平面向量内积的坐标表示
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解：
a b 3(5) (2)4 23Fra Baidu bibliotek
探究新知
已知a(a1, a2),b(b1,b2)
(1) a a a
a ?
(2)a b a b 0
ab?
(3) cos a, b a b ab
cos a, b ?
2、向量的长度和两点间的距离公式
(1) a a a；
那么
ab ?
B(b1,b2)
a
b e2
o e1
x
故两个向量的内积等于它们横坐标的乘积与纵坐标乘积之和。
y
a b a1b1 a2b2.
b(b1,b2)
e2
a(a1,a2)
o e1
x
根据平面向量内积的坐标表
示，向量的内积的运算可转化
为向量的坐标运算。
热身
设a,b的直角坐标分别是（3，- 2）,(-5，4)，求a b.
(1)向量的模
设a的坐标是(a1, a2 ), 则 a
(2)两点间的距离公式
a12 a22
设P（x1, y1)、Q( x2 , y2 ),则
PQ PQ （x2 x1)2 （y2 y1)2
3、两向量垂直
a b ab 0
设（a a1, a2）,（b b1,b2）,则
求证：ABC是等腰直角三角形.
小结
（1）掌握平面向量内积的坐标表示，即 两个向量的内积等于它们对应坐标的 乘积之和；
（2）要学会运用平面向量内积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
节清内容
课本Ｐ36
Ａ组 1、2、3、5、7中任选一题, 4.
学习 要有竹子样的坚韧的品质
B(2,3)
注：A两B个AC向 1量的(3内) 积1是3 否0为零是判断A相(1,2应)
的两A条B直 线AC是否垂直的重要方法之一。
x
如对证角三明线角四垂形边直A形等BC是 。是矩直形角，三三角角形形的. 高0 ，菱形
已知ABC三个顶点坐标A( -1，2)， B(3，1)，C(2，-3)，
7.10 平面向量内积的坐 标表示
学习 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。
目标
2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及 夹角公式，掌握平面两点间距离公式；
重点 通过推导和题组训练，理解并掌握向量 长度、垂直、夹角及距离公式。
难点 能准确运用向量内积的坐标表示长度、
垂直、夹角及距离公式等结论，解决有
则则aa的坐_标_2_e是_1 __3(_5e,_72)__.___.
？？？
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用
a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习 1、平面向量内积的坐标表示 如图， 是x轴上的单位向量， 是y轴上的单位向量，
e1
e2
y A(a1,a2)
e1 e1
a b 24
2
0 a,b , a,b 5 .
6
抢答题
1.填空
(1)若a(5,0),b(3,3)
则a b -_1_5__; a _5___; b _3__2_. (2)若（a 3,1），b( 3,0)则 a,b __6___.
2.判断下述每一对向量是否垂直。
关问题。
课型
新课
学法
启发式、练习法
达标过程
一、复习导入
注：1.0 a,b
2.内积的结果是个实数。
1. (1)a b a b cos a, b
(2) a
a a(或a a
a
2
)
a b
(3) cos a, b
a b
(4)a b a b 0 23.在.在直直角角坐坐标标[系O;[eO1,;ee21],中e2，]中若，a向量5ea1(2,73e)2, ,
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a(2 3,2),b(1, 3),
求a b; a ; b 及 a,b . 解： a b 2 3 (1) (2) 3 4 3，
a (2 3)2 (2)2 4 b (1)2 ( 3)2 2
cos a, b a b 4 3 3
(1)a b a1b1 a2b2
(2) a a12 a22
(3)a b a1b1 a2b2 0
(4) cos a,b
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
2.若P(x1, y1),Q(x2, y2),则PQ (x2 x1)2 ( y2 y1)2
a b a1b1 a2b2 0
4、两向量夹角公式的坐标运算
cos a, b a b ab
设a的坐标是（a1, a2 ), b的坐标是(b1, b2 ),
则cos a,b
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
收获到了
1.若a(a1, a2 ),b(b1, b2 ),则
AC (2 1)2 (5 2)2 18 BC (2 2)2 (5 3)2 20
AB 2 AC 2 BC 2
三角形ABC 是直角三角形.
法二：
证明: AB的坐标是
y
(2 1,3 2) (1,1)
C(-2,5)
AC的坐标是
(2 1,5 2) (3,3)
1 ；e2 e2
1 .B(b1,b2)
b e2
a
e1 e2 e2 e1 0 .
o e1 x
下面研究怎样用 a和b的坐标表示a b.
设两个非零向量 a 的坐标是(a1,a2),
b 的坐标是(b1,b2),
y A(a1,a2)
则 a a1e1 a2 e2
b b1e1 b2 e2
(1)a(0,2), b(1,3)ab 0(1) (2)3 6 0 不垂直 (2)a(1,3), b(3,1)ab (1)(3) 3(1) 0 垂直
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，证明 ABC是直角三角形.
证明： AB (2 1)2 (3 2)2 2
a b 3(5) (2)4 23Fra Baidu bibliotek
探究新知
已知a(a1, a2),b(b1,b2)
(1) a a a
a ?
(2)a b a b 0
ab?
(3) cos a, b a b ab
cos a, b ?
2、向量的长度和两点间的距离公式
(1) a a a；
那么
ab ?
B(b1,b2)
a
b e2
o e1
x
故两个向量的内积等于它们横坐标的乘积与纵坐标乘积之和。
y
a b a1b1 a2b2.
b(b1,b2)
e2
a(a1,a2)
o e1
x
根据平面向量内积的坐标表
示，向量的内积的运算可转化
为向量的坐标运算。
热身
设a,b的直角坐标分别是（3，- 2）,(-5，4)，求a b.
(1)向量的模
设a的坐标是(a1, a2 ), 则 a
(2)两点间的距离公式
a12 a22
设P（x1, y1)、Q( x2 , y2 ),则
PQ PQ （x2 x1)2 （y2 y1)2
3、两向量垂直
a b ab 0
设（a a1, a2）,（b b1,b2）,则
求证：ABC是等腰直角三角形.
小结
（1）掌握平面向量内积的坐标表示，即 两个向量的内积等于它们对应坐标的 乘积之和；
（2）要学会运用平面向量内积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
节清内容
课本Ｐ36
Ａ组 1、2、3、5、7中任选一题, 4.
学习 要有竹子样的坚韧的品质
B(2,3)
注：A两B个AC向 1量的(3内) 积1是3 否0为零是判断A相(1,2应)
的两A条B直 线AC是否垂直的重要方法之一。
x
如对证角三明线角四垂形边直A形等BC是 。是矩直形角，三三角角形形的. 高0 ，菱形
已知ABC三个顶点坐标A( -1，2)， B(3，1)，C(2，-3)，
7.10 平面向量内积的坐 标表示
学习 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。
目标
2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及 夹角公式，掌握平面两点间距离公式；
重点 通过推导和题组训练，理解并掌握向量 长度、垂直、夹角及距离公式。
难点 能准确运用向量内积的坐标表示长度、
垂直、夹角及距离公式等结论，解决有
则则aa的坐_标_2_e是_1 __3(_5e,_72)__.___.
？？？
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用
a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习 1、平面向量内积的坐标表示 如图， 是x轴上的单位向量， 是y轴上的单位向量，
e1
e2
y A(a1,a2)
e1 e1
a b 24
2
0 a,b , a,b 5 .
6
抢答题
1.填空
(1)若a(5,0),b(3,3)
则a b -_1_5__; a _5___; b _3__2_. (2)若（a 3,1），b( 3,0)则 a,b __6___.
2.判断下述每一对向量是否垂直。
关问题。
课型
新课
学法
启发式、练习法
达标过程
一、复习导入
注：1.0 a,b
2.内积的结果是个实数。
1. (1)a b a b cos a, b
(2) a
a a(或a a
a
2
)
a b
(3) cos a, b
a b
(4)a b a b 0 23.在.在直直角角坐坐标标[系O;[eO1,;ee21],中e2，]中若，a向量5ea1(2,73e)2, ,
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a(2 3,2),b(1, 3),
求a b; a ; b 及 a,b . 解： a b 2 3 (1) (2) 3 4 3，
a (2 3)2 (2)2 4 b (1)2 ( 3)2 2
cos a, b a b 4 3 3
(1)a b a1b1 a2b2
(2) a a12 a22
(3)a b a1b1 a2b2 0
(4) cos a,b
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
2.若P(x1, y1),Q(x2, y2),则PQ (x2 x1)2 ( y2 y1)2
a b a1b1 a2b2 0
4、两向量夹角公式的坐标运算
cos a, b a b ab
设a的坐标是（a1, a2 ), b的坐标是(b1, b2 ),
则cos a,b
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
收获到了
1.若a(a1, a2 ),b(b1, b2 ),则
AC (2 1)2 (5 2)2 18 BC (2 2)2 (5 3)2 20
AB 2 AC 2 BC 2
三角形ABC 是直角三角形.
法二：
证明: AB的坐标是
y
(2 1,3 2) (1,1)
C(-2,5)
AC的坐标是
(2 1,5 2) (3,3)
1 ；e2 e2
1 .B(b1,b2)
b e2
a
e1 e2 e2 e1 0 .
o e1 x
下面研究怎样用 a和b的坐标表示a b.
设两个非零向量 a 的坐标是(a1,a2),
b 的坐标是(b1,b2),
y A(a1,a2)
则 a a1e1 a2 e2
b b1e1 b2 e2
(1)a(0,2), b(1,3)ab 0(1) (2)3 6 0 不垂直 (2)a(1,3), b(3,1)ab (1)(3) 3(1) 0 垂直
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，证明 ABC是直角三角形.
证明： AB (2 1)2 (3 2)2 2