错位重排专题

错位重排问题专项

错位重排

1-6个元素的错位重排数分别为0，1，2，9，44，265递推公式：Dm=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]；

错位重排模型：把编号为1-m的小球分别放入编号为1-n的箱子错位重排（即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子…m号球不在m号箱子），且每个箱子一个球，有多少种不同情况？

楚香凝证明：假设总情况数为D（m）种，如果让1号球先选，有（m-1）种选择；假设1号球选的2号箱子，接下来让2号球选箱子，进行分类讨论：

①如果2号球选的1号箱子，相当于剩下的（m-2）个球进行错位重排，有D（m-2）种；

②如果2号球选的不是1号箱子，则题目可转化为把编号为2→m的小球分别放入编号为

1、3→m的箱子错位重排（即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子…m号球不在m号箱子），相当于m-1个球错位重排，有D（m-1）种；

所以可得D（m）=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]，得证；

例1：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？【北京2014】

A.9

B.12

C.14

D.16

楚香凝解析：

解法一：四种元素错位重排有9种，选A

解法二：ABCD四辆车分别停放在一二三四号位置，A先选有三种情况，假设A选了二号，那么B再选、有三种选择，剩下C和D都只有一种选择，共3*3=9种，选A

例2：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？

A.2

B.6

C.8

D.9

楚香凝解析：先选出停的正确的那辆车C（4 1）=4种，剩下三辆车错位重排有2种，共4*2=8种，选C

例3：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有两辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？

A.2

B.6

C.8

D.9

楚香凝解析：先选出停的正确的两辆车C（4 2）=6种，剩下两辆车错位重排有1种，共6*1=6种，选B

例4：五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？【北京2006】A.60 B.46 C.40 D.20

楚香凝解析：先选出贴错的3个瓶子有C（5 3）=10种，三个贴错的瓶子相当于三个元素错位重排、有2种，共10*2=20，选D

例5：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排在星期五值班，则不同的排班方法共有（）种。【福建2007】

A.6

B.36

C.72

D.120

楚香凝解析：选择一个工作人员安排到星期五有三种情况，剩下四个人随便排A（4 4）=24种，共3*24=72，选C

例6：幼儿园小班有7名小朋友，上课铃响慌乱中迅速回到座位上，结果只有3名小朋友坐到了自己的座位上，请问这样的情况一共有多少种？

A.315

B.350

C.385

D.420

楚香凝解析：先选出4名坐错了的小朋友C（7 4）=35，然后4人错位重排有9种，共35*9=315种，选A

例7：设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（）

A.30种

B.31种

C.32种

D.36种

楚香凝解析：总情况数A（5 5）=120种，都不相同相当于五个元素错位重排有44种，有一个杯盖和茶杯编号相同有C（5 1）*9=45种，所以满足题意的有120-44-45=31种，选B

例8：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）种？

A.280

B.240

C.180

D.96

楚香凝解析：除去甲乙从另外四人中找一个人当翻译，有A（4 1）=4种，剩下的三个位置可以任意安排A（5 3）=60种，所以总共有4*60=240种，选B

例9：某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前4名，已知有一名同学两次排名一样，则这四个人期末排名有几种可能？【吉林政法2014】

A.4

B.6

C.8

D.10

楚香凝解析：相当于4个人中，其中一个位置不变、另外三个人错位重排，先选出位置不变的一个人有C（4 1）=4种、剩下三个人错位重排有2种情况，共4*2=8种，选C

例10：大学生剧团从8名学生中选出4人分别担任甲、乙、丙、丁四个不同的表演角色，若其中有两名学生不能担任甲角色，则不同的挑选方案共有（）。【江苏2010】A.1200种 B.1240种 C.1260种 D.2100种

楚香凝解析：两名同学不能担任甲角色，所以甲角色有6种选择，剩下的三个角色可以任意

安排A（7 3），总共情况数=6*A（7 3）=1260人，选C

例11：从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案有多少种？

A.120

B.240

C.180

D.60

楚香凝解析：

解法一：甲不能跑第一棒或第四棒的对立面是甲跑第一棒或者第四棒，总情况数=A（6 4）=360，其中“甲跑第一棒或者第四棒”的情况数有C（2 1）*A（5 3）=120，所以满足题意的情况数有360-120=240种，选B

解法二：因为甲不能跑第一棒和第四棒，所以第一棒有5种选择、第四棒有4种选择、第二棒有4种选择（包括甲）、第三棒有3种选择，所以共有5*4*4*3=240种，选B

例12：甲乙丙丁戊五个人站队，要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位、丁不站在第四位，有多少种情况？

A.42

B.44

C.53

D.60

楚香凝解析：对戊进行分类讨论；当戊站在第五位时，相当于四个人错位重排，有9种；当戊不站在第五位时，相当于五个人错位重排，有44种；共9+44=53种，选C

例13：甲乙丙丁戊五个人站队，要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位，有多少种情况？

A.44

B.53

C.60

D.64

楚香凝解析：

解法一：分类讨论

①丁在第四位，若戊在第五位，相当于甲乙丙三个人错位重排、有2种；若戊不在第五位，相当于甲乙丙戊四个人错位重排、有9种；

②丁不在第四位，若戊在第五位，相当于甲乙丙丁四个人错位重排、有9种；若戊不在第五位，相当于甲乙丙丁戊五个人错位重排、有44种；

共有2+9+9+44=64种，选D

解法二：容斥原理

（甲排1）或（乙排2）或（丙排3）的情况数=甲1+乙2+丙3-（甲1乙2）-（甲1丙3）-（乙2丙3）+（甲1乙2丙3）=24+24+24-6-6-6+2=56种；

甲不排1且乙不排2且丙不排3=A（5 5）-56=64种，选D

例14：某单位有老陶和小刘等5名工作人员，需安排在星期一至星期五的中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的事不能排在星期五，则不同的排法共有（）种。【上海B2012】

A.36

B.48

C.78

D.96

楚香凝解析：

解法一：老陶在周一有A（4 4）=24种，小刘在周五有A（4 4）=24种，老陶在周一且小刘在周五有A（3 3）=6种，老陶不在周一且小刘不在周五=总情况数-（老陶在周一）-（小刘在周五）+（老陶在周一且小刘在周五）=120-24-24+6=78种，选C