实数完备性证明

一.七大定理循环证明:

1.单调有界定理→区间套定理

证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞

→n lim

n

a = r ，

同理可知{n b }存在极限，设∞

→n lim n b =r ' ，由∞

→n lim （n

n

a b

-）=0得r r '-=0

即r r '=

∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。

下面证明唯一性。 用反证法。如果不然。则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤

对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，

令

2

2

1'r r r +=

显然

2

'1r r r <<

⇒

A r ∈'，

B r ∈'，

这与B A |是R 的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。

2.区间套定理→确界定理

证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知

∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，

b ]，用1a ，1b 的中点2

1

1b a +二等分[1

a ，1

b ]，如果2

11

b a

+是A 的上界，

则取[2a ，2

b ]=[1

a ，2

11

b a

+]；如果2

11

b a

+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2

1

1b a +，1

b ]；用2

a ，2

b 的中点2

22

b a

+二等分[2a ，2

b ]……如此继

续下去，便得区间套[n

a ，n

b ]。其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。由区间套定理可得，∃唯一的 ∞

=∈1],[n n n

b a

r ，

使∞

→n lim n a =∞

→n lim

n b = r 。A x ∈∀，

由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞

→n lim n b = r ∴ r

是A 的上界。

而,0>∀ε 由∞

→n lim

n

a = r 知，a r N ，n N ，n

εε-∃>∀有当知,0

从而X ，a r A ，X n ε-∈∃使 ∴r=supA 。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。 3.确界定理→有限覆盖定理

证明：设E 是闭区间[b a ，]的一个覆盖。

定义数集A={a x ≥|区间[x a ，]在E 中存在有限子覆盖}

从区间的左端点a x =开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数集A 的定义可见,若∈x A,则整个区间[x a ，]⊂A.

∴若

A 无上界,则b ∈A,那么[b a ，]在E 中存在有限子覆盖.

若A 有上界, 由确界定理可得∃r,使r=sup A 。

∴r x ∀，都有∈x A 。事实上，,0)( x r -∀,y ∃使得x x r r y =--)( 。

[y a ，]在E 中存在有限子覆盖，∴[x a ，]⊂[y a ，]在E 中存在有

限子覆盖

下证b

覆盖r 。0a ∃，0b ∈αE ，使0a 0b r 。

由上面论证知0a ∈A ，也即区间[0

a a ，]在E 中存在有限子覆盖，向这

个有限子覆盖再加上开区间αE ，

即成为[b a ，]的覆盖。∴0b ∈ A ，与r=sup A 矛盾。定理证完。

4.用有限覆盖定理证明聚点定理

证明：设E为直线上有界无穷点集，则存在

M>o，使Ec[一M，M]中任何点不是E的聚点，

则对每一个x∈[一M，M]，必存在相应的6。>o，

使得在U(x，8。)内至多含有E的有限多个点。

设H一{U(x，文)|x∈[一M，M])。则H是

[一M，M]的一个开覆盖。由有限覆盖定理，H中

存在有限个开覆盖U(x，，艿。，)(j一1，2，3。……)构成[一M，M]的一个开覆盖，当然也覆盖了E。由

邻域U(x，，文，)的原意，在其内至多含有E的有限

多个点x，(j一1，2，3，……)。故E为有限点集，这与题设E为无穷点集相矛盾。故[一M，M]中至多

有E的一个聚点。

5.用聚点定理证明致密性定理

证明：若数列{x。}中含有无限多个相等的项，

则由这些项组成的子列是一个常数列，显然收敛。

若数列{x。}不含有无限多个相等的项，则由

聚点定理，点集{x。}至少有一个聚点，记为x。，由

聚点的等价定义

令￡1—1，存在x。1∈U(xo，￡1)n{x。}且x。1≠Xo；

令￡2一min{1／2，J xn 】一xo f)，存在x 。2∈U (xo ，￡2)n{x 。)

且x 。2≠xo(显然x 。2≠x 。1)；

令ek —min{1／k ，I x 。k —xo{)，存在x 。k ∈U (x 。，￡k)n{x 。)且

x 。k ≠xo(显然x 。k ≠x 。i ，i 一1，2，3，……k 一1)； 从而得到{x 。)的子列{x 。t)，它的各项互不相 同，且Ix 。k —xo I<￡k ≤1／k 。 于是{x 。k)收敛于x 。

6．紧致性定理→柯西收敛定理

证明：必要性。已知}{n x 收敛，即R r ∈∃，∞

→n lim n x =r ，

即0 ε∀，，当N n ，有|n x -r|2

ε 。

因此，只要

N

n ，

N

m ，有

|n x -m x |=|n x -r+r-m x |≤|n x -r|+|r-m x |ε 。

充分性。先证}{n x 有界。对1=ε，N ∃，当N n ，N m ，有|n x -m x |1 。 取定

n =N+1，则只要N n ，有|n x -0

n x |1 ，从而

|n x |=|n x -0

n x +0

n x |1 +|0

n x |，

令M=max （|1x |，……，|N x |，1+|0

n x |），则|n x | M （n ∀）。

下证}{n x 有极限存在。 }{n x 有界，由紧致性定理可得，∃}{n x 的子数列}{k

n x 且收敛于r 。

即0 ε∀，K ∃，当K k 时，有|k

n x -r|2

ε 。

另外，1

N ∃，当1N n ，1N m ，有|n x -m x |2

ε 。