06线性代数观点下的一些竞赛问题
线性代数精彩应用案例_之一_
1 斐波那契数列
例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , 如果 = Fn- 1 + Fn- 2 ( 对所有的正整数 n 3) , 就称为斐波那契( F ibonacci) 数列. 试求斐波那契数列的通项公式.
解 先求满足递推关系
an = an- 1 + an- 2
Fn=
qn2 q2 -
qn1 q1
=
n
n
1+ 5 2
-
1- 5 2
.
5
以上的解法的关键是: 满足条件( 1) 的两个等比数列{ an } , { bn} 之和{ cn } 仍然满足条件( 1) , ( 虽然
{ cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1. 实际上, 满足条件( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列{ an } 的
公式.
例 1 可以推广到更一般的情形:
问题 1 对任意给定的复数 b, c, 如果数列{ un} 满足条件
un = bun- 1 + c un- 2 ( n 3)
( 4)
并且已知这个数列的前两项 u1 , u2 , 求 un . 仍用 V 表示复数组成的全体数列{ an} 组成的复数域上线性空间. 则满足条件( 4) 的全体数列组成 V
列 , 与等比数列类似可以得到它的通项:
F n- 1 =
n- 1 = A n- 2 = A2 n- 3 =
Fn
= An- 2 1 = An- 2 F1 = An- 2 1 .
F2
1
只要算出了 An- 2 , 就能得到 F n . 为了算出 An- 2 , 利用矩阵相似的理论和方法, 先将 A 相似于尽可能
线性代数常见题型与解题方法归纳(1)高级版
线性代数常见题型与解题方法归纳(1)高级版摘要本文介绍了线性代数中的常见题型及其解题方法。
通过归纳和总结，希望读者能够更好地理解和掌握线性代数的基本概念和解题技巧。
1. 矩阵运算题型矩阵运算是线性代数中的基础，掌握好矩阵的各种运算方法对于解题能力至关重要。
常见的矩阵运算题型包括：- 矩阵的加法和减法：根据定义，对应位置上的元素相加或相减。
- 矩阵的乘法：按照乘法规则，将矩阵的行与列进行相乘，并求和得到对应位置上的元素。
- 矩阵的转置：将矩阵的行和列进行对换。
- 矩阵的逆：如果一个矩阵存在逆矩阵，乘以逆矩阵后等于单位矩阵。
解题方法：熟悉矩阵运算的定义和规则，并通过大量练加深理解。
注意在计算过程中注意细节，避免疏忽和计算错误。
2. 线性方程组题型线性方程组是线性代数中另一个重要的概念，它涉及到多个未知数和多个方程的关系。
解线性方程组需要使用矩阵的运算方法。
常见的线性方程组题型包括：- 高斯消元法：通过消去系数矩阵中的元素，将线性方程组转化为阶梯形或行简化阶梯形，从而求得方程的解。
- 矩阵的逆：如果系数矩阵存在逆矩阵，可以通过左乘逆矩阵来求解线性方程组。
- 克拉默法则：对于n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则可以使用克拉默法则求解。
解题方法：根据题目的要求选择合适的解法，熟练掌握高斯消元法和矩阵的逆运算方法。
在解决线性方程组时，注意方程之间的关系和约束条件。
3. 特征值和特征向量题型特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述线性变换对应的变量。
常见的特征值和特征向量题型包括：- 求特征值和特征向量：通过求解特征方程，找到特征值，并代入特征向量方程求解特征向量。
- 对角化：如果矩阵存在n个线性无关的特征向量，可以将矩阵对角化，即得到一个对角矩阵和一个对应的变换矩阵。
解题方法：理解特征值和特征向量的几何意义，掌握求解特征值和特征向量的方法。
注意在求解特征方程时，应特别注意解的个数和重复特征值的情况。
高等代数竞赛试题
历年大学生数学竞赛高等代数试题及分析(首届数学竞赛预赛试题)第二题此题考查的基本概念及基本方法：1.矩阵相等的定义及证明两个矩阵相等的方法。
2.求线性空间的维数及证明向量组线性无关的方法。
3矩阵的分块。
4.矩阵的乘法不满足交换律，但矩阵多项式()f A 与()g A 是可交换的。
第三题此题考查的基本概念及基本方法： 1线性变换的特征值与特征向量2.线性变换的特征子空间与不变子空间，同时，若,στ是复数域C 上n 维线性空间V 的线性变换，且σ的特征子空间是τ的不变子空间，则,στ在V 中必有公共的特征向量。
3.线性变换的迹的定义及迹的性质。
(首届数学竞赛决赛试题) 第七题此题考查的基本概念及基本方法： 1.正定矩阵与半正定矩阵的性质。
2.实对称矩阵正交相似于一个对角阵。
3.矩阵的分块。
4.行列式的计算。
第八题1.线性空间的核空间和象空间的维数公式。
2.线性空间的维数定理。
3.线性空间的基的扩充定理。
(二届数学竞赛预赛试题)第二题：此题主要考察矩阵的特征值，矩阵的若当标准型，矩阵的秩。
并且要注意到相似矩阵有相同的特征值。
第六题此题主要考察利用构造法证明问题的方法，在证明过程中用到了矩阵的转置运算。
同时，题目中条件比较多，如何把这些条件有序的联系起来进行构造，是证明的一个难点。
(二届数学竞赛决赛试题)第四题此题主要考察矩阵线性空间的线性变换的可对角化问题。
在证明过程中，主要涉及到的知识点有矩阵线性空间的基及其维数，向量的线性无关的判定，以及特殊矩阵的运算。
第六题M R上满足一定条件的线性函数的结构。
解决此类问题的一般方法是首先取定矩阵线性空间的自然基，规定线性函数在自此题主要考察矩阵线性空间()n然基下的象，最终就可以确定线性函数的结构。
在证明此问题的过程中，用到的基本知识点有：１．矩阵的迹的相关性质。
２．矩阵线性空间的自然基之间的乘法运算。
（此知识点已考过多次）(三届数学竞赛预赛试题)第三题此题主要考察线性变换与矩阵的对应关系。
关于《线性代数》教学的一些想法和思考(精)
关于《线性代数》教学的一些想法和思考作者：薛艳霞杜莹 2011-12-2523:45:51 来源：毕业论文网摘要：本文结合线性代数课程本身的特点和作者自身的教学实践，就如何提高线性代数课程的教学效果，提出改进线性代数教学方法的几点想法和建议。
关键词：线性代数、学习兴趣、教学方法《线性代数》是高等院开设的一门重要的数学基础课，该课程对于提高学生的数学素养、培养学生用数学思维分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力是非常有用的。
因为它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已广泛渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域,同时为后续课程包括数学建模、运筹学等的深入学习作铺垫。
但是，该课程具有概念多、抽象、逻辑性强的特点，学生们普遍反映线性代数抽象、枯燥、繁琐、难学、没用，并因此失去了学习的兴趣，更缺乏进一步深入研究和探索该门课程的愿望。
作为从事《线性代数》教学的教师，不能满足只是完成把知识强施于人，这样绝大部分学生会反感，进而会产生抵触情绪，以致放弃该门课程的学习。
那么怎样才能让学生产生主动学习的兴趣，怎样才能将课堂内容用更好的教学方式组织以便让学生乐于接受，怎样才能让学生更有成效的学好这门课程，笔者认为可以从以下几个方面入手。
第一，创设学习情境，激发学生的学习兴趣。
俗话说，“兴趣是最好的老师”。
因此作为任课教师，第一堂课前必须花费大量时间做好准备工作，比如查阅资料追溯线性代数的相关历史，收集一些将想象力、创造力、努力交织在一起的数学家们的有趣事迹，让学生充分了解课程内容的相关背景知识及发展现状，激励学生学习的兴趣。
这样，基于学生对这些数学家们的好奇心，便急于想从学习过程中寻找答案。
从而教师便可以创设一种很轻松的学习氛围，使他们了解知识点的来龙去脉，进而加深他们对概念的理解，同时还有利于拓广他们的知识面，提高他们的数学修养，激发他们的学习兴趣和主动探索知识的内在动力，学生如果对学习线性代数有了强烈的兴趣，也达到了我们的教学效果，自然就提高了学习效率。
线性代数第二章知识题目解析
习 题 2-11．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100100110000001011111000111010654321654321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2521,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧===211z y x 。
习 题 2-21．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -．解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=052110351234B ，求B A 23-． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0521103512342230412301321323B -A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=619410161510550110104220610246869012369039633．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101012121234,432112122121B A ，求（1）B A -3； （2）B A 32+；（3）若X 满足B X A =-，求X ；（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10101212123443211212212133B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973282851311010121212341296336366363； （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1010121212343432112122121232B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561252527813143030363636912864224244242； （3）由B X A =-得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=533104041113101012121234432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=223232340342231031033112020335532)(32B A Y 。
2023届高三线性代数常考十大解答题型
2023届高三线性代数常考十大解答题型1. 矩阵运算这是线性代数中最基础的解答题型之一。
题目要求学生进行矩阵的加法、减法、乘法等运算，还可能涉及到矩阵的幂、转置等操作。
解决这类题型需要掌握矩阵的运算规则和相应的计算技巧。
2. 矩阵的特征值和特征向量这类题型要求学生求解矩阵的特征值和对应的特征向量。
解题过程中需要使用特征多项式、特征方程等概念，以及求解线性方程组的方法。
此外，还要能够判断特征值的重数和特征向量的线性无关性。
3. 矩阵的行列式这类题型要求学生求解矩阵的行列式值。
解决这类题目需要熟悉行列式的定义和计算方法，掌握行列式的性质和运算规则，并能够应用行列式的性质进行计算。
4. 向量的线性相关性这类题型要求学生判断给定向量组的线性相关性，并可能涉及求解向量组的线性表示和线性方程组的解。
解决这类题目需要理解线性相关和线性无关的概念，掌握求解线性方程组的方法和求解向量组线性表示的技巧。
5. 向量的内积和投影这类题型要求学生计算向量的内积和向量在另一向量方向上的投影。
解题过程需要使用向量的坐标表示法，掌握向量内积和投影的计算公式，以及向量的性质和运算法则。
6. 线性方程组这类题型要求学生求解给定的线性方程组。
解题过程需要应用矩阵运算、行列式、向量的线性表示等知识，以及高斯消元法、克莱姆法则等解线性方程组的方法。
7. 空间中的向量及其运算这类题型要求学生理解空间中向量的概念和运算法则，并能够进行相应的计算。
解决这类题目需要掌握向量的坐标表示、向量的运算规则和性质，以及运用空间向量的知识解决实际问题。
8. 矩阵的秩这类题型要求学生计算给定矩阵的秩，并可能涉及对矩阵进行初等行变换和行列式运算。
解决这类题目需要掌握矩阵的秩的定义和计算方法，以及初等行变换和行列式运算的技巧。
9. 线性空间和子空间这类题型要求学生理解线性空间和子空间的概念，并能够判断给定集合是否是线性空间或子空间。
解决这类题目需要掌握线性空间和子空间的性质和判定条件，以及对集合进行运算和验证的方法。
代数竞赛试题及答案高中
代数竞赛试题及答案高中试题一：设\( a \)和\( b \)是实数，且满足\( a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \)。
求\( a \)和\( b \)的值。
答案：将给定的方程\( a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \)视为关于\( a \)的一元二次方程，可以写成\( (a - 2b)^2 = 0 \)。
因此，\( a - 2b = 0 \)，得到\( a = 2b \)。
试题二：解不等式：\( |x - 3| + |x + 1| \geq 4 \)。
答案：根据绝对值的性质，我们可以将不等式分为三个区间进行讨论：1. 当\( x < -1 \)时，不等式变为\( -(x - 3) - (x + 1) \geq 4 \)，即\( -2x + 2 \geq 4 \)，解得\( x \leq -1 \)。
2. 当\( -1 \leq x < 3 \)时，不等式变为\( (x - 3) - (x + 1)\geq 4 \)，即\( -4 \geq 4 \)，这是不成立的，所以这个区间没有解。
3. 当\( x \geq 3 \)时，不等式变为\( (x - 3) + (x + 1) \geq 4 \)，即\( 2x - 2 \geq 4 \)，解得\( x \geq 3 \)。
综合以上三个区间，不等式的解集为\( x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty) \)。
试题三：已知\( \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x} = 1 \)，求\( x \)的值。
答案：将方程\( \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x} = 1 \)进行合并，得到\( \frac{x + (x - 1)}{x(x - 1)} = 1 \)。
化简得\( 2x - 1 = x^2 - x \)。
整理后得到\( x^2 - 3x + 1 = 0 \)。
线性代数中常见的难题、易错题目解析
线性代数中常见的难题、易错题目解析线性代数是数学的一个重要分支，包括线性方程组、矩阵论、特征值分解等内容，已经成为许多学科的必备的基础知识。
随着学科的发展，线性代数也成为了一门杂而乱的学科，其中很多难题和易错题目都会困扰学习者。
本文将从难题、易错题的解析的角度，介绍如何解决线性代数中常见的难题和易错题目。
一、难题1、求解方程组求解方程组是一个具有挑战性的问题，如果把它当做一个整体去理解和求解，那么将是一个棘手的问题。
一般来说，可以用矩阵的乘法法则进行求解，或者用换元法来求解，或者用逐步求解法求解，最后结合容易理解的思想，来解决更加复杂的多元方程组。
2、求矩阵的特征值、特征向量矩阵的特征值和特征向量非常重要，求解特征值和特征向量十分困难。
特征值是矩阵行列式的解，而特征向量则是将特征值代入矩阵方程来求解，这两个问题会有一定的耦合性，有时候也不容易像前者一样能够得出精确的解。
因此，对矩阵的特征值和特征向量求解，一般来说要尽可能的用矩阵的几何性质，来解决相关的问题。
3、找到向量的基础向量的基础是要证明一组给定的向量可以线性表示其他所有的向量，也就是说，它们能够形成一个若干个线性无关向量的基础。
但是在找到向量的基础时，有时会出现向量冗余的情况，我们要在构造基础时尽可能消除冗余，使用一些四元数计算可以大大减少搜索时间，然后在手动检查和调整时，来增强搜索的精确性和准确性。
二、易错题1、矩阵相乘的几何意义很多学生常常弄混矩阵的相乘的几何意义，将它和普通的算术乘法混为一谈。
实际上，矩阵的相乘有重要的几何意义，也就是图像的变换，图像可以用平移、旋转、缩放等形式来表示，而所有的变换就是矩阵乘法的几何意义。
2、判断一个矩阵是否是对称矩阵对称矩阵是比较常见的一类矩阵，但是给出一个矩阵之后数学家要判断它是否是对称矩阵，也是一个相当难的问题。
其实并不难，只要把它乘自身的转置就可以得到判断的答案，如果转置之后的矩阵和原矩阵相同，那么它就是一个对称矩阵，反之则不是。
数学竞赛高等代数试题候选题参考解答
数学竞赛高等代数试题候选题参考解答（杨利军提供，2013年10月30日）1．设A 为n 阶实方阵，n R ∈ξ为n 维向量。
证明，若存在正整数k ，使得01k ≠-ξA ，0k =ξA ，则向量组ξξξ1-k A ， ，A ， 线性无关。
证明：令0A A 1-k 110=++-ξξξk c c c 。
用1k -A乘等式两边即得01k 0=-ξAc 。
由假设01k ≠-ξA，故必有00=c 。
因此0A A 1-k 11=+-ξξk c c 。
类似，用2k -A 乘等式两边即得01k 1=-ξA c 。
故01=c 。
如此继续下去，即知0=j c ，1,,2 ,1,0-=k j 。
这表明向量组ξξξ1-k A ， ，A ，线性无关。
证毕。
2． 证明，若n 阶实方阵A 的秩为1-n ，则A 的伴随矩阵*A 可以表示为T*ψϕ⋅=A ，其中n R ，∈ψϕ为列向量。
证明：根据等式0)det(*==⋅I A A A 可知*A 的每个列n jR ∈*ϕ都是矩阵A 的零向量，即0*=j A ϕ，m j ,,2 ,1 =。
由假设A 的秩为1-n ，故每个列*j ϕ可表为ϕϕj j c =*，m j ,,2 ,1 =，其中n R ∈ϕ满足0=ϕA 且0≠ϕ。
于是()T n c c c A ψϕϕϕϕ⋅==,,,21* ，其中),,(1n T c c =ψ。
不难看出，向量ψϕ ，分别是矩阵A 关于特征值零的右特征向量和左特征向量，即0=ϕA ， 0=A T ψ。
证毕。
3． 给定正整数n ，对任意正整数n m >，构造m 个n 维向量n j R ∈ϕ，m j ,,2 ,1 =，使得这m 向量中的任意n 个向量都是线性无关的。
解：对任意给定的正整数m ，取m 个互不相同的实数j a ，定义n 维向量n j R ∈ϕ为Tn j j j j a a ),,a ,,1(12-= ϕ，m j ,,2 ,1 =。
则向量组}{j ϕ满足要求。
数学竞赛中的代数知识点总结
数学竞赛中的代数知识点总结数学竞赛作为一种重要的赛事和考试方式，在代数方面的内容难免会成为考点和难点。
本文将对数学竞赛中的代数知识点进行总结，简明扼要地介绍代数学习的要点和困难点，希望对读者有所帮助。
一、基础代数知识在代数的学习过程中，首先需要掌握基本的代数知识。
比如一次函数、二次函数、指数函数等等常见的函数形式，以及二元一次方程、二次方程、不等式、绝对值等基本的代数式子。
其中最重要的之一是一次函数——简单来说，一次函数就是自变量的线性函数关系，也即 y=ax+b 的形式。
通过一次函数的学习，我们可以了解到代数中的函数、直线、斜率等基本概念，以及在实际问题中函数的应用和解题方法。
二、高等代数知识在基础代数知识掌握后，需要进行进一步的高等代数学习。
高等代数知识主要包括了因式分解、配方法、推广恒等式等等知识点。
其中，因式分解是数学中非常重要的文化遗产。
通过因式分解可以将复杂的多项式分解成简单的乘积形式，方便运算与简化式子。
在高中阶段我们已经了解了一些基本的因式分解公式，比如(a+b)的平方、差方公式、a^2-b^2的因式分解等。
而在比赛以及进一步学习中，我们还要了解到更为复杂的因式分解方式和技巧。
比如乘法公式、终结之法、欧拉公式等等。
配方法则是一种比较常用的同时含有无理项的代数式子的求解方法。
虽然配方法通常也适用于线性代数或者微积分领域，但是在竞赛中由于时间短和难度较低，通常考查一些基本的配方法应用情况。
恒等式则是将两个拥有不同表现形式的式子变换的时候，用到的一组有效的方法。
比如，在解一般高中以及更高难度数学竞赛时候，我们通常会使用恒等式将数学式子化简，从而达到答题目的。
同时，恒等式也对于考察能力以及数学思维方式的培养都有一定的作用和意义。
三、其他代数知识在数学学科中，代数也是一个非常广泛和复杂的学科领域，因此高等代数知识的学习也不一定全面。
在数学竞赛中，也可能考查一些其他代数知识，比如多项式的连续性、变号矩阵等知识点。
初中代数竞赛题
初中代数竞赛题主要是考察学生的数学能力和思维能力的题目。
这些题目通常涉及到代数、方程、不等式、函数、数列等初中数学的重要知识点，同时还需要学生具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。
下面是一些初中代数竞赛题的详细介绍：1.代数方程：代数方程是代数竞赛中最基础的知识点之一。
题目通常会给出一些复杂的方程，要求学生找出未知数的值或者证明某个方程无解。
这些题目需要学生熟练掌握代数运算和方程的解法。
2.不等式：不等式也是代数竞赛中常见的一个知识点。
题目通常会给出一些复杂的不等式，要求学生找出满足条件的值或者证明某个不等式恒成立的条件。
解决这类题目需要学生熟练掌握不等式的性质和运算法则。
3.函数：函数是初中代数中的一个重要概念。
代数竞赛中的函数题目通常会涉及到函数的性质、图像和最值等方面。
这些题目需要学生熟练掌握函数的性质和图像，并能够利用这些性质和图像来分析问题和解决问题。
4.数列：数列是代数中的一个重要概念，也是初中代数竞赛中常见的知识点之一。
题目通常会涉及到数列的通项公式、求和、找规律等方面。
解决这类题目需要学生熟练掌握数列的性质和求法，并能够利用这些性质和求法来分析问题和解决问题。
5.组合数学：组合数学是代数的一个分支，也是初中代数竞赛中常见的知识点之一。
题目通常会涉及到排列、组合、概率等方面。
解决这类题目需要学生熟练掌握组合数学的基本概念和公式，并能够利用这些概念和公式来分析问题和解决问题。
总的来说，初中代数竞赛题考察的是学生的数学能力和思维能力，需要学生具备扎实的数学基础和灵活的思维方法。
通过练习这些题目，学生可以更好地理解数学的概念和方法，提高自己的数学水平。
代数关于奥赛部分知识点的讲解及习题讲解
代数关于奥赛部分知识点的讲解及习题讲解函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)* 函数迭代中的”穿脱”技巧：设函数y=f(x),并记f n (x)=f(f(f …(fx)…),其中n 是正整数, f n (x)叫做函数f(x)的n 次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,由f(x)(或f n (x)的表达式”穿上”或”脱去”n -1个函数符号得出f n (x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱：“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f ,或从外至内一层层脱去f ,往往是一种程序化的模式,2.周期性穿脱：在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.例题1．设f(x)=x 2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。
①求证：A ⊂B ；②如果A={－1,3}，求B 。
解析：①设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A∵A={x|x=f(x)}∴x 0=f(x 0)⇒f[f(x 0)]=f(x 0)=x 0⇒x 0∈B∴A ⊂B②∵A={－1,3}={x|x 2+px+q=x}={x|x 2+(p-1)x+q=0}∴⎩⎨⎧=⨯---=+-q p 3)1()1(31⇒⎩⎨⎧-=-=31q p ⇒f(x)= x 2-x-3 ∵f[f(x)]=x ⇒x 4-2x 3-6x 2+6x+9=0⇒(x 2-2x-3)(x 2-3)=0⇒x=-1或3或3或-3 ∴B={-1,3,-3,3}。
代数竞赛试题及答案
代数竞赛试题及答案试题一：解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解的方法来解决。
首先找到两个数，它们的乘积等于6，而它们的和等于-5。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程分解为：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]这意味着\( x - 2 = 0 \) 或 \( x - 3 = 0 \)，所以解为 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
试题二：如果 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 + b^2 = 25 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
解答：我们需要找到所有满足条件的正整数对 \( (a, b) \)。
由于 \( a \) 和 \( b \) 是正整数，我们可以从 \( a = 1 \) 开始尝试，并检查\( b \) 是否为正整数。
以下是所有可能的组合：- \( a = 1 \)，\( b^2 = 24 \)，没有正整数解。
- \( a = 2 \)，\( b^2 = 21 \)，没有正整数解。
- \( a = 3 \)，\( b^2 = 16 \)，\( b = 4 \)。
- \( a = 4 \)，\( b^2 = 9 \)，\( b = 3 \)。
因此，满足条件的正整数对有 \( (a, b) = (3, 4) \) 和 \( (4, 3) \)。
试题三：证明：如果 \( a \)，\( b \)，\( c \) 是实数，并且 \( a + b +c = 0 \)，那么 \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)。
解答：我们可以使用已知条件 \( a + b + c = 0 \) 来简化表达式。
首先，我们可以将 \( c \) 表示为 \( -a - b \)。
将这个表达式代入\( a^3 + b^3 + c^3 \) 中，我们得到：\[ a^3 + b^3 - (a + b)^3 \]利用差立方公式 \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)，我们可以将上述表达式重写为：\[ -3ab(a + b) \]由于 \( a + b + c = 0 \)，我们知道 \( a + b = -c \)。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。
以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。
# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。
答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。
令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。
这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。
在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。
在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。
因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。
# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。
首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。
数学全国竞赛试题及答案
数学全国竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知 \( a, b, c \) 是一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根，且 \( a, b, c \) 都是正整数。
若 \( a + b + c = 14 \)，求 \( a, b, c \) 的可能值。
解答：根据韦达定理，我们知道 \( a + b + c = -\frac{b}{a} \) 且\( ab + ac + bc = \frac{c}{a} \)。
由于 \( a, b, c \) 都是正整数，我们可以设 \( a = 1 \)，因为如果 \( a > 1 \)，那么 \( a + b + c \) 将大于 14。
此时，\( b + c = 13 \)。
考虑到 \( b \) 和\( c \) 都是正整数，我们可以列出所有可能的 \( b \) 和 \( c \) 的组合：- \( b = 1, c = 12 \)- \( b = 2, c = 11 \)- \( b = 3, c = 10 \)- \( b = 4, c = 9 \)- \( b = 5, c = 8 \)- \( b = 6, c = 7 \)这些组合都满足 \( a + b + c = 14 \) 的条件。
试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB 是斜边，且 AB = 10，BC = 6。
求 AC 的长度。
解答：根据勾股定理，我们有 \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)。
将已知数值代入，得到 \( AC^2 + 6^2 = 10^2 \)。
解这个方程，我们得到 \( AC^2 = 100 - 36 = 64 \)，所以 \( AC = 8 \)。
试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。
求所有可能的放球方式。
解答：首先，我们把 5 个球分成 3 组，每组至少一个球。
数学竞赛中的代数问题
9月27日课反馈有真减少和假减少2-3 数学竞赛中的代数问题（09，9，30）一、IMO中的代数问题代数是中学数学的主体内容，其在竞赛中占据重要地位是理所当然的，已广泛涉及恒等变形、方程、函数、多项式、不等式、数列、复数、函数方程、矩阵等方方面面，纯代数题加上与数论、组合、几何的交叉约占36%，是IMO中的第二大模块．IMO1-50届各类试题统计表近年的主要特点是：1.出现集中的趋势．统计表明，近30年来，难度较小的问题（如恒等变形、单一的解方程等）消失了，明显超出中学范围的问题（如矩阵等）也消失了，代数问题正在不等式、数列、函数方程上集中．这表明IMO代数题的命题趋向是，既在努力避开有求解程式的内容、提高试题的难度，又在尽力避免超出中学生的知识范围，而在思维的灵活性、创造性上做文章．2.运算与论证的综合．中学代数偏重于运算，并且常常有程序化、机械化的优势（运算可以看成是机械化的推理）．作为高层次的竞赛，停留在运算的熟练和准确上是不够的，因而IMO的代数题常以抽象论证的面目出现，并且时间也允许进行大数字、多字母、多环节的硬运算．一方面精确的演算为推理提供论据，另一方面论证推理又提出演算的需要、两者相辅相成．从理解题意开始，到运算结构的分析、运算阶段的连接，乃至整个解题程序的调控，都有运算与论证的交互推进．这构成了IMO代数题的一个发展趋势，也体现着代数思维的一般性和从过程到对象（凝聚）等特征．（几何头、代数尾）3.与数论、组合、几何的交叉．代数知识在各个学科中都有基础的作用，无论哪一门中学数学分支都少不了代数运算．IMO试题在避开常规代数题并侧重抽象论证的同时，正在加强与各个学科的综合，不等式不仅有大量的数列不等式、最优化背景不等式，而且有越来越多的几何不等式、数论不等式、组合不等式；方程知识也在数论问题、几何问题或其他离散问题中屡屡出现．二、多项式1．基础知识数学竞赛中的多项式问题主要涉及多项式恒等，多项式的和、差、积与分解，多项式的整除性，多项式的根，整值多项式等．基础知识有5个定义，14条定理（p.136）定义1 一元多项式是一个实变数或复变数x 的函数，它具有如下的形式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++ 其中n 为正整数，01,,,,0n n a a a C a ∈≠ ．特别的，当00,0n a =≠ 时，()f x 称为零次多项式．对1,n ≥称n 为()f x 的次数，记为deg f ；称01,,,n a a a 为多项式的系数．定理1 设()f x ，()g x 为多项式，则 （1）()()()F x f x g x =+仍为多项式，且{}deg max deg ,deg F f g ≤．（2）()()()G x f x g x =⋅仍为多项式，当()f x 、()g x 均不恒为0时，()G x 也不恒为0，且deg deg deg .G f g =+定义2 方程()f x =0的解，称为多项式()f x 的根． 定理2 任意给定两个多项式()f x ，()g x （其中()g x 不恒为0），则存在唯一的一对多项式()q x ，()r x ，使 ()()()()f x g x q x r x =+，deg deg .r g <（带余除法）定义3 在定理18中，多项式()r x 称为多项式()f x 除以()g x 的余式，如果()0r x ≡，则称多项式()f x 被多项式()g x 整除．定理3 在定理18中，如果多项式()f x ，()g x 的系数都是实数，则多项式()q x ，()r x 的系数同样也是实数；如果()f x ，()g x 的系数都是有理数，则多项式()q x ，()r x 的系数同样也是有理数；如果()f x ，()g x 的系数都是整数，而且多项式()q x 的首项等于1或-1，则()q x ，()r x 系数同样也是整数． 定理4 多项式()f x 除以x a -所得的余数等于()f a ．特别的，多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =．（中国余式定理） 定义4 两个多项式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++ ， ()1110m m m m g x b x b x b x b --=++++ ，若m n =，且(1,2,,)i i a b i n == ，则称()f x 与()g x 为两个相等多项式（也叫()f x 与()g x 恒等）．定义5 方程()0f x =的解，叫做多项式()f x 的根. 定义 5 如果多项式()f x 被()k x a -整除（k 为正整数），但不被()1k x a +-整除，则称a 为多项式()f x 的k 重根.定理5 （代数基本定理）在复数范围内，n 次多项式有且只有n 个根．定理6 设多项式()f x 与()g x 的次数都不超过n ，如果有1n +不同的值i a ，使()i f a =()i g a (1,2,,1)i n =+ ，则多项式()f x 与()g x 恒等．即方程组()()()11111101121212021110,,,n n n n n n n n n n n nn n n n a a a f a a a a f a a a a f a αααααααααααα------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩有唯一解定理7 任何一个复系数一元n 次多项式()f x 必有唯一确定的因式分解的形式：()()()()1212mkkk n m f x a x x x x x x =--- ．其中12m k k k n +++= ．当()121m k k k m n ===== ，多项式()f x 有n 个根12,n x x x 时，有()()()()12n n f x a x x x x x x =--- .定理8 任何一个n 次实系数多项式()f x 都可表示为 ()()()()()2211122n m k k f x a x x x x x b x c x b x c =--++++ ． 其中2m k n +=．定理9 （韦达定理）设多项式()f x 有n 个根12,n x x x ，则有()12121310121,2,1.n n nn n nn n n n a x x x a a x x x x x x a a x x x a --⎧+++=-⎪⎪⎪-+++=⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩逆命题也成立．定理10 （拉格朗日插值公式）设0,12,n x x x x 两两不等，则 ()()00nji i j n i ji jx x f x f x x x =≤≤≠-=-∑∏.定理11 （爱泼斯坦定理）设()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式，如果存在一个素数p ，使得p 不整除()f x 的 首项系数n a ，但整除其他所有的系数，并且2p 表整除常数项0a ，则()f x 不可分解为整系数多项式之积． 定理12 如果既约分数(),,1pp q q=，是整系数多项式1110n n n n a x a x a x a --++++ 的根，则0|p a ，|n q a ．推论 1 整系数多项式1110n n n x a x a x a --++++ 的实数根，要么为整数、要么为无理数.推论 2 若,a n 数.定理13 若(),a bi a b R +∈是复系数多项式()f x 的根，则a bi -也是多项式()f x 的根．定理14 给定实系数多项 ()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++ ， 则有()()()()///()0120000,,,0!1!2!!n n f f f f a a a a n ====，即 ()()()()/()210000!1!!n n f f f f x a x x x n =++++.2．应用举例例1 设()c bx ax x f ++=2，c b a ,,为实数，如果对于所有适合11≤≤-x 的x值，都有()11≤≤-x f 成立，则对这些x 的值有424≤+≤-b ax ．分析 已知条件11≤≤-x ⇒ ()11≤≤-x f 说明，系数c b a ,,不是任意的；结论式424≤+≤-b ax 中的x 已受到11≤≤-x 的限制，所以，关键是确定,a b 的范围.证明1 设()2g x ax b =+，由一次函数的单调性只需证()14g ±≤⇔24a b ±+≤. ①在()11≤≤-x f 中，令1,1,0x =-，有11,11,1111,a b c a b c c c -≤++≤-≤-+≤-≤≤⇔-≤-≤第3式分别与前两式相加，消去c 得22,22,a b a b -≤+≤-≤-≤ ②相加 22a -≤≤ ③③与②中的两式分别相加、得 424,424,a b a b -≤+≤-≤-≤得证①式.证明2 由已知有 ()()()1,1,0,a b c f a b c f c f ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ 可解得()()()()()()1110,2111,20,a f f f b f f c f ⎧=+--⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎪=--⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎪=⎪⎩有()()(){}()()()()()()()()121120112111120221111202211222111244,122211112212,222212ax b f f f x f f f x f x f xf x f x f xx x x x x x x x x x x x x x +=+--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≤++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-+⎛⎫⎛⎫-+---=-≤-<≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+--+=+≤-<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+当时当时11244,122x x x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫+-+=≤<≤⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩当时说明1 证明1主要进行不等式运算比较容易失误，证明2主要进行等式运算比较容易保证等价性.比如由②可得22,22,a b -≤≤-≤≤ 推出626,626,a b a b -≤+≤-≤--≤只得出必要条件.说明2 由解法知当()()()1101f f f x =-===时，等号可以成立，如2,0,1a b c ===-时，对11≤≤-x ，有21211x -≤-≤且244ax b x +=≤.例 2 （2-59，p.141）设1110()k k k k p x a x a x a x a --=+++ ，式中各系数(0,1,,)j a j k = 都是整数．今设有4个不同的整数1234,,,x x x x 使()(1,2,3,4)i p x i =都等于2．试证明对于任何整数x ，()p x 必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个．解 依题意()2()20,(1,2,3,4)i i p x p x i =⇔-==，因而()2p x -含有4个因式,1,2,3,4i x x i -=()()()()()1111()2p x x x x x x x x x q x -=----，①其中()q x 是一个整系数多项式，或者是一个整数.当x 为任何整数时，()()()()()1111,,,,x x x x x x x x q x ----为5个整数，并且前4个整数各不相同，所以①式的右边至少有4个不同的因数，但是，1，3，5，7，9减2得()()()()()()()()()111,11111,31313,51515,71717.-=-⨯=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-均不可能为4个不同因数的积. 得证()p x 必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个． 思考：()14p x =行不行？()()1421223-=⨯⨯-⨯-满足必要条件，充分性取决于系数.如()()()()()21562p x x x x x =----+，有(3)14p =.例3 （2-63，1980 美，p.143）已知2()f x x px q =++，求证(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．讲解 因为一般性的二次函数可由3个点完全确定，因此3个值(1),(2),(3)f f f 虽然都不知道，但对2()f x x px q =++而言(1),(2),(3)f f f 不会是独立的，而是互相制约的(1)1,(2)42,(3)93,f p q f p q f p q =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩消去q(2)(1)3,(3)(2)5,f f p f f p -=+⎧⎨-=+⎩消去p (3)2(2)(1)2f f f --=. 为了找(1),(2),(3)f f f 中不小于12的那个数，应找最大的.{}2(3)2(2)(1)(3)2(2)(1)4max (3),(2),(1),f f f f f f f f f =--≤++≤得{}1max (3),(2),(1)2f f f ≥. 证明1 由()()()()()()()()()()()()231312()(1)(2)(3)121321233132x x x x x x f x f f f ------=++------，即 ()()()()()()21123(1)13(2)12(3)22x px q x x f x x f x x f ++=-----+--，比较两边2x 项的系数，得{}{}111(3)(2)(1)2211(3)(2)(1)22111max (3),(2),(1)222max (3),(2),(1),f f f f f f f f f f f f =--≤++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤得 {}1m a x (3),(2),(1)2ff f ≥. 证明2 （反证法）假设结论不成立，则有111,221142,221193,22p q p q p q ⎧-<++<⎪⎪⎪-<++<⎨⎪⎪-<++<⎪⎩131,151,p p -<+<⎧⇒⎨-<+<⎩ 42,65 1.p p -<<-⎧⇒⎨-<+<⎩矛盾.思考 能取到12吗？试取111(1),(2),(3)222f f f ==-=，有1124,14272,21932p q p p q q p q ⎧=++⎪=-⎪⎧⎪⎪-=++⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪=++⎪⎩27()42f x x x =-+三、不等式1．数学竞赛中不等式问题的基本类型 （1）不等式的求解.例1 ( 29-4爱尔兰)证明:满足不等式∑=≥-70145k kx k 的实数x 的集合是互不相交的区间的并集,并且这些区间长度的总和等于1988.（加了讨论解集合的性质） （2）不等式的证明.（重点）两个重点：数列不等式：多字母、多参数、常常附加一些有趣的约束条件；几何不等式. （3）不等式的应用.（热点）应用于求极值，应用于解不定方程，应用于确定相等关系，近年，应用于组合优化的设计，应用于覆盖等成为热点. 2．数学竞赛中不等式问题的主要内容（四个不等式） 定义 1 称12n a a a n+++ 为实数12,,,n a a a 的算数平均数；称为非负实数12,,,n a a a 的几何平均数；称12111nna a a +++ 为正数12,,,n a a a 的调和平均数；称为实数12,,,n a a a 的平方平均数．定理1 （平均值不等式）对12,,,,,n a a a R n m +∈ 为大于1的自然数，有1212111nna a a nna a a +++≤≤+++≤≤其中最常用的是算数平均不小于几何平均．定理2 （柯西不等式）对于实数12,,,n a a a ，12,,,n b b b ，有2221111n n ni j i i i i i j a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 此不等式可以推广到复数．定理3 （排序不等式）设有两组实数12,,,n a a a ，12,,,nb b b 满足12n a a a ≤≤≤ ， 12n b b b ≤≤≤ ；则()()()121211121122n n n n i i n i n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≤+++≤+++ 逆序和乱序和顺序和其中12,,,n i i i 是1，2，…,n 的一个排序，等号当且仅当12n a a a == 或12n b b b === 时成立．定理4 （契比雪夫不等式）设有两个正数列{}{},n n a b ， （1） 若1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ ， 则111111.n n n i i i i i i i a b a b n n n ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ （2） 若1212,n n a a a b b b ≤≤≤≥≥≥ ，则111111.n n n i i i i i i i a b a b n n n ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 3．数学竞赛中不等式证明的基本方法（p.145） ●比较法●不等式法（定理） ●反证法 ●放缩法●叠加法（连乘法） ●数学归纳法 ●二项式定理 ●辅助函数法 ●判别式法 ●换元法 ●构造法 4. 应用举例例2 （柯西不等式）柯西不等式是：对任意的两组实数12,,,n a a a 及12,,,nb b b （2n ≥），有222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， ①等号成立当且仅当i i a kb =（k 为非零常数）．每个数学表达式都既有运算成分又有智慧成分，对柯西不等式的运算构成可以作这样的理解，任意给定两组实数1212,,,,,,,,n n a a a b b b将其上下对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”可得21n i i i a b =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，柯西不等式告诉我们，一般情况下这三种运算并不满足交换率，先各自“平方”，然后“求和”、最后“相乘”，运算的结果2211n n i i i i a b ==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑不会变小；当且仅当i i a kb =时运算才满足交换率．这可以成为我们掌握柯西不等式的一个记忆方法，也可以成为我们应用柯西不等式的一个操作起点：首先找出两组实数，然后验证“相乘”、“求和”、“平方”三种运算．经验表明，在找两组实数的过程中，充满着数学机智．认识n 维柯西不等式从二维开始是一个有效途径，把二维柯西不等式看透了，n 维柯西不等式证明的比较法（作差、作商）、判别式法、基本不等式法、数学归纳法等也就水到渠成了（参见文[1]）．1-2 二维柯西不等式的认识二维柯西不等式是：()()()22222ac bd a b c d +≤++， ②或ac bd +≤， ③ 等号成立当且仅当,a kc b kd ==（k 为非零常数），即0bc ad -=．证明②、③并不复杂，但其与中学数学内容的内在联系却非常广泛，揭示数学表达式的深刻联系有助于丰富表达式的智慧成分，我们将从9个方面提供一些初步的认识．由于()()22220a b c d ++=时不等式显然成立，为了书写的方便，下面的叙述均假定()()22220a b c d ++≠．（1）从代数配方上认识．1986年全国初中数学联赛第一（4）题是：设,,,a b c d 都是整数，且22m a b =+，22n c d =+，则mn 可以表示为两个整数的平方和，其形式是 ．答案给出了关于,,,a b c d （不限于整数）的恒等式（由交换率还可以写出一些变形）：()()()()222222a b c d ac bd bc ad ++=++-， ④由恒等式去掉非负项，可得二维柯西不等式，等号成立当且仅当0bc ad -=，即,a kc b kd ==．可见，初中就已提供了认识二维柯西不等式的知识基础：全量大于它的任一部分，配平方提供非负项等．这里的④式，可以反过来由②式用作差法得到（其推广就是n 维柯西不等式的配方证明）．并且②、③、④式可以有广泛的数学理解，下面，我们会慢慢展开，首先看恒等式④的复数含义．（2）从复数运算上认识．记12,z a bi z c di =+=-，有()()()()12,z z a bi c di ac bd bc ad i =+-=++-可见，恒等④式实质上就是复数运算“模的乘积等于乘积的模”：1212z z z z =，而不等式③就是复数的模不会小于它的实部 ()121212e z z z z R z z =≥，等号成立当且仅当0bc ad -=，即,a kc b kd ==．“复数的模不会小于它的实部”其实也就是“直角三角形中斜边不会小于直角边”，考虑到复数有坐标形式、向量形式等，这就给我们打开了不等式的坐标视角、几何视觉．（3）从向量数量积上认识．记()(),,,a b c d αβ== ，由数量积的定义，有cos ,αβαβαβ⋅〈〉==⋅ ， ⑤ 但cos ,1αβ〈〉≤ ，故得③．由此可得n 维柯西不等式的向量形式αβαβ⋅≥⋅ ，等号成立当且仅当cos ,1αβ〈〉=± ⇔向量,αβ 共线（线性相关）．可见，二维柯西不等式又来源于余弦函数的有界性（利用这一点还可以改写为参数变换的形式）．并且这里的⑤式还可以理解为余弦定理、点与直线的距离等．（4）从余弦定理上认识．在坐标平面上取点(),A a b ，(),B c d （参见示意图）1，一般地，在AOB 中，由余弦定理有222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅()()()()222222a b c d a c b d ⎡⎤+++--+-== 图 1这正是⑤式，变形可得③．等号成立当且仅当cos 1AOB ∠=±⇔,,A O B 三点共线．原来余弦定理在坐标系中与向量数量积的定义是相通的．（5）从点到直线的距离上认识．在坐标平面上取点(),A a b ，(),B d c -（参见示意图2），一般地，OA 的直线方程为ay bx =，由点B 到直线OA 的距离BH 不大于OB 有 图2BH OB =≤=变形可得③，等号成立当且仅当OA OB ⊥．可见，二维柯西不等式与“点到直线的垂直距离最短”又是相通的．据此，二维柯西不等式又可以与三角形面积相通，如图2，在AOB 中有1122AOB S OA BH OA OB =≤ ． （6）从面积上认识．一般地，以()()(),,,,0,0A a b B d c O -为顶点的AOB 面积为AOB S = 1 0 011 21 - a b d c 12ac bd =+，得2AOB ac bd S += sin OA OB AOB =∠OA OB ≤=等号成立当且仅当sin 1AOB ∠=．可见，二维柯西不等式又可以认为是“三角形的面积不大于两边长乘积的一半”．（7）从二次函数判别式上认识．不等式()()()22222a b c d ac bd ++≥+的结构使我们联想到二次函数的判别式不大于0．作开口向上的二次函数()()()()()()()22222222,f x ax c bx d f x a b x ac bd x c d =+++⇔=+++++由于()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，故有判别式不大于0 ()()()22222440ac bd a b c d +-++≤，即 ()()()22222a b c d ac bd ++≥+ ．等号成立当且仅当0ax c +=且0bx d +=．由这个方法作个数推广，可得n 维柯西不等式的简洁证明．因为判别式来源于二次方程的配方，所以能用配方法做的题目都可以考虑用判别式法做，并且在配方法知识链上立即可以导出基本不等式法．（8）从基本不等式上认识．由基本不等式得222212a a b ⎛⎫=≤+ +⎝，同理22222212b da b c d⎛⎫≤+⎪⎪++⎝⎭，相加1≤，变形即得．（9）从参数变换上认识．将点()(),,,A a bB c d写成参数式,,,,a cb dαβαβ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩则()2ac bd+)()()()()()2222222222cos sincos.a b c d a b c dαβαβαβ=+=++-≤++等号成立当且仅当()2cos1αβ-=．还可以写出更多的思路，不过，所写出的认识已经告诉我们，二维柯西不等式与代数配方、复数运算、向量数量积、余弦定理、点到直线距离、面积、二次函数判别式、基本不等式、参数变换等很多知识都有内在的联系，难怪各种形式的柯西不等式（向量形式、积分形式、概率形式等）能够成为诸多现代数学理论的出发点．作业1.已知实数列012,,,a a a 满足01a a≠且()1121,2,3,i i ia a a i-++== ，求证：对于任何正整数n，()()1nn kk kk nkp x a C x x-==-∑是一次多项式．（1986年，高中联赛）2.设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．（P.181）3.用多种方法证明： 已知⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21i a a a 为两两各不相同的正整数,求证对任何正整数n ,下列不等式成立∑∑==≥n k nk k k k a 1121。
线性代数考试题型及范围【超完整版】
线性代数考试题型及范围：一、填空1、已知矩阵A或B，求A与B之间的运算，如AB，A逆B逆，kA2、已知方阵A，求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式3、求向量组的秩4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式5、其次线性方程组有非零解的充要条件二、选择1、同阶方阵A、B的运算性质2、两个相似矩阵A B的性质3、关于向量线性相关性的选择题4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系5、二次型正定性的判定三、计算题1、行列式的计算2、求A的逆矩阵四、解答题1、求向量组的极大线性无关组2、用基础解析求方程组的通解五、给定实对称矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵六、证明题：（关于矩阵，具体内容未知）记住这些话：第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE 再说。
第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αs线性无关，先考虑用定义再说。
第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
第七句话：若已知A的特征向量p，则先用定义Ap=λp处理一下再说。
第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数重要知识点及典型例题答案线性代数知识点总结第⼀章⾏列式⼆三阶⾏列式N 阶⾏列式：⾏列式中所有不同⾏、不同列的n 个元素的乘积的和勺L =⼒（jW'g 叫?叫（奇偶）排列、逆序数、对换⾏列式的性质：①⾏列式⾏列互换，其值不变。
（转宜⾏列式D = D r）②⾏列式中某两⾏（列）互换，⾏列式变号。
推论：若⾏列式中某两⾏（列）对应元素相等，则⾏列式等于零。
③常数k 乘以⾏列式的某⼀⾏（列），等于k 乘以此⾏列式。
推论：若⾏列式中两⾏推论：⾏列式中某⼀⾏④⾏列式具有分⾏⑤将⾏列式某⼀⾏⾏列式依⾏（列）展开：余⼦式M”、代数余⼦式州=（-1）砒定理：⾏列式中某⼀⾏的元素与另⼀⾏元素对应余⼦式乘积之和为零。
克莱姆法则： 0⾮齐次线性⽅程组：当系数⾏列式￡＞⼯0时，有唯⼀解：Xj= +（j = l 、2......n ）齐次线性⽅程组：当系数⾏列式D = 1^0时，则只有零解逆否：若⽅程组存在⾮零解，则D 等于零特殊⾏列式:5 铅 a l35 ?21①转置⾏列式:21a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如②对称⾏列式:gj = 5③反对称⾏列式:勺=~a ji奇数阶的反对称⾏列式值为零务2 a !3④三线性⾏列式:“22 0 ⽅法：⽤?“22把"21化为零，。
化为三⾓形⾏列式 0 "33（列）（列）成⽐例，则⾏列式值为零；元素全为零，⾏列式为零。
可加性的k 倍加到另⼀⾏（列）上，值不变⑤上（下）三⾓形⾏列式:⾏列式运算常⽤⽅法（主要）⾏列式定义法（⼆三阶或零元素多的）化零法（⽐例）化三⾓形⾏列式法、降阶法.升阶法、归纳法、第⼆章矩阵矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、⾏矩阵.列矩阵.n 阶⽅阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律注意什么时候有意义⼀般AB*BA,不满⾜消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0(M)r = kA T(AB)T = B T A r (反序定理)⽅幕：A kl A kz =A k ^kl 对⾓短阵：若AB 都是N 阶对⾓阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、A3都是n 阶对⾓阵数量矩阵：相当于⼀个数（若……）单位矩阵、上（下）三⾓形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每⼀⾮零⾏左数第⼀个⾮零元素所在列的下⽅制是0数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个⼦块也要转置注：把分出来的⼩块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶⽅阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的.⼒"=3（⾮奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵）初等变换1、交换两⾏（列）2.、⾮零k 乘某⼀⾏（列）3、将某⾏（列）的K仔加到另⼀⾏（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过⼀次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）（I o\等价标准形矩阵rO O 乘法转置(A T )T = A(A + B)T =A r +B 1⼏种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是⾮奇异矩阵，则r (AB) =r (B) 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与⾏列式的联系与区别：都是数表；⾏列式⾏数列数⼀样，矩阵不⼀样；⾏列式最终是⼀个数，只要值相等,就相等，矩阵是⼀个数表.对应元素相等才相等；矩阵(ka tj )n =k(a i})fl ,⾏列式逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B —泄是⽅阵②BA=AB=I 则A 与B —左互逆：③不是所有的⽅阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯⼀的。
高等代数挑战题
高等代数挑战题高等代数，作为数学的重要分支，涉及到了复杂的代数运算和抽象的数学概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，也在应用领域中发挥着重要作用。
在这篇文章中，我们将探讨一些高等代数的挑战题，旨在加深对高等代数知识的理解和应用。
1. 挑战题一：矩阵求逆对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B为A的逆矩阵。
假设矩阵A为：A = [a b][c d]其中a、b、c、d为实数且ad-bc≠0。
请你求出矩阵A的逆矩阵。
解析：根据矩阵求逆的定义，我们可以列出以下方程组：AB = BA = I根据矩阵乘法的定义，我们可以得到以下方程组：aa' + bc' = 1ab' + bd' = 0ca' + dc' = 0cb' + dd' = 1其中a'、b'、c'、d'为矩阵A的逆矩阵的元素。
通过解方程组，我们可以得到逆矩阵的表达式：A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b][-c a]2. 挑战题二：向量空间的基在线性代数中，一个向量空间的基是指该向量空间中一组线性无关的向量，且任何向量都可以由这组向量的线性组合表示。
现有一个向量空间V，其中包含了n个m维向量。
请问，n个m维向量的最大线性无关组的向量个数最多为多少？解析：我们知道，一个向量空间的维度就是该向量空间的基的向量个数。
而一个向量空间的最大线性无关组的向量个数等于向量空间的维度。
由此可知，n个m维向量的最大线性无关组的向量个数最多为min(n, m)。
3. 挑战题三：特征值与特征向量在线性代数中，一个n阶矩阵A的特征值是指使得方程Ax=λx成立的数λ，其中x为非零向量。
特征向量则是与特征值对应的解向量。
假设矩阵A为：A = [1 2][2 1]请你求出矩阵A的特征值和相应的特征向量。
解析：根据特征值和特征向量的定义，我们可以得到以下方程组：A - λI = 0其中I为单位矩阵，λ为特征值。