不定积分的分部积分法(1)

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不定积分的分部积分法

例1 求不定积分 xe xdx.
解：设 u x , exdx d(ex ) dv, 则
xe xdx xd(e x ) xe x e xdx xex e x C.
若设 u e x , xdx= d( 1 x2 ) = dv, 则
2
xe xdx exd( 1 x2 ) 1 x2e x 1 x2dex
x sin x cos x C.
总结1：如果被积函数是幂函数（指数为正整数）与三角函数或者幂函数与指数数函数的乘积时，我们选幂函数为 u
例3 求不定积分 x arctan xdx.
解：设 u arctan x,
x2 xdx d( ) dv
2

x
arctan
x dx

arctan
x d(
x2 2
)
x2 arctan x 2
x2 2

1
1 x
2
dx
x2 arctan x 2
1 2

(1

1
1 x
2
)
dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
例4 求不定积分 x ln x dx .
解: 令 u ln x , xdx d ( x2 ) dv
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
2
显然 , u 和 v 选择不当，积分更难进行.
注1：在分部积分公式中，关键是选择恰当的u和v
例2 求不定积分 x cos xdx .
解：设 u x, cos xdx d(sin x) dv

不定积分的分部积分法

2
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５：被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递推公式例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１：口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４：有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )

不定积分分部积分公式

x2e x 2 xde x
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解

ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2

不定积分分部积分法

解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2，令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.

理学新不定积分分部积分

sinx
2t 1 t
2
,
cosx
1 1
t t
2 2
,
dx
1
2 t
2
dt
R(sin x,cos x)dx
R
1
2t t
2
1t2
, 1
t
2
1
2 t
2
dt.
例16
求
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
.
解:令 t tan x , 则 2
sinx
1
2
tan
x 2
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例9 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x x2a2
,
vx
x2 a2 dx x x2 a2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
一般地
把被积函数视为两个函数之积 ,按“反对幂指三”的
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.

3.2.4_不定积分的分部积分法

1 sin x 1 dx dx d (cos x ) 证： I n n n 1 n 1 sin x sin x sin x
cos x 1 n1 cos xd ( n1 ) sin x sin x
cos x cos 2 x n1 ( n 1) dx n 2 sin x sin x cos x 1 1 n1 ( n 1) dx ( n 1) dx n 2 n sin x sin x sin x
即
udv uv vdu 。
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x n a x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等。
2
3.2.4 不定积分的分部积分法
1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) dx x x cos(ln x ) sin(ln x )dx
x cos(ln x ) x sin(ln x ) xd [sin(ln x )] 1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x cos(ln x ) x sin(ln x ) cos(ln x )dx
（5） arcsin xdx
4
3.2.4 不定积分的分部积分法
（1） x sin xdx 。
2
分部积分的步骤：
解： x 2 sin xdx x 2 d (cos x ) ——凑微分，选 u, v ；
[ x 2 cos x cos xd ( x 2 )] ——代分部积分公式；

不定积分的分部积分法.

这节课学习了不定积分的分部积分法，要求大家一定要掌握一个公式，熟记一个口诀。
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x

作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的乘积形式，以及特殊的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函数，否则作两次分部积分后会出现恒等式．（4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解：设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.

分部积分法(一)

即 u = xn.
说明
当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之
积时, 如:
xα loga x, xα arcsin x
要用分部积分公式.
u 并选对数函数、反三角函数为
3
例
x ln xdx= ln x( 2x 2 )dx
3
33
= 2x 2 ln x − 3
2x 2 (ln x)dx 3
= x(e x )dx
= xe x − e x xdx
= xe x − e x + C
xe xdx
= e x ( 1 x2 )dx
2
= 1 x2 e x − 1 x2 (e x )dx
2
2
= 1 x2 e x − 1 x2e xdx
2
2
例
求 x2e xdx
例
求 x cos xdx
解
若取u = cos x, v =
x2 ,
2
由分部积分公式,得

x
cos
xdx
=

(
1 2
x2
)
cos
xdx
= 1 x2 cos x − 1 x2(cos x)dx
2
2
= 1 x2 cos x + 1 x2 sin xdx
2
2
例
求 xe xdx
解
xe xdx
微积分II
Calculus II
第六章不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质 §6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.4 分部积分法（一）
一分部积分法
1 定理一

不定积分的分部积分法

x e sin xdx.
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =

不定积分分部积分法

dx x2 a2
10
3.1 不定积分的换元积分法
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln x2 a2 x
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C1
x2 a2 dx x
2 类似地可得：
x2 a2 a2 ln 2
x2 a2 x C.
解： ln xdx x ln x xd(ln x) x ln x dx
x ln x x C.
（2） arcsin xdx ；
解： arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x)
1 d(1 x2 )
x arcsin x 2 1 x2 x arcsin x 1 x2 C
x2 cos x 2 x cos xdx ——微出来； x2 cos x 2 xd(sin x)
x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x2 cos x 2x sin x 2cos x C. ——算积分。
此例的特点在于需要连续用两次分部积分公式，关键
在于降幂。
。
9
3.1 不定积分的换元积分法
例 7．求 x2 a2 dx (a 0) 。
解 : x2 a2 dx x x2 a2 xd( x2 a2 )
x x2 a2
x2 dx
x2 a2
x
x2 a2
x2 a2 a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 xnaxdx, xn sin xdx, xn arctan xdx, ex cos xdx 等。

19不定积分的分部积分法

由上述等式，可解得

ex
sin
xdx

1 2
ex
sin
x

cos
x

C.
12
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结束
铃
例9 求 sec3 xdx.
解
sec3 xdx sec xd tan x sec x tan x tan x sec x tan xdx
sec x tan x sec x sec2 x 1 dx
常见积分及相应规则如下:
xnexdx, xn cos xdx, xn sin xdx,
将指数函数或三角函数视为v, 交换后对幂函数求导；
xn ln xdx, xn arcsin xdx, xn arctan xdx,
将幂函数视为 v, 交换后对对数函数或反三角函数求导.
3
解
xarcsin xdx

x2 2
arcsin x
1 2

x2 dx
1 x2
代入而到上面x的2 积d分x ,x 有 sin t sin2 tdt
x
arcs1int
1xd1xxs2inx22t
arcsin
cost
x
C
1 4
arcsin
x

1 4
x
1 x2 C.

1 2

x
2

cos
xdx
1 x2 cos x 1 x2 sin xdx,
2
2
此时经过分部积分后, 积分表达式比原来的更为复杂了,
说明这样的选择不合适.
4

3.3 不定积分的分部积分法

4. 凡多项式与对数函数乘积的积分可使用分部积分法.
例5 求 ∫ x 3 ln xdx .
1 4 解：令u = ln x , 则dv = x dx = d x . 4 4 x 3 x ∫ ln xdx = ∫ ln xd 4 1 4 x4 = x ln x − ∫ d (ln x ) 4 4 1 4 1 3 = x ln x − ∫ x dx 4 4 1 4 1 4 = x ln x − x + C 4 16
设函数u = u( x )和v = v ( x )具有连续导数,
( uv )′ = u′v + uv′, uv′ = ( uv )′ − u′v
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx 或 ∫ udv = uv − ∫ vdu. ∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx ∫ udv = uv − ∫ vdu
2
1 1 + x2
dx
= 1 + x 2 arctan x − ln x + 1 + x 2 + C
原题 I = ∫
解2：设 x = tan t , 则
∴∫ x arctan x 1 + x2
x arctan x 1 + x2
dx .
t tan t sec 2 t dx = ∫ dt sec t
= ∫ t tan t sec tdt = ∫ t d sec t = t sec t − ∫ sec tdt = t sec t − ln sec t + tan t + C
x
x e = e (sin x − cos x ) − ∫ sin xdx 1 x x ∴ ∫ e sin xdx = e (sin x − cos x ) + C 2

第三节不定积分的分部积分法

dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x )]
C.
例9 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解
x arctan x dx
secn2 x
(n 2) secn3x sec x tan x
secn2 x tan x (n 2) secn2 x (sec2 x 1) dx
secn2 x tan x (n 2) In (n 2) In2
说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
x
f
(x) dx
cos
x
2 sin x
x
2 cos x2
x
d
x
内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx 1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分
2. 使用经验 :进入“微分号”的逆次序:反、对、幂、三、指
解（一） x cos xdx 1 cos xdx2
x2 2
cos x
x2 2
2
d cos x
x2 cos x 2
x2 sin xdx
2
显然积分更难进行.
解（二）
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.

不定积分的分部积分法1ppt

THANKS
感谢观看
解决更复杂积分问题
分部积分法可以解决一些看似难以入手的积分问题，例如一些包含多个不同变量的函数的积分。
推广分部积分法到更复杂函数的不定积分
三角函数的不定积分
通过ห้องสมุดไป่ตู้入贝塔函数和伽马函数等特殊函数，可以求得任意三角函数的不定积分。
指数函数的不定积分
通过应用分部积分法，可以求得任意指数函数的不定积分。
分部积分法与其他方法的结合
要点一
与部分分式法的结合
要点二
与代换法的结合
在某些情况下，将分部积分法与部分分式法结合使用，可以更有效地求解不定积分。
通过引入适当的代换，可以将某些难以处理的函数转化为易于处理的形式，再结合分部积分法求得其不定积分。
05
分部积分法的挑战与解决方案
处理复杂的被积函数
确定分部积分常数和被积函数的原函数
1
根据分部积分公式，确定分部积分常数的符号及其实数或复数形式。
2
根据已知的原函数表，查找与被积函数对应的原函数。
3
如果无法直接找到原函数，则尝试使用凑微分等方法将被积函数转化为更容易求解的形式。
03
分部积分法的应用
求解非初等函数的不定积分
三角函数积分
利用分部积分法可以求解正弦、余弦等三角函数的不定积分。
求解有特定形式的不定积分
特定形式积分
有些不定积分具有特定形式，如含有根式、有理函数等，分部积分法能够处理这些情况。
根式函数积分
通过分部积分法，可以求解含有根式的不定积分，从而得到更精确的结果。
04
分部积分法的扩展
扩展分部积分法的应用范围
推广到更复杂函数
分部积分法最初用于求有理函数的不定积分，后来被扩展到更广泛的函数类，如三角函数、指数函数等。

微积分不定积分的分部积分法课件

1)v 容易求得 ;
容易计算 .
例1 求积分 x cos xdx .
解（一）令 u cos x, xdx 1 d x2 dv 2
xcos xdx
x2
x2
2 cos x 2 sin xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二）令 u x, cos xdx dsin x dv
L(q) 400 2q, L(q) 2 0
L(q) 400 2q 0 q 200 (kg) q 200 (kg)就是最大利润产量。
L最大 L(q) 400 200 (200 )2 15000 25000 (元）
(3)由：MC(q) C(q) 100 q
MC(q) 100 q 100 200 300 (元 kg)
5. 计算 x2arctgxdx ，可设 u ____ ,dv ______；
6.计算 xe xdx ，可设 u ______,dv __________ .
二、求下列不定积分：
1. x2 cos2 x dx； 2
2.
(ln x)3 x2
dx
；
3. eax cos nxdx ； 5. cos(ln x)dx；
x cos xdx xdsin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
第二十四节分部积分法
一、基本内容
二、小结
三、思考题
一、基本内容
问题 xe xdx ?
解决思路利用两个函数乘积的求导法则.

基本的3种不定积分方法

常用的 3 种不定积分方法
1、凑微分法： f [g(x)]g , (x)dx f [g(x)]dg(x)
eg:
cos
2xdx
cos
2x
d
(2 2
x)
1 2
cos
2xd
(2x)
1 2
sin
2x
C
常用的凑：
dx d (ax) d (ax b) , a 0
a
a
xadx dxa1 , a 1 a 1
d (arctan x)
d (arc cot
x)
f , (x) dx df (x) d ln f (x)
f (x)
f (x)
dx a2 x2
ad x a
a2[1 ( x )2 ]
1 a
d
arctan
x a
-darc cot
x
a
dx a2 x2
1 2a
[
d
(a x) ax
d
(a x) ax
cot xdx d ln sin x d ln csc x
dx cos2
x
d
tan
x
sin n xdx, cosn xdx
dx sin 2
x
d
cot
x
n 为偶数：先降次再积分
n 为奇数：先凑微分再积分
2、换元法：先换元，再积分，后回带
令 x=g(t)，则 f (x)dx f [g(t)]dg(t) f [g(t)]g , (t)dt
常用分部：
f (x)g , (x)dx
f (x)
f (x) sin xdx
f (x)
I
f (x) cos xdx

分部积分方法及例题

1
x2 + x2
dx
=
1 2
x
2
arctan
x
−
1 2
∫
(1
−
1
1 +x
2
)
dx
简化
= 1 x2 arctan x − 1 ( x − arctan x) + C
2
2
注 2° 分部积分小结(1)
∫ (1) xneαx d x 设u = xn （例1，例2） ∫ xn sin x d x
∫ (2) xn ln x d x
In = ∫ sinn x d x = − cos x sinn−1 x J n = ∫ cos n x d x
+ (n − 1)∫ sinn−2 x d x − (n − 1)∫ sinn x d x
= − cos x sinn−1 x +（n − 1）In−2 −（n − 1）In （n ≥ 2, n ∈ N）
故
In
=
−
1 cos n
x sinn−1
x+
n− n
1
In−2
同理
Jn
=
1 sin n
x cosn−1
x
+
n− n
1 Jn−2
例8

=
∫
(x2
d +
x a
2
)
n
，试导出递推关系.
udv
分析欲将In表示成 In−1或In+1的表示式.
解
In=
(
x2
x + a2 )n
+
2n∫
(x2
x2 + a2

不定积分的分部积分法(1)

不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法

不定积分分部积分公式

不定积分分部积分法

理学新不定积分分部积分

3.2.4_不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法.

分部积分法(一)

不定积分的分部积分法

不定积分分部积分法

19不定积分的分部积分法

3.3 不定积分的分部积分法

第三节 不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法1ppt

微积分不定积分的分部积分法课件

基本的3种不定积分方法

分部积分方法及例题

第三节不定积分的分部积分法