05-电场方程立体角-高斯定理

dq dq λ= dy = σ dy = dz dzdy
y
dy
dy' 2 2 λ a r= a +y • 2 dEx = dE cosθ = 2 2πε0r πε a +y aσdy σdy a = = • 2 2 2 2 2πε a + y 2πε0 (a + y ) a +y
2 2 0
λ dE = 2πε0r πε
v dE
dE x
y dq = λ dx dE y p
dEx = −dE cosϕ = −dEcos(π − α)
r (3) 由于 dE 方向各不相同， 方向各不相同，所以采用分量式
α2 x α1 a ϕ α L o x dx λ dE = dx 2 4πε0r
r
λdx cosα = dE cos α = 2 4πε0r dEy = dEsinϕ λ dx = dE sin(π − α) = dEsin α = sin α 2 4 πε 0 r
r
α2 x
λ λdx cos α dα dEx = cosα = 2 4πε 0 a 4πε0r
λ λdx sinαdα dEy = sin α = 2 4πε0r 4πε0a
09:45 18
λ λ Ex = ∫α cosαdα= 4πε a (sin α − sin α ) 4πε0a λ λ α (cosα − cosα ) Ey = ∫α sin αdα = 4πε a 4πε0a Ey 大小： 方向： 大小： E = 方向： tgθ = E +E Ex p
Ⅰ区、 Ⅲ 区：EⅠ=EⅢ=0 σ Ⅱ区： E = E + E = + − ε0
09:45
方向：正极板指向负极板。 方向：正极板指向负极板。
22
σ E= ε0
已知： R x 已知：、 、 q 例4：均匀带电圆环， ：均匀带电圆环， v 求：E p = ?
dL
q
r= x +R
2
2
解：dq
=
rr
v f21
q1q 2 v = 1 2 v = k 2 r0 4πε r 2 r0 f21 = − f12 0 r
k的取值 的取值 真空 介电 常数
09:45
q1q2 = 1 q1q2 2 f ∝k 2 4πε0 r r r r 1 qq
国际单位制 有理化单位制
f12
f21
2 -1 -2 −12 1 ε0 = = 8.85×10 C • N • m 4πk
09:45
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3
基本实验定律（库仑定律） 基本物理量 E、D
D 的散度
基本方程 边值问题
E 的旋度
边界条件 数值法 有限差分法
电位ϕ 解析法
镜像法,电轴法 分离变量法 直接积分法 静电能量与力
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4
静电参数(电容及部分电容)
09:45
静电场知识结构
09:பைடு நூலகம்5
5
09:45
r dE
dq
r r0
q
r
P
r dE =
1 dq r r0 2 4 πε 0 r
V
（3）由场强叠加 ） 原理求P点合场强 原理求 点合场强
09:45
1 dq r r r E = ∫V dE = ∫V 4πε r 2 r0 0
15
在具体问题中， 在具体问题中，采用分量式
(1) 建坐标 , 分割带电体任取电荷元 dq dq = ρ dV r (2) 写出电荷元 在研究点场强E的大小 dq d r 1 dq dE = 同时确定 d E 的方向 2 r 4πε0 r (3)若所有 E的方向都相同 d ,则直接积分 r , 若所有dE的方向都不同则采用分量式 dE x = ? r a :投影: 将 d E 投影到 x , y 坐标轴上 投影
dq = λ dl dq = σds
b :作积分: Ex = ∫ dEx Ey = ∫ dEy 作积分 r r r c :求合场强: E = Ex i + Ey j 求合场强
大小 :
09:45
dE y = ?
E = Ex + Ey 方向 :
2 2
Ey tgθ = Ex
16
例1： 一均匀带电直线段，长 ： 一均匀带电直线段， 为L，电荷线密度为λ， 点的场强？ 求：p点的场强？ 建坐标，分割带电体， 解：(1) 建坐标，分割带电体， 任取电荷dq (2) dq在P点产生的场强大小： 点产生的场强大小： 点产生的场强大小
E = Ex = ∫ dEx
x 4πε0 ( x + R )
2 2
09:45
E=
L
qx 4πε0 ( x + R ) 2
2 2 3
23
=
3
2
∫ dq
方向
q>0 q<0
r E沿 轴正向 x r E沿 轴负向 x
v 例5：均匀带电圆盘：已知 σ、R、x 求：E = ? ：均匀带电圆盘： 、 p xdq R dr v方向沿 x 轴方向 解：dE = dE 3
r f E= r r q0 r f1 f 2 fn = + + LL + q0 q0 qn
r r r r f = f1 + f2 +L+ fn L+ r
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q<0
v E 方向呈汇聚线状
r r r = E1 + E2 +L+ En
14
六、场强的计算 ——分割带电体直接积分法 分割带电体直接积分法 基本知识点： 点电荷场强公式与 基本知识点： 点电荷场强公式与场强迭加原理 （1）将带电体分割成无限多个电 ） 荷元，每个电荷元都可看作点电荷， 荷元，每个电荷元都可看作点电荷， 任取电荷元dq 任取电荷元 （2）按点电荷场强公式，写出 ）按点电荷场强公式， 荷元dq在 点的场强 点荷元 在P点的场强
Ⅱ
− − − − − − − − − − −
Ⅲ
σ 无限大带正电平面： 无限大带正电平面：E + = 2ε 0 场强分布如图（红色） 场强分布如图（红色） σ 无限大带负电平面： 无限大带负电平面：E = − 2ε 0
场强分布如图（兰色） 场强分布如图（兰色） 由场强迭加原理： 由场强迭加原理： 即：平行板电容器两极板 间的场强为均强电场。 间的场强为均强电场。 大小： 大小：
4πε0r dq xdq x dL' = • 2 dE = dEcosθ = 3 2 2 2 2 4πε0r x + R 4πε0 ( x + R ) 2 dE⊥ = −dEsin θ 由于对称性： 由于对称性： ∑dE⊥ = 0
2
x
dE =
q dL λ dL = 2πR dq
R
r
θ
o
x
P •
x v dE
r F2
qi
r F1
(1) q0 的电量足够小，以致把 q0 放入电场后，在实验精度 的电量足够小， 放入电场后，
(2) q0的线度足够小，以致可以视为点电荷 的线度足够小，
09:45 12
r r 2。 场强的定义式 r 。 f fa + + r q0 f E = + 大小： 大小：E = r q0 + fa + = 恒矢量 E1 q0 + + q0 若 q = 1 则E = f
dy'
v dE
无限大均匀带电平面两侧的电场都是匀强电场
σ>0
σ<0
σ E= 2ε0 ε
面对称
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求各区域的场强？ 求各区域的场强？ 例3： 如图有两无限大均匀带电平行平面。 ： 如图有两无限大均匀带电平行平面。 +σ −σ 由上题已知： 解：由上题已知： Ⅰ
+ + + + + + + + +
二
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1
主要章节分布: 2.1 库仑定律与电场强度 2.2 高斯定理 2.3 静电场的旋度与电位 2.4 电偶极子 2.5 电介质中的场方程 2.6 静电场的边界条件 2.7 导体系统的电容 2.8 电场能量与能量密度 2.9 电场力
09:45 2
静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的 电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由 此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推 广到恒定电场,恒定磁场及时变场。 本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等 概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握 电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电 容、能量、力的各种计算方法。
a
0
方向： 方向：正电荷受力方向 电场强度与检验电荷无关， 电场强度与检验电荷无关，只与场源电 荷和场点位置有关。 荷和场点位置有关。 3。 电场力计算公式 。 （1）点电荷： ）点电荷：
+ Q + + +
r r f = qE
（2）任意带电体： ）任意带电体：
（3）带电体与带电体间相互作用力： ）带电体与带电体间相互作用力： 指一个带电体在另外一个带电体所产生的电场中所受的作用力
11
k = 9 × 10 9 N • m 2 • C − 2 k= 1 4πε0
3。 电力迭加原理 。 两个以上的点电荷对一个点电 荷的作用力等于各个点电荷单独存 在时对该电荷的作用力的矢量和
q1
r Fi
q0
q2
r r r r F = F1 + F2 +L+ Fi
三、电场强度（场强） 电场强度（场强） 1。 试验电荷（q0>0） 。 试验电荷（ ） 内，不会影响原有电场的分布
6
09:45
7
2.1 库仑定律与电场强度
1、库仑定律 、
2、电场强度
09:45
8
一、 电 场 1。两种观点 。
(1) 超 距 作 用 (2) 法拉第新观点
电荷q 电荷 1 电荷q 电荷 1
（ ） 电场 1） （2） ）
电荷q 电荷 2 电荷q 电荷 2
任何电荷都在自已周围的空间激发电场
相对于观察者静止的电荷所激发的电场 2。 静电场的性质 。 （1）电场对引入电场中的带电体有电场力的作用 ） （2）带电体在电场中移动时，电场力将对带电体作功， ）带电体在电场中移动时，电场力将对带电体作功， 说明电场具有能量 （3）电场对引入电场中的导体、电介质分别产生静电感 ）电场对引入电场中的导体、 应和极化现象
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(r x a →α) x = actg(π − α) = − actgα
统一积分变量
2
v dE
dE x
y dE y p
dx = −a(−csc α)dα = acsc αdα 2 2 2 2 2 2 2 2 r = a + x = a + a ctg α = a csc α
2
α1 a ϕ α L o x dx
大小： 大小：
q0• r r rPE r
五、 场强迭加原理 r r r f f n f2 p ( q > 0 ) 电场中 r 任一点 的总场 强等于 各点电 荷单独 存在时 在该点 产生场 强的矢 量和
q1
q0 f
qn
q2
⋅
1
方向： 方向：
v q > 0 E 方向呈放射线状

q E= 4πε0r 2
y
z
o
r aθ
P x •
dz
dy
v dE
dEy = −dE sinθ
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由于对称性： 由于对称性：
∑ dE y = 0
20
E = E x = ∫ dEx
r 方向： 方向： E⊥带 平 电 面
y
y
dy
aσ +∞ dy σ = = ∫−∞ 2 2 2ε0 z 2πε0 a +y
o
r aθ
P x •
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r r (c ) f = ∫ d f
r0 fb = 恒矢量 2 E q0 ( a ) 任取电荷元 dq r r (b) df = dqE
q b
r fb r
四、点电荷场强分布公式
q+ E (q < 0) r0 r qq0 r f = r 2 0 r 4πε0r r f q r r = E= 2 0 q0 4 πε 0 r
4πε0 ( x + r )
2 2
2
dq = σ dS = σ 2 π rdr
o
r
x
P
x
E = ∫0
讨 论
R
σxrdr 2ε0 ( x + R ) 2
2 2 3
+σ
各圆环在P点的 场强方向相同
σ 当 x << R 时：E = 2ε 0 q 当 x >> R 时： = E
09:45
σ x E = (1 − 2 ) 2 2ε0 x +R
α2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
2
x
讨论： 讨论：当 L → ∞ 时
Ex = 0
λ Ey = 2πε 0 a πε
09:45
α1 = 0 α2 = π
y
α1 a
L
α2
λ E = 2πε 0 a πε
方向： 方向：垂直于直线
轴对称
19
例2：真空中有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+σ。试 ：真空中有一无限大均匀带电平面， dq 求平面附近任一点的场强。 求平面附近任一点的场强。 解：
09:45 9
静电场
二、库仑定律
1、库仑定律 、
1785年库仑总结出两个点电荷之间的作用规律。 年库仑总结出两个点电荷之间的作用规律。 年库仑总结出两个点电荷之间的作用规律
09:45
10
1。点电荷 。 带电体本身的几何线度比起它 到其它带电体的距离小的多 2。 库仑定律 。
v f12
q1 r0 q2 ⊕v v