【2020-2021自招】天津市耀华中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
2020-2021天津耀华嘉诚中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021天津耀华嘉诚中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．25．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,48．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =9．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．函数的定义域为___．17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．三、解答题21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围. 22．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+23．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．24．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂=∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.5．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数.则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.6．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．8．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.9．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3） 【解析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.14．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.16．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误.【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性 解析：-1【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性． 三、解答题21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <． 试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．22．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】 试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =，设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数，所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣， 综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩； （2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-， 则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩，解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.24．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；（2）由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得；（3）不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m m mt -++≥-+，原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解，求解11y m m=-++的最大值即可. 试题解析 解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.(2)由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数， 证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵2x y =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f mmt -++≤-+，即22212m m m mt -++≥-+， 因为()1,2m ∈，所以121t m m ≤-++， 原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y m m =-++在区间()1,2上为减函数， ∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21t <，解得12t <， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
天津市耀华中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段检测数学试题 含答案
天津市耀华中学2020-2021学年高一第一学期第二次阶段性检测数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第Ⅰ卷（选择题 共48分）一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．1.已知集合2{|450}A x x x =−−≤，2{|log (1)}B x y x ==−，则A B ⋂=（ ）A. {|15}x x <≤B.{|15}x x −<≤C.{|15}x x ≤≤D. {|15}x x −≤≤2.已知函数()3log ,0,2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则19f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ） A.4B.14 C.-4D. 14−3.函数()()lg 31f x x =+的定义域是（ ）A. 1,3⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭B. 1[2,)3−C. 1(,2]3−D.(,2]−∞4.函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为（ ）A B C D5.已知1log 2am =，log 3a n =，则2m n a +等于（ ） A.3B.34C.9D.926.已知35xy a ==，且112x y+=，则a 的值为（ ）A.B.15C. D.2257.若3x <|6|x −的值是（ ） A.-9B.9C.-3D.38.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<9.函数()1lg 2f x x x=−−的零点所在区间为（ ） A.(0,1)B.(3,)+∞C.(2,3)D.(1,2)10.方程1ln 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）A.1B.2C.3D.411.已知函数()lg f x x =，0a b >>且()()f a f b =，则22a b a b+−的最小值等于（ ）A.B.C. 2+D. 12.已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A.(1,)−+∞ B.[1,1)−C.(,1)−∞D.(1,1]−第Ⅱ卷（非选择题 共52分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上． 13.函数y =___________________．14.函数213log (23)y x x =+−的单调增区间为___________________．15.设函数()1221,,00x x f x x x −⎧−≤⎪=⎨⎪>⎩，若()01f x >，则0x 的取值范围是___________________．16.函数()22log (4)log (2)f x x x =⋅，1[,4]4x ∈的值域为___________________．17.已知()(31)4,1log ,1a a x a x f x x x −+<⎧=⎨≥⎩是(),−∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是___________________．18.已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧−≤⎪=⎨>⎪−⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________________．三．解答题：本大题共3小题，共28分，将解题过程及答案填写在答题纸上． 19.（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88−−−−−−⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦（2211113322a b−−−20.计算或化简：（1）2log 3332log log 2log 32⋅−+（2）294(lg2)lg20lg5log 2log 3+⋅+⋅21.已知a R ∈，函数()f x 满足()()22log log 1f x x ax =++． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程()122log f x x =的解集中有且只有一个元素，求a 的值；（Ⅲ）设0a >，若对13[,]22t ∀∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．天津市耀华中学2020-2021学年高一第一学期第二次阶段性检测数学学科试卷答案一、选择题：（每道题4分，共计48分）二、填空题：（每小题4分，共计24分） 13. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦14.(,3)−∞−15.(,1)(1,)−∞−⋃+∞16. 1[,12]4−17. 1173a ≤< 18.(0,1)三、解答题：（共3小题，共计28分） 19.（本小题满分8分） 解：（1）原式12101121013333333−⎛⎫=−⨯+=−= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b a bab a aa b−−−−−+−−⋅⋅==⋅==⋅． 20.（本小题8分）解：（1）原式32331log 3134222=−−+=−+=−． （2）2lg 2lg3(lg 2)(2lg 2lg5)lg5lg9lg 4++⋅+⋅ 22lg 2lg3(lg 2)2lg 2lg5(lg5)2lg32lg 2=+⋅++⋅ 215(lg 2lg5)44=++=． 21.（本小题12分）解：（Ⅰ）由题意可得201log (1)110x x x >⎧⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩，得112x +>，解得{|01}x x <<．（Ⅱ）方程()122log f x x =有且仅有一解，即222log (1)log 2log ax x x +−=−． 等价于210axx +−=有且仅有一解，且0x >，10ax +>，当0a >时，因为()010f =−<，方程有一个正根，满足题意． 当0a =时，1x =符合题意； 当0a <时，140a ∆=+=，14a =−此时2x =满足题意， 综上，0a ≥或14a =−． （Ⅲ）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log ()log ()a a x x +>+所()f x 在(0,)+∞上单调递减函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +，2211()(1)log ()log ()11f t f t a a t t −+=+−+≤+即2(1)10at a t ++−≥对任意13[,]22t ∈恒成立，因为0a >，所以函数2(1)1y at a t =++−在区间13[,]22上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a −， 由31042a −≥，得23a ≥ 故a 的取值范围为2[,)3+∞．。
天津市耀华中学2021-2022学年高考数学全真模拟密押卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥2．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯- 3．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0,0x y >>，则“222x y xy +=的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 6．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =--B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+ D ．(1)2n i i -=+ 8．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 10．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．212．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷 (解析版)
2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x2−3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，则(∁U A)∩B等于()A. ⌀B. {0,1}C. {1,2}D. {1,2，3}2.设等比数列{a n}中，每项均是正数，且a5a6=81，则log13a1+log13a2+log13a3+⋯+log13a10=( )A. 20B. −20C. −4D. −53.已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的()．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为()A. 3√34B. 3√32C. 9√34D. 9√325.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁6.已知a=log52，b=log72，c=0．5a−2，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b7.将函数y=cos2x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)的图象向右平移π8个单位，得到函数f(x)的图象，则f(x)=()A. cos(x−π8) B. sin(x−π8) C. sin2x D. sin4x8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点重合，过F 作与一条渐近线平行的直线l ，交另一条渐近线于点A ，交抛物线y 2=8x 的准线于点B ，若三角形AOB(O 为原点)的面积3√3，则双曲线的方程为( )A. x 212−y 24=1B.x 24−y 212=1C.x 23−y 2=1D. x 2−y 23=19. 若函数f(x)=|4x −x 2|+a 有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−4,0]B. (−4,0)C. [0,4]D. (0,4)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设z =1−i(i 为虚数单位)，则2z +z 2= ______ ． 11. 在(x √x )4的展开式中，x 的系数为______.(用数字作答)12. (1)在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是______．(2)设随机变量X ̃B (2,p )，随机变量Y ̃B (3,p )，若P (X ≥1)=59，则D (3Y +1)=_________．(3)如果η∼B (100,12)，当P (η=k )取最大值时，k =_____________．(4)现有A 、B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分。
2020-2021天津耀华嘉诚中学初三数学下期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021天津耀华嘉诚中学初三数学下期中第一次模拟试题(附答案) 一、选择题1．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数1yx=-的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y22．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△AB C的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）A．y=12xB．y=24xC．y=32xD．y=40x4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③AE DEAB BC=，④AD AEAC AB=，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤5．观察下列每组图形，相似图形是（）A．B．C．D．6．在同一直角坐标系中，函数kyx=和y=kx﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．7．下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:98．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．252-B．25-C．251-D．52-9．在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）10．如图,在平行四边形中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（）A．1 : 2B．1 : 3C．2 : 3D．4 : 911．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3x；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③二、填空题13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．--，则这个反比例函数的表达式为________. 14．已知一个反比例函数的图象经过点(2,3)15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.16．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则∠1+∠2= ．17．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）18．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）19．若函数y＝(k－2)2k5x-是反比例函数，则k＝______.20．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm．三、解答题21．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD 切⊙O于点D，连接AD．(1)求证：BC＝CD；(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．22．计算：cos45tan45sin60cot60cot452sin30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒．23．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC 的值．24．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为9m ，请你计算DE 的长．25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C .经测量，C 位于A 的北偏东60︒的方向上，B 的北偏东30°的方向上，且10AB km =.(1)求景点B 与C 的距离.(2)求景点A 与C 的距离.(结果保留根号)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2＜x 3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y =﹣1x中k =﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴B 、C 两点在第四象限，A 点在第二象限，∴y 2＜y 3＜y 1．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．C解析：C【解析】试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A 时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.综上最多有3条.故选C．3．C解析：C【解析】【分析】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB ∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入y=kx求出k即可．【详解】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，则∠AMO=∠BNC=90°，∵四边形AOCB是菱形，∴OA=BC=AB=OC,AB∥OC,OA∥BC，∴∠AOM=∠BCN ，∵A(3,4)，∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，即OC=OA=AB=BC=5，在△AOM 和△BCN 中AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BCN(AAS)，∴BN=AM=4，CN=OM=3，∴ON=5+3=8，即B 点的坐标是(8,4)，把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，即y=32x， 故答案选C.【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.4．A解析：A【解析】①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立．②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立． ③AE DE AB BC =，但AED V 比一定与B Ð相等，故ADE V 与ACD V 不一定相似． ④AD AE AC AB=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB V V ∽，成立．⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC=无法确定出ADE V ， 故不能证明：ADE V 与ABC V 相似．故答案为A ．点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.5．D解析：D【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状不同，故不是相似图形；D、两图形形状相同，故是相似图形；故选：D．【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．6．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．7．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B ．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．8．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：12AP AB = ，得1422AP =⨯= .故选A. 9．B解析：B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选：B.【点睛】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.10．C解析：C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD=AB ．∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=1：2，∴EC ：DC=CE ：AB=2：3，∴C △CEF ：C △ABF =2：3．故选C ．11．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．12．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题13．四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【详解】解：设竹竿的长度为x尺∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺标杆长=一尺五寸=15尺影长五寸=05尺∴＝解得x=45（尺）故答案为：四丈解析：四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15＝1.50.5，解得x=45（尺）．故答案为：四丈五尺．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．14．【解析】【分析】把已知点的坐标代入可求出k值即得到反比例函数的解析式【详解】设这个反比例函数的表达式为了则所以这个反比例函数的表达式为故答案是：【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式解题关解析：6y x=【解析】【分析】 把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．【详解】 设这个反比例函数的表达式为了(0)k y k x=≠，则 (2)(3)6k =-⨯-=， 所以这个反比例函数的表达式为6y x =. 故答案是：6y x=. 【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是设关系式、再将已知点坐标代入，从而求解即可． 15．6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD 然后把OA=1OD=3AB=2代入计算即可【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似原点O 是位似中心∴AB：DE=OA ：OD 即2：DE=1：3∴D解析：6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD ，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴AB ：DE=OA ：OD ，即2：DE=1：3，∴DE=6．故答案是：6．【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．16．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG 的长度（用a 表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF∽△GCA 问题即可解决【详解】设正方形的边长为a 则AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF∴△ACF∽△解析：45°．【解析】【分析】首先求出线段AC 、AF 、AG 的长度（用a 表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF ∽△GCA ，问题即可解决．【详解】设正方形的边长为a ，则=，∵ACCF a ==CG AC == ∴AC CG CF AC=， ∵∠ACF=∠ACF ，∴△ACF ∽△GCA ，∴∠1=∠CAF ，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．点睛：该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．17．24π【解析】解：由图可知圆柱体的底面直径为4高为6所以侧面积=4π×6=24π故答案为24π点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力圆柱体的侧面积公式根据主视图判断出圆柱体的底面直径与 解析：24π【解析】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．18．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>【解析】【分析】由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离QD =Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >【详解】由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC 由图可知2QD =1QC =∴ 2sin QD AOP OP ∠==1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠, ∴m n OP OP> ∴m n >【点睛】本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.19．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k 的值即可【详解】解：若函数y ＝(k －2)是反比例函数则解得k ＝﹣2故答案为﹣2解析：-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩，解出k 的值即可． 【详解】解：若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，则2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩解得k ＝﹣2，故答案为﹣2．20．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O 连接OBOC 交AB 于D∴OC⊥ABBD=AB 由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12 AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．三、解答题21．(1)证明见解析；3【解析】【分析】(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．【详解】(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线，∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；(2)连接BD，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝3．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．214-．【解析】试题分析：把特殊角的三角函数值代入运算即可.试题解析：原式23321121 22322.124 122=⋅-⋅--==+⨯23．.【解析】【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC-BD=14-9=5，∴AC==13，∴sinC=．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．24．（1）见解析；（2）13.5m.【解析】【分析】（1）直接利用平行投影的性质得出答案；（2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：EF 即为所求；（2）∵AB ＝6m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC ＝4m ，DE 在阳光下的投影长为9m ， ∴64＝DE 9， 解得：DE ＝13.5m ，答：DE 的长为13.5m ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质.25．(1)BC=10km ；3【解析】【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；（2）分别在Rt BCD ∆和Rt ACD ∆中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.【详解】解：(1)过点C 作CD ⊥直线l ，垂足为D ，如图所示.根据题意，得：30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒，∴∠C =∠CBD －∠CAD =30°，∴∠CAD =∠C ，∴BC =AB =10km .(2) 在Rt BCD ∆中，sin CD CBD BC ∠=，∴sin 6053CD BC km ==o g ， 在Rt ACD ∆中，1sin 2CD CAD AC ∠==，∴2103AC CD km ==.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.。
2020年天津市耀华中学高一上学期月考数学试卷与答案
⼀、选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 4 分，共 32 分，在每⼩题的 4 个选项中，只有项是符合题⽬要求的，将答案涂在答题卡上．1设集合 ，，，则 A ．B ．C ．D ．U ={x ∈N |0<x ⩽8}S ={1,2,4,5}T ={3,5,7}S ∩(∁U T )=(){1,2,4}{1,2,3,4,5,7}{1,2}{1,2,4,5,6,8}2命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．，∃x ∈R x 2+2x +2⩽0()∃x ∈R x 2+2x +2>0∃x ∈R x 2+2x +2⩾0∀x ∈R x 2+2x +2>0∀x ∈R x 2+2x +2⩽03若 ，则 等于A ．B ．C ．D ．−2x 2+5x −2>0√4x 2−4x +1+2|x −2|()4x −5−335−4x4已知条件 ：，条件 ：，则 是 的A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件p x ⩽1q <11x¬p q ()5集合 ，，定义 ，则 的真⼦集个数为A ．B ．C ．D ．P ={3,4,5}Q ={6,7}P ∗Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q }P ∗Q ()316332646设 ，则下列不等式中恒成⽴的是A ．B ．C ．D ．a >1>b >−1()<1a 1b >1a 1ba >b 2a 2>2b7如果存在 ，使得不等式 成⽴，则实数 的取值范围是A ．B ．C ．D ．x ∈R <1mx 2+2mx +m 4x 2+6x +3m ()(1,3)(−∞,+∞)(∞,1)∪(2,+∞)(−∞,3)8设正实数 ， 满⾜ ，，不等式 恒成⽴，则 的最⼤值为A ．B ．C ．D ．x y x >12y >1+⩾m 4x 2y −1y 22x −1m ()2√24√2816⼆、填空题；本⼤题共 7 ⼩题，每⼩题 4 分，共 28 分，将答案填写在答题纸上．9已知集合 ，，，则 ．A ={1,2,m 3}B ={1,m }A ∩B =B m =10若集合 ⾄多有⼀个元素，则 的取值范围是．A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }a 11不等式 的解集是．⩾3x +12−xitemId: 60fb76c7a1252f6b5f4eb635itemId: 60fb76ebe7c40c5b01152888itemId: 60fb770b4e37b51aa45063e5itemId: 60fb77228794351efdc89472itemId: 60fb7732587fd1522d88c216itemId: 60fb774c587fd1522d88c368itemId: 60fb7766e1c5b602eafb027d itemId: 60fb777be7c40c5b01153238itemId: 60fb77b1587fd1522d88c93b itemId: 60fb77d42403d31f96cbf5d3itemId: 60fb77e9a1252f6b5f4ec79412若 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中错误的不等式是（只填序号）．<<01a 1b <1a +b 1ab |a |+b >0a −>b −1a 1b−ab >−a 213已知正数 ， 满⾜ ，则 的最⼩值为．x y x +2y =2x +8y xy14不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为．ax 2+2x +c >0(−,)1312−cx 2+2x −a >015已知 ，，则 的最⼩值为．xy >0x +y =3+x 2y +1y 2x +2三、解答题：本⼤题共 4 ⼩题，共 40 分，将解题过程及答案填写在答题纸上．16已知集合 ，，全集 ．(1)当 时，求 ；(2)若 ，求实数 的取值范围．A ={x |a −1<x <2a +3}B ={x |−2⩽x ⩽4}U =R a =2A ∪B A ∩B =A a 17设集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．(1)求集合 ；(2)设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，求 的取值范围．A ={x |x ⩽−2x ⩾3}x (x −2a )(x +a )>0B a <0B p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q a 18已知关于的 不等式 ．(1)若此不等式的解集为 ，求实数 的值；(2)若 ，解这个关于 的不等式；(3)， 恒成⽴，求 的取值范围．x (ax −1)(x +1)>0{x ∣∣∣−1<x <−}12a a ∈R x ∀1⩽x ⩽3(ax −1)(x +1)>2ax −a −1a 19正实数 ，， 满⾜ 当 最⼤值时，求 最⼤值．a b c a 2−3ab +4b 2−c =0ab c +−2a 1b2c itemId: 60fb780b8794351efdc8a013itemId: 60fb78234e37b51aa450718e itemId: 60fb783ae828662beba387df itemId: 60fb78508794351efdc8a298itemId: 60bf3e7f587fd1721d4cc8ff itemId: 60fb78a3e1c5b602eafb1283itemId: 60fb78e72403d31f96cc0231itemId: 60fb7904a6352b760ac5b360⼀、选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 4 分，共 32 分，在每⼩题的 4 个选项中，只有项是符合题⽬要求的，将答案涂在答题卡上．12020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷设集合 ，，，则 A ．B ．C ．D ．答案A 解析【分析】：根据集合补集和交集的运算规则直接求解．因为 ，，所以 ．故选 A 备注【考点】：交、并、补集的混合运算．【点评】：本题考查集合的基本运算，属简单题．U ={x ∈N |0<x ⩽8}S ={1,2,4,5}T ={3,5,7}S ∩(∁U T )=(){1,2,4}{1,2,3,4,5,7}{1,2}{1,2,4,5,6,8}U ={1,2,3,4,5,6,7,8}∁U T ={1,2,4,6,8}S ∩(∁U T )={1,2,4}22020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．，答案C 解析【分析】：根据特称命题的否定的全称命题进⾏求解即可．“，”是特称命题，根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：，．故选 C 备注【考点】：命题的否定；存在量词和特称命题．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，⽐较基础．∃x ∈R x 2+2x +2⩽0()∃x ∈R x 2+2x +2>0∃x ∈R x 2+2x +2⩾0∀x ∈R x 2+2x +2>0∀x ∈R x 2+2x +2⩽0∵∃x ∈R x 2+2x +2⩽0∴∀x ∈R x 2+2x +2>0itemId: 60fb76c7a1252f6b5f4eb635itemId: 60fb76ebe7c40c5b01152888若 ，则 等于A ．B ．C ．D ．答案C 解析【分析】：先由 得出 的取值范围，再将 化简成：的形式，最后利⽤绝对值的定义化简即得．由 得：．则故选 C 备注【考点】：函数的值．【点评】：本⼩题主要考查函数的值、根式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能⼒，属于基础题．−2x 2+5x −2>0√4x 2−4x +1+2|x −2|()4x −5−335−4x−2x 2+5x −2>0x √4x 2−4x +1+2|x −2||2x −1|+2|x −2|−2x 2+5x −2>0<x <212∴√4x 2−4x +1+2|x −2|=|2x −1|+2|x −2|=2x −1+2(2−x )=3已知条件 ：，条件 ：，则 是 的A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析【分析】：由题意条件 ：，写出其 中 的范围，将条件 ：，由分式不等式的解法解出 的范围，然后判断 是 之间能否互推，从⽽进⾏判断． 条件 ：，：；条件 ：，，解得 或 ，或 ，反之则不能；， 推不出 ， 是 的充分⽽不必要条件．故选 A 备注【考点】：充分条件、必要条件、充要条件．【点评】：此题主要考查逻辑关系的条件和分式⽅程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出 和 ，各⾃ 的范围．p x ⩽1q <11x¬p q ()p x ⩽1−p x q <11xx −p q ∵p x ⩽1∴¬p x >1∵q <11x∴<01−x xx >1x <0∵x >1⇒x >1x <0∴−p ⇒q q −p ∴−p q −p q x集合 ，，定义 ，则 的真⼦集个数为A ．B ．C ．D ．答案B 解析【分析】：根据条件即可求出集合 的元素个数，从⽽可得出集合 的真⼦集个数．根据题意得， 的元素个数为 个，的真⼦集个数为 个．故选 B 备注【考点】：⼦集与真⼦集．【点评】：考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，分步计数原理的应⽤，集合真⼦集个数的计算公式．P ={3,4,5}Q ={6,7}P ∗Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q }P ∗Q ()31633264P ∗Q P ∗Q P ∗Q C 13⋅C 12=6∴P ∗Q 26−1=6362020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷设 ，则下列不等式中恒成⽴的是A ．B ．C ．D ．答案C 解析【分析】：通过举反例说明选项 A ，B ，D 错误，通过不等式的性质判断出 C 正确．A ．例如 ， 此时满⾜ 但 故 A 错；B ．例如 ， 此时满⾜ 但 故 B 错；C ． 故 C 正确；D ．例如 此时满⾜ ， 故 D 错．故选 C 备注【考点】：不等关系与不等式．【点评】：想说明⼀个命题是假命题，常⽤举反例的⽅法加以论证．a >1>b >−1()<1a 1b>1a 1ba >b 2a 2>2ba =2b =−12a >1>b >−1>1a 1b a =2b =12a >1>b >−1<1a 1b∵−1<b <1∴0⩽b 2<1∵a >1∴a >b 2a =b =9834a >1>b >−1a 2<2b itemId: 60fb774c587fd1522d88c368如果存在 ，使得不等式 成⽴，则实数 的取值范围是A ．B ．C ．D ．答案B 解析【分析】：由已知结合 成⽴，可转化为⼆次不等式的成⽴，结合⼆次函数的性质可求．由成⽴，⼜ 恒成⽴，，整理可得， 成⽴，① 当 时， 可得 成⽴；② 时，(1) 时，存在 ，使得 成⽴，符合题意，(2) 时，则 解可得，．综上可得， 的范围为 ．故选 B 备注【考点】：其他不等式的解法．【点评】：本题主要考查了⼆次不等式的成⽴问题求解参数，体现了分类讨论思想的应⽤．x ∈R <1mx 2+2mx +m 4x 2+6x +3m ()(1,3)(−∞,+∞)(∞,1)∪(2,+∞)(−∞,3)4x 2+6x +3>0<1mx 2+2mx +m 4x 2+6x +34x 2+6x +3>0∴mx 2+2mx +m <4x 2+6x +3(m −4)x 2+(2m −6)x +m −3<0m =42x +1<0x <−12m ≠4m <4x ∈R (m −4)x 2+(2m −6)x +m −3<0m >4{m >4Δ=(2m −6)2−4(m −4)(m −3)>0m >4m R设正实数 ， 满⾜ ，，不等式 恒成⽴，则 的最⼤值为A ．B ．C ．D ．答案C 解析【分析】：不等式 恒成⽴，转化为求 的最⼩值，可得 的最⼤值．将分⺟转化为整数，设 ，则 ，令 ，，利⽤基本不等式的性质即可得出．设 ，则 ，令 ，，，．那么当且仅当 即 ， 时取等号．的最⼩值为 ，则 的最⼤值为 ．故选 C 备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查了基本不等式的性质的运⽤解决恒成⽴的问题，利⽤了换元法转化求解，多次使⽤基本不等式解决问题的关键，属于中档题．x y x >12y >1+⩾m 4x 2y −1y 22x −1m ()2√24√2816+⩾m 4x 2y −1y 22x −1+4x 2y −1y 22x −1m y −1=b y =b +12x −1=a x =(a +1)12y −1=b y =b +12x −1=a x =(a +1)12a >0b >0+=+⩾2=2=2(+√ab +)⩾2(2√√ab ⋅+)=2(2+2)=84x 2y −1y 22x −1(b +1)2a (a +1)2b (a +1)(b +1)√abab +(a +b )+1√ab 1√aba +b √ab 1√ab2√ab √aba =b =1x =1y =2∴+4x 2y −1y 22x −18m 8⼆、填空题；本⼤题共 7 ⼩题，每⼩题 4 分，共 28 分，将答案填写在答题纸上．92020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷已知集合 ，，，则 ．答案或 或 解析【分析】：根据 即可得出 ，从⽽得出 或 ，解出 的值，并检验是否满⾜题意即可．，，或 ，或 或 或 ， 时，不满⾜集合元素的互异性， 或 或 ．故答案为： 或 或 ．备注【考点】：交集及其运算．【点评】：考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及⼦集的定义，集合元素的互异性．A ={1,2,m 3}B ={1,m }A ∩B =B m =20−1A ∩B =B B ⊆A m =2m =m 3m ∵A ∩B =B ∴B ⊆A ∴m =2m =m 3∴m =2m =0m =−1m =1∵m =1∴m =20−120−1itemId: 60fb77b1587fd1522d88c93b102020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷若集合 ⾄多有⼀个元素，则 的取值范围是．答案或 解析【分析】：由集合 ⾄多有⼀个元素，得到 或，由此能求出 的取值范围．集合 ⾄多有⼀个元素， 或 解得 或 ，的取值范围是 或 ．故答案为： 或 ．备注【考点】：集合的表⽰法．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查集合、⼀元⼆次函数的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }a {a |a =0a ⩾1}A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }a =0{a ≠0Δ=4−4a ⩽0a ∵A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }∴a =0{a ≠0Δ=4−4a ⩽0a =0a ⩾1∴a {a |a =0a ⩾1}{a |a =0a ⩾1}itemId: 60fb77d42403d31f96cbf5d3不等式的解集是．答案解析【分析】：由可得，，整理后即可求解．由 可得，，整理可得，，解可得，．故答案为：．备注【考点】：其他不等式的解法．【点评】：本题主要考查了分式不等式的解法的应⽤，属于基础试题．⩾3x +12−x [,2)54⩾3x +12−x −3⩾0x +12−x ⩾3x +12−x −3⩾0x +12−x ⩽04x −5x −2⩽x <254[,2)54若，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中错误的不等式是（只填序号）．答案②④解析【分析】：若，可得 ，利⽤不等式的基本性质即可判断出下列不等式的正误．若 ，，给出下列不等式：① ， 正确；② 由于 ，因此不正确；③ ，，⼜ ，，正确；④ 由 ，，不正确．其中错误的不等式是 ②④．故答案为：②④．备注【考点】：不等式的基本性质．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．<<01a 1b <1a +b 1ab |a |+b >0a −>b −1a 1b −ab >−a 2<<01a 1b b <a <0<<01a 1b ∴b <a <0∵<0<1a +b 1ab ∴<1a +b 1ab|a |+b <0∵<<01a 1b ∴−>−1a 1b a >b ∴a −>b −1a 1bb <a <0∴−ab <−a 2已知正数 ， 满⾜ ，则的最⼩值为．答案解析【分析】：利⽤“乘 法”和基本不等式即可得出．正数 ， 满⾜ ，，当且仅当 时取等号． 的最⼩值为 ．故答案为：．备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查了“乘 法”和基本不等式的性质，属于基础题．x y x +2y =2x +8y xy 91∵x y x +2y =2∴=(x +2y )⋅(+)=(10++)⩾(10+2√⋅)=9x +8y xy 121y 8x 12x y 16y x 12x y 16y xx =4y =43∴x +8y xy 991不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为．答案解析【分析】：根据不等式的解集求出 ， 的值，从⽽求出不等式 的解集即可．不等式 的解集为 ，，，解得：，，故不等式 即 ，故 ，解得：，故不等式的解集是：．故答案为：．备注【考点】：⼀元⼆次不等式及其应⽤．【点评】：本题考查了解⼆次不等式问题，考查转化思想，是⼀道基础题．ax 2+2x +c >0(−,)1312−cx 2+2x −a >0(−2,3)a c −cx 2+2x −a >0∵ax 2+2x +c >0(−,)1312∴−=−+2a 1312=−c a16a =−12c =2−cx 2+2x −a >0−2x 2+2x +12>0x 2−x −6<0−2<x <3(−2,3)(−2,3)已知 ，，则 的最⼩值为．答案解析【分析】：由题意可得 ，，由柯西不等式可得，即可得到所求最⼩值．，，可得 ，，由柯西不等式可得，可得 ，当 ，即有 ， 时， 的最⼩值为 ．故答案为：．备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查柯西不等式的运⽤：求最值，考查化简变形能⼒、以及运算能⼒，属于中档题．xy >0x +y =3+x 2y +1y 2x +232x >0y >0[(y +1)+(x +2)](+)⩾[√y +1⋅+√x +2⋅]2x 2y +1y 2x +2x √y +1y √x +2xy >0x +y =3x >0y >0[(y +1)+(x +2)](+)⩾[√y +1⋅+√x +2⋅]2=(x +y )2=9x 2y +1y 2x +2x √y +1y √x +2+⩾=x 2y +1y 2x +29x +y +332=y +1x x +2y x =43y =53+x 2y +1y 2x +23232三、解答题：本⼤题共 4 ⼩题，共 40 分，将解题过程及答案填写在答题纸上．已知集合 ，，全集 ．(1)当 时，求 ；(2)若 ，求实数 的取值范围．(1)答案解析 时，集合 ，，；⼜ ，或 ．(2)答案解析若 ，则 ，当 ，即 时，，满⾜题意；当 时，应满⾜ 解得 ；综上知，实数 的取值范围是 ．A ={x |a −1<x <2a +3}B ={x |−2⩽x ⩽4}U =R a =2A ∪B A ∩B =A a (−∞,−4]∪[−1,]12a =2A ={x |1<x <7}B ={x |−2⩽x ⩽4}∴A ∪B ={x |−2⩽x <7}U =R ∴(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={x |x <−2x ⩾7}(−∞,−4]∪[−1,]12A ∩B =A A ⊆B a −1⩾2a +3a ⩽−4A =∅a >−4{a −1−22a +34−1⩽a ⩽12a (−∞,−4]∪[−1,]12设集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．(1)求集合 ；(2)设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，求 的取值范围．(1)答案解析【分析】：关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．利⽤⼀元⼆次不等式的解法即可得出．关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．解得：，或 ．集合 ，．(2)答案解析【分析】：设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，可得 是 的充分不必要条件，进⽽得出结论．设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，是 的充分不必要条件，，等号不能同时成⽴．解得 ．的取值范围是 ．备注【考点】：充分条件、必要条件、充要条件．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定⽅法、不等式的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．A ={x |x ⩽−2x ⩾3}x (x −2a )(x +a )>0B a <0B p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q a B =(−∞,2a )∪(−a ,+∞)x (x −2a )(x +a )>0B a <0x (x −2a )(x +a )>0B a <0x >−a x <2a ∴B =(−∞,2a )∪(−a ,+∞)(a <0)(−∞,−3]p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q q p p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q ∴q p ∴{2a ⩽−23⩽−aa ⩽−3∴a (−∞,−3]已知关于的 不等式 ．(1)若此不等式的解集为 ，求实数 的值；(2)若 ，解这个关于 的不等式；(3)， 恒成⽴，求 的取值范围．(1)答案解析【分析】：由题意可得 ， 为⽅程 的两根，由代⼊法可得所求值． 的解集为 ，可得 ， 为⽅程 的两根，可得 ，即 ．(2)答案⻅解析解析【分析】：讨论 ，，，⼜分 ，， 时，由⼆次不等式的解法，即可得到所求解集．当 时，原不等式即为 ，解得 ，解集为 ；当 时，原不等式化为 ，解集为 或 ；当 时，原不等式化为 ，① 若 ，可得 ，解集为 ；② 若 ，，可得解集为 ；③ 若 ，，可得解集为 ．(3)答案解析x (ax −1)(x +1)>0{x ∣∣∣−1<x <−}12a a ∈R x ∀1⩽x ⩽3(ax −1)(x +1)>2ax −a −1a a =−2−1−12(ax −1)(x +1)=0(a <0)(ax −1)(x +1)>0{x ∣∣∣−1<x <−}12−1−12(ax −1)(x +1)=0(a <0)=−1a 12a =−2a =0a >0a <0a =−1a <−1−1<a <0a =0x +1<0x <−1{x |x <−1}a >0(x −)(x +1)>01a {x ∣∣∣x >1a x <−1}a <0(x −)(x +1)<01a a =−1(x +1)2<0∅a <−1>−11a {x ∣∣∣−1<x <}1a−1<a <0<−11a {x ∣∣∣<x <−1}1a (1,+∞)【分析】：由题意可得 在 恒成⽴，可得 在 恒成⽴，由 ，，结合对勾函数的单调性可得 的最⼤值，可得 的范围．对任意的 ， 恒成⽴，等价为 在 恒成⽴，由于 恒成⽴，可得 在 恒成⽴，由 ，，可得 ，⽽ 在 时取得最⼩值 ，在 时取得最⼤值 ，可得 的最⼤值为 ，则 ．即 的取值范围是 ．备注【考点】：不等式恒成⽴的问题；其他不等式的解法．【点评】：本题考查⼆次不等式的解法和不等式恒成⽴问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能⼒和推理能⼒，属于中档题．a (x 2−x +1)>x 1⩽x ⩽3a >x x 2−x +11⩽x ⩽3f (x )=xx 2−x +11⩽x ⩽3f (x )a 1⩽x ⩽3(ax −1)(x +1)>2ax −a −1a (x 2−x +1)>x 1⩽x ⩽3x 2−x +1=(x −)2+>01234a >x x 2−x +11⩽x ⩽3f (x )=x x 2−x +11⩽x ⩽3f (x )=1x +−11x y =x +1x x =12x =3103f (x )1a >1a (1,+∞)192020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷正实数 ，， 满⾜ 当最⼤值时，求 最⼤值．答案解析【分析】：由条件可得 ，，运⽤基本不等式可得 时，取得最⼤值，求得 ，代⼊运⽤⼆次函数的性质求出其最⼤值即可得答案．由条件可得 ，，，当且仅当 时， 有最⼤值，，，当 时， 有最⼤值 ．备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查基本不等式在最值问题中的应⽤．在应⽤基本不等式求最值时要注意“⼀正、⼆定、三相等”的判断．运⽤基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值．a b c a 2−3ab +4b 2−c =0ab c +−2a 1b2c 1c =a 2−3ab +4b 2==ab c ab a 2−3ab +4b 21−3+a b4b a a =2b c =2b 2c =a 2−3ab +4b 2==ab c ab a 2−3ab +4b 21−3+a b4b a ∵+⩾2√4=4a b 4b a a =2b ab c c =2b 2+−=−=−(−1)2+12a 1b 2c 2b 1b 21b b =1+−2a 1b 2c 1itemId: 60fb7904a6352b760ac5b360。
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x |4−xx+1≤0}，那么集合A ∩(∁U B)等于( )A. [−2,4)B. (−1,3]C. [−2,−1]D. [−1,3] 2. 设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10等于( )A. 5B. 10C. 20D. 403. “cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的( )A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件4. 某圆柱的体积、侧面积都为16π，则该圆柱的外接球的体积为( )A. 32πB. 64√3πC. 64√23πD. 128√2π5. 2018年9月7日，《我不是药神》正式下线，累计票房30.98亿.为了解《我不是药神》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100名此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间[10,60]内)，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数约为( )A. 33B. 34C. 35D. 36 6. 三个数a =0.67,b =70.6,c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. c <a <bC. b <a <cD. c <b <a7. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小值为( )A. 18πB. 12πC. 34πD. 38π8. 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55B. 3√55C. √2D. 2√1059. 若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设复数z 满足(1−i)z =1+i(i 为虚数单位)，则z =__________． 11. 在(2x 2−1x )5的二项展开式中，x 的系数为_________.(用数字作答)12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)=________．13. 已知圆C ：x 2+y 2−8y +12=0，直线l ：ax +y +2a =0，若直线l 与圆C 相切，则实数a的值为__________．14. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 15. 若△ABC 的面积为2√3，且A =π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，cosA−2cosCcosB=2c−a b．(1)若C =A +π3，求角A 的大小；(2)若cosB =14，△ABC 的周长为5，求b 的值．17. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =AD =2，DC =3，E 在棱PC 上且PE =2EC ． (1)证明：BE//平面PAD ；(2)若PD ⊥平面ABCD ，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为2√55，求二面角E −BD −C 的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．19.已知数列{b n}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列，b n=1−3log2(2a n)(n∈N∗).(1)求证：{a n}是等比数列；(2)若数列{c n}满足c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+1)−x．x+1(1)求f(x)的单调区间；(2)求曲线y=f(x)的极值；(3)求证：对任意的正数a与b，恒有lna−lnb≥1−b．a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题． 解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出A ∩(∁U B)． 解：∵全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}={x|−2≤x ≤3}， B ={x |4−xx+1≤0}={x|x <−1或x ≥4}， ∴∁U B ={x|−1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B)={x|−1≤x ≤3}， 故选D ．2.答案：C解析：解：∵等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，∴log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=log 3(a 1a 2⋯a 10)=log 3(a 3a 8)5 =5log 3(a 3a 8)=5log 381=20， 故选：C ．利用等比数列的定义和性质，以及对数的运算性质，把要求的式子化为5log 3(a 3a 8)，再把已知的条件代入运算求得结果．本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质的应用，属于基础题．3.答案：A解析：解：由cos2α=−√32，得2α=2kπ±5π6，即α=kπ±5π12,k ∈Z ， 所以α=kπ±5π12,k ∈Z ，是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故“cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故选：A ．利用充分条件和必要条件的定义去判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的方法： ①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．4.答案：C解析：本题考查圆柱的体积、圆柱的侧面积及球的体积，属于中档题． 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，根据题意可得，求得r ，h 的值，然后求得圆柱的外接球的半径，进而利用球的体积公式即可求得结果． 解：设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ， ∵柱的体积、侧面积都为16π，，解得{r =2ℎ=4，所以圆柱的外接球的半径R =√r 2+(ℎ2)2=√4+4=2√2，因此该圆柱的外接球的体积为．故选C ．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图的计算，根据已知及频率分布直方图的计算，求出这100人年龄的中位数．【解答】解：年龄在区间[10,30)内的频率为(0.014+0.024)×10=0.38， 年龄在区间[30,40)内的频率为0.028×10=0.28， 故中位数在区间[30,40)内，设中位数为x ， 则0.38+(x −30)×0.028=0.5，所以x =30+307≈34，故选B ．6.答案：B解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵0<a =0.67<1，b =70.6>1，c =log 0.76<0， ∴c <a <b ， 故选B ．7.答案：D解析：解：将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数y =2sin[2(x −φ)+π4]=2sin(2x +π4−2φ)的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y =2sin(4x +π4−2φ)的图象； 再根据所得图象关于直线x =π4对称，可得π+π4−2φ=kπ+π2(k ∈z)，即φ=3π8−kπ2k ∈z ，∴φ的最小值为3π8， 故选：D ．由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a ，b 的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ，求解双曲线的离心率即可． 解：抛物线y 2=4x 的焦点(1,0)，可得a 2+b 2=1， ∵两条渐近线和圆(x −1)2+y 2=a 2均关于x 轴对称，∴由对称性，不妨设渐近线ay +bx =0与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ， ∴圆心到直线的距离为d =√a 2+b 2=bc =b ，圆的半径为a ， ∴a 2=b 2+(b 2)2=54(c 2−a 2)=54−54a 2， 解得a =√53，所以双曲线的离心率为ca =√53=3√55．故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的图象的变化，注意函数零点的定义，属于基础题． 根据题意，分析可得若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，作出函数y =|(12)x −1|的图象，结合图象分析可得答案．解：根据题意，若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点， 函数y =|(12)x −1|的图象如图：若其图象与直线y =2a 有2个交点，必有0<2a <1， 即0<a <12，即a 的取值范围为(0,12)； 故选A ．10.答案：i解析：本题考查复数的运算，题目基础． 解：由题设得z =1+i1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=i ． 故答案为：i ．11.答案：−40解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 在(2x 2−1x )5的展开式通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得x 的系数．解：(2x 2−1x )5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·25−r ·x 10−2r ·(−1)r ·x −r =(−1)r ·25−r ·C 5r ·x 10−3r ，令10−3r =1，解得r =3，故x 的系数为−22·C 53=−40，故答案为：−40．12.答案：950；1225。
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：,，∴=，∴() A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件得如图所示的阴影区域,由，即由,可得,平移直线，由图可知，当直线过点时, 直线在轴上的截距最小，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知程序框图如图所示，则输出的是（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．【考点】程序框图．4．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.【详解】由函数的部分图象,可得,再根据五点法作图可得，，因为上，且，所以,，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或2 D．或2【答案】A【解析】通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论.【详解】由题可知,边为腰,则等腰三角形的腰,根据双曲线的定义可知,,，即,化简得:,，解得或(舍),故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与离心率,涉及到余弦定理等基础知识,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可.详解：二次函数均有两个零点，所以，解得，因为，所以对称轴位于对称轴左边，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化为，①，②解①得，且，两边平方得，，由②得，平方得，显然成立，综上，，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标.二、填空题9．已知，是虚数单位，若复数，则______.【答案】4【解析】化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.【详解】,,,,故答案为4.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题. 若，则.10．设20,a xdx=⎰则二项式5axx⎫-⎪⎭展开式中含2x项的系数是______.【答案】80-【解析】首先确定a的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x项的系数. 【详解】由题意可得：22211d4222a x x x===⨯=⎰，则5axx⎫⎪⎭即52xx⎫-⎪⎭，其展开式的通项公式为：515(2)rr rnT C xx-+=⋅-=3525(2)rr rC x--⋅⋅，令3522r-=可得3r=，则展开式中含2x项的系数是()325281080C-=-⨯=-.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin ,42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.【答案】1-【解析】首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩,(θ为参数)，化为普通方程：()221x a y -+=.直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()sin cos θθ-=， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，12∴=,解得12a =-±. 故答案为：12-±. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．若正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】 ，即又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为，即 ，那么，所以 的最大值是 .【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再，构造1来求最值.14．在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.【答案】0【解析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．三、解答题15．已知函数，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
2024年天津市和平区耀华中学高考数学一模试卷(含解析)
2024年天津市和平区耀华中学高考数学一模试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=Z，集合A={0,1}，B={−1,0,1,2}，则(∁U A)∩B=( )A. ZB. {−1,2}C. {0,1}D. {−1,0,1,2}2.已知a、b、c∈R，则“a=b”是“a c2=b c2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件3.函数f(x)=ln|x|⋅sin(π2−x)x的部分图象大致为( )A. B.C. D.4.若2a=3，3b=5，5c=4，则log4abc=( )A. −2B. 12C. 22D. 15.下列说法正确的序号是( )①在回归直线方程y=0.8x−12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得∑ni=1(y i−b x i−a)2最小的原理；③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小；④已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)=0.3.A. ①②③B. ②③④C. ②④D. ①②④6.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线l的交点从上到下依次为P、N、M，若|MN|=2|FN|，则以F为圆心，|PF|半径的圆F方程为( )A. x2+(y−1)2=16B. (x−1)2+y2=16C. x2+(y−1)2=8D. (x−1)2+y2=87.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)中心对称，则( )A. 直线x=7π6是函数f(x)图象的对称轴B. f(x)在区间(−π12,11π12)上有两个极值点C. f(x)在区间(0,5π12)上单调递减D. 函数f(x)的图象可由y=cos2x向左平移π6个单位长度得到8.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在C C1上且CE=3E C1，则三棱锥D1−ADC与三棱锥E−BCD的公共部分的体积为( )A. V28B. V21C. 3V28D. V79.已知第一象限内的点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，点P关于原点的对称点为Q，F1，F2，是C的左、右焦点，点M是△P F1F2的内心(内切圆圆心)，M在x轴上的射影为M′，记直线PM′，QM′的斜率分别为k1，k2，且k1⋅k2⋅|F1M′||F2M′|=9，则C的离心率为( )A. 2B. 8C. 22D. 210二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市耀华中学2020届高三数学第一次校模拟考试试题 文(含解析)
天津市耀华中学2020届高三年级第一次校模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：∵是纯虚数，∴，解得a=−6.本题选择A选项.2. 曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选．3. 命题：，命题：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件与简易逻辑的综合.点评：要先求出p,q真的条件，得到,真的条件，再根据,为真对应的集合之间的包含关系，从而可求出是成立的充要关系.4. 在区间中随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系。
5. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.6. 已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，为单位向量，又，则，可得，则，．又．则在上的投影为．故本题答案选．7. 过双曲线（，）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，即.恰有4个零点即有4个零点等价于函数图像与直线的图像有4个交点.因为的最小值为，结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.考点：1函数方程，零点;2数形结合思想.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知全集，集合，，则集合__________．【答案】【解析】求题知，，则，则．故本题应填．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．【答案】2【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.11. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________．【答案】12【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。
【2020-2021自招】天津市实验中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年天津市实验中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
天津市东丽区耀华中学物理自主招生试卷
天津市东丽区耀华中学物理自主招生试卷一、选择题1．如图所示，电源两端电压保持不变，闭合开关S1和S2，电流表和电压表都有示数；当只断开开关S2时，下列判断正确的是（）A．电流表示数变小，电压表示数变大B．电流表示数变小，电压表示数变小C．电流表示数变大，电压表示数变小D．电流表示数变大，电压表示数变大2．关于粒子和宇宙的说法正确的是（）A．扫地时灰尘飞舞，说明分子在做无规则运动B．手捏海绵，海绵体积变小，说明分子间有空隙C．毛皮与橡胶棒摩擦，橡胶棒由于得到电子而带负电D．宇宙是一个有层次的天体结构系统，恒星是绝对不动的3．随着人们生活水平的提高，小汽车已经进入普通百姓家庭，下列关于小汽车的说法正确的是（）A．汽车在水平公路上静止时，汽车对地面的压力和地面对汽车的支持力是一对平衡力B．汽车在水平公路上高速行驶时，汽车对地面的压力小于汽车的重力C．汽车在水平公路上匀速直线行驶时，所受牵引力与阻力是一对相互作用力D．使用安全带和安全气囊是为了减小惯性4．常泰大桥建设工程正如火如荼，大桥建成后将创下三个“世界第一”；世界上首座含一级公路、高速公路和城际铁路的“一桥三用”的过江通道；主桥将成为世界上最大跨度的公铁两用斜拉桥：两侧的两座拱桥也将成为世界上最大跨度的公铁两用钢拱桥，江面上航行的轮船上的船员看到工地现场正远离自己，所选取的参照物是（）A．自己所在的轮船B．岸边的建筑C．施工工地行驶的施工车D．工地上的吊车5．如图所示的物态变化现象中，需要吸热的是（）A．霜的形成B．河水结冰C．樟脑丸逐渐变小D．露珠的形成6．“中国诗词大会”节目深受观众喜爱，对下列诗词中涉及的物态变化现象及其吸放热情况分析正确的是（）A．月落乌啼霜满天，江枫渔火对愁眠——霜的形成是凝华现象，该过程放热B．可怜九月初三夜，露似真珠月似弓——露的形成是液化现象，该过程吸热C．风雨送春归，飞雪迎春到——雪的形成是升华现象，该过程吸热D．岚雾今朝重，江山此地深——雾的形成是汽化现象，该过程吸热7．关于声现象，下列说法正确的是（）A．敲鼓时，鼓面振幅越大，音调越高B．敲鼓时，鼓面振动越快，响度越大C．敲鼓时，听到的声音由鼓槌的振动产生的D．敲鼓时，远处的人听到鼓声是由空气传播的8．利用图示装置探究凸透镜的成像规律，凸透镜（f=10cm）固定在光具座50cm刻度处。
【精准解析】天津市耀华中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段检测数学试卷
天津市耀华中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段性检测高一年级数学学科试卷第Ⅰ卷（选择题 共48分）一.选择题：本大题共12小题，每小题4分，48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1. 已知集合2{|450}A x x x =--≤，2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {|15}x x <≤B. {|15}x x -<≤C. {|15}x x ≤≤D. {|15}x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合A 、B ，再根据交集的运算法则求解即可.【详解】由2450x x --≤得15x -≤≤，得集合{}15A x x =-≤≤，由10x ->得1x >，得集合{1}B x x =>， 所以{15}A B x x ⋂=<≤， 故选：A.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关集合的问题，解题方法如下： （1）解一元二次不等式求解集合A ； （2）根据对数式真数大于零求得集合B ； （3）利用集合交集定义求得AB .2. 已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 4 B.14 C. 4-D. 14-【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式，根据对数运算先求19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求19f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】根据函数解析式，311log 299f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 又()2112294f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查函数值得求解，涉及对数运算，属综合简单题.3. 函数()()lg 31f x x =+的定义域是（ ）A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1[2,)3-C. (]1,23-D. (,2]-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式知20310x x -≥⎧⎨+>⎩，解不等式组即可得定义域【详解】由函数()()lg 31f x x =+，知20310x x -≥⎧⎨+>⎩解之得：123x -<≤，所以函数的定义域为(]1,23-， 故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，解题方法如下： （1）根据函数解析式有意义，列出不等式组求解；（2）根据偶次根式要求被开方式大于等于0，分式要求分母不等于0，对数式要求真数大于0，零指数幂要求底数不等于0，正切函数要求角的终边不落y 轴； （3）最后将不等式组的解集求出即可得结果.4. 函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 5. 已知1log ,log 32a a m n ==，则a m ＋2n 等于( ) A. 3B.34C. 9D.92【答案】D 【解析】【分析】先把对数式化为指数式，然后再根据幂的运算性质求出结果． 【详解】∵1log ,log 32a a m n ==， ∴a m ＝12，a n ＝3. ∴a m ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92． 故选D ．【点睛】本题考查对数式和指数式间的互化和幂的运算，解题时根据相应的运算性质逐步求解即可得到结果，但要注意计算的准确性，属于基础题． 6. 已知3x =5y =a ，且1x+1 y =2，则a 的值为（ ）A. B. 15C. D. 225【答案】A 【解析】 【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出答案 【详解】35x y a ==lg3lg5lg x y a ∴==1lg 31lg 5,lg lg x a y a∴== 则11lg 3lg 5lg152=lg lg x y a a++== 2lg lg15,0a a ∴=>a ∴=故选A【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，在求解过程中指数与对数的互化是解题关键，属于基础题7. 若3x <|6|x -的值是（ ）A. -3B. 3C. -9D. 9【答案】A 【解析】 【分析】根据x 的范围化简根式和绝对值，由此求得表达式的值.【详解】依题意3x <，所以60,30x x -<-<，所以6x -6x =-36x x =---363x x =-+-=-.故选：A. 【点睛】本小题主要考查根式和绝对值的化简，属于基础题. 8. 已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<． 故选A ．【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待． 9. 函数()1lg 2f x x x=--的零点所在区间为（ ） A. 0,1 B. ()3,+∞C. ()2,3D. 1,2【答案】D 【解析】【分析】由函数解析式判断其定义域及其连续性，应用特殊值法(1)0f <，(2)0f>的值即可知零点所在区间.【详解】由解析式知：函数定义域为0x >，且()f x 在定义域内连续， 而(1)1lg1210f =--=-<，1(2)2lg 2lg 202f =--=>， ∴()f x 零点所在区间为1,2， 故选：D10. 方程1ln 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】转化条件为求函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()ln h x x =图象交点的个数，数形结合即可得解. 【详解】由题意，方程1ln 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭解的个数即为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()ln h x x =图象交点的个数，在同一直角坐标系下作出函数()y f x =及()y h x =的图象，如图，数形结合可得，两函数图象有2个交点，所以方程1ln 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数为2. 故选：B.11. 已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）．A.B.C. 2+D. 【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =-所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥= 当且仅当2a b a b-=-，即a b -= 所以22a b a b+-的最下值为故答案选D 考点：基本不等式．12. 已知函数2|1|,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ）． A. (1,)-+∞ B. [1,1)-C. (,1)-∞D. (]1,1-【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得：11x a +=-，21x a +=，23log x a =-，24log x a =.(01)a <，则31222342()22212122a a a a a x x x x x --++=-⋅+=-⋅.令2a t ，(1t ∈，2]，而函数2y t t=-.即可求解.【详解】解：函数()21,0|log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下：根据图象可得：若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则11x a +=-，21x a +=，23log x a =-，24log x a =.(01)a <≤122x x +=-，32a x -=，42a x = ∴则31222344()22221222a a a a ax x x x x ---++=-⋅+=-⋅. 令2at ，(1t ∈，2]，而函数2y t t=-在(1，2]单调递增. 所以211t t -<-≤，则21212a a ∴-<-. 故选：D.【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共52分）二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上.13. 函数12log (32)y x =-_______________ （用区间表示)【答案】2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x 的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域． 【详解】依题意可得12log (32)0x -≥，则320321x x ->⎧⎨-≤⎩，解得213x <≤.∴函数的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为2,13⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．14. 函数213log (23)y x x =+-的单调增区间为 ． 【答案】()--3∞，【解析】 试题分析：，3x <-或1x >，在3x <-时递减，在1x >时递增，又13log y u =单调递减，所以原函数的单调减区间是(,3)-∞-．考点：函数的单调性．【名师点晴】本题考查复合函数的单调性，函数(),y g t t M =∈，()t h x =，()t h x =的值域为N ，且N M ⊆，则复合函数(())y g h x =的单调性与(),()g t h x 的关系是：(),()g t h x 同增或同减时，(())y g h x =是单调递增，当(),()g t h x 的单调性相反时，(())y g h x =是单调递减．求函数的单调区间必先求函数的定义域，象本题由得3x <-或1x >，然后在区间(,3)-∞-和(1,)+∞上分别研究其单调性即可．15. 已知函数1221,0,(),0,x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是______________.【答案】(,1)(1,)-∞-+∞【解析】 【分析】讨论0x 的取值范围，分别代入对应解析式即不等式即可求出0x 的取值范围.【详解】由()1211,03,0x x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()01f x >，当00x ≤时，则0211x -->，解得01x <- 当00x >，则121x>，解得01x >综上所述，01x <-或01x >， 故答案为：(,1)(1,)-∞-+∞.【点睛】关键点点睛：该题考查了求解分段函数的不等式，在解题的过程中，关键点是需要分类讨论，属于中档题.16. 函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅，1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为____________.【答案】1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】令[]2log 2,2t x =∈-，可得出()()()21f x t t =++，利用二次函数的基本性质可求得()f x 的值域.【详解】令2log t x =，由于函数2log y x =在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，当1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2221log log log 44x ≤≤，即22log 2x -≤≤，则22t -≤≤， ()()()()()()()222222log 4log 2log log 4log log 221f x x x x x t t =⋅=++=++，令()()()2231213224g t t t t t t ⎛⎫=++=++=+- ⎪⎝⎭， 函数()g t 在区间32,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间3,22⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()min 14g t =-，又()20g -=，()212g =，()()max 212g t g ∴==，即()1124g t -≤≤. 因此，函数()f x 的值域为1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数值域的求解，解决本题的关键在于利用换元2log t x =转化为二次函数在区间上的值域来求解.17. 已知3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________.【答案】3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由()f x 在R 上单调减，确定a ， 3a -1的范围，再根据单调减确定在分界点x =1处两个值的大小，从而解决问题.【详解】因为3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，所以10013(1)4log 10a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥=⎩，解得317a ≤<， 故答案为：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小，属于中档题.18. 已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(0,1)【解析】【分析】转化条件为直线y a=与函数()y f x=的图象有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】方程()f x a=有三个不同的实数根，所以直线y a=与函数()y f x=的图象有3个交点，在直角坐标系中作出()f x的图象,如图，若要使直线y a=与函数()y f x=的图象有3个交点，数形结合可得，(0,1)∈a.故答案为：(0,1).三.解答题：本大题共3小题，共28分，将解题过程及答案填写在答题纸上.19. （1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（221111332265a ba b---⋅【答案】（1）3；（2）1a.【解析】【分析】（1）利用指数运算的知识化简，求得表达式的值；（2）结合指数式的运算法则以及根式与分数指数幂的转换关系求得结果. 【详解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关指数式的化简求值问题，解题方法如下： （1）利用指数式运算法则化简； （2）遇到小数化分数；（3）遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数. 20. 计算或化简：（1）2log 3332log log 2log 32⋅-+ （2）294(lg 2)lg 20lg 5log 2log 3+⋅+⋅. 【答案】（1）2-；（2）54. 【解析】 【分析】（1）由对数的运算法则及换底公式运算即可得解； （2）由对数的运算法则及换底公式运算即可得解. 【详解】（1）原式32331log 3134222=--+=-+=-； （2）原式2lg 2lg3(lg 2)(2lg 2lg5)lg5lg9lg 4=++⋅+⋅ 22lg 2lg3(lg 2)2lg 2lg5(lg5)2lg32lg 2=+⋅++⋅ 215(lg 2lg5)44=++=. 21. 已知函数()f x 满足22()log log (1)f x x ax +=+． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程12()2log f x x =的解集中有且只有一个元素，求a 的取值范围（Ⅲ）设0a >，若对13,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[1]t t +，上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）{|01}x x <<； （Ⅱ）0a ≥或14a =-；（Ⅲ）2[).3+∞，.【解析】 【分析】（Ⅰ）当1a =时()1f x >等价于201log (1)110x x x >⎧⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩解出即可．（Ⅱ）12()2log f x x =的解集中有且只有一个元素，等价于210ax x +-=有且仅有一正解的问题．（Ⅲ）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log ()log ()a a x x +>+所以()f x 在(0)+∞，上单调递减函数，()f x 在区间[1]t t +，上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +2211()(1)log ()log ()11f t f t a a t t -+=+-+≤+，即转化成2(1)10at a t ++-≥对任意12[,]23t ∈ 恒成立的问题．详解】（Ⅰ）由题意可得201log (1)110x x x >⎧⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩，得112x +>，解得{|01}x x <<．（Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于210ax x +-=有且仅有一正解， 当0a =时，1x =符合题意；当0a >时，140a ∆=+>，1210x x a⋅=-<，此时方程有一正、一负根，满足题意， 当0a <时，要使得210ax x +-=有且仅有一正解，则：140a ∆=+=， 解得：14a =-，则方程的解为2x =，满足题意．综上，0a ≥或14a =-（Ⅲ）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log ()log ()a a x x +>+ 所以()f x 在(0)+∞，上单调递减 函数()f x 在区间[1]t t +，上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 2211()(1)log ()log ()11f t f t a a t t -+=+-+≤+即2(1)10at a t ++-≥对任意12[,]23t ∈ 恒成立，因为0a >， 所以函数2(1)1y at a t =++-在区间12[,]23上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a -， 由31042a -≥，得23a ≥ 故a 的取值范围为2[).3+∞，【点睛】本题主要考查了解对数不等式、方程解的根的个数问题以及复合函数的单调性与最值的问题，其中解对数不等式主要注意两点一是真数大于0．二是对数函数的单调性．方程的根的个数问题一般转化成一元二次方程根的问题或函数图像交点的问题．复合函数单调性：同增异减．。
2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期中一模试卷(及答案)
2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期中一模试卷(及答案)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 2．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．364．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π 5．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 416．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32 8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32C ．4πD ．3412．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.15．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．16．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r ；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V -=，则球O 的体积是______． 19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^；④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30°，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．23．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 2.（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ；（2）求直线PF 与直线BE 所成的角.25．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ；（2）证明：//DE 平面ABC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 2．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】 SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.6．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积7．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径3DE = 2343S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90 解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°， 则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-= 考点：圆的标准方程15．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因为球心到平面ABC 的距离为3.考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力16．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．17．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 24x =-+.故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos2222PD PB BD x x xBPDPD PB x+-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD∠=o.过P作直线BD的垂线，垂足为O.设PO d=则11sin22PBDS BD d PD PB BPD∆=⨯=⋅∠，2112342sin3022x x d x-+=⋅o，解得2234dx x=-+.而BCD∆的面积111sin(23)2sin303)222S CD BC BCD x x=⋅∠=⋅=o.设PO与平面ABC所成角为θ，则点P到平面ABC的距离sinh dθ=.故四面体PBCD的体积211111sin(23)33332234 BcD BcD BcDV S h S d S d xx xθ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x xx x-=-+设22234(3)1t x x x=-+=-+023x≤≤12t≤≤.则231x t-=-（1）当03x≤≤时，有2331x x t==-故231x t=-此时，221(31)[23(31)]t tV-----=21414()66ttt t-=⋅=-.214()(1)6V tt=--'，因为12t≤≤，所以()0V t'<，函数()V t在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V≤=-=.（2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥解析：323π【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积． 【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π．【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==，,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠232125=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）详见解析；（230． 【解析】 【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC u u u r与n r 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =， 则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥． ∵PA ⊥面ABCD ， ∴DM PA ⊥，又PA AM A =I ，∴DM ⊥平面PAM ， ∵DM ⊂平面PDM ， ∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u u r．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由2020n PD x y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，取1x =，得2321,22n ⎛= ⎝⎭r ．∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ．【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法. 22．（1）4340x y --=；（2）①4，②152. 【解析】【分析】（1）求出圆的标准方程，设直线2l 的方程(1)y k x =-，利用6PQ =，结合圆心到直线的1=，解可得k 的值，验证直线与y 轴有无交点，即可得答案；（2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，由2AM BM ≤，得224220()()339x y -++…，结合题意，线段AD 与圆224220()()339x y -++=至多有一个公共88||t -t 的值，②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用k 表示三角形EPQ 的面积，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，所以圆C 方程为：()()223110x y -+-=，设2l 方程为：()1y k x =-，则()222213101k k-+=+，解得10k =，243k =，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合题意，舍去. 所以，43k =时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，则有12x yt +=，即220x ty t +-=． 由2AM BM „，则有224220()()339x y -++…依题意知，线段AD 与圆224220()()339x y -++=至多有一个公共点，88||t -t „或t ，因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =； ②由①的结论，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=． 分2种情况讨论：a 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ；b 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，则1l 的方程为1(1)y x k=--，点1(0,)E k ，所以BE =又圆心到2l ，所以PQ =故1122EPQ S BE PQ ===V g2<，故求三角形EPQ 的面积的最小值为2． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题．23．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r >圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离： 2d ==，则222111222r d ⎛=+=+= ⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切.②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离： 212311k k d k --+==+解得： 43k =，即34k = 则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+=24．（1）证明见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，可证P 为CD 中点，可证//PG BD ，////FG AC ED ，证明平面PFG P 平面BED ，从而得证； （2）以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，表示出PF u u u r 和BE u u u r ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，因为F 为AB 中点，G 为BC 中点，所以FG AC P ，又因为E 为1AC 中点，D 为1CC 中点，所以ED AC P ，所以FG ED ∥，又因为1CP =，14AA =，所以P 为CD 中点，所以PG BD P ，又因为FG PG G ⋂=，所以平面PFG P 平面BED ，FP ⊂平面PFG ，所以//PF 平面BDE ；（2）因为90ACB ∠=︒，三棱柱为直三棱柱，故以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,1,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2F B P E ，故()()2,1,1,2,2,2PF BE =-=-u u u r u u u r ，cos ,0PF BE PF BE PF BE⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故直线PF 与直线BE 所成的角为90°【点睛】本题考查线面平行的证法，异面直线夹角的求法，属于中档题25．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为23）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值.【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=，令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==，∴直线l 过定点A （1，3）；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，43101AC k -∴==--，得1111l AC k k --===-， ∴由3111m m +=-得1m =-， 此时直线l 方程为20x y -+=， ∴圆心到直线的距离为||2d AC == ∴最短弦长为22224222r d -=-=（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，()222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，整理得，()()2222624130t x t λλλ+-+-=， ∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，解得 43,32t λ=-=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合）， 综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32. 【点睛】 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC .【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。
2020-2021天津耀华嘉诚中学高中必修五数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021天津耀华嘉诚中学高中必修五数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4C ．16D ．8 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为2部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．7323D ．83238．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c da b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d12．两个等差数列{}n a和{}n b，其前n项和分别为n S，n T ，且723 nnS nT n+=+，则220715a ab b+=+（）A．49B．378C．7914D．14924二、填空题13．设等差数列{}n a的前n项和为n S，12mS-=-，0mS=，13mS+=.其中*m N∈且2m≥，则m=______.14．若数列{}n a满足11a=，()()11132n nn na a-+-+=⋅()*n N∈，数列{}n b的通项公式()()112121nn n nab++=--，则数列{}nb的前10项和10S=___________15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．已知数列{}n a的前n项和为n S，11a=，且1n nS aλ=-（λ为常数）．若数列{}n b满足2n na b n=-920n+-，且1n nb b+<，则满足条件的n的取值集合为________．17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n na S n*-=∈N．若不等式()()11181n nnna nλ++-+⋅-≤对任意的n*∈N恒成立，则实数的取值范围是．18．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=______________．19．在△ABC中，2BC=，7AC=3Bπ=，则AB=______；△ABC的面积是______．20．已知,x y满足条件20220220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z-ax y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为__________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 23．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V25．已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．D解析：D 【解析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．5．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．B【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．8．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.9．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45AB =o 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．10．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.11．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩. 故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.14．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-.故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.15．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：3【解析】 【分析】利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 3022C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.16．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}【解析】 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果：{}5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.17．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n=++，当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．18．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=， 因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．19．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 603222S AB BC =⋅=⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式.20．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将解析：2或1-. 【解析】 【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）12362n n -+-. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()1212234,{12,a a a a a a +=+++=即12234,{8,a a a a +=+=所以()()()11114,{28,a a d a d a d ++=+++=解得11,{2,a d == 所以21n a n =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得112122n n n a n ---=，所以122135232112222nn n n n S ----=+++⋯++，① 23111352321222222n n n n n S ---=+++⋯⋯++，② -①②得：2211112123113222222n n n n n n S --+=++++⋯+-=- 所以4662n nn S +=-． 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-<⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.23．（1）3C π=（2）3【解析】试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得a =，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221222a b ab ab ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=．（2）由()22sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac+-=．①又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，②由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得a =，b =所以222b a c =+．所以2B π=．所以ABC V 的面积11222S ac ===24．(1) 12π．(2) 【解析】 【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得222623a sinBb sinA ⨯⋅===，()321262sin 22224sinC A B sinAcosB cosAsinB -⎛⎫=+=+=⨯+-⨯=⎪⎝⎭Q ， 11266233222ABC S absinC --∴==⨯⨯⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】 【分析】 【详解】(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4ππ［］(2)设△ABC 的外接圆半径为R，由题意，得c 32R sin?C sin60===︒化简f (A )f (B )B 44ππ-+-=，得sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b b +=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2=-(舍去)，故ABC 1S absinC 2∆== 26．（1）32n a n =-，2nn b =，*n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈.【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，∴2nn b =，{}n a 的公差为d ，首项是1a ，则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，∴14(32)83nnnT+-+=．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．。
天津市和平区耀华中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
天津市和平区耀华中学【最新】高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 2．函数223y x x =--的值域为（ ）A ．()4,-∞B ．[)4,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,-+∞ 3．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．f x x ＝， 2()g x =B ．2f x x ＝，21()g x x ＝＋C ．0f x ＝，()g xD ．f x g x x ＝4．将函数y x a =+的图象C 向左平移一个单位后，得到()y f x =的图象1C ，若曲线1C 关于y 轴对称，那么实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-3 5．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a6．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()2f x f x +=，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则()3f =（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2-7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩，则不等式()()243f a f a ->的解集为（ ）8．已知函数()2222x x t f x --=++的图象与x 轴有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ C ．(],2-∞- D ．[)2,-+∞二、填空题9．已知集合{}|21A x x =->，{}|B x x a =≤，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是______.10．函数()f x =的定义域为______.11．计算：())211032270.0021028---⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭______.12．函数()222321x x x f x x ++=++的值域为______. 13．已知函数()232x a f x x a +-=+在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.14．已知()f x 是定义在()1,1-上的偶函数，且在区间[)0,1上单调递减，则不等式()()1321f a f a -<-的解集为______.三、解答题15．设{}{}22280,2(2)40A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈.如果A B B =，求实数a 的取值范围．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，都有()()()f m n f m f n +=⋅，当0x >时，()01f x <<.（1）求()0f 的值；（2）证明：当0x <时，()1f x >.（3）证明：()f x 在R 上单调递减.（4）若()()33921x x x f k f ⋅⋅-->对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．C【解析】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个．故选C ．2．B【解析】【分析】配方后利用二次函数的性质可得函数的值域.【详解】∵函数223y x x =--的图象开囗向上，对称轴为1x =，∴2min 1234y =--=-，∴值域为[)4,-+∞.故选：B.【点睛】本题考查二次函数在R 上的值域，只要求出图象顶点的纵坐标即可，本题属于基础题. 3．D【分析】逐一分析四个答案中两个函数的定义域和解析式是否一致,即可得到答案.【详解】解：A 选项：()f x x x R ＝, 22()()(0)x g x x ,两个函数的定义域不一致,不是同一函数;B 选项：2f x x ＝,21()g x x ＝＋, 两个函数的对应法则不一致,不是同一函数;C 选项：0f x ＝,()1)g x x =, 两个函数的定义域不一致,不是同一函数;D 选项：f x x ,g x x ＝,两个函数的定义域均为R ,对应法则相同,故为同一函数.故选D【点睛】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数,根据两个函数是同一个函数的定义,函数的三要素均相等.如果定义域和对应法则一样,则函数值域也相同,为同一函数.4．B【分析】先求出()y f x =的解析式，再根据其图象关于y 轴对称可得实数a 的值.【详解】图象1C 对应的解析式为()1f x x a =++，又∵曲线1C 关于y 轴对称，∵()()f x f x =-， ∴11x a x a ++=-++，∴10a +=，即1a =-.故选：B.【点睛】本题考查偶函数的图像和性质，一般地，偶函数的图像关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数，本题为基础题.5．A【解析】试题分析：∵函数2()5x y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.6．D【分析】根据题设可得()()31f f =-，代入相应的解析式可求()3f 的值.【详解】∵()()2f x f x +=，∴()()()222f x f x f x ++=+=，∴()()4f x f x +=，∴()()141422f f -+=-=-+=-，∴()32f =-.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性和函数值的计算，注意利用周期性把要求的函数值转化到已知区间上的某点处的函数值，本题属于基础题.7．A【分析】画出()f x 的图象后可得()f x 为R 上的单调减函数，从而可去掉对应法则f 得到关于a 的不等式，其解集即为所求的解集.【详解】()f x 的图象如下：由图象可知，()f x 在定义域内为减函数，又∵()()243f a f a ->，∴243a a -<， ∴()()410a a -+<，∴14a -<<.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式，注意根据函数的图象判断单调性，本题属于中档题.8．C【分析】利用基本不等式可求函数的最小值，令所得最小值小于或等于零后可得实数t 的取值范围.【详解】∵()2222x x t f x --=++与x 轴有公共点，令22x m -=，则212x m -=， ∴12m m+≥，当且仅当1m =即2x =时等号成立，故()min 2f x t =+. 因为函数()f x 的图象与x 轴有公共点，故20t +≤即2t -≥，∴2t ≤-.故选：C.【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，注意利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”，本题为基础题.9．(),1-∞【分析】先求出A ，再利用包含关系可得实数a 的取值范围.【详解】集合A ={1x x <，或}3x >，又∵B A ⊆，∴1a <，∴(),1a ∈-∞.故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解及集合的包含关系，考虑后者时注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于基础题.10．(]3,0-【分析】根据解析式有意义可得12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，其解集为所求的定义域. 【详解】由题设有12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，∴解得03x x ≤⎧⎨>-⎩， ∴(]3,0x ∈-.故答案为：(]3,0-.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2*,2n N n ∈≥，n 为偶数）中，0a ≥；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.11．1679- 【分析】根据指数幂的运算性质可求代数式的值.【详解】原式231312350012-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)410219=+ 1679=-. 故答案为：1679-. 【点睛】本题考查指数幂的运算，注意幂的底数为负数时负号的正确处理，必要时转化为根式（如23278-=⎛⎫- ⎪⎝⎭）来看负号如何处理，本题为基础题.12．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】先求函数的定义域，然后利用分离常数法可以得到()221x x x f x =+++，再就0x =和0x ≠分类讨论，后者再利用双勾函数的性质求()f x 的范围，两者结合可得函数的值域.【详解】函数的定义域为R ,又()222321x x x f x x ++=++()22211x x x x x +++=++221x x x =+++， 当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，()1211f x x x=+++， 根据对勾函数1y x x =+的性质可知： 0x >时,min 2y =，∴()1223f x <≤+即()723f x <≤， 0x <时，max 2y =-，∴()12221f x +≤<-+即()12f x ≤<， 即()f x 的值域为71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分式函数的值域，对于分子分母均为二次形式的分式函数，一般选用分离常数的方法把分子的次数降低，再利用换元法把函数的值域问题转化为形如a y x x=+形式的函数的值域，本题属于中档题.13．()1,2【分析】先考虑函数的定义域为给定范围的子集时实数a 的取值范围，再分离常数得到()22a x af x -=++，结合函数的单调性可得2a -的符号，两者的公共部分即为所求的实数a 的取值范围.【详解】要使得()f x 有意义，则[)1,a -∉-+∞，所以1a -<-即1a >.()()22232x a a x a x a f x ax ++-+-==++22a x a -=++， ∵()22a x a f x -=++在[)1,-+∞上是增函数， 故20a -<. ∴201a a -<⎧⎨>⎩，即12a <<，∴()1,2a ∈.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查分式函数的单调性，先考虑给定范围为自然定义域的子集，再分离常数把分子分母两个变化的部分化成一个变化的部分，本题为中档题.14．22,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 利用偶函数的性质可以得到()()1321f a f a -<-，再利用[)0,1上的单调性去掉对应法则f 可得a 满足的不等式组，其解集即为所求的解集.【详解】∵()f x 在()1,1-是偶函数，且在[)0,1上递减，()()1321f a f a -<-， 故()()1321f a f a -<-， ∴132111311211a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，∴2253a <<，即22,53a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：22,53⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查函数的单调性和奇偶性，偶函数()f x 满足()()()f x f x f x ==-，利用这个性质可以实现对称两侧的函数值的转化，另外，解函数不等式，要依据单调性去掉对应法则f ，本题为中档题.15．a ＝2或a ≤－2.【解析】试题分析： 先由A ∩B ＝B 得B ⊆A .再解A ，则B ＝Ø，{0}，{－8}，{0，－8}，最后分别对应讨论，求解实数a 的取值范围．试题解析：∵A ＝{x |x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2. 当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足B ⊆A ．当B ＝{0，－8}时，202(2)840a a ∆>⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，可得a ＝2.综上可得，a ＝2或a ≤－2.16．（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）(,1k ∈-∞-+.【分析】（1）令0m =，1n =，化简后可得()0f 的值.（2）设0x <，由题设可得()()()f x x f x f x -+=-，从而得到()()1f x f x -=，结合()01f x <-<可得()1f x >.（3）利用单调性的定义可证()f x 在R 上单调递减.（4）原不等式等价于()33921x x x f k -+⋅->，利用单调性和（1）中的结论可得()()231320x x k -+⋅+>对任意的x ∈R 恒成立，参变分离后可求k 的取值范围.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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第一套：满分150分2020-2021年天津市耀华中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
求证：222MN AM BN =+。
17．（12分）在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<<L 。
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a ，2a ，…，n a ，21这2n +个数中某两个数的差。
求n 的最小值。
18．（12分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，BC=8，过线段BO 上一动点D ，作AD ⊥BC 交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH ⊥AO ，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH=BD ；（2）设BD=x ，BE •BF=y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当△FAE 与△FBG 相似时，求BD 的长度．19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．第一套：满分150分2020-2021年天津市耀华中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一.选择题：1.【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2.【答案】C 。
解答：①∵一元二次方程实数根分别为x 1、x 2，∴x 1=2，x 2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x －2）（x －3）=m 化为一般形式得：x 2－5x ＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，∴△=b 2－4ac=（－5）2－4（6－m ）=4m ＋1＞0，解得：1m 4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x 2－5x ＋6－m=0实数根分别为x 1、x 2，∴x 1＋x 2=5，x 1x 2=6－m ∴二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）+m=x 2－（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＋m=x 2－5x ＋（6－m ）＋m=x 2－5x ＋6=（x －2）（x －3）。
令y=0，即（x －2）（x －3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C 。
3.【答案】B 。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20y=x>0,y>0x。
故选B 。
4.【答案】B 。
【分析】如图，在y x 2=-中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ，∴A （0，－2），B （2，0）。
∴OA=OB= 2 。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x- 2 与⊙O相切。
故选B。
5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC；∴S 2013=×6=．故选C．7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．二、填空题9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3 =13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．【点评】本题是利用了反证法的思想11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴EF=．∴折线长=2EF=．故答案为．【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．三、解答题15.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】16.【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、DM 、DC ，DN ，则MDC MAC △≌△。