实变函数测试题

实变函数测试题1

1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。

解：()∞=∞

→,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以

x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞

→∈lim 又显然()∞⊂∞

→,0lim n n A ，所以

()∞=∞

→,0lim n n A 。φ=∞

→n n A lim ；

若有n n A x ∞

→∈lim ，则存在A ，使任意n N >,有n A x ∈。因此若21n N ->时，12-∈n A x ，即1

0x n <<

.令∞→n 得00x <≤，此不可能，所以φ=∞

→n n A lim 。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{}

()E x f x c =≥和

{}1()E x f x c =≤都是闭集。

证明：必要性：若()f x 是[],a b 上连续函数，由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。 充分性：若1E 和E 都是闭集。若有[]0,x a b ∈，()f x 在0x 点不连续。则存在

()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+，或()()00ε-≤x f x f n ，不妨设出现第一种情况。令()00ε+=x f c ，

则(){}

c x f x E x n ≥=∈，而E x ∉0（因为c x f x f =+<000)()(ε），此与E 是闭集相矛盾。所以()f x 在

[],a b 上是连续的。证毕。

3、设n

R E ⊂是任意可测集，则一定存在可测集δG 型集G ，使得E G

⊃,且()0=-E G m

证：由外侧度定义，对任意正整数n ，存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1

)(<-，令 ∞

==1

n n G G ，则G 为δG 型

集，E G ⊃且 2,1,1

)()(=<

-≤-n n

E G m E G m n 故0)(=-E G m 。证毕。 4、设,n

A B R ⊂，A B ⋃可测，且()m A B ⋃<+∞，若()**m

A B m A m B ⋃=+，则,A B 皆可测。

证明：先证A 可测：存在δG 型集B G ⊃使得B m mG *

=。令A G B A Q ⊂-⋃=。

G G B A B A ⋃-⋃=⋃])[(.()mG mQ mG G B A m B A m +=+-⋃≤⋃])[(。因为

*(),()m A B mG m B m A B ⋃<∞=≤⋃<+∞,A m mG -B m A m mG -B)(A ***=+=⋃≥m mQ ,即A m mQ *≥,又A Q ⊂,所以A m mQ *≤,所以A m mQ *=.*A (A B)m m ≤⋃<+∞，所以.0)(*=-Q A m

Q Q A A ⋃-=)(,因为Q 可测，A Q -可测，所以A 可测。同理可证B 可测。证毕。

5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。

鲁津定理：设()f x 是E 上a.e.有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E F ⊂δ，使()f x 在δ

F

上是连续函数，且(\)m E F δδ<.

逆定理：设()f x 是E 上的函数，对0δ∀>，总存在闭子集E E ⊂δ，使得()f x 在δE 上是连续函数，且

()m E E δδ-<，则，()f x 是E 上a.e.有限的可测函数。

证明：对任意1n ，存在闭子集E E n ⊂,使()f x 在n E 上连续且n E E m n 1

)(<-,令 ∞

=-=1

0n n E E E ，则

对任意n ，有()011

n n n mE m E E m E E n ∞

=⎛⎫=-≤-< ⎪⎝⎭

。令∞→n ，得

∞

=∞==⋃=⋃-==0

01

000)()(.0n n n n E E E E E E E mE 。对任意实数a ，

[][][]01n n E f a E f a E f a ∞=⎛⎫

>=>⋃> ⎪⎝⎭

，由()f x 在n E 上连续，可知[]n E f a >可测，而

[]()**000m E f a m E >≤=，所以[]a f E >0也可测，从而[]a f E >是可测的。因此()f x 是可测的。因为

()f x 在n E 上有限，故在 ∞

=1n n E 上有限，所以()f x a.e.有限。证毕。

6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与

])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？

证：由已知 则开集G 可写成直线上可列个开集的并集，即 i

i i b a G ),(=

，

()()()i i i

i

i

i

E x f x G E x a f x b E x f a E x f b ⎡⎤⎡∈⎤=

<<=

⎡>⎤⋂⎡<⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则可知[]G x f x E ∈)(是可

测集。由()[

]()[]C C F x f x E F x f x E ∈=∈)

(，则可知()[]F x f x E ∈也是可测集。证毕。

7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1

3n

的构成区间上定义为n （1,2,3,

=n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。

证：f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设n E 是0P 的余集中长为

n 3

1

的构成区间之并，则n n n mE 321-=，因此()[]1

0,1111

2()33n n n n E n n n f x dx f x dx nmE n -∞∞∞

======⋅=∑∑∑⎰⎰，所以()f x 可积，且

积分值为3。证毕。

8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E

n f x dx →∞=⎰

则()0n f x ⇒。

证：对任意0>σ，由于n f 非负可知：

[][]⎰

⎰≥≤≤≥σσσn f E E

n n

n dx f dx

x f f mE .)(