第4讲-二次根式中的配方思想
【名师面对面】2015中考数学总复习 第1章 第4讲 二次根式及其运算课件
4．已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2－xy＋y2 的值．
∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3，∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4， xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝ 42－3＝13
二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入 求值，最后的结果要化为分母不含根号的数或者是 最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑．
原式＝a2＋6a，当 a＝ 2－1 时，原式＝4 2－3
二次根式的概念和性质
1．(2014· 武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范 围是( C ) A．x＞0 有意义( A ) A．－2 B．1 C ．2 D．3 【解析】第1题根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等 式；第2题二次根式的被开方数是非负数，可以逐个代入， 也可以先判断x的取值范围． B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，
首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他
限制条件，如分母不等于0等，往往转化为不等式 (组)解决．
二次根式的简单计算
1．(2014· 孝感)下列二次根式中，不能与 2合并的是( C ) A. 1 2 B. 8 C. 12 D. 18
2．(2014· 济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
第4讲 二次根式及其运算
1．了解二次根式、最简二次根式的概念．
2．了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会
用它们进行有关实数的简单四则运算．
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以
填空题、选择题形式出现． 1．二次根式的基本运算要求熟练掌握，二次根式的运算以 整式的运算为基础，其法则、公式都与整式类似，特别是二 次根式的加减，没有提出同类二次根式的概念，完全参照合
第四讲：数的开方及二次根式
数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。
教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。
注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。
2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。
第4讲 二次根式(第1课时 定义与性质)(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册
是
．
【变式 1】（2023 春·吉林·八年级统考期中）若式子 5 a 在实数范围内有意义，则实数 a 的取值范围
是
．
x
【变式 2】（2023 春·江苏·八年级期末）使得 x 2 有意义的 x 的取值范围是
．
题型 02 求二次根式的值
【典例 1】（2023 春·浙江温州·八年级校考期中）当 a 1时，二次根式 7 a 的值是
A．2
B． 2
C． 2
D． 2
5．（2023·全国·八年级假期作业）已知 3n 是正整数，则自然数 n 的最小值为（ ）
A． 0
B． 2
C． 3
D．12
6．（2023 春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图， a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，化简
a2 b (b c)2 的结果是（ ）
．
2
【变式 1】（2023 春·江苏·八年级期末）计算： 2
； (2)2
．
【变式 2】（2023 春·河南信阳·八年级校考阶段练习）化简： (2 5)2
．
题型 05 二次根式的乘法
【典例 1】（2023 春·山东东营·八年级统考期末）计算 8 12 的结果是 ． 【变式 1】（2023 春·山西吕梁·八年级统考期末）计算 12 3 的结果是
2
2
2 21 2 1 2
∴ 3 2 2 (1 2)2 1 2 ； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1) 5 2 6 ； (2) 7 4 3
A． a 2b c
B． a c
C． a 2b c
D． a c
二、填空题
2
7．（2023 春·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） 3 =
二次根式的ppt课件
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
二次根式讲解
二次根式讲解
二次根式是数学中的一种运算形式，表示为√a，其中a表示被
开方数。
简单来说，就是找到一个数x，使得x的平方等于a。
在二次根式中，a可以是任意非负实数。
如果a是正数，那么√a 的结果也是正数；如果a是0，则√0的结果是0；如果a是负数，则
二次根式没有实数解。
例如，√4表示找到一个数x，使得x的平方等于4。
因为2的平方等于4，所以√4的结果是2。
同理，√9的结果是3，因为3的平方等于9。
当被开方数a是一个非平方数时，二次根式的结果是无理数。
无
理数是无法用两个整数的比值来表示的实数。
例如，√2是一个无理数，它的值约等于1.414。
二次根式具有一些性质。
首先，√a的值是非负的。
其次，如果
a和b都是非负实数，那么√(ab)等于√a乘以√b。
另外，如果a和b 都是非负实数且a≤b，那么√a≤√b。
二次根式在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学和代数学中。
在几何学中，二次根式可以用来表示长度、面积和体积。
在代数学中，二次根式可以用来解一元二次方程。
总之，二次根式是一个重要的数学概念，用来表示找到一个数的
平方等于给定的非负实数。
它具有一些性质，并在数学中有着广泛的
应用。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是和平方根有关的一种运算。
在高中数学中，二次根式是一个重要的内容，掌握好二次根式的相关知识点，对于理解和解题都是非常有帮助的。
一、二次根式的概念1.二次根式是指那些含有平方根的式子，且平方根的指数为22.一般形式为√a，其中a为非负实数。
二、二次根式的化简1.化简二次根式的基本思想是将根号内的数分解成互质的因子，并使用分配律和化简公式化简。
2.可以用平方根的合并和分离处理来化简二次根式。
3. 对于含有和减号的二次根式，可以尝试使用公式√a±√b =√(a±b±2√ab)来进行化简。
三、二次根式的运算1.加减法：二次根式相加减时需要化为相同的根式形式，然后按照实数的运算规则进行运算。
2. 乘法：二次根式相乘时可以利用乘法公式√a * √b = √(ab)进行化简。
3.除法：二次根式相除时可以利用除法公式√a/√b=√(a/b)进行化简。
四、二次根式的简化和约分1.对于平方数，可以用因式分解的方法将其进行简化，即将根号下的数分解成完全平方数的乘积。
2.对于不完全平方数，可以用分式的形式表示二次根式，如√2=√(4/2)=2/√23.二次根式的约分是指将二次根式分子分母的公因式约掉，以简化二次根式的形式。
五、二次根式的性质1.非负实数的二次根式是唯一确定的。
2.二次根式的大小关系：对于非负实数，如果a>b，则√a>√b。
3.二次根式的积是可以用二次根式表示的，但是二次根式的和、差和商不一定能用二次根式表示。
4.当a和b为非负实数时，如果√a=-√b，则a=b=0，否则a≠b。
六、二次根式的应用1.二次根式在几何问题中常常用来表示边长或者面积。
2.二次根式在物理问题中常常用来表示物理量的大小。
3.二次根式在工程问题中常常用来表示长度、面积、体积等量。
二次根式计算讲义
一、教学目标：知识目标：1、使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与计算；2、会进行简单的二次根式的乘除法、加减法运算；过程与方法：1、使学生进一步了解数学知识之间是相互联系的；2、使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题；情感态度与价值观：培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
二、教学重难点重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行二次根式的乘除法、加减法计算。
难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
三、教学内容：知识回顾：1、什么叫二次根式？形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念2、二次根式有哪些性质？（a）2=a（a≥0）新课知识：二次根式的乘除法：计算：（1）425⨯与425⨯（2）169⨯与169⨯（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？概括:二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变： a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） 由以上公式逆向运用可得：ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
例1、计算：⑴ 2·32 ⑵21·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0）例2、化简： ⑴ 2257 ⑵8116 ⑶12⑷3a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，b ≥0）练习： 1、化简：（1）18 （2）27 （3）32（4）2312a b （5）273⨯ （6）5153⨯（7）763⋅ （8）23312⨯ （9）2405⨯（10） 3ab ab ⋅ （0a ≥ 0b ≥）2、计算：⑴xy ·y x 3·2xy⑵18·24·27 （3）63142⨯⨯3、已知()()2727x x x x --=-⋅-，求x 的取值范围。
4、已知等腰三角形的腰为26cm ，底边为42cm ，求这个等腰三角形的面积5、观察：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） 思考：a ×b ×c = ？6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。
二次根式的定义和有意义的条件
二次根式的定义和有意义的条件1. 什么是二次根式？好啦，咱们今天来聊聊“二次根式”这个听上去挺高大上的词。
其实，它说白了就是一种数学表达式，表示的是一个数的平方根。
比如说，√4就是2，因为2的平方（2×2）就是4。
简单吧？不过，要注意哦，二次根式不仅仅是个数字，还是数学中的一块“宝地”。
想象一下，二次根式就像是数学里的小精灵，帮助我们解锁一些有趣的问题。
1.1 二次根式的基本形式那二次根式到底长啥样呢？它的基本形式就是√a，其中a是个非负数。
也就是说，a不能是负数哦。
为什么呢？因为我们知道，负数没有实数平方根，像√(1)这种情况，就会让我们陷入虚无缥缈的世界，甚至要引入“虚数”这个概念，听上去就像是一部科幻小说一样。
所以说，咱们要确保根号里的数是个“乖孩子”，这样才能在现实生活中顺利使用。
1.2 有意义的条件说到有意义的条件，其实就是在强调什么情况下二次根式才能正常工作。
简单点说，根号里的数必须非负，这个条件不容忽视！就像是咱们平常做事情要遵循一些原则，数学也是如此。
比如说，根号里是负数，那就麻烦了，直接让你进入“无解”状态。
如果我们想计算√(4)，结果就是一阵迷茫——这是因为我们根本无法找到一个数，让它平方后变成4。
这就好比想找个影子，却发现太阳都没出来。
2. 二次根式的运算接下来，我们来聊聊二次根式的运算。
二次根式的运算就像是在厨房里做菜，得掌握一些技巧和配方，才能把它做得美味可口。
比如说，咱们可以进行加减乘除，这些操作虽然看似简单，但细节可不能马虎哦。
2.1 加法与减法在进行加法和减法时，得先确保根号里的数能进行运算。
比如说，√2 + √2，这就很简单，结果是2√2；但如果是√2 + √3，那就不能直接加了，咱们就得把它们留着，分别算着。
就像是两个好朋友，各自有各自的故事，不能随便混在一起说话。
2.2 乘法与除法说到乘法，事情就变得有趣了。
√a × √b = √(a × b)，这就跟在一起耍杂技一样，根号里的数可以合并。
【免费下载】215二次根式中的配方思想讲义学生版
x y M 的值是
【例 13】 化简： 10 8 3 2 2
【巩固】化简： 2 3 5 13 48
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
初二-第4讲-二次根式的化简与计算
估算一、专题精讲题型一、估算无理数在哪两个整数之间例1．（1）判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（）A．22、23 B．23、24 C．24、25 D．25、26考点：估算无理数的大小．分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案．解答：解：∵×=，又∵24＜25，∴×之值会介于24与25之间，故选C．点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题．（2）如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4考点：估算无理数的大小．分析：先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．解答：解：∵2＜3，m=，∴m的取值范围是1＜m＜2；故选B．点评：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．变式训练1．估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间解答：解：∵2=＜=3，∴3＜＜4，故选B．2．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（）A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜2解答：解：∵49＜59＜64，∴7＜＜8，∴7﹣6＜﹣6＜8﹣6，即1＜n＜2．故选D．题型二、按要求估算例2．（1）估算下列各数的大小．（1）（误差小于0.1）；（2）（误差小于1）．考点：估算无理数的大小．分析：（1）（2）借助“夹逼法”先将其范围确定在两个整数之间，再通过取中点的方法逐渐逼近要求的数值，当其范围符合要求的误差时，取范围的中点数值，即可得到答案． 解答：解：（1）∵有62=36，6.52=42.25，72=49， ∴估计在6.5到7之间，6.62=43.56，6.72=44.89；∴≈6.65；（2）∵43=64，53=125， ∴4.53=91.125，4.43=85.184，∴≈4.45．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．变式训练1、估算下列数的大小.（1）（误差小于0.1） ; （2）（误差小于1）. 解答：（1） ∵3．6＜＜3.7,∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）. （2） ∵9＜＜10,∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.题型三、用估算比较两个数大小例3．（1）通过估算，比较下面各数的大小. （1）与 ; （2）与3.85. 解答： （1）∵＜2,∴-1＜1,即＜. （2）∵3.85=14.8225,∴＞3.85.变式训练1．（2010•杭州二模）估计大小关系是﹣1________ 0.5． 解答：解：∵0.5=﹣1，＜3．∴﹣1＜0.5．题型四、用估算法求解实际问题的近似解例4．（1）某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积不减少的情况 下，把它改造成一个正方形，如果改造后的正方形草坪的边长为x 米．求正方形的边长（估 算到0.1）考点：算术平方根；估算无理数的大小．分析：根据面积相等列出关系式，解得x ，进即可得到正方形的边长．13.6380013.613.63800380031212153331212215解答：解：根据题意得：x2=8×4=32 x≈5.6．答：正方形的边长约为5.6米．点评：本题主要考查长方形、正方形的面积，根据面积相等得到方程是解题的关键．变式训练1．能否用面积为400cm2的正方形纸片裁出面积为300cm2且长、宽之比为3：2的长方形纸片？说明理由．（友情提示：不能对裁出的长方形进行拼接）解答：答：不能．理由：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，得3x•2x=300，6x2=300，x2=50，∴x=或x=﹣（舍去），∴长方形纸片的长为，∵50＞49，∴＞7，∴3＞21，∴长方形纸片的长应该大于21cm，又∵已知正方形纸片的边长大只有20cm，∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．题型五、表示一个无理数的小数部分例5．（1）（2010•巫山县模拟）已知，m、n分别是的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是（）A．B．C．D．考点：估算无理数的大小．专题：探究型．分析：先估算出的值，进而可得出m、n的值，再代入2m﹣n进行计算即可．解答：解：∵≈1.732，∴6﹣的整数部分为4，小数部分为6﹣﹣4，即n=2﹣，∴2m﹣n=8﹣2+=6+．故选B．点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟记≈1.732是解答此题的关键．（2）（1）已知数M的平方根是a+5及﹣3a+11，求M．（2）已知5+与5﹣的小数部分分别是a、b，求3a+2b的值．考点：估算无理数的大小；平方根．专题：探究型．分析：（1）由于M的平方根是a+5及﹣3a+11，所以这两个数互为相反数，据此可求出a的值，进而得出数M；（2）先估算出的取值范围，再得出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．解答：解：（1）∵M的平方根是a+5及﹣3a+11，∴a+5=3a﹣11，解得a=8，∴a+5=8+5=13，∴M=132=169；（2）∵3＜＜4，∴5+的小数部分是﹣3；5﹣的小数部分是，4﹣，∴a=﹣3，b=4﹣，∴3a+2b=3（﹣3）+2（4﹣）=﹣1．点评：本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义，在解答（2）时要先估算出的大小，再进行计算．变式训练1．（2013•吴江市模拟）3+的整数部分是a ，3﹣的小数部分是b ，则a+b 等于__________．解答：解：∵1＜＜2，∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴1＜3﹣＜2，设3﹣的整数部分为m ，则m=1， ∴3﹣的小数部分b=3﹣﹣m=2﹣， ∴a+b=4+2﹣=6﹣．故答案为6﹣．2．设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 解答：解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣|=7﹣．二次根式的化简及计算一、专题精讲题型一：二次根式的概念例1．（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥2331xx 04221x y+x y +2x 02x y +331x421x y+31x -31x -13A ． 3到4之间B ． 4到5之间C ． 5到6之间D ． 6到7之间解答：解：∵正方形的面积为28，∴它的边长为， 而5＜＜6． 故选C ．2、（宝坻区二模）估算的值在（ ） A ．在4和5之间 B ．在5和6之间 C ．在6和7之间 D ．在7和8之间 解答：解：∵＜＜， ∴2＜＜3，∴5+2＜5+＜5+3， 即7＜5+＜8， 故选：D ．3、通过估算比较大小： _________．解答：解：∵2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴＜．4.化简：=-2)3(π 。
二次根式相关的概念
二次根式相关的概念二次根式是数学中的一个重要概念，它是指具有形式√a的数，其中a表示一个实数。
在这篇文章中，我将详细介绍二次根式的相关概念，并解释其在数学中的应用。
首先，让我们正式定义二次根式。
一个二次根式可以写为√a，其中a表示一个实数。
实数可以是正数、零或负数。
二次根式可以分为两种类型: 简化的二次根式和非简化的二次根式。
一个简化的二次根式是指，它的根号下面的数没有其他平方数因子。
例如，√4是一个简化的二次根式，因为4可以分解为2的平方。
而√6就是一个非简化的二次根式，因为6不能被分解为任何平方数的乘积。
在实际计算中，我们通常喜欢使用简化的二次根式，因为它们更加简洁。
对于一个给定的非负实数a，如果存在一个实数x，使得x的平方等于a，则称x为a的平方根，记为√a。
平方根的概念是二次根式的基础，因为二次根式就是表示一个数的正平方根。
例如，√9的值是3，因为3的平方是9。
同样地，√16的值是4，因为4的平方是16。
二次根式还有一些重要的运算规则。
首先，对于任意两个非负实数a和b，可以使用以下规则进行运算:1. 加法和减法:√a ±√b = √(a ±b)2. 乘法:√a ×√b = √(a ×b)3. 除法:√a ÷√b = √(a ÷b)这些运算规则可以帮助我们简化和计算二次根式的值。
例如，我们可以使用乘法规则将√2 ×√3简化为√(2 ×3) = √6。
值得注意的是，对于负数的二次根式，存在一个虚数单位i，它表示平方根为负数的情况。
例如，√(-1) = i，因为i的平方等于-1。
负数的二次根式在复数的研究中非常重要，但在实数范围内我们通常只考虑非负实数的二次根式。
二次根式在数学中有着广泛的应用。
它们被广泛用于几何学、物理学和工程学等领域。
在几何学中，二次根式可以表示长度、面积和体积等物理量。
例如，一个正方形的边长为a，那么它的面积可以表示为√a。
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结二次根式是初中数学的重要知识点之一，也是数学中常见的一个分支。
它是指由开方运算得到的含有二次根号的数，通常可以表示为√a（其中a为一个非负实数）。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
一、二次根式的基本概念二次根式是指含有二次根号的数，如√2、√3、√5等。
其中，√2表示一个无理数，它的近似值约为1.414。
二次根式的运算主要包括化简、加减乘除等。
二、二次根式的化简当二次根式的被开方数是平方数的倍数时，可以将其化简为一个整数。
例如，√4=2，√16=4。
当被开方数是两个数的积时，可以将其化简为两个二次根式的乘积。
例如，√6=√2×√3。
三、二次根式的四则运算二次根式之间的加减运算可以通过化简和合并同类项来进行。
例如，√2+√3=√2+√3。
二次根式之间的乘法运算可以通过分解因式和合并同类项来进行。
例如，（√2+√3）×（√2-√3）=2-√6。
二次根式之间的除法运算可以通过有理化分母的方法来进行。
例如，（√2+√3）/（√2-√3）=（√2+√3）×（√2+√3）/（√2-√3）×（√2+√3）=5+2√6。
四、二次根式的应用二次根式在几何中有广泛的应用。
例如，在勾股定理中，三角形的斜边长度可以表示为√（a²+b²），其中a和b分别为三角形的两条直角边的长度。
在平面几何中，正方形对角线的长度可以表示为√2×边长。
五、二次根式的乘法公式二次根式的乘法公式是指将两个二次根式相乘时可以应用的公式。
例如，（√2+√3）×（√2-√3）=2-√6。
通过这个公式，我们可以将二次根式相乘的过程简化为乘法运算。
六、二次根式的有理化当二次根式的分母含有二次根号时，为了方便运算和表示，我们需要对二次根式进行有理化处理。
有理化的方法主要包括有理化分母和有理化分子。
有理化分母是指将分母的二次根式去掉，通常通过乘以分母的共轭形式来实现。
初中数学 二次根式中的配方思想
板块一 二次根式与配方思想【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2114412034x y y z z z -++++-+=，求2()y z x +⋅的值.【巩固】 已知实数a ，b ，c 满足2122102a b b c c c -+++-+=，求()a b c +【例2】 已知正数a 和b ，有下列命题：⑴若2a b +=，则1ab ≤； ⑵若3a b +=，则32ab ≤； ⑶若6a b +=，则3ab ≤.根据以上三个命题所提供的规律，猜想若9a b +=，则ab ≤ .a b n +=，则ab ≤ ，并式证明上式成立.【巩固】 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+，求32b a b a++的值.【例3】 (02年北京数学竞赛)若正数m ，n 满足42443m mn m n n +--+=，求28m n +-例题精讲二次根式中的配方思想、无理方程【巩固】 计算()x y +÷.【补充】已知正数a ，b ，且满足1=，求证：221a b +=【例4】 1()2x y z =++，求x 、y 、z 的值．【巩固】 设32a b c +++=，求代数式222a b c ++的值．【巩固】 如果实数a b c ，，满足2a b =2104ab +=的值.【巩固】 设,,a b c 是实数，若14a b c ++=，则2bc =________.板块二：多重二次根式双重二次根式：多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．【例5】【例6】化简：【巩固】（2003年全国初中数学联合竞赛试卷）等于A.5-B.1- C.5 D.1【补充】【例7】【补充】【例8】(2000年全国初中数学联赛题)的值.【巩固】化．【例9】（2005年全国初中数学联赛决赛试卷）的结果是_______．【巩固】 若[]a 表示实数a的整数部分，则⎡⎤等于（ ）． A.1 B.2 C.3 D.4.【例10】 （【例11】 若正整数a 、m 、na 、m 、n 的值依次是_______．【巩固】 （第五届“希望杯”数学邀请赛初二试题）设M x y ，，x y M ++的值是 .【例12】 化【巩固】 化简：【例13】 (北京市初二数学竞赛题)若x y +=x y -xy .【巩固】设x =y 66x y +的值.板块三 无理方程【例14】 解2=【巩固】 解=【例15】 解1-=【例16】 无理方程221518x x --的解是___________．【巩固】 解方程2429x x ++．【例17】 （(1)0x -=的解是1x ≤【补充】求满足下列等式的实数x 1=。
第4讲 二次根式(含答案点拨)
第4讲 二次根式的加减乘除运算以及混合运算.考查形知识梳理 一、二次根式 1．概念形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件要使二次根式a 有意义，则a ≥0. 二、二次根式的性质 1．(a )2＝a (______)．2．a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a ≥0)， (a <0).3．ab ＝______(a ≥0，b ≥0)．4．a b＝______(a ≥0，b ＞0)．三、最简二次根式、同类二次根式 1．概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．四、二次根式的运算 1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a ·b ＝____(a ≥0，b ≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a ≥0，b ＞0)．自主测试1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A ．18B ．27C ．23D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝65．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间6．化简：27－12＋43.考点一、二次根式有意义的条件【例1】若使x ＋12－x有意义，则x 的取值范围是________．解析：x ＋1与2－x 都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x 不能为零，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x >0，解得－1≤x ＜2.答案：－1≤x ＜2方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．触类旁通1 要使式子a ＋2a有意义，则a 的取值范围为__________．考点二、二次根式的性质【例2】把二次根式a －1a化简后，结果正确的是( )A ．－aB ．－－aC ．－aD ．a解析：要使a －1a 有意义，必须－1a＞0，即a ＜0.所以a －1a ＝a －a a 2＝a －a－a＝－－a .答案：B方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．触类旁通2 如果(2a －1)2＝1－2a ，则( )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12考点三、最简二次根式与同类二次根式【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．2x 2B ．b 2＋1C ．4aD ．1x(2)在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( ) A ．2a B ．3a 2 C ．a 3 D ．a 4解析：(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C 选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D 选项中的被开方数中含有分母，故B 选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a 2＝3|a |，a 3＝a a ，a 4＝a 2，结合同类二次根式的概念，可得出a 3与a 是同类二次根式．答案：(1)B (2)C方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．触类旁通3 若最简二次根式a ＋b3a 与a ＋2b 是同类二次根式，则ab ＝__________. 考点四、二次根式的运算【例4】计算：(50－8)÷ 2.解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3.方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x －4有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ≤22．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间3．(2012浙江杭州)已知m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)，则有( )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－54．(2012广东)若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 012的值是__________． 5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)1．下列各式计算正确的是( )A ．2＋3＝ 5B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－ 52．估计8×12＋3的运算结果在( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间3．若a ＜1，化简(a －1)2－1等于( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a4．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112的值是( )A ．2 011B ．2 010C ．2 012D ．2 0095．计算212－613＋8的结果是( )A ．32－2 3B ．5－ 2C ．5－ 3D ．2 26．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.7．当－1＜x ＜3时，化简：(x －3)2＋x 2＋2x ＋1＝__________.8．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．9．计算：(－3)0＋12×3＝__________.10．计算：⎝⎛⎭⎫13－1－23－(π－2)0＋|－1|.11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案导学必备知识 自主测试1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62.4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间．6．解：原式＝33－23＋233＝⎝⎛⎭⎫3－2＋233＝533. 探究考点方法触类旁通1．a ≥－2且a ≠0 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a ≠0，解得a ≥－2且a ≠0.触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，所以1－2a ≥0，解得a ≤12，故选B.触类旁通3．1 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＝a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴ab ＝1.品鉴经典考题1．C 因为二次根式有意义，则2x －4≥0，所以x ≥2.2．B 因为面积是15，则边长为15，则边长大小在3与4之间．3．A m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)＝233×21＝23×37＝27＝28，∵25＜28＜36，∴5＜28＜6，即5＜m ＜6，故选A.4．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝⎛⎭⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 5．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．研习预测试题 1．C A 项中2与3不是同类二次根式，B 项中2与2不是同类二次根式，C 项中32－2＝(3－1)2＝22，D 项中原式＝124－104＝3－52＝3－102.2．C 原式＝2＋3，1＜3＜2，所以3＜2＋3＜4. 3．D (a －1)2－1＝|a －1|－1＝1－a －1＝－a .4．C 由算术平方根的意义知，a ≥2 012，则2 011－a ＜0， ∴a －2 011＋a －2 012＝a .∴a －2 012＝2 011. ∴a －2 012＝2 0112， ∴a －2 0112＝2 012.5．A 原式＝2×22－6×33＋22＝2－23＋22＝32－2 3.6．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.7．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 8．x ＞39．解：原式＝1＋23×3＝1＋6＝7. 10．解：原式＝3－23－1＋1＝－ 3.11．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 12．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.。
七年级数学二次根式的知识点
七年级数学二次根式的知识点数学是一门让很多学生感到头疼的学科，而七年级的数学课程更是让学生们感到困难重重。
二次根式是七年级数学的关键知识点之一，也是难点之一。
在本文中，将重点讨论七年级数学二次根式的知识点，以帮助学生们更好地掌握这个难点。
一、二次根式的含义二次根式是指包含平方根的式子，也即形如√a的形式，a为正实数。
当a为正整数的时候，二次根式表达的是一个正的整数，可表示为对称轴上与原点距离的长度或者半径；当a不是整数的时候，二次根式表示无理数，需要用图形上近似的方法表示。
二、二次根式的性质1. 二次根式的乘法：两个二次根式的积可以转化为一个二次根式。
例如：√a * √b = √(ab).2. 二次根式的除法：两个二次根式的除法可以转化为一个二次根式，即：√a / √b = √(a/b).3. 二次根式的加减法：二次根式的加减法要求被加减数的根数相同。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能合并。
三、二次根式的简化二次根式的简化指的是将二次根式中含有的因数化简成最简式的过程。
例如：√16 = 4，√8= 2√2.四、二次根式的应用1. 在计算中，二次根式可以化简方便运算。
例如：√20 = 2√5.2. 二次根式广泛应用于几何图形中，例如表示道路中心线避让障碍物的限制范围，表示正方形、圆形、三角形面积等。
3. 二次根式也广泛应用于物理学、工程学、天文学等领域，例如计算地球表面正方形区域的面积。
针对以上内容，学生们应该掌握二次根式的含义、性质、简化和应用技巧。
同时，老师们也应该通过更加生动形象的教学方法来帮助学生们更好地理解和掌握这个难点。
二次根式深度理解-概述说明以及解释
二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。
二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。
例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。
本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。
在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。
然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。
最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。
通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。
二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。
2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。
具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。
2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。
2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。
【解析】专题四 二次根式中的配方思想
4
2
b
【例11】证明 a2 1 a2 a 1 a
b2 ab 12
b ab 1
【考点】二次根式的恒等证明
【解析】
a
1 b
a
2
ab 1
a2 1
a2
2a 2a2
2a
b2 ab 12 b ab 1 b ab 1
a2
1 b2
，并式证明上式成立.
【考点】规律探索
【解析】若 a b 9 ，则 ab 9 ；若 a b n ，则 ab n
2
2
王文君老师
保持优秀是种习惯
不进则退
∵ ( a b)2 ( a)2 2 a b ( b)2 a b 2 ab n 2 ab 0 ,∴ 2 ab n ，即 ab n . 2
【例5】 已知非零实数 a 、 b 满足等式 b a 5 4 2 ，求 b a 的值.
a b ab b a
3b 2 a
【考点】非负数性质的综合应用
【解析】 b a 5 4 2 两边同时乘以 ab ，则有 b2 a2 5 4a 2b ，所以 (a 2)2 (b 1)2 0 ， a b ab b a
2
2
2
2
【例15】化简： 2 4 2 3 21 12 3 【考点】多重二次根式化简求值
【解析】 2 4 2 3 2112 3 2
2
3 2 3 1
2
2
3 12
3 32
2
3 1 2 3 3 5．
二次根式课堂笔记
二次根式课堂笔记二次根式在数学中扮演着重要的角色，它是一种形如√a的代数表达式，其中a 是个非负实数。
在本节课堂笔记中，我们将深入探讨二次根式的定义、性质以及相关的运算规则。
一、二次根式的定义二次根式是表达式的一种，它由一个非负实数的平方根组成。
比如√9就是一个二次根式，它等于3。
一般地，如果a≥0，那么√a就是一个二次根式。
二、二次根式的性质1.非负性质：二次根式的值始终是非负的，即√a ≥ 0。
2.分解定理：任何一个非负实数都可以写成一个非负实数的平方的和，如a = √a²。
3.合并同类项：对于二次根式的加减运算，要先合并同类项再进行计算，如√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2。
4.乘法公式：（√a）（√b）= √(a b)，可以使用该公式简化二次根式的乘法运算。
三、二次根式的化简在化简二次根式时，我们通常要将根号内的数写成素数因子的形式，然后使用乘法公式和分配律进行化简。
例如：√72 = √(2^3 * 3^2) = 2√2√3 = 6√2四、二次根式的加减运算对于二次根式的加减运算，我们首先要合并同类项，然后根据开方运算的性质进行简化。
举例说明：√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3五、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算遵循乘法公式，通过分配律将根号内的数相乘并合并同类项。
例如：（√5 + √7）*（√5 - √7） = 5 - 7 = -2六、二次根式的除法运算二次根式的除法运算可以转化成乘法运算来处理。
例如，要计算√20 / √5，可以化简成（√20 * √5）/ 5 = √4 = 2。
通过以上课堂笔记，我们对二次根式的定义、性质以及基本运算有了更深入的了解。
在实际问题中，我们经常会用到二次根式，因此掌握好二次根式的运算规则是非常重要的。
希望同学们在日常练习中能够巩固对二次根式的掌握，提升数学运算能力。
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板块一 二次根式与配方思想 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足211
4412034x y y z z z -++++-+=，求2()y z x +⋅的值.
【巩固】 已知实数a ，b ，c 满足21
22102a b b c c c -+++-+=，求()a b c +
【例2】 已知正数a 和b ，有下列命题：
⑴若2a b +=，则1ab ≤；
⑵若3a b +=，则3
2ab ≤；
⑶若6a b +=，则3ab ≤.
根据以上三个命题所提供的规律，猜想若9a b +=，则ab ≤ .
a b n +=，则ab ≤ ，并式证明上式成立.
【巩固】 已知非零实数a 、b 满足等式542
b a
a b ab b a ++=+，求32b a
b a
++的值.
【例3】 若正数m ，n 满足42443m mn m n n +--+=，求28
22002m n m n +-++
第4讲:二次根式中的配方思想
例题精讲
【巩固】 计算()x y +÷.
【补充】已知正数a ，b ，且满足1=，求证：221a b +=
【例4】 1()2
x y z =++，求x 、y 、z 的值．
【巩固】 设32
a b c +++=，求代数式222a b c ++的值．
【巩固】 如果实数a b c ，，满足2a b =2104ab +=的值.
【巩固】 设,,a b c 是实数，若14a b c ++=，则2bc =________.
【例5】 11a a b ab +-+
板块二：多重二次根式
双重二次根式：
多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二
次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．
【例6】
【例7】
化简：
【巩固】
A.5-
B.1-
C.5
D.1
【例8】
【例9】
的值.
【巩固】 化
．
【例10】 化
的结果是_______．
A.无理数
B.真分数
C.奇数
D.偶数
【巩固】 若[]a 表示实数a
的整数部分，则⎡⎤等于（ ）
． A.1 B.2 C.3 D.4.
【例12】若正整数a、m、n a、m、n的值依次是_______．
【巩固】（第五届“希望杯”数学邀请赛初二试题）设M x y
，，
++的值是 .
x y M
【例13】化
【巩固】化简：
【例14】若x y
-=xy.
+x y
【巩固】设x=y66
+的值.
x y
练习 1． 若224250a b a b +--+=22a b
a b +-.
练习 2． 已知22230a b a ac c a b c ++-++++-=3abc 的值．
练习 3． 如果21423352c
a b a b c +-----．那么a b c ++的值是（
）
． A.6 B.9 C.20 D.24
练习 4． 9214- 16415-课后练习
练习 5．
练习 6．2
=的值为__________．。