2.2.1一次函数的性质与图像教案

§2.2 一次函数和二次函数

2.2.1 一次函数的性质与图象

【学习要求】

1.进一步认识一次函数，会借助图象分析其性质，理解其定义；

2.掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象；

3.提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力． 【学法指导】

通过由一次函数的图象探究其性质的过程，提高探索新问题的能力；培养对分类讨论及数形结合的思想方法的应用. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.一次函数的概念：函数y ＝kx ＋b(k ≠0) 叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为R .

2.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的 截距 .一次函数又叫做 线性函数 .

3.一次函数的性质：(1)函数值的改变量 Δy ＝y 2－y 1 与自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1 的比值等于直线的斜率k.

(2)当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是 减函数 .

(3)当b ＝0 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 b ≠0 时，它既不是奇函数也不是偶函数．

(4)直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－

b k ，0，与y 轴的交点为(0，b) .

研一研：问题探究、课堂更高效 探究点一 一次函数的概念

问题1 在初中我们学过一次函数，那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？ 答： 函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为R . 问题2 一次函数的图象是什么，表达式中的k ，b 的几何意义又是什么？

答： 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．

例1 设函数y ＝(m －3)x m2－6m ＋9＋m －2： (1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性．

解： (1)由一次函数的表达式知，⎩

⎪⎨⎪⎧

m －3≠0，

m 2－6m ＋9＝1. 解得m ＝2或m ＝4.

(2)当m ＝2时，m －3＝2－3＝－1<0，所以对应的函数是减函数；当m ＝4时，m －3＝1>0，所以对应的函数是增函

数．

小结： 只有当k≠0时，函数y ＝kx ＋b 才是一次函数，若已知y ＝kx ＋b 是一次函数，则隐含着条件k≠0.要判断一个多项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数x 的最高次为1次，x 的系数不为0. 跟踪训练1 函数y ＝2mx ＋3－m 是正比例函数，则m ＝_____.

解析： 由正比例函数的定义可知，2m ≠0，且3－m ＝0，所以m ＝3. 探究点二 一次函数的性质

问题 1 一次函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值与一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)中的哪个量相等？请说明原因？

答：函数值的改变量Δy ＝y 2－y 1与自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1的比值等于直线的斜率k. 在直线y ＝kx ＋b (k ≠0)上任取两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，

两式相减，得y 2－y 1＝k(x 2－x 1)， 即Δy Δx ＝y 2－y 1

x 2－x 1

＝k 或Δy ＝kΔx (x 2≠x 1)．

问题2 斜率k 的符号与一次函数单调性有怎样的关系？

答： 当k>0时，一次函数是增函数； 当k<0时，一次函数是减函数．

问题3 在一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)中，b 的取值对函数的奇偶性有怎样的影响？

答： 当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数； 当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数． 问题4 一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的图象与坐标轴的交点坐标是怎样的？

答： 直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为⎝⎛⎭

⎫－b

k ，0，与y 轴的交点为(0，b)．

例2 已知一次函数y ＝3x ＋12.求：(1)一次函数y ＝3x ＋12的图象与两条坐标轴交点的坐标； (2)x 取何值时，y<0? (3)当y 的取值限定在(－6,6)内时，x 允许的取值范围． 解：(1)当y ＝0时，x ＝－4；当x ＝0时，y ＝12.

所以一次函数y ＝3x ＋12的图象与两条坐标轴交点坐标分别为(－4,0)、(0,12)． (2)由3x ＋12<0，得x<－4. (3)由－6<3x ＋12<6，得－6

小结：一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)与一元一次方程及一元一次不等式是密切联系的，一次函数与x 轴交点的横坐标

即为相应的一元一次方程的解，一次函数图象在x 轴下面的部分对应的x 的范围就是不等式kx ＋b<0的解集． 跟踪训练2 已知一次函数y ＝2x ＋1， (1)当y≤3时，求x 的范围；

(2)当y∈[－3,3]时，求x 的范围；

(3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积．

解： (1)由题意知，2x ＋1≤3， 解之，得x≤1；

(2)因y∈[－3,3]，所以－3≤2x＋1≤3， 解之，得－2≤x≤1；

(3)一次函数y ＝2x ＋1与两个坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－1

20、(0,1)，

所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×12×1＝1

4

.

探究点三 一次函数的应用

例3.对于每个实数x ，设f(x)取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最大值． 解： 分别解出三条直线的交点， ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2， 得A ⎝⎛⎭⎫13，73. ⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝4x ＋1，y ＝－2x ＋4，

得B ⎝⎛⎭⎫12，3. ⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4，

得C ⎝⎛⎭⎫23，83. 观察函数图象，当x≤13时，直线y ＝4x ＋1

的图象在最下面，所以f(x)＝4x ＋1， 同理，当132

3

时，f(x)＝－2x ＋4.

所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

4x ＋1，x ≤1

3

，

x ＋2，13

3，－2x ＋4，x>23

. 由图象观察可知，当x ＝23时，f(x)有最大值，最大值为83

.

小结： 在本例中，由于f(x)取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，要判断三个函数中哪一

个最小，只有在同一坐标系内画出三条直线的图象，观察图象，在各段线段中处在最下面的几段线段组成的图象就是f(x)的图象，观察f(x)图象的最高点的纵坐标即为f(x)的最大值．

跟踪训练3 对于每个实数x ，设f(x)取y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最小值．

解： 在同一坐标系内作出y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A 、B 、C.

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝3x ＋5，y ＝－2x ＋8，

得C ⎝⎛⎭⎫35，345. 过C 点作y 轴的平行线x ＝3

5，

由图可知，在直线x ＝35左边，y ＝－2x ＋8的图象在最上面，即当x≤3

5时，

f(x)＝－2x ＋8；

在直线x ＝35y ＝3x ＋5的图象在最上面，即当x>3

5

时，f(x)＝3x ＋5，

因此，f(x)＝⎩⎨⎧

－2x ＋8，x ≤3

5，

3x ＋5，x>3

5

.

观察f(x)的图象可知，f(x)min ＝34

5

.