【例6】已知125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，则x 的取值范围是（ ） A ．22x −≤≤ B ．23x −≤≤C ．14x −≤≤D ．12x −≤≤【难度】★★ 【答案】C【详解】因为125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，所以1(1)2253x y x y −+−≤++−≤+，即228x −≤≤得14x −≤≤.知识点一、基本不等式 （1）算术平均数与几何平均数 对于正数a 、b ，我们把2a b+称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． （2）基本不等式如果a 、b 是正数，那么2a bab +≤ (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称为基本不等式． 知识点二、重要不等式 1. 两个重要的不等式知识梳理模块二：基本不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~若a ，b ∈R ，则（1）222ab ab +≥，即222a b ab +≤(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2. 常用结论 （1）2b aa b+≥（a 、b 同号）； （2）2b aa b +≤−（a 、b 异号）； （3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+.题型一、对基本不等式的理解【例1】不等式2244a a+≥中，等号成立的条件是（ ） A ．4a = B ．2a = C ．2a =− D ．2a =±【难度】★ 【答案】D【详解】由基本不等式可知22224424a a a a+≥⋅=，当且仅当224a a =， 即2a =±时等号成立，【例2】某市场上第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元所()a b ≠，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为12,m m ，则下列结论正确的是（ ） A ．12m m = B ．12m m >C ．21m m >D ．12,m m 的大小无法确定【难度】★ 【答案】C【详解】解：根据题意可得120202220202ab abm aba b ab a b+==≤=++．当且仅当=a b 等号成立； 例题分析266122a b a bm ++==≥，当且仅当=a b 等号成立，由题意可得a b ≠，所以12m m <>，则21m m >.【例3】（多选题）下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a ，b 为正实数，所以b a a b +2B ．因为x ∈R ，所以211x +>1C ．因为a ＜0，所以4a+a 4 D ．因为0x y R xy ∈<、，，所以2x yx y y y x y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A.因为a ，b 为正实数，所以0,0b a a b >>，所以b a a b + 2.故A 正确；对于B.当x =0，有211x +=1.故B 错误；对于C.当a =-1时，左边4a+a =-5，右边，所以4a +a 4不成立，故C 错误.对于D. 因为0x y R xy ∈<、，，0,0x yy x −>−>， 所以2x yx y y yx y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦.故D 正确.【例4】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（ ）．A ．)0,02a b a b +>> B ．)20,0aba b a b ≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【难度】★★ 【答案】C【详解】解：由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++−===−=−=，在Rt OCD △中，CD ==，所以OC OD ≤，即)0,02a b a b +>>，【例5】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)ab a b a b ≤>>+D ．0,0)2a b a b +>> 【难度】★★题型二、利用基本不等式比较大小【例1】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 ．【难度】★又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【例2】设a ，b 2a b +，2ab a b +的大小关系是 ．【难度】★22a b aba b+≥≥+ 【解析】∵222a b ab +≥，∴()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，即22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，2a b+≥当且仅当a b =时等号成立∵2ab a b =+a b =时等号成立，又2a b+≥a b =时等号成立，22a b ab a b +≥≥≥+，当且仅当a b =时等号成立【例3】（多选题）设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（ ）A ．4a b +≥B ．228a b +≤C ．111a b+≥D ≤【难度】★★ 【答案】AC【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =3=>D 选项错误.【例4】希罗平均数（Heronianmean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =.记2a b A +=，G ，则,,A G H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【难度】★★【例5】（多选题）若,R a b ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A ，,R a b ∀∈，不等式222a b ab +≥成立，A 正确；对于B ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，0a b ，而0>，不等式不成 对于C ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，11a b +<0>，不等式不成对于D ，由,R a b ∈，且0ab >，得0,0b a a b >>，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时【例6】下列不等式恒成立的是（ ）A ．a b +≥−B ．a b +≤C ．222a b ab +≤；D ．222a b ab +≥−．【难度】★★ 【答案】D【详解】对于A ：取2a =−，1b ，则3a b +=−，−=−a b +<−故A 错误；对于B ：取2a =，1b =，则3a b +=，=a b +> 故B 错误；对于C ：取2a =，1b =，则225a b +=，24ab =，此时222a b ab +>. 故C 错误；对于D ：因为()22220a b a ab b +=++≥，所以222a b ab +≥−.题型三、利用基本不等式证明不等式【例1】已知实数,,a b c 均大于0，证明：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥.【难度】★★【详解】()()()222222a b c b c a c a b +++++2226a bc b ac c ab abc ≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当a b c ==时取等号，证毕.【例2】已知0m >，0n >，且1m n +=，求证：3311()1m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥．【难度】★★【难度】★★22x y时等号成立．【例4】（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++> 【难度】★★【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，所以222a b c a b c b c a++≥++.（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当a b c ==时等号成立，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>【例5】已知a 、b 、c 、d R ∈，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：（1）()()()22222a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++． 【难度】★★【例6】（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）已知,a b R ∈，求证：216536163aa b b +≤−++． 【难度】★★★【解析】（1）因为22222()2()a b c d ab bc cd ad +++−+++ 2222()()()()0a b b c c d a d =−+−+−+−≥，当且仅当a b c d ===时，等号成立， 所以22222()2()a b c d ab bc cd ad +++≥+++， 所以2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）因为22116261266a a a a+++≥⋅=，当且仅当2166a a +=，即1a =−时取等号， 所以1261113611266aa a a++=≤++，当且仅当2166a a+=，即1a =−时取等号， 因为2251311()63321212b b b −+=−+≥，综上216536163a ab b +≤−++．【巩固1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ） A ．54100x y +< B ．54100x y +≥ C ．54100x y +> D ．54100x y +≤【难度】★ 【答案】B【巩固2】若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【难度】★ 【答案】C师生总结巩固练习【巩固3】已知14x y −<−<，23x y <+<则3x y +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()3,10【巩固4】（多选题）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y −<−<C ．218xy <<D ．1621xy <<− 【难度】★★ 【答案】ACD【巩固5】（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为3a >，所以44a a +≥=C ．因为<0a ，所以44a a +≥D ．因为,R,0x y xy ∈<，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当0x y =−≠时，等号成立 【难度】★★ 【答案】ABD【详解】对于A ，,a b 为正实数，有0,0b a a b>>，且1b a a b ⋅=，又当且仅当a b =时，b aa b =成立，满足均值不等式的条件，A 正确；对于B ，44a a +≥=，当3a >时，40a >，且44a a ⋅=，显然不存在大于3的正数a使4a a =成立，所以44a a+>，B 正确； 对于C ，因为0a <，则40a<，不符合均值不等式成立的条件，C 错误；对于D ，,R,0x y xy ∈<，则0,0x y y x −>−>，且()()1x yy x−⋅−=，又当且仅当0y x =−≠时，x yy x−=−成立，满足均值不等式的条件，D 正确.【巩固6】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy、中最大的一个是 ． 【难度】★★ 【答案】x y +【解析】01x <<，01y <<，由基本不等式得222x y xy +≥；x y +≥又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【巩固7】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）． A．)0,02a ba b +≥>> B ．()22200a b ab a b +≥>>，C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +>>，【难度】★★ 【答案】B【解析】因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）【巩固8】若0,0a b >>，且a b ≠，则（ ）A ．2a b +>B ．2a b +<C 2a b+≤D 2a b+<【难度】★★ 【答案】BD【详解】0,0a b >>，且ab ，所以2222()()0244a b a b a b ++−−=>，即2a b +<A 错误，B 正确；所以a b +>2a b+<，故C 错误，D 正确.【巩固9】设0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A 2a ba b +<<< B ．2a ba b +<<<C 2a ba b +<< D ．2a ba b +<<< 【难度】★★ 【答案】D【详解】因为0a b <<2a b+<； 因为0,02222a b b a a b a ba b +−+−−=>−=<， 所以,22a b a b a b ++><，即2a b a b +<<，因为0a b <<，0a =>a >，因此2a ba b +<，【巩固10】比较大小： （1）22a b +和2(1)a b −−；（2）22b a a b+和a b +，其中0,0a b <<．【难度】★★【答案】(1)()2221a b a b +−−≥(2)22b aa b a b+≤+【详解】（1）因为()()()222221110a b a b a b +−−−=−++≥，所以()2221a b a b +−−≥；（2）因为0,0a b <<，所以()()()223333+−+=+++−+=−ab a b b a ab a b b a b a a b a b ab ab ab()()()()2220b b a a a b b a b a abab−+−−+==≤，所以22b a a b a b+≤+.【巩固11】（1）已知,,0a b e f c >>>，求证：f ac e bc −<−；（2）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d <−−； （3）已知0,0bc ad bd −≥≥，求证：a b c db d++≤. 【难度】★★【解析】（1）因为,0a b c >>，可得ac bc >，所以ac bc −<−， 又因为f e <，可得f ac e bc −<−. （2）因为0c d <<，所以0c d −>−>， 又因为0a b >>，所以0a c b d −>−>，可得110b d a c>>−−， 因为0a b >>，根据不等式的性质，可得a bb d ac >−−，即以b a ac b d<−−. （3）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+，即ad bc ≤，即0bc ad −≥， 又因为0bc ad −≥，所以a b c db d++≤.【巩固12】已知a 、b 1【难度】★★【解析】因为a 、b 是正数，1=≥=当且仅当a b =时，等号成立，1≥+【巩固13】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为2m a ，2m b ．（1）若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m ，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；（2）若同时增加窗户面积和地板面积各2m n ，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【难度】★★【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为22m ,m a b ，则10%220ab a b ⎧≥⎪⎨⎪+=⎩，所以1010%ab a ≤=，所以22010a b a a +=≤+，所以20a ≥. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a 和b 分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b n <<>， 则()()()n b a a n a ab bn ab an b n b b b n b b n −++−−−==+++. 因为0,0b n >>，所以()0b b n +>. 又因为a b <，所以()0n b a −>. 因此0a n a b n b +−>+，即a n ab n b+>+. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【巩固14】（1）已知x 、y 都是正数，求证：()()()2233338x y x y x y x y +++≥；（2）已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ac aba b c a b c++≥++． 【难度】★★当且仅当x y =时，等号成立． （2）∵0a >，0b >，0c >，∴2bc acc a b+≥，2bc ab b a c +≥，2ac ab a b c +≥， ∴()22bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，故bc ac aba b c a b c ++≥++，当且仅当bc ac ab a b c==，即a b c ==时等号成立．【巩固15】已知a ，b 都是正数.（1）若1a b +=，证明：4+≥b a a b ab ； （2）当a b ≠时，证明：+>+a a b b b a a b . 【难度】★★【详解】（1）证明：由于a ，b 都是正数，()11ab b a b a a b ab ab a b++==+()112224b ab aa b ab a b a b⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当14a b ==时等号成立.所以4+≥b a a b ab . （2）证明：()()()a a b b b a a b a a b b a b +−+=−−− ()()()()2a b a b a ba b =−−=−+.因为a b ，0,0a b >>，所以()20a b−>，0a b +>，所以+>+a a b b b a a b成立.【提升1】已知0a >，0b >，且2a b +=，证明： （1）222a b ab +≤；（2）33211a b b aa b +++≥++． 【难度】★★★能力提升【解析】（1）()222a b ab ab a b ab +=+=，因为0a >，0b >，2a b =+≥01ab <≤，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以222a b ab +≤；（2）()()()()3333332222111111a ab b a a b b a b b a a b a b a b −+−++−+−+++=+=+++++++ ()()()()22112112221111a a ab b b a b a b a b a b +−++−+=+=+−−++++++ ()()()()222221122221111a b a b a b ab a b a b ++⎛⎫=+++−=+−+− ⎪++++⎝⎭ 88222213ab ab ab a b ab =−+=−+++++，由（1）有01ab <≤，有34ab +≤，1ab −≥−，有1134ab ≥+，22ab −≥−， 有8122822234ab ab −+≥⨯−+=+，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以33211a b b aa b +++≥++．。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质解有关不等式。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现不等式的基本性质。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的性质。
2. 教学难点：不等式性质的应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、PPT、黑板、粉笔。
2. 学生准备：课本、练习本、文具。
四、教学过程1. 导入新课1.1 复习相关知识：回顾一元一次不等式的解法。
1.2 提问：同学们，你们知道不等式有什么性质吗？今天我们就来学习不等式的基本性质。
2. 探究不等式的性质2.1 展示不等式实例，引导学生观察、分析。
2.2 引导学生发现不等式的性质，并总结出不等式的基本性质。
3. 例题讲解3.1 出示例题，讲解例题的解法，引导学生运用不等式的性质解决问题。
3.2 学生自主练习，教师巡回指导。
4. 课堂练习4.1 出示练习题，学生独立完成，教师批改并讲解。
4.2 学生总结练习中的经验教训。
五、课后作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
六、教学拓展1. 引导学生思考：不等式的性质在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明不等式性质在生活中的应用，如购物、分配等。
3. 引导学生进行不等式性质的综合应用，提高解决问题的能力。
七、巩固练习1. 出示巩固练习题，学生独立完成。
2. 教师批改并讲解，学生总结解题思路和方法。
八、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结不等式的基本性质。
2. 学生分享学习收获和感受。
九、课后反思1. 教师反思本节课的教学效果，找出不足之处，为下一节课做好准备。
2. 学生反思自己的学习过程，找出优点和不足，制定改进措施。
十、布置作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
六不等式基础教师版
六、不等式一、不等式的解法：（1）一元一次不等式：Ⅰ、)0(≠>a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；Ⅱ、)0(≠<a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对∆进行讨论：（5）绝对值不等式：若0>a ，则⇔<a x || ；⇔>a x || ；注意：(1).几何意义：||x ： ；||m x -： ； (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若0>a则=||a ；②若0=a 则=||a ；③若0<a 则=||a ；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴⇔>0)()(x g x f ；⑵⇔<0)()(x g x f ； ⑶⇔≥0)()(x g x f ；⑷⇔≤0)()(x g x f ； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ；②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当p ab =（常数），当且仅当 时， ；当S b a =+（常数），当且仅当 时， ；常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--=x x x y 的最小值 。
高一数学05—不等式基本性质—教师版
不等式基本性质知识梳理一、不等式的性质： （1）;a b b a <⇔> （2） （3）;c b c a b a +>+⇒> （4）;,d b c a d c b a +>+⇒>>（5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （6）;0,0bd ac d c b a >⇒>>>> （7）;0nn b a b a >⇒>>、 （8）;0n nb a b a >⇒>>（9）;11,0,ba b a ab b a <⇒>≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤-注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。
其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.;,c a c b b a >⇒>>例题解析一、不等式基本性质【例1】设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______ 【难度】★【答案】0,0a b >< 【解析】110b a a b ab->⇒>，根据，可知要使两者同时成立，则0,0a b ><．【例2】下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 【难度】★★【答案】C【解析】此题是2016年模考题，较主流的一种出法，利用不等式基本性质即得，较常规【例3】设0ab >，下面四个不等式中，正确的是________ ①||||a b a +>②||||a b b +<③||||a b a b +<-④||||||a b a b +>-A 、①和②B 、①和③C 、①和④D 、②和④【难度】★★【答案】C 【解析】0ab >，所以,a b 同号，再根据不等式性质即可求得【例4】已知101a b c <-<<<<，则下列不等式成立的是_________A 、22b c a <<B 、1ab c ab +<C 、111b a c<< D 、2b ab bc ac >-+ 【难度】★★【答案】C【解析】本题,,a b c 的范围均限制的非常具有区分度，此类问题可以采用赋值法的方式进行排除判断，本题是此类方法较为典型的例题，赋值法也是考试中较为快捷的排除手段，准确率高 【例5】已知三个不等式： （1）;0>ab (2);bda c > (3).ad bc > 以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题. 【难度】★★a b b a >ba 11>b a >【答案】3【解析】解法一：显然0()(),011ab c d ab ab bc ad c da b a bab c dbc ad bc ad ab ab a b >⎧⎪⇒⋅>⋅⇒>⎨>⎪⎩>⎧⇒⋅>⋅⇒>⎨>⎩ 第三个命题是".0,,">>>ab ad bc bda c 则且若下面证明这个命题也正确.首先,由b d a c >知,0,.0<≠ab ab 若则由b d a c >可得，即ad bc ab bdab a c <⋅<⋅),()(这与bc>ad 矛盾.因此只能ab>0.综上所述,可以组成3个正确命题.解法二：由式（2）00,c d c d bc ada b a b ab->⇔->⇔>式（1）就是分母大于0，式（3）等价于分子大于0。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习2.1 等式性质与不等式性质(教师版)
第二章《一元二次函数、方程和不等式》2.1等式性质与不等式性质【知识梳理】知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点三等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .知识点四不等式的性质【基础自测】1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是() A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关2．若1a <1b<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是()A．0B．1C．2D．33．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A．1a <1bB．a2>b2C．ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|4．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)【答案】5x －2(19－x )≥80，x ∈N*【详解】这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.5．若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围是________．【例题详解】一、用不等式(组)表示不等关系例1(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（）A ．8020300n +≥B ．8020300n +≤C ．()80201300n +-≥D ．()80201300n +-≤【答案】D【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过n 年之后，方案B 的投入为()80201n +-，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即()80201300n +-≤故选：D(2)用不等式表示图中两个函数之间的关系为______．跟踪训练1(1)下列说法正确的是（）A ．某人月收入x 不高于2000元可表示为“x ＜2000”B ．若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x ＞y”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x≥a”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y≥a”【答案】C【分析】对于,A 应满足2000x ≤；对于,B 应满足x y <；对于,D 应表示为y a ≤，从而可得结果.【详解】对于,A x 应满足2000x ≤，故A 中说法错误；对于,,B x y 应满足x y <，故B 中说法错误；x 至少是a 可表示为“x a ≥”，C 中说法正确；对于,D y 与a 得关系可表示为y a ≤，故D 中说法错误，故选C.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对不等关系的理解与应用，属于基础题.(2)一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．二、作差法比较大小例2(1)已知21P x =-，22Q x x =-，则P _______Q ．（填“>”或“<”）（2）已知0a b ≥>，求证：33223232a b a b ab ++≥；（3）已知a ∈R ，且1a ≠，比较2a +与31a-的大小．跟踪训练2已知0a >，试比较2211a a +与1a +-的值的大小．三、作商法比较大小例3(1)设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（）．A ．p q >B ．p q<C ．p q≥D ．p q≤(2)若0a b >>，求证：2()a b a b a b ab +>．跟踪训练3如果0x <，01y <<，那么x，x ，1x 从小到大的顺序是___________四、利用不等式的性质判断或证明例4(1)若,,R a b c ∈，则下列命题为假命题的是（）A ．若a b >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b>D ．若22ac bc <，则a b<【答案】B(2)利用不等式的性质证明下列不等式：(i )若a b <，0c <，则()0a b c ->；(ii)若a<0，10b -<<，则2a ab ab <<．【分析】(i )可知0a b ->，而0c <，即可得证；(ii)可知2101b b >>>>-，而a<0，即可得证；【详解】(i )证明：a b > ，0a b ∴->，又0c <，()0a b c ∴-<；(ii)证明：10b -<< ，201b ∴<<2101b b ∴>>>>-，又a<0，2a ab ab ∴<<．跟踪训练4已知,,a b c 为三角形的三边长，求证：(1)222a b c ab bc ca ++≥++；(2)()2444a b c ab bc ca ++<++.【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.（2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答.【详解】（1）,,a b c 为三角形的三边长，而()()22222222222222a b c ab bc ca a b ab b c bc a c ac ++-++=+-++-++-222()()()a b b c a c =-+-+-，显然222()0,()0,()0a b b c a c -≥-≥-≥，即222()()()0a b b c a c -+-+-≥，当且仅当==a b c 时取等号，因此()()22222a b c ab bc ca ++≥++，所以222a b c ab bc ca ++≥++.（2）,,a b c 为三角形的三边长，则0,0,0a b c b c a c a b <<+<<+<<+，于是得：()()()()2222a b c a b c b c a c a b ab bc ca ++<+++++=++，所以()()()22222444a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++<++.五、利用性质比较大小例5(1)（多选）实数a ，b ，c ，d 满足：0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（）A ．2c cd <B ．a c b d-<-C ．ad bc<D ．c da b>(2)（多选）若0a b＜＜，则（）A ．＜a bB ．ac bc＜C ．0a bc->D ．01ab＜跟踪训练5（多选）下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b <B ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >六、利用不等式的性质求范围例6(1)已知23,21<<-<<-a b ，则2a b -的取值范围为（）A ．(0,2)B ．(2,5)C ．(5,8)D ．(6,7)【答案】C【分析】由不等式的性质求解【详解】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b(2)已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]【答案】C【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果.【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤.故选：C.跟踪训练6已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．【答案】[7,2]-【分析】设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，利用待定系数法求出,m n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.【详解】解：设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以34(2)x y x y -=-++2(2)x y -，因为223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，所以3(2)2x y -≤-+≤，42(2)0x y -≤-≤，所以7342x y -≤-≤，故答案为：[7,2]-.【课堂巩固】1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41000.5x⨯<B ．41000.5x⨯≥C ．41000.5x⨯≤D ．41000.5x⨯>2．设,22a b c ===，则,,a b c 的大小顺序是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a>>3．下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则11a b>C ．若0a b <<，则2ab b >D ．若0a b <<，则2ab a >4．若13x ≤≤，21y -≤≤，则x y -的取值范围为______.【答案】[0,5]【分析】运用不等式的性质进行求解即可.【详解】由2112y y -≤≤⇒-≤-≤，而13x ≤≤，所以有05x y ≤-≤，因此x y -的取值范围为[0,5]，故答案为：[0,5]5．已知实数x ，y ，满足14,x y -≤+≤⎧⎨≤-≤则23z x y =-的取值范围是________．（用区间表示）6．已知等式22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+恒成立，其中,,a b c 为实数，则a b c -+=_____．【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令0x =可得答案.【详解】法一：222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+，所以1a b c -+=-；法二：在22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+中，令0x =得1a b c -+=-.故答案为：1-7．已知,a b 为实数，则221214a b ++__________2ab a +(填“>”、“<”、“≥”或“≤”).8．已知0a b >>，0c d <<，求证：d ca cb d>--.9．设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，<0abc ，证明：0a b c++>．10．（1）比较231x x -+与221x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--．【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）证明见解析.【分析】（1）求差法进行大小比较即可；【课时作业】1．已知c ＞1，且x y ，则x ，y 之间的大小关系是（）A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ，y 的关系随c 而定2．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（）A ．21ab a b <<B ．21ab a b <<C ．21ab a b <<D ．21a b ab <<【答案】C【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】a 为正数，b 为负数，所以0ab <，20,10a b a <->，()2210,ab a b ab a ab a b -=-<<，所以21ab a b <<.故选：C3．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9z x y =-的取值范围是（）A ．{}726z z -≤≤B ．{}120z z -≤≤C ．{}415z z ≤≤D ．{}115z z ≤≤4．设4t a b =-，24s a b =++，则t 与s 的大小关系是（）A ．s t ≥B ．s t >C ．s t≤D ．s t<【答案】A【分析】利用作差法求解即可.【详解】因为()()222444420s t a b a b b b b -=++--=++=+≥，所以s t ≥.故选：A.5．已知a ，R b ∈，下列表达式中为a b >的充要条件的是（）A ．11a b <B ．a b>C ．22a b >D．33a b >6．已知()()23M a a =++，254N a a =++则（）A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．无法确定【答案】A【分析】作差即可比较大小.【详解】()()()2235420M N a a a a -=++-++=>,故M N >.故选:A.7．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够：每艘船载4人，则有多余的船．甲型号的船有（）A ．9艘B ．10艘C ．11艘D ．12艘【答案】B【分析】设甲船有x 艘，则乙船有()5+x 艘，根据题意列出不等式组，解之即可得解.【详解】设甲船有x 艘，则乙船有()5+x 艘，由题意可得()()44853548451x x x x <<⎧⎨+<≤+-⎩，解得9.611x <<，又因为x 为正整数，所以10x =，即甲型号的船有10艘.故选：B.8．若,,R a b c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b <B ．2c b a<-C ．ac bc >D ．2()0a b c -≥【答案】D9．（多选）下列四个命题中，正确的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若a >b ，且11a b>，则ab <0C ．若a >b >0，c >0，则b c ba c a+>+D ．若0c a b >>>，则a bc a c b>10．（多选）若a ，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（）．A ．222a b ab+≥B ．()22242a b a b ++≤C ．2a b aba b+≥+D ．2b a a b+≥【答案】AB【分析】利用求差法证明选项AB 正确；举反例否定选项CD.11．（多选）已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（）A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+12．（多选）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，c d >，则a c b d +>+B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若110a b<<，则2ab b <D ．若0a b <<，0c <，则c c a b<故选：ACD13．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）【答案】*()521980x x x N --≥∈，【分析】设这个学生答对了x 道题，则答错（20-1-x ）道题，根据得分=5×答对题目数-1×答错题目数结合得分在80以上，即可得出关于x 的一元一次不等式．【详解】这个学生至少答对x 题，则答错（20-1-x ）道题，由得分规则成绩不低于80分，即*()521980x x x N --≥∈，．故答案为：*()521980x x x N --≥∈，14．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a 克，含糖为b 克，加入的糖为m 克）．15．若28,46x y <<<<，则x y-的取值范围是______．16．已知,,R a b c ∈，有四个推理：①22>⇒>a b am bm ；②a b a b c c >⇒>；③,0a b ab a b >>⇒<；④2211,0a b aba b >>⇒<，其中正确的序号是_____．17．（1）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小；（2）已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e ea cb d>--．18．试比较下列组式子的大小：，其中1x >；(2)11a b M a b =+++与11b a N a b=+++，其中0a >，0b >；(3)2222a b a b -与a b a b -，0a b >>．。
4.不等式性质及解不等式(教师版) WPS文字 文档
不等关系性质及解不等式学习目标：① 不等式的性质② 解一元二次不等式、分式不等式绝对值不等式一、基础知识1.实数大小比较的基本事实：(1) a>b ⇔_______; (2) a=b ⇔_______ ; (3) a<b ⇔_______. 要确定任意两个实数a,b 的大小关系，只需确定它们的________与_____的大小关系即可。
2.不等式的基本性质：(1）对称性a>b ⇔b___a; （2）传递性：a>b,b>c ⇒a____c;（3）a>b, ⇒a+c____b+c; （4）a>b,c>0⇒ac___bc;（5）a>b,c<0⇒ac___bc; （6）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈);（7）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈)（8）a>b,c>d ⇒a+c____b+d;(9) a>b>0,c>d>0⇒ac____bd;(10)a>b,ab>0⇒a 1___b1.3.一元二次不等式的解法：（a>o 且0>∆时，简记为：小在中间，大在两边）设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=∆，则△>0△=0△<0f(x)>0f(x)<0判别式函数y=f(x)的简图不等式的解集方程f(x)=0的解4．高次不等式和分式不等式的解法----穿根法穿根法的要领是：从右往左，从上到下，奇次根穿而过，偶次根穿而不过。
5.含有绝对值的不等式的解法：a x a )0a (a x <<-⇔><， 图示：___________ax a x )0a (a x >-<⇔>>或. 图示：___________ 6.几种常见类型的不等式的解法---图解法：（1）|ax+b|≤c ;（2）|ax+b|≥c;注意：（1）x 系数必须化为1；（2）差的绝对值才可以看作是两点的距离简记为：小在中间，大在两边二、题型归类（一）不等式的基本性质a 、比较大小（作差、作商比较法）1、 已知x y R ∈，，且x y >，比较33x y -与22xy x y -的大小。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案一、教学目标：（1）知识与技能：学生能够理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质，能够运用不等式解决实际问题。
（2）过程与方法：通过观察、分析、归纳不等式的基本性质，培养学生逻辑思维能力和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性。
二、教学重点与难点：重点：不等式的概念，不等式的基本性质。
难点：不等式性质的证明和运用。
三、教学方法与手段：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，结合多媒体课件、板书等教学手段，引导学生主动探究、积极参与。
四、教学过程：（1）导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）新课讲解：讲解不等式的概念，引导学生理解不等式的含义。
举例说明不等式的基本性质，引导学生通过观察、分析、归纳不等式的性质。
（3）案例分析：分析实际问题，运用不等式解决问题，巩固所学知识。
（4）小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享不等式应用实例，互相学习、交流。
（5）课堂小结：总结不等式的概念和基本性质，强调重点知识。
五、课后作业：布置适量课后作业，巩固所学知识，提高学生运用不等式解决实际问题的能力。
教案设计参考结束，可根据实际教学情况进行调整和优化。
六、教学评估：通过课堂提问、作业批改、小组讨论等方式，了解学生对不等式及其基本性质的理解程度，针对学生的掌握情况，及时调整教学方法和策略。
七、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，思考如何更好地引导学生理解不等式的概念和基本性质，以及如何在教学中激发学生的学习兴趣和主动性。
八、拓展与延伸：介绍不等式在实际生活中的应用，如优化问题、经济领域等，激发学生学习不等式的兴趣，培养学生的应用意识。
九、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示不等式的概念、性质及应用实例。
2. 板书：用于黑板上展示关键知识点和推导过程。
3. 教学案例：用于分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题。
不等式的性质(教案) 教学设计
不等式的性质（教案）教学设计一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 引导学生运用不等式的性质进行证明和解决问题，培养学生的抽象思维能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质3. 不等式的运算规则4. 不等式的大小比较5. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，不等式的运算规则。
2. 教学难点：不等式的大小比较，不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质。
2. 运用多媒体课件，展示不等式的图形和实例，提高学生的直观理解能力。
3. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4. 进行适量练习，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入不等式的概念，引导学生理解不等式的表示方法。
2. 新课导入：介绍不等式的基本性质，引导学生探究并证明。
3. 案例分析：分析实际问题，运用不等式的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结不等式的性质，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对不等式性质的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习答案，评估掌握不等式运算规则的情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组合作学习中的参与度和理解程度。
七、教学反思1. 教师课后总结教学效果，反思教学方法是否恰当。
2. 分析学生的练习情况，找出教学中需要改进的地方。
3. 根据学生的反馈调整教学计划，优化教学内容。
八、课后作业1. 巩固不等式的基本性质，完成相关练习题。
2. 运用不等式解决实际问题，提高应用能力。
3. 预习下一节课内容，为深入学习作准备。
九、课堂纪律与管理1. 建立课堂规则，维护课堂秩序。
3. 对违反纪律的学生进行适当批评和指导，帮助他们改正错误。
不等式(组)的概念、性质及解法-教师版
同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。
【例1】 用不等式表示数量的不等关系．（1）a 是正数 （2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4）x 与y 的差是负数 （5）m 的4倍不小于8（6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数 （7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【答案】⑴0a >；⑵0a ≥；⑶1a -≤；⑷0x y -<；⑸48m ≥；⑹102q q --≤；⑺133x x ≤；⑻0a ≤．【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-． 【答案】⑴ 1625x ->；⑵ 243y x +<；⑶ 1302a b -≥；⑷ 30%(5)2x +≤-．【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【解析】注意表示不等关系的关键词语，如“非负数”、“不大于”、“不小于”、“大于或等于”、“小于或等于”【答案】⑴0a ≥；⑵32y <；⑶10x +≤；⑷41x +>不等式基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】 ⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据 ；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据 ；⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据 ； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据 ； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据 ．【答案】⑴ 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；⑵ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法⑸ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -； ⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【答案】⑴ ＜；⑵ ＜；⑶ ＜；⑷ ＞；⑸ ＞．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b -- ⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【答案】⑴“<”、⑵“<”、⑶“<”、⑷“>”【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（ ）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【答案】C【例3】 已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【解析】0m -<，0m >．选择A ． 【答案】A【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【答案】D【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ．11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ． ||||a b < 【答案】C【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ．11a b< C ． 2a b b +> D ． 2a ab > 【答案】C【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】①、③、④正确，所以选择B 【答案】B【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ． 22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 【解析】选择C ，正确应为22ac bc ≥． 【答案】C不等式的解集1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：不等式的解集在数轴上表示的示意图 不等式的解集在数轴上表示的示意图【例4】 下列说法中错误的是（ ）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【答案】C【例5】 在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【答案】如图【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】③、⑤ 【答案】B一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．④③②①0123123012312301231233213210x a >x a ≥x a <x a ≤xa xa xa a x同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法ax b <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成b x a >或bx a<的形式)【例6】 求不等式3(1)5182x x x +-+>-的解集． 【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．去分母，得()()831845x x x ++>-- 去括号，得8338420x x x ++>-+ 移项， 得8348203x x x ++>+-合并同类项，得1525x > 系数化为1，得53x >【答案】53x >【巩固】解不等式：5192311236x x x +--+≤【答案】9837x ≥【巩固】解不等式2110155364x x x ++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】2x ≤．在数轴上表示解集如图所示．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x +->++【解析】采用整体思想，2(1)3(1)24(1)x x x +-+->+，易得75x <-．【答案】75x <-2o同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【巩固】当x 为何值时，代数式2113x +-的值不小于354x+的值？ 【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．依题意，得2135134x x++-≥∴()()42112335x x +-+≥ 8159124x x -+-≥ 717x -≥∴177x -≤ 所以，当177x -≤时，代数式2113x +-的值不小于354x+的值． 【答案】177x -≤【例7】 求不等式4512x -＜1的正整数解． 【解析】对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研究限制条件，便可达到目的． 去分母， 得4512x -< 移项，合并，得417x < 系数化为1， 得174x <∵求原不等式正整数解．∴1234x =，，，为原不等式正整解．【答案】1234x =，，，【巩固】不等式132x x +>的负整数解是_______． 【答案】5-，4-，3-，2-，1-【巩固】不等式111326y y y +---≥的正整数解为__________． 【解析】解得3y ≤，故正整数解为1，2，3． 【答案】1，2，3．同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【巩固】求不等式12123x x +-≥的非负整数解． 【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解．12123x x +-≥，()()31221x x +-≥，33x x +≥4-2，5x --≥，5x ≤． 所以满足这个不等式的非负整数解为x =0，1，2，3，4，5．【答案】x =0，1，2，3，4，5．一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集 2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组（a b <）图示 解集 口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩x b ≥ 同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x a ≤同小取小x ab b ≥⎧⎨≤⎩a xb ≤≤ 大小，小大中间找x ax b ≤⎧⎨≥⎩空集 小小，大大找不到ba a ba ba b同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【例8】 解不等式组31422x x x ->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【解析】31422x x x ->-⎧⎨<+⎩12x x >-⎧⇒⎨<⎩12x ⇒-<<.∴原不等式组的解集是12x -<<. 在数轴上表示为：【答案】12x -<<【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜ ①②的整数解．【解析】由①得 12x ≥-； 由②得 2x <．∴ 此不等式组的解集为122x -≤<．∴ 此不等式组的整数解为0，1．【答案】0，1【例9】 解不等式：32122x--<≤； 【答案】解，由题意得，32123222x x -⎧-<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得5212x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，∴1522x -≤<【巩固】解不等式：2312142x x -≤≤+ 【解析】原不等式相当于：23241212x x -⎧≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得1122x ≤≤．【答案】1122x ≤≤【例10】 解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；0123123同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【解析】原方程组的解为5108x x x >=⎧/⎨>⎩且，综合得8x >且10x =/；【答案】8x >且10x =/【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【答案】0x ≥【例11】 解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【答案】2x ≤【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【答案】无解.【例12】 解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。
高中数学不等式知识点总结教师版
/ 12 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）abba（对称性） （2）cacbba,（传递性） （3）cbcaba（加法单调性） （4）dbcadcba,（同向不等式相加） （5）dbcadcba,（异向不等式相减） （6）bcaccba0,. （7）bcaccba0,（乘法单调性） （8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘） (9)0,0ababcdcd（异向不等式相除） 11(10),0ababab（倒数关系） （11）)1,(0nZnbabann且（平方法则） （12）)1,(0nZnbabann且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2aaRa则若 （2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 .2abab（当仅当a=b时取等号） 极值定理：若,,,,xyRxySxyP则： ○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
第01讲 等式性质与不等式性质(教师版)
第1讲 等式性质与不等式性质知识点01 等式的性质等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形（化简）、解方程与方程组等.【即学即练1】方程2312360x x --+= 的解为 . 【答案】-6，2【解析】利用等式的性质将方程2312360x x --+=两边同时除以-3得24120x x +-=，将方程左边因式分解可得()()620x x +-=，所以有6,2x x =-=，所以方程的解为-6，2.知识点02 不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110ab≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________ 【答案】++a a mb b m<【分析】运用不等式的性质可得答案. 【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好了，用不等式表示为：++a a m b b m<， 因为()()()()()+++0+++a b m a m b a b m a a m b b m b b m b b m ---==<，所以++a a mb b m<成立.故答案为：++a a mb b m<. 【即学即练3】为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法. 【答案】答案见解析【分析】计算两种不同的购票方式所花的费用比较大小即可. 【详解】如果买27张票要花27×5=135(元)， 如果买30张票要花30×(5-1)=120(元)， 通过比较，135>120，所以27人买30张票不是浪费，反而还节省15元呢.知识点03 不等式的相关性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0<b ⇒1a <1b . ③a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d .④0<a<x<b 或a<x<b<0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m>0)．3.不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性0a b c >⎫⎬>⎭⇒ac >bc 注意c 的符号0a b c >⎫⎬<⎭⇒ac <bc 同向可加性a b c d >⎫⎬>⎭⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性 00a b c d >>⎫⎬>>⎭⇒ac >bd⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【即学即练4】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是 A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B. a ＞b ＞0，则 C. a ＜b ＜0，则 D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【答案】D 【解析】【详解】试题分析：选项A ，取c 等于0，由不等式可知若a ＞b ，则22ac bc =，故命题A 为假命题；选项B ，若b 0a ＞＞，则11a b <，故命题B 为假命题； 命题C ，由0a b <<，则b aa b <，故命题C 为假命题；命题D ，由得，110a b ->即0b aab->，而由a b >得0b a -<，故0ab <，即,a b 异号；又a b >，故a ＞0，b ＜0，命题D 为真命题． 故选D ．考点：不等式的性质及命题的真假判断与应用.【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a <8，-4<b <2，所以-2<a -b <6.乙：因为2<b <3，所以13<1b <12， 又因为-6<a <8，所以-2<ab<4.丙：因为2<a -b <4，所以-4<b -a <-2. 又因为-2<a +b <2，所以0<a <3，-3<b <0， 所以-3<a +b <3.【答案】甲乙丙做的都不对，理由见解析. 【分析】根据不等式的性质逐一分析即可. 【详解】甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a 值的正负.故不能将13<1b <12与-6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2<a -b <4与-2<a +b <2两边相加得0<a <3，又将-4<b -a <-2与-2<a +b <2两边相加得出-3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出-3<a +b <3，多次使用了这种转化，导致了a +b 范围的扩大.考法01不等关系的表示：【典例1】a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ． 【答案】(0)x b ba b a x a+>>>+ 【分析】利用糖水的浓度可得(0)x b ba b a x a+>>>+即可．【解答】解：由a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>可得糖水的浓度为100%ba⨯；在糖水中加入x 克糖，可得糖水的浓度为100%x ba x+⨯+． 糖水变甜了，于是可得100%100%x b ba x a+⨯>⨯+； 化为(0)x b ba b a x a+>>>+． 故答案为(0)x b ba b a x a+>>>+． 【点评】本题考查了溶液的浓度，及不等关系的表示．【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】①130 ；②15.【解析】（1）10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.考法02比较大小：两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b>0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a < b(a ，b ∈R )；一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．。
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不等式及其性质(教师版)work Information Technology Company.2020YEAR一、不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．例2.（1）4＜5；例3.（2）x2+1＞0；例4.（3）x＜2x-5；例5.（4）x=2x+3；例6.（5）3a2+a；例7. （6）a 2+2a≥4a -2．变式练习：1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ）A ．18＜t ＜27B ．18≤t ＜27C ．18＜t≤27D ．18≤t≤272.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子：•3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）A ．两种客车总的载客量不少于500人B ．两种客车总的载客量不超过500人C ．两种客车总的载客量不足500人D ．两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m•n 0；（6）m+1 0．例2．用不等式表示：(1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6;(3)m 除以4的商加上3至多为5．举一反三：【变式】a a 的值一定是（ ）．A. 大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ）A.xx 5>B ．2x ＞1-x 2C ．x+2y ＜1D ．2x+1≤3x 变式练习 2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）11..>+x x A B ．x 2-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-2 3．（2016春•永丰县期中）若不等式2x a ＜1是关于x 的一元一次不等式，则a 符合（ ）A ．a≠1B ．a=0C ．a=1D ．a=24.若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=（ ）A ．±1B ．1C ．-1D ．05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．①x ＞-3；②xy≥1；③x 2＜3；④132≤-x x ；⑤11>+x x ； A ．1 B ．2C ．3D ．4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c.不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c>)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或a b c c<)． 例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m ”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．【巩固练习】一、选择题1.（2016春•北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个 D．5个2．下列不等式表示正确的是( ).A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5 C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜03.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c6．下列变形中，错误的是（）.A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若213x->，则23x<-C．若115x-<，则x＞-5 D．若1115x>，则511x>二、填空题7．（2016秋•太仓市校级期末）如果a ＜b ，则﹣3a﹣3b （用“＞”或“＜”填空）． 8．用不等式表示“x 与a 的平方差不是正数”为 ．9．在-l ，12-，0，23，2中，能使不等式5x ＞3x+3成立的x 的值是________；________是不等式-x ＞0的解．10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ； (3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1． 11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2b c(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题13．现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a≠0）．14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是_______； ②当a=-3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是__________； ③当a=1，b=1时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是________； ④根据上述数学实验你猜想a 2+b 2与2ab 的大小关系_______；⑤用a 、b 的其他值检验你的猜想______．15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．(1)8x-3和8y-3； (2)516x-+和516y-+； (3) x-2和y-1．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C.2. 【答案】D；【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。