华侨大学《信号与系统》证明题题库(A)

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华侨大学信息科学与工程学院

《信号与系统》期末考试试卷(A 卷)

题目部分，（卷面共有50题，100分，各大题标有题量和总分）

一、证明（50小题，共100分）

1．设()

H p 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明

[()()]()(t

H p t e H p t αδαδ-=+。 2．证明()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''=-+。

3．证明：23()2(),()0t t t t t δδδ''''==一般情况：()()(1)!()n n n t t n t δδ=- 4．设()()(3)t

k r t e u t t k δ+∞

-=-∞=*-∑，证明()t r t Ae -=，03t ≤≤，并求出A 值。

5．设()H p 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明：

[()()]()()t H p t e H p t βδβδ-=+

6．证明()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''=-+。

7．设()()(3)t

k r t e u t t k δ∞

-=-∞=⋅-∑，证明(),03t r t Ae t -=≤≤，并求出A 的值。

8．若()x n 为纯虚序列，[()]()DFT x n X k =，分解为实部与虚部写做：()()r x k X k =+

()i jX k ，试证明()r X k 是k 的奇函数，()i X k 是k 的偶函数。

9．已知()()N x n R n =，求()[()]X k DFT x n =，利用所得到的结果验证帕塞瓦尔定理。

10．证明下表中除第1行以外的其余几条性质

11．库利—图基FFT 算法也可解释[W] 矩阵的分解简化，例如4N =可写出

0010

1

01

001

00(0)(0)(2)100110(1)(1)(2)0011

00(3)(3)0

01010W W X X X W W X X X W W X X W W ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦--⎣⎦⎣⎦ 试证明此矩阵表示与(976)-一致，并指出此矩阵相乘的过程与前面哪一张FFT 流程相对应。

12．函数(

)f t 可以表示成偶函数()e f t 与奇函数0()f t 之和，试证明：

（1）若()f t 是实函数，且

[()]()f t F ω=

，则

[()]Re[()]e f t F ω=

0[()]Im[()]f t j F ω=

（2）若

()f t 是复函数，可表示为()()(),

r i f t f t jf t =+[()]()f t F ω=则

*1

[()][()()],

2

r f t F F ωω=+-*1

[()][()()],2i f t F F j

ωω=

-- 其中*

()F ω-=

*[()]F t

13．若已知实数有限长序列1()x n 和2()x n ，其长度为N ，且112()[()],()X k DFT x n X k ==

212[()],()()(),()[()]DFT x n x n jx n x n X k DFT x n +==，试证明下列关系式成立：

11

()[()()]2

X k X k X N k *=+- 21()[()()]2X k X k X N k j *=--

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14．分别利用下面几种方法证明确

1[()]()u t j πδωω

=+

。 （1）利用符号函数11

[()sgn()]22u t t =

+； （2）利用矩形脉冲取极限()τ

→∞；

（3）利用积分定理[()()]t

u t d δττ-∞

=

⎰

（4）利用单边指数函数取极限0

[()lim

,0]at a u t t -→=≥

15．试证明题图所示系统可以产生单边带信号。图中信号()g t 之频谱()G ω受限于

~m m ωω-+之间，0

;()sgn().m H j j ωωωω=-设()t υ之频谱为()V ω，写出()V ω表示式，

并画出图形。

16．一个理想低通滤波器的网络函数()()()j H j H j e ϕωωω=，其中

0()()()()c c H j u u t ωωωωωϕωω=+--=-。幅度响应与频率响应特性如题图所示，证明

此滤波器对于

()c t π

δω与sin()c c t t

ωω的响应是一样的。

17．试证明因果系统的()R ω与()X ω被希尔伯特变换相互约束，即若因果系统的

()()()H j R jX ωωω=+

则 1

()1()

(),()X R R d X d λλωλωλπωλπωλ∞

∞-∞-∞=

=---⎰⎰ 18．试证明对1

()(0)a H s a s a

=

>+和2

2()(0)2()a s a H s a s a T π+=>⎛⎫

++ ⎪

⎝⎭

分别用冲激不变法

变换成数字滤波器的系统函数()H z ，两者具有相同的()H z ；从物理概念上解释这一结果（其中T 为抽样周期）

19．一个理想低通滤波器的网络函数为

()()()j H j H j e ϕωωω=

其中草药 1()()0

()

c c H j ωωωωω-<<⎧=⎨

⎩为其他值

幅度响应与相移响应特性如下图所示。证明此滤波器对于()c t π

δω和sin()c c t t

ωω的响应是一样的。