2018线性代数复习题

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7月全国自考线性代数试题及答案解析

1全国2018年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A|表示方阵A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 、B 均为n 阶方阵，则必有（） A ．|A|·|B|=|B|·|A| B ．|（A+B ）|=|A|+|B| C ．（A+B ）T =A+BD ．（AB ）T =A T B T2．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200110002，则A -1=（）A ．⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1210010021B ．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-210021210021C ．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡210021100021D ．⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡212100100213．若4阶方阵A 的行列式等于零，则必有（） A ．A 中至少有一行向量是其余向量的线性组合 B ．A 中每一行向量都是其余行向量的线性组合 C ．A 中必有一行为零行 D ．A 的列向量组线性无关4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（）2A ．m=nB ．R(A)=mC ．R(A)=nD ．R(A)<n5．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=++=++0x x x 20x x 2x 0x 2x x 321321321存在基础解系，则λ等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56．设A 为n 阶方阵，则（） A ．A 的特征值一定都是实数 B ．A 必有n 个线性无关的特征向量 C ．A 可能有n+1个线性无关的特征向量 D ．A 最多有n 个互不相同的特征值7．若可逆方阵A 有一个特征值为2，则方阵（A 2）-1必有一个特征值为（）A ．-41B ．41C ．21 D ．48．下列矩阵中不是．．正交矩阵的是（） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-θθ-θθ1000cos sin 0sin cosC ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--410101015105161 D ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+1313131321 9．若方阵A 与方阵B 等价，则（） A ．R （A ）=R （B ） B ．|（λE-A ）|=|（λE-B ）| C ．|A|=|B|D ．存在可逆矩阵P ，使P -1AP=B10．若矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡t 20220002正定，则t 的取值范围是（）A ．0<t<2B ．0<t ≤23C ．t>2D ．t ≥2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2018-2019学年线性代数试题及答案.ppt

(k 2)2
(k 2)2
则B与相似，当 k 0且k 2时
特征值都大于0，并且
BT B 所以为正定阵。
p

p1,
p2
,
p3

1 5
0
4
35 5
35
2 3 2
3

f 9 y32
八、1）解： 2 2 1
A 1 2 0, B 0
1 1 3 并且 AB 0,R(A) 3, R(B) 3
A 0, 1
七、（满分10分）
求一正交变换 x Py ，将二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 4x22 4x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
化为标准形。
八、（每小题5分，满分10分）
2x1 2x2 x3 0
1、设线性方程组 x1 x2 2x3 0 的系数矩阵A，三阶
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E
的特征值为： 2,2,5 ， B 20
4、设有向量组 1 (1,1,2)T ,2 (1,2,3)T ,3 (1,3, t)T ,
问t 4
时向量组1,2 ,3 线性相关。
5、设3阶矩阵 A (,1, 2 ), B ( ,1, 2 ) ，且 A 3, B 5
x1 x2 3x3 0
矩阵B不等于零，且AB=0，试求的值，并证明 B 0
1 0 1
2、设矩阵 A 0
2
0
，矩阵
B

(k

17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案

第 1 页共 4 页背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称：线性代数A 考试时间： 120 分钟考试方式：闭卷（A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页共 4 页背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

18-19-1线性代数复习提纲-自动化(1)

2018-2019-1《线性代数》课外练习题18自动化2018-11-22一、考试题目类型：单项选择、填空、计算、解方程、分析题考试时间： 120分钟，总分：100分二、考试要点（将来划分为：基础训练、强化练习等模块）第一章行列式A 熟练求逆序数；B 熟练求行列式的值；D 、会利用行列式的代数余子式来按行或按列展开行列式；E 、会利用克拉默法则求解线性方程组；F 、熟练利用行列式六个主要性质对行列式化简。

1. 设按自然数从小到大为标准排列,则排列4753216的逆序数是。

2. 排列2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n )1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1); 的逆序数为：。

3. 0000020ka b c d e f gh=( ) 4. 若111221222a a a a =，则121122213030031a a a a --的值为（）。

4. 计算行列式（1）efwfbfye wy byxexw xb---，（2）111122222111122222-+-+x x y y，（3）000000a bc d e f g h kl，（4）aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;7.求行列式的余子式相关问题：如n 阶行列式的n-1阶余子式共有多少个？ 8. 某个元素的余子式是什么？行列式如何用其余子式来表示等问题。

9、n 阶行列式的n-1阶余子式共有（）个，n-2阶余子式共有（）个，10、已知四阶行列式D 中第2行元素依次为2,-1, 0,1, 它们的余子式分别为5, 3, 4,－7 则D 的值为。

11. 当系数行列式不等于零时，可用克拉默法则求解线性方程组的解，这样求得的解一般是唯一一组解。

12. 计算行列式10020020100000002011L L L M NM M M L L解答：按最后一列展开，2010*20092010202011*2011*(1)2010!2011!201000=-=L L MNM ML13. 计算行列式的值 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 解1. 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b ba a a a a 左边 9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b ba a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项6416416416412222=+d dd c c c b b b a a a解2 444444422222220001a d a c ab a a d ac a b a ad a c a b a---------=左边 =)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+=⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-14.15. 计算行列式的值解答：).1(!1∑=+n k kkn a nn a aaaaaa a a a a a a a a a Dnn nn nn n n n+-+++=----121121121121121ΛΛMM M M ΛΛ解：将原行列式的每一列拆成两个子列，共可构成n 2个行列式，这些行列式大部分为零，只有n+1个不为零。

2018年10月自考02198线性代数试题及答案含评分标准

2018年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数试卷
(课程代码02198)
本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。

考生答题注意事项：
1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。

2．第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。

3．第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。

4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分选择题
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中
只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

2018-2019-1-线代A卷+答案

将解向量分别单位化可得
1
2, 5
1, 5
0
T
,
Байду номын сангаас
2
0,
0,
1T
,
3
1, 5
2 5
,
0
T
......3 分
2
5
令
P
1,2
,3
1 5
0
0 0 1
1
5 2 5 0
,则
P 1 AP
PT
AP
2 0 0
0 3 0
0
0
...1
分
7
16（10 分）解：对T 作初等行变换化为行最简形得
1 1 3 6
故 A 12 11 1 ......2 分
2
r12r2
0
1
00
3
4
2分
0 0 1 1 2 3
2 0 1
所以
A1
0
3
4
....1
分
1 2 3
3
13（10
分）解：由于 T
1 3
,
1 2
,1 12
3 ......3
分
且 An T n T T n1 3n1T ......3 分
3
1 3/ 2 3
而
T
2
0 0
1 0 3 0
1 0 0 ...3 分 3
r2
-
1 3
r3 +2r2
1 0
2 1
31 4/3 4/3
0 0
1/ 3
0
2
分
r33
r2
4 3
r3
r13r3

2018年线代期末试卷

10、设 n 阶矩阵 A 满足 A2 A 2I ，则下列矩阵中哪个可能不可逆（ B ）
(A) A 2I
(B) A I
(C) A I
(D) A
二、计算题（本题共 4 小题，满分 32 分）
5123 11、（8 分）计算行列式 D 3 5 1 2 的值。
2351 1235
11 1 2 3 11 1 2
4、设 A 为 n 阶可逆方阵，A* 为 A 的伴随矩阵，若 A 的一个特征值为，则 A* 必有一个特征值 A / 。
5、二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 cx32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 为正定的，则 c 的取值
范围是 c＞2
。
6、已知 4 阶方阵 A 的第三列元素依次为 1，3，-2，2，它们的余子式的值分别为 3，-2，1，1，则 A =（ A ）
c1c 2
r 2r1
3
c1
4
1
1
答案： D 11 5 1 2 0 4 1 1 112 3 2 （5 分）
11 c1c3
c1c 4
3
5
1 0 r3r1 r 4r1
2
3
2
11 2
11 2 3 5 0 1 1 2
11 39 429 （8 分）
1 0 2 0
12、（8
分）已知矩阵
A
1 11
1 2 1
a5 k1a1 k2a2 k3a3 k4a4 ，则 a5 k1(l2a2 l3a3 l4a4 ) k2a2 k3a3 k4a4 ，这说明
a5 能由 a2 , a3, a4 线性表示，矛盾。所以 a5 不能由 a2 , a3, a4 线性表示。（6 分）

全国10月高等教育自学考试线性代数试题及答案解析

全国2018年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198第一部分选择题试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。

一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1．设矩阵A =(1,2,3)，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201，则AB 为（）A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642000321B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛601C.（1,0,6）D.7 2．n 阶行列式0000000000000000121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n a a a a 的值为（） A.a 1a 2…a nB.-a 1a 2…a nC.(-1)n -1a 1a 2…a nD.(-1)n a 1a 2…a n 3．设行列式01110212=-k k ，则k 的取值为（）A.2B.-2或3C.0D.-3或24．设-2是3阶方阵A 的一个特征值，则A 2必有一个特征值为（）A.-8B.-4C.4D.85．设A 、B 均为n 阶矩阵，且A 可逆，则下列结论正确的是（）A.若AB ≠0，则B 可逆B.若AB =0，则B =0C.若AB ≠0，则B 不可逆D.若AB=BA ，则B =E6．向量组（Ⅰ）：α1,α2,…, αr 和向量组（Ⅱ）：β1，β2，…βs 等价的定义是向量组（） A.（Ⅰ）和（Ⅱ）可互相线性表示B.（Ⅰ）和（Ⅱ）中有一组可由另一组线性表示C.（Ⅰ）和（Ⅱ）中所含向量的个数相等D.（Ⅰ）和（Ⅱ）的秩相等7．下列矩阵中，不是．．二次型矩阵的为（） A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100000000B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--562640203D. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321 8．设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为（）A.0B.1C.2D.39．设A 为3阶方阵，且行列式|A |=1，则|-2A |之值为（）A.-8B.-2C.2D.810．同阶方阵A 、B 相似的充分必要条件是（）A.存在可逆矩阵P ，使P -1AP =BB.存在可逆矩阵P ，使P T AP =BC.存在两个可逆矩阵P 和Q ，使PAQ =BD.A 可以经过有限次初等变换变成B11．若线性方程组⎩⎨⎧=λ+-=+-212321321x x x x x x 无解．．，则λ等于（） A.2 B.1C.0D.-112．设α1、α2和β1、β2是方程组Ax =0的两个不同．．的基础解系，则下列结论中正确的是（）A.向量组α1,α2,β1的秩小于向量组β1,β2的秩 B.向量组α1,α2,β1的秩等于向量组β1,β2的秩 C.向量组α1,α2,β1的秩大于向量组β1,β2的秩D.向量组α1,α2,β1,β2的秩大于向量组β1,β2的秩13．设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，则|A *|等于（）A.a -1B.aC.a n -1D.a n14．设向量α1=（1,a ,a 2），α2=(1,b ,b 2),α3=(1,c ,c 2)，则向量组α1,α2,α3线性无关的充分必要条件是（）A.a ,b ,c 全不为0B.a ,b ,c 不全为0C.a ,b ,c 不全相等D.a ,b ,c 互不相等第二部分非选择题二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

(全新整理)10月自考线性代数(经管类)试题及答案解析

1全国2018年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a++=（）A ．-3B ．-1C ．1D ．32．设A 为3阶方阵，且已知|-2A |=2，则|A |=（）A ．-1B ．-41C ．41 D ．13．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知（2A ）-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A =（）A ．2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 5．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例2C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关7．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（） A ．)()(212121121αααββ++++C C B ．)()(212121121αααββ+++-C CC ．)()(212121121ββαββ-+++C CD ．)()(212121121ββαββ+++-C C8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（）A ．121B ．71C ．7D ．129．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（） A ．23- B ．32-C ．32 D ．23 10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（） A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2018线性代数试卷A(1)

5.设是非齐次线性方程组的个解则是方程组的解的充分必要条件是
三、解答题(本题满分50分,共5小题每小题10分)
1.已知，求 .
2.设，且，求
3.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示：
4.已知求矩阵
5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为已知是它的两个不同的解向量求该方程组的通解
3.以下结论错误的是
(A) (B) (C) (D)
4.矩阵的逆矩阵为
(A) (B) (C) (D)
5.矩阵的秩等于
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(本题满分25分,共5小题,每小题5分)
1.一个向量线性相关的充要条件是
2.设为阶矩阵且则齐线性方程组的基础解系含个向量
3.计算
4.已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程组无解则
江西师范大学
考试卷
年级专业(学科)2018—2019学年第1学期
课程号：255538课程名称：线性代数A卷
考试形式：开卷闭卷其他要求：
一、选择题(本题满分25分,共5小题,每小题5分)
1.行列式
(A) (B) (C) (D)
2.设均为阶方阵且则
(A) (B) (C) (D)

2018考研真题专项训练---线性代数(1)-试题

2 0 0 2 1 0 1 0 0 【类似】已知矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 , C 0 2 0 ，则（）。 0 0 1 0 0 1 0 0 2 (A).A 与 C 相似，B 与 C 相似; (B). A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C). A 与 C 不相似，B 与 C 相似; (D). A 与 C 不相似，B 与 C 不相似
1 a 1 2 0 0 【类似】矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为（） 1 a 1 0 0 0
a 0, b 2 （B）（A） a 2, b 0 （D） a 0, b为任意常数（C） a 2, b为任意常数
3 . 3
(B)
3. (C)
1 . 3
(D) )
3.
a b 2. 设 A = c d
b c d a d c ，则| A |=( ). d a b c b a
(B) (a b c d ) .
2 2 2 2 2
T
T
T = .
【类类似】设为 n 维单位列列向量， E 为 n 维单位矩矩阵，则（）。
(A A). E T 不可逆； (B). E T 不可逆 (C C). E 2 T 不可逆; (D). E 2 T 不可逆逆
二、选择（每题题 4 分） 1.设设矩阵 A ( aij ) 3 3 满足足 A A ，其中 A 是 A 的伴随矩阵阵， A 为 A 的转置矩阵阵. 若
* T * T
a11 , a12 , a13 为三三个相等的正正数，则 a11 为 ( )

2018年4月线性代数自考真题及答案

2018年4月线性代数自考真题及答案一、选择题:1.函数y= + 中自变量x的取值范围是( )A.x2B.x2且x1C.x2且x1D.x12.若函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数，则k的值为( )A.0B.1C.1D.-13.若三边长满足，则是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形4.四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( )A.DF=BEB.AF=CEC.CF=AED.CF∥AE5.某复印店复印收费y(元)与复印面数x(面)的函数图象，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费( )A.0.2元B.0.4元C.0.45元D.0.5元6.在菱形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，EF与BD 相交于点O，连结AO.若CBD=35，则DAO的度数为( )A.35B.55C.65D.757.以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是( )A.8,12, 17B.1,2,3C.6,8,10D.5,12,98.Rt△ABC中,AB=9,BC=6,B=90,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )A. B.2.5 C.4 D.59.下列命题中,真命题是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形10.在边长为2的菱形ABCD中，B=45，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△ABE，AB与CD边交于点F，则BF的长度为( )A.1B.C.2D.2 ﹣2二、填空题:11.函数的自变量x的取值范围是12.在Rt△ABC中，ACB=90，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，若CD=5，则EF长为 .13.已知m为整数，且一次函数y=(m+4)x+m+2的图像不经过第二象限，则m= .14.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E.若AD=6，则点E到AB的距离是________.15.在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 .16.正方形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，其中点A1，A2，A3在x轴的正半轴上，点B1，B2，B3在直线y=-x+2上，则点A3的坐标为三、计算题:17.计算： 18.计算：四、解答题:19.已知y是关于x的一次函数，且当x=1时，y=﹣4;当x=2时，y=﹣6.(1)求y关于x的函数表达式;答案：1.B.2.B3.C4.B.5.B.6.C7.C.8.B.9.C.10.C.11.-3;12.答案为：513.答案为：m=-3;14.答案为：915.答案为：616.答案为：(1.75,0)17.解：原式=0;18.解：原式=919.解：(1)设y与x的函数解析式是y=kx+b，根据题意得：k+b=-4,2k+b=-6，解得：k=-2,b=-2，则函数解析式是：y=﹣2x﹣2;当x=﹣2时，y=2，当x=4时，y=﹣10，则y的范围是：10。

2018年4月自考《线性代数(经管类)》真题(完整试卷)

2018年4月自考《线性代数（经管类）》真题（完整试卷）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式12121a a b b =-，则12121212a a a ab b b b +-=+- A. 2- B. 1- C. 1 D.22. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=BA. 0B. aC. 2aD.3a3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+-4. 设矩阵3000000000120022B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.45. 设矩阵120240001A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型Tx Ax 的规范型为A. 222123z z z ++B. 222123z z z +-C. 2212z z -D.2212z z + 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

6. 设3阶行列式1112132122231222a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则313233++=A A A .7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T C A B = 则C = .8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1*132A A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 9.20162017001123010010456100=100789001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.设向量(1,0,0)T β= 可由向量组123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则a 的取值应满足 .11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T t ααα=-=-=，，的秩为2，则t = .12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b = 的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3λ- 为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵223E A - 必有一个特征值为 .14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2A = .15.设二次型22111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围是 .三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。

2018线性代数复习题

2018线性代数复习题2017-2018学年第⼆学期数学Ⅱ(线数) 期末复习题⼀、填空题1. 排列(762589431)的逆序数为；2．A 是3阶矩阵，E A A T 4=，则 =A .3．四阶⾏列式的第⼀⾏元素为1,2,0,-4，第三⾏元素的代数余⼦式分别为6,x -,19,-8, 则x =______.4．⾏列式22351011110403--中第4⾏各元素的代数余⼦式之和为__________. 5．设A ，B 为n 阶⽅阵，且E AB =，E A B B A ==--11，则22B A +=___ ___. 6. TT)2,0,1(,)2,1,0(=-=βα,7230521006B ??=则 T 2()R B αβ=___ _.7.设矩阵=54332221t A ，若齐次线性⽅程组0=Ax 有⾮零解，则数t =__ __．8.如果向量组的秩为r ，则向量组中任何1+r 个向量（线性相关或线性⽆关）. 9.已知向量组T T a a )4,,4(,),1,2(21==αα线性⽆关，则数a 的取值必满⾜__ ____. 10．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ____ __. 11.已知线性⽅程组1231231234232x x x x x ax x x ax ++=??+-=??+-=?⽆解，则数=a ____ __.12．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2，则数k =__ __． 13．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________．14. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为1，-1，2，矩阵323B A A =-，则B 的特征值为 ,． 15.设向量()T16.设123α?? ?= ? ，22t β??= ? ???，且α与β正交，则t =__ __．⼆、选择题 1.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（） A ．-24 B. -12 C. -6 D. 122.若矩阵A 可逆，则下列等式成⽴的是（） A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A3．设A 为三阶⽅阵，且1||2A =，则1*|(2)5|A A --=（） A ．-108B ．-16C ．12D ．1084.设A =4321，则=*||A （） A ．-4B ．-2C ．2D ．45．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶⽅阵，则下⾯等式正确的是（） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2 C ．若AX =AY ，则X =Y矩阵A 的伴随矩阵A *=4321,则A -1= ( ) A.21-??--1234 B. 21-??--4321 C. 21-4321 D. 21-1324 8．如果⽅程组??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有⾮零解，则k =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．29．设矩阵A =，那么矩阵A 的列向量组的秩为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 10．设A 为n m ?矩阵，则n 元齐次线性⽅程组0=Ax 有⾮零解的充分必要条件是（） A ．n r =)(A B ．m r =)(A C ．n r <)(AD ．m r <)(A11．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则( ) A ．r =m 时，Ax =0必有⾮零解 B ．r =n 时，Ax =0必有⾮零解 C ．rD ．r12．设4321,,,αααα是⼀个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表⽰法惟⼀，则向量组4321,,,αααα的秩为（）A ．1B ．213．设β可由向量)0,0,1(1=α，)1,0,0(2=α线性表⽰，则下列向量中β只能是（） A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-14．设4阶矩阵A 的秩为3，12,ηη为⾮齐次线性⽅程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该⽅程组的通解为（） A ．1212c ηηη-+ B ．1212c ηηη-+ C ．1212cηηη++D ．1212c ηηη++15．向量组的极⼤线性⽆关组为（） A ． B ． C ． D ． 16.设向量组，则 ( ) A. 123,,,αααβ线性⽆关B. β不能由123,,ααα线性表⽰C. β可由123,,ααα线性表⽰，且表⽰法唯⼀D. β可由123,,ααα线性表⽰，但表⽰法不唯⼀17．设λ=2是可逆矩阵A 的⼀个特征值，则矩阵12)(-A 必有⼀个特征值等于（） A ．41 B ．21 C ．2 D ．418. 设矩阵A =??---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A. T (1,1,1) B. T (1,1,3) C. T (1,1,0) D. T (1,0,3)-19. 设矩阵A =??D.720. 下列矩阵是正交矩阵的是（） A.??--100010001 B.21110011101C.??--θθθθcos sin sin cosD.--336102233660336122三、计算题1．计算⾏列式1134110513132413----． 2. 计算⾏列式111111111111--+---+---xxxx．3．已知矩阵(2,1,0)A=，(1,2,3)B=，2()51f x x x=-+，求：（1）T A B；（2）T ()f A B.4．已知向量(1,2,),(1,,),23k==αβ且3,T T==Aβααβ，求（1）数k的值；（2）A10. 5．已知矩阵121012001A-=-，310111B-= ?-??，求矩阵X，使得AX B=.--=t A 3651231121λ，已知2)(=A R ，求λ，t 的值.7．记T 1(1,1,2,2)α=，T 2(1,2,1,3)α=，T 3(2,3,1,0)α=，T 4(1,0,3,1)α=.求向量组的秩和⼀个最⼤⽆关组,并将其余向量⽤此最⼤⽆关组线性表⽰.8. 求齐次线性⽅程组 2401234323012343401234x x x x x x x x x x x x ?+-+=??-++=??+++=??的⼀个基础解系，并将⽅程组的通解⽤基础解系表⽰出来..9．求线性⽅程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=??++-=??+++=?的通解.（要求⽤它的⼀个特解和导出组的基础解系表⽰）.10.设矩阵A =----242352341，求矩阵A 的全部特征值和特征向量。

2018高起专线性代数(文)

《线性代数（文）》综合复习资料一、填空题1．排列623451的逆序数为。

2．行列式2413635104D -=-=- 。

3．矩阵 12120000,000n n a a A a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪=⋅⋅⋅≠ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，则1A -= 。

4．四阶行列式||ij D a =中，项14233241a a a a 前应带号。

5．行列式301221071D =--中元素3的代数余子式等于。

6．设有矩阵2424,3612A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则AB = 。

7．行列式1111211kD k -=-=- 。

8．设矩阵110230003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=。

9．A 为 m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组是线性___ 关的。

10．设矩阵 1201A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则kA = 。

11. 向量组123139206317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，一定是线性关的。

12．设有向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121α，则α的长度为。

二、单项选择题1. 排列4123的逆序数为（）。

A ）1B ）2C ）3D ）4 2．设A, B 皆为n 阶矩阵，则必有（）。

A) A B A B +=+ B) AB BA = C) AB BA = D) 111()A B A B ---+=+3. 若矩阵111121231λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ=（）。

A ）0B ）1C ）2D ）34．设A 为三阶方阵，且3A =，则1(3)A -=（）。

A)19； B) 181； C) 9； D) 81 5．矩阵1235A ⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵1A -=（）。

A ）5231-⎛⎫⎪-⎝⎭； B ）1121135⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C ）1152113⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D ）5231-⎛⎫ ⎪-⎝⎭6．向量组1(1,1,1)α=，2(1,1,0)α=，3(0,0,1)α=的一个最大无关组为（）。

省电大期末线性代数考试试题及答案

1 / 6陕西广播电视大学成人教育学院2018-2018学年第二学期期末考试线性代数（90分钟）试卷2018年1月一、选择题（每题3分，共30分）1、若A 为3阶方阵，且2A ,则A 2=（）A.-4B.4C.-16D.162、设B A,为n 阶方阵，满足等式0AB,则必有（）A. 0A或0B B.0A 或0B C.0BA D.B A 3、设n 元线性方程组B AX ，且n b A R A R ),()(，则该方程组（）A.有无穷多解B.有唯一解 C.无解 D.不额定4、n 阶方阵A 的行列式0A 是矩阵A 可逆的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件5、3220221A ,它的第3行第2列元素0的代数余子式32A （）A.2B.-2C.0D.36、向量)1,1,1(),3,4,3(),1,2,1(321，则向量组321,,的秩为（）A.0B.1C.2D.37、设n 元线性方程组0AX ，且k A R )(，则该方程组的基础解系由（）个向量组成A.无穷多个B.有唯一个 C.k nD.不确定8、若矩阵A 有可逆矩阵，则下列说法不正确的是（）A 、矩阵A 必是方阵B 、0AC 、AAA*1,其中*A为A 的伴随矩阵D 、矩阵A 经过初等变换一定能化为单位矩阵9、若矩阵A 为43矩阵，矩阵B 为24矩阵，则AB是（）矩阵A 、3×4B 、3×2C 、4×2D 、4×310、向量组)0,0,1(1，)0,2,0(2，)3,0,0(3，则下列说法不正确的是（）第1页共4页2 / 6A 、向量组321,,线性无关 B 、以向量321,,为行排列成的矩阵的秩是 3C 、向量21,及向量32,也线性无关 D 、向量31,线性相关二、填空题（每题5分，共25分）1、若122211211a a a a ，则16030322211211a a a a 2、20132100210213、已知2020002A，则3A4、已知A 为三阶方阵，且2A则A2。

2018考研真题专项训练---线性代数(1)-试题

*
3 A* 0
（D）
0 3B
*
2 A* 0
6.设 A, B, C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 B 可逆，则( （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．
1 0 1 【类似】(2017.I,III,13)设矩阵 A 1 1 2 ， 1 , 2 , 3 为线性无关的 3 维向量，则 0 1 1
向量组 A1 , A 2 , A 3 的秩为_________ 【类似】设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值 ,对应的特征向量分别为 α1 , α 2 , 则 α1 ,
( (A) ( a 2 b 2 c 2 d 2 ) 2 . ( (C) (a b c d ) .
2 2 2 2
(D) a b c d .
2 2 2 2
* *
3 .设 A 为 n( n 2) 阶可逆矩矩阵,交换 A 的第 1 行与第第 2 行得矩阵阵 B.A , B 分分别为 A, B 的伴随矩矩阵,则( )
二、选择（每题题 4 分） 1.设设矩阵 A ( aij ) 3 3 满足足 A A ，其中 A 是 A 的伴随矩阵阵， A 为 A 的转置矩阵阵. 若
* T * T
a11 , a12 , a13 为三三个相等的正正数，则 a11 为 ( )
(A)
1
Q α1 2α 2 , α3 , α 2 则 Q 1 AQ
1 0 0 【扩展】设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P AP 0 1 0 .若 P α1 , α 2 , α3 ， 0 0 2