实变函数测试题
实变函数本科试题及答案

实变函数本科试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 实数集R上的开区间(a, b)是一个开集,这是因为它满足:A. 任意点的邻域性质B. 包含所有有理数C. 包含所有整数D. 包含所有实数答案:A2. 下列哪个选项不是实数集R的子集?A. 空集B. (0, 1)C. 整数集ZD. 实数集R本身答案:C3. 一个函数在某点连续的充要条件是:A. 在该点导数存在B. 该点的左极限等于右极限C. 在该点的极限存在且等于函数值D. 在该点的振幅为零答案:C4. Lebesgue可测集的定义是基于:A. 开区间B. 闭区间C. 开集D. 半开半闭区间答案:A5. 如果一个实值函数在区间[a, b]上单调增加且有界,则根据Weierstrass定理,该函数必定:A. 有最大值和最小值B. 仅在有限点处不连续C. 仅在至多可数点处不连续D. 在区间[a, b]上连续答案:A6. 一个函数在某点的导数为0,这意味着该点是函数的:A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点答案:A7. 集合的外测度是:A. 集合所有开覆盖的体积的上确界B. 集合所有闭覆盖的体积的下确界C. 集合所有开覆盖的体积的下确界D. 集合所有闭覆盖的体积的上确界答案:A8. 如果一个函数在区间[a, b]上可积,则它的积分值:A. 必须为正B. 必须为负C. 可以是任意实数D. 必须为零答案:C9. 一个函数在某区间上一致连续的定义是:A. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值有界B. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值无界C. 函数在该区间的任意子区间上连续D. 函数在该区间的端点处的极限存在答案:A10. 根据Riemann积分的定义,如果一个函数在区间[a, b]上的积分存在,则:A. 该函数在该区间上必定连续B. 该函数在该区间上必定有界C. 该函数在该区间上必定单调增加D. 该函数在该区间上必定一致连续答案:B二、填空题(每题4分,共20分)11. 如果函数f(x)在点x=c处的左极限为L,则记为______。
实变函数测试题与答案范本
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实变函数测试题与答案范本一、选择题1. 下列函数中,是实变函数的是:A. f(x) = √(x^2 - 1)B. f(x) = log(x)C. f(x) = cos(x)D. f(x) = 1/x答案:C. f(x) = cos(x)2. 设函数 f(x) 的定义域为 (-∞, 4],则下列函数定义中错误的是:A. f(x) = x^2B. f(x) = √(4 - x)C. f(x) = 1/(x - 3)D. f(x) = 2^x答案:C. f(x) = 1/(x - 3)3. 函数 f(x) = |x - 2| 的图像在 x = 2 处是否存在间断点?A. 存在间断点B. 不存在间断点答案:B. 不存在间断点二、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - x 的零点。
解答:将 f(x) = 0,得到方程 x^3 + 2x^2 - x = 0。
对该方程进行因式分解得:x(x + 1)(x - 1) = 0。
解得 x = 0,x = -1,x = 1 为函数 f(x) 的零点。
2. 计算函数 f(x) = log(x^2 + 3x) 的导数。
解答:对 f(x) = log(x^2 + 3x) 进行求导。
使用链式法则,有 f'(x) = [1/(x^2 + 3x)] * (2x + 3)。
化简得到:f'(x) = (2x + 3)/(x^2 + 3x)。
三、证明题证明:若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且单调递增,那么 f(x) 在 [a, b] 上存在唯一的反函数。
解答:首先证明 f(x) 在 [a, b] 上是单射。
假设存在x1 ≠ x2,但 f(x1) = f(x2)。
由于 f(x) 在 [a, b] 上单调递增,可推出x1 ≠ x2,矛盾。
因此,f(x)在 [a, b] 上是单射。
接下来证明 f(x) 在 [a, b] 上是满射。
由于 f(x) 在 [a, b] 上连续,根据介值定理,f(x) 在 [a, b] 上取得最大值 M 和最小值 m。
实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数测试题⼀,填空题1. 设1,2n A n ??=, 1,2n =, 则lim nn A →∞= .2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为.3. 设E是2R 中函数1c o s ,00,0xy x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ?= .4. 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜: , .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ??=?, 则说{}()n f x 在E 上.8. 设nE R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数列,, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ?,x E∈, 则{}()n f x 的⼦列{}()jn fx , 使得.⼆, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <.2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n=是闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若n ER ?,满⾜*m E =+∞, 则E 为⽆限集合.三, 计算证明题 1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集. 3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有2ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=? ∈-??. 求1(L)()f x dx ?.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3 x , ⽽在0P 的余集中长为13n的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求10()f x dx ?.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.实变函数试题解答⼀填空题 1.[]0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππ=--∈??-??3.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??=≠≤??; ?.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ? ? ?6.7. ⼏乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x .8. 对000,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.9.lim ()()0n n mE f x f x σ→∞-≥= 10.()()n f x f x → a.e.于E .⼆判断题 1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==. 2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F nn ??=-, 3,4n =是⼀系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I ,I <+∞, 使得E I ?, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()SSS S S A B C A B CAB C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何⼀个元素可以由球⼼(,,)x y z , 半径为r 唯⼀确定, x ,y , z 跑遍所有的r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集. 3. 令1i i BB ∞==, 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从⽽()E B B E =--可测. 4. 已知0mP =, 令[]0,1G P = -, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中⼀切长为1n的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =, 可得101111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n n P G n n n n n nn n n n f x dx f x dx f x dxf x dx f x dxf x dx dxmG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+ =0+=? =?=∑∑?∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13 230(R)sin 1nx nxdx n x+?存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x+?的值相等. 易知 32232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤?≤+++ 由于12x在()0,1上⾮负可测,且⼴义积分112dx x收敛,则12x在()0,1上(L)可积,由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+, ()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++?? = ?+?? ==.。
实变函数本科试题及答案

实变函数本科试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 实变函数论主要研究的是:A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案:C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理?A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案:C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于:A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案:A4. 若函数f在区间[a,b]上连续,则以下哪个命题一定成立?A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义,则f在[a,b]上是______的。
答案:有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。
答案:1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。
答案:可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加,则f在[a,b]上是______的。
答案:可积三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。
答案:实变函数论主要研究实数域上的函数,关注的是函数的实值性质,如连续性、可积性等。
而复变函数论研究的是复数域上的函数,关注的是函数的解析性质,如解析延拓、复积分等。
2. 描述勒贝格积分的定义过程。
答案:勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间,然后选择每个子区间上的样本点,计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和,最后取这个和的极限,当这个极限存在时,就定义为函数的勒贝格积分。
3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。
答案:实变函数论在数学分析中的应用非常广泛,例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。
一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理,它在处理函数序列的极限问题时非常有用,特别是在概率论和统计学中,勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。
实变函数试题及答案
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实变函数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)在区间[0,1]上连续,则下列说法正确的是()。
A. f(x)在[0,1]上可导B. f(x)在[0,1]上可积C. f(x)在[0,1]上单调D. f(x)在[0,1]上必有最大值和最小值答案:D2. 若函数f(x)在点x=a处可导,则下列说法正确的是()。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处可积C. f(x)在x=a处单调D. f(x)在x=a处有界答案:A3. 若函数f(x)在区间(a,b)上可积,则下列说法正确的是()。
A. f(x)在(a,b)上连续B. f(x)在(a,b)上可导C. f(x)在(a,b)上单调D. f(x)在(a,b)上必有界答案:D4. 若函数f(x)在区间[0,1]上满足f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上连续,则下列说法正确的是()。
A. f(x)在[0,1]上可导B. f(x)在[0,1]上可积C. f(x)在[0,1]上单调D. f(x)在[0,1]上必有最大值和最小值答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,则∫₀¹f(x)dx的值在区间()内。
答案:[0,1]2. 若函数f(x)在[0,1]上可积,则其原函数F(x)在[0,1]上()。
答案:连续3. 设函数f(x)在[0,1]上连续,且∫₀¹ f(x)dx=1,则f(x)在[0,1]上的最大值至少为()。
答案:14. 若函数f(x)在[0,1]上连续,且∫₀¹ f(x)dx=2,则f(x)在[0,1]上的最小值至少为()。
答案:2三、解答题(每题15分,共40分)1. 设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,求证:存在x₀∈(0,1),使得f(x₀)=x₀。
证明:由于f(0)=0,f(1)=1,根据介值定理,对于任意的y∈(0,1),存在x₀∈(0,1),使得f(x₀)=y。
实变函数(复习资料_带答案)资料
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集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
,则 E 是可测
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3. (6 分)在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. (8 分)设 f ( x) 在 E a,b 上可积,则对任何 0 ,必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ,使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 (8 分× 2=16 分) .
1、(8分)设 f (x)
x2, x为无理数 ,则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积,是否 L 可积,若可积,求出积分值。
五、证明题 (6 分× 4+10=34 分) . 1、(6 分)证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集;
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
,则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集,则 P
o
,mP _____,P =________。
3、设 Si 是一列可测集,则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理:
4.(8 分)设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ,证明: fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2. x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
实变函数(复习资料,带答案)
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《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )(A )1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B )1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C )1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D )1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数(C ){}inf ()n nf x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C ))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
(完整版)实变函数(复习资料_带答案)
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《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )(A )1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B )1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C )1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D )1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( )(A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数(C ){}inf ()n nf x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C ))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数测试题与答案

实变函数测试题一,填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n = ,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的一一映射为 .3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂, 则E 为 集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上.8. 设nE R ⊂, 0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j n f x , 使得 .二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2i = .根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求1(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n = , 求1 0() f x dx⎰.6.求极限:1323lim(R)sin1nnxnxdxn x→∞+⎰.实变函数试题解答一 填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭; ∅.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉6. b a -.7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦ 10. ()()n f x f x → a.e.于E .二 判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=⊄.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F nn ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n = 是一系列的闭集, 但是3(0,1)nn F∞== 不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞, 使得E I ⊂, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()S SS S S A B C A B CA B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定,x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞== , 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而 ()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx =++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nP G n n n n nnn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+=⋅ =⋅=⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤⋅≤+++ 由于12x 在()0,1上非负可测, 且广义积分1012dx x ⎰收敛,则 12x在()0,1上(L)可积, 由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+, ()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.。
实变函数(复习资料,带答案).doc

《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n,?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一>oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列,则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数;(D)若/T H又⑺=>/U),则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数,则卜*面不成立的是()(A) /(X)在[6Z,/7]上有界(B) /(X)在[6/,刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是[0,1]上有理点全体,则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集,如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设/(x)为上的有限函数,如果对于的一切分划,使_____________________________________ ,则称/(x)为[6Z,/7]上的有界变差函数。
实变函数综合练习题
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n En
U En
n1
证明:记
fn (x)
f
(
x)
En
(
x)
,其中
En
(
x)
1, 0,
x En x En
显然在 UEn 上, fn (x) f (x) En (x) f (x) , fn (x) f (x) 且 n 1
fn (x)dx f (x)dx
(B) E 中的每一点都是内点
(C) E 是可数集
(D) mE 0
2、若 E R1 的外测度为零,则( B、D )
(A) E 一定是可数集
(B) E 一定是可测集
(C) E 不一定是可数集 (D) mE 0
3、设 mE (E Rn ) ,函数列{ fn (x)}为 E 上几乎处处有限的可测函数列, f (x) 为
证明: 因为 E0 是可数集,则 E0 {r1, r2 ,L , rn ,L }
对任意
0
,取开区间
(rn
2n1
,
rn
2n1
)
,
n
1,
2,L
,显然它们把 E0 覆盖住。
于是
m* E0
n 1
2n
。让 0 得, m*E0 0 ,从而 E0 是可测集且 mE0 0 。
1
(A) f (z) 和 f (z) 有且仅有一个在 E 上 L 可积 (B) f (z) 和 f (z) 都在 E 上 L 可积
(C) f (z) 在 E 上不一定 L 可积
(D) f (z) 在 E 上一定 L 可积
实变函数测试题_参考答案
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实变函数测试题1本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系151********1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。
解:()∞=∞→,0lim n n A ;设()∞∈,0x .则存在N.使x N <.因此n N >时.0x n <<.即n A x 2∈.所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集.从而x 属于无限多n A .得n n A x ∞→∈lim 又显然()∞⊂∞→,0lim n n A .所以()∞=∞→,0lim n n A 。
φ=∞→n n A lim ;若有n n A x ∞→∈lim .则存在 A.使任意n N >,有n A x ∈。
因此若21n N->时.12-∈n A x .即10x n <<.令∞→n 得00x <≤.此不可能.所以φ=∞→n n A lim 。
2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c .集{}()E x f x c =≥和{}1()E x f x c =≤都是闭集。
证明:必要性:若()f x 是[],a b 上连续函数.由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。
充分性:若1E 和E 都是闭集。
若有[]0,x a b ∈.()f x 在0x 点不连续。
则存在()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+.或()()00ε-≤x f x f n .不妨设出现第一种情况。
令()00ε+=x f c .则(){}c x f x E x n ≥=∈.而E x ∉0(因为c x f x f =+<000)()(ε).此与E 是闭集相矛盾。
所以()f x 在[],a b 上是连续的。
证毕。
3、设nR E ⊂是任意可测集.则一定存在可测集δG 型集G.使得EG ⊃,且()0=-E G m3.由外侧度定义.对任意正整数n .存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1)(<-.令 ∞==1n n G G .则G 为δG 型集.E G ⊃且 2,1,1)()(=<-≤-n nE G m E G m n 故0)(=-E G m 。
实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$,则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射,因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合,则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$,则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间,则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集,则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$,则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$,$x$ 是 $E$ 的聚点,$f(x)$ 是实变函数,则存在 $\{x_n\}\subset E$,使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,并且对于任意$\sigma>0$,都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$,则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
实变函数期末考试题库
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实变函数期末考试题库一、选择题1. 下列函数符合实变函数的定义的是:()A. f(x) = x^2 - 5x + 6, x ∈ [0, ∞)B. f(x) = √(x + 2), x ∈ (-∞, 3]C. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0)D. f(x) = |x|, x ∈ R2. 实变函数的定义域是指函数所能取的值的范围。
下列函数的定义域是:()A. f(x) = 2x + 1, x ∈ ZB. f(x) = √(x^2 - 4), x ∈ RC. f(x) = log(x), x ∈ (-∞, ∞)D. f(x) = 1/(x - 2), x ∈ R - {2}3. 下列函数中,连续性具有间断点的是:()A. f(x) = 3x - 2, x ∈ (-∞, 10)B. f(x) = |x|, x ∈ RC. f(x) = {x^2, x < 0; 2x, x ≥ 0}, x ∈ RD. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0) U (0, ∞)4. 设f(x)和g(x)为两个实变函数,下列函数中不是实变函数的是:()A. f(x) + g(x)B. f(x)g(x)C. f(x)/g(x), g(x) ≠ 0D. g(f(x))5. 若f(x)为实变函数,则下列函数中一定是实变函数的是:()A. f(x)/xB. √f(x)C. ∣f(x)∣D. f(x + 1)二、填空题1. 若f(x)在x = a处连续,则f(x)在x = a处一定是__________函数。
答:连续2. 设f(x) = 2x^2 + bx +1,若f(x)在x = -1处连续,则b的取值范围是__________。
答:33. 设f(x) = (x - 1)/(x + 3) + e^x,则f(x)的定义域是__________。
答:(-∞, -3) U (-3, ∞)4. 设函数f(x) = |2x - 5|,则f(x)在点x = ________处不连续。
《实变函数》试卷及参考答案

《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体,则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集,如果对任一点集都有R1 (第页,共47页)EL_________________________________,则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”,“必要”,“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数测试题与参考答案

实变函数试题一,填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂,则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集,则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦,则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ⊂,0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,若0σ∀>,有 ,则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈,则∃{}()n f x 的子列{}()jn fx ,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例. 1. 若,A B 可测,A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集,P E ∉,则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞,则E 为无限集合. 三,计算证明题1.证明:()()()A B C A B A C --=-2.设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M 为可数集.3.设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集,1,2i =.根据题意,若有()()*0,i m B E i -→ →∞,证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集,()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x ,而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n ,()1,2n =,求1()f x dx ⎰.6. 求极限:13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题 1.[]0,2.2.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭;∅.3.闭集.4.b a -.5.几乎处处收敛于()f x 或a.e.收敛于()f x .6.对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.7.()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F .例如,(0,1)A =,[]0,1B =,则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F .例如,0(0,1)∉,但0不是(0,1)的外点.3. F .由于{}0E E '=⊄.4. F .例如,在1R 中,11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,3,4n =是一系列的闭集,但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T .因为若E 为有界集合,则存在有限区间I ,I <+∞,使得E I ⊂,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三,计算证明题. 1.证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z ,半径为r 唯一确定,x ,y ,z 跑遍所有的正有理数,r 跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==,则i E B B ⊂⊂且B 为可测集,于是对于i ∀,都有i B E B E -⊂-,故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞,得到()*0m B E -=,故B E -可测.从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =,令[]0,1G P =-,则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合:0P ,1G ,2G ,其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =,可得6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续,13230(R)sin 1nx nxdx n x+⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等.易知由于12x 在()0,1上非负可测,且广义积分1012dx x ⎰收敛,则 12x在()0,1上(L)可积,由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+,()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否,简明理由(对正确者予以证明,对错误者举处反例)(15分,每小题3分) 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。
实变函数模拟试题及答案
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实变函数模拟试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列哪个选项不是实变函数的基本概念?A. 极限B. 连续性C. 微分D. 积分答案:C2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是:A. 单调递增B. 单调递减C. 有界但无界D. 无界答案:A3. 如果函数f(x)在点x=a处连续,则下列哪个条件一定成立?A. f(a)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. f(a)=f'(a)答案:A4. 函数f(x)=|x|在x=0处:A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案:A5. 函数f(x)=sin(1/x)在x=0处:A. 连续B. 有界C. 不连续D. 无界答案:C6. 黎曼积分存在的条件是:A. 函数在积分区间上单调B. 函数在积分区间上连续C. 函数在积分区间上的不连续点构成一个零测集D. 函数在积分区间上的不连续点是可数的答案:C7. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的积分是:A. 0B. 1/4C. 1/3D. 2/3答案:A8. 若f(x)在[a,b]上可积,则下列哪个选项是正确的?A. f(x)在[a,b]上连续B. f(x)在[a,b]上单调C. f(x)在[a,b]上几乎处处连续D. f(x)在[a,b]上几乎处处有界答案:C9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的原函数是:A. x^3/3B. x^3C. 2x^3D. 3x^2答案:A10. 函数f(x)=x^(-1)在x=0处:A. 连续B. 可导C. 不连续D. 无界答案:C二、填空题(每空2分,共20分)1. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在该区间上________。
答案:可积2. 函数f(x)=x^2的原函数是________。
答案:x^3/3 + C3. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的积分是________。
答案:无穷大4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分是________。
实变函数(复习资料,带答案)
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《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k;(B) lim 代A;n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k;( D) l imA n 人;n nikn n nikn2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数;(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) f(x)在[a,b]上有界(B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在[a, b]上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体,则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集,如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数,如果对于a, b的一切分划,使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
实变函数试题库参考答案
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A、 B、 C、C(A')=(CA)' D、
41、设A-B=C, 则下列命题正确的是:( )
A、 B、 C、A'-B'=C' D、{A的孤立点}-{B的孤立点}={C的孤立点}
42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是:( )
A、 是闭集 B、A'是闭集 C、 是闭集 D、 是闭集
A、B B、A C、A B D、A B
20、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(B C)= ( )
A、(A-B) (A-C) B、(A-B) (A-C) C、A B D、A C
21、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(B C)= ( )
A、(A-B) (A-C) B、(A-B) (A-C) C、A B D、A C
A、{全体实数} B、{全体整数} C、{x:x>1} D、{全体胖子}
4、下列对象不能构成集合的是:( )
A、{全体实数} B、{全体整数} C、{x:x>1} D、{全体瘦子}
5、下列对象不能构成集合的是:( )
A、{全体小孩子} B、{全体整数} C、{x:x>1} D、{全体实数}
6、下列对象不能构成集合的是:( )
A、(0, 1) B、(0, 3) C、(0, 4) D、(1, 4)
35、设 , , 则下列那一个是G的构成区间: ( )
A、(0, 1) B、(0, 2) C、(1, 2) D、(1, 4)
36、设 , , 则下列那一个是G的构成区间: ( )
A、( , ) B、(1, 2) C、(0, 1) D、(-1, 0)
29、E的全体边界点所成的集合称为E的 ( )
A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包
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实变函数测试题11、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。
解:()∞=∞→,0lim n n A ;设()∞∈,0x ,则存在N ,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即n A x 2∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得n n A x ∞→∈lim 又显然()∞⊂∞→,0lim n n A ,所以()∞=∞→,0lim n n A 。
φ=∞→n n A lim ;若有n n A x ∞→∈lim ,则存在A ,使任意n N >,有n A x ∈。
因此若21n N ->时,12-∈n A x ,即10x n <<.令∞→n 得00x <≤,此不可能,所以φ=∞→n n A lim 。
2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ,集{}()E x f x c =≥和{}1()E x f x c =≤都是闭集。
证明:必要性:若()f x 是[],a b 上连续函数,由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。
充分性:若1E 和E 都是闭集。
若有[]0,x a b ∈,()f x 在0x 点不连续。
则存在()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+,或()()00ε-≤x f x f n ,不妨设出现第一种情况。
令()00ε+=x f c ,则(){}c x f x E x n ≥=∈,而E x ∉0(因为c x f x f =+<000)()(ε),此与E 是闭集相矛盾。
所以()f x 在[],a b 上是连续的。
证毕。
3、设nR E ⊂是任意可测集,则一定存在可测集δG 型集G ,使得E G⊃,且()0=-E G m证:由外侧度定义,对任意正整数n ,存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1)(<-,令 ∞==1n n G G ,则G 为δG 型集,E G ⊃且 2,1,1)()(=<-≤-n nE G m E G m n 故0)(=-E G m 。
证毕。
4、设,nA B R ⊂,A B ⋃可测,且()m A B ⋃<+∞,若()**mA B m A m B ⋃=+,则,A B 皆可测。
证明:先证A 可测:存在δG 型集B G ⊃使得B m mG *=。
令A G B A Q ⊂-⋃=。
G G B A B A ⋃-⋃=⋃])[(.()mG mQ mG G B A m B A m +=+-⋃≤⋃])[(。
因为*(),()m A B mG m B m A B ⋃<∞=≤⋃<+∞,A m mG -B m A m mG -B)(A ***=+=⋃≥m mQ ,即A m mQ *≥,又A Q ⊂,所以A m mQ *≤,所以A m mQ *=.*A (A B)m m ≤⋃<+∞,所以.0)(*=-Q A mQ Q A A ⋃-=)(,因为Q 可测,A Q -可测,所以A 可测。
同理可证B 可测。
证毕。
5、写出鲁津定理及其逆定理。
并证明鲁津定理的逆定理。
鲁津定理:设()f x 是E 上a.e.有限的可测函数,则对任意0δ>,存在闭子集E F ⊂δ,使()f x 在δF上是连续函数,且(\)m E F δδ<.逆定理:设()f x 是E 上的函数,对0δ∀>,总存在闭子集E E ⊂δ,使得()f x 在δE 上是连续函数,且()m E E δδ-<,则,()f x 是E 上a.e.有限的可测函数。
证明:对任意1n ,存在闭子集E E n ⊂,使()f x 在n E 上连续且n E E m n 1)(<-,令 ∞=-=10n n E E E ,则对任意n ,有()011n n n mE m E E m E E n ∞=⎛⎫=-≤-< ⎪⎝⎭。
令∞→n ,得∞=∞==⋃=⋃-==001000)()(.0n n n n E E E E E E E mE 。
对任意实数a ,[][][]01n n E f a E f a E f a ∞=⎛⎫>=>⋃> ⎪⎝⎭,由()f x 在n E 上连续,可知[]n E f a >可测,而[]()**000m E f a m E >≤=,所以[]a f E >0也可测,从而[]a f E >是可测的。
因此()f x 是可测的。
因为()f x 在n E 上有限,故在 ∞=1n n E 上有限,所以()f x a.e.有限。
证毕。
6、设)(x f 是E 上的可测函数,G 为开集,F 为闭集,试问])(|[G x f x E ∈与])(|[F x f x E ∈是否是可测集,为什么?证:由已知 则开集G 可写成直线上可列个开集的并集,即 ii i b a G ),(=,()()()i i iiiiE x f x G E x a f x b E x f a E x f b ⎡⎤⎡∈⎤=<<=⎡>⎤⋂⎡<⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则可知[]G x f x E ∈)(是可测集。
由()[]()[]C C F x f x E F x f x E ∈=∈)(,则可知()[]F x f x E ∈也是可测集。
证毕。
7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0,而在0P 的余集中长为13n的构成区间上定义为n (1,2,3,=n ),试证()f x 可积分,并求出积分值。
证:f(x)是非负可测函数,因而积分确定,只要证明积分有限即可。
设n E 是0P 的余集中长为n 31的构成区间之并,则n n n mE 321-=,因此()[]10,11112()33n n n n E n n n f x dx f x dx nmE n -∞∞∞======⋅=∑∑∑⎰⎰,所以()f x 可积,且积分值为3。
证毕。
8、设{}n f 为E 上非负可积函数列,若lim ()0,n En f x dx →∞=⎰则()0n f x ⇒。
证:对任意0>σ,由于n f 非负可知:[][]⎰⎰≥≤≤≥σσσn f E En nn dx f dxx f f mE .)(1().n n EmE f f x dx σσ⎡≥⎤≤⎣⎦⎰因此 1lim lim ()0n n En n mE f f x dx σσ→∞→∞⎡≥⎤==⎣⎦⎰,即.0)(⇒x f n 证毕。
9、设)(x f 是E 上a.e. 有限的可测函数,+∞<mE 。
试证明对0>∀ε,存在E 上a.e. 有界的可测函数)(x g ,使得 ε<>-]0|[|g f mE 。
证:因为()f x 是E 上的a.e.有限的可测函数,设[]∞==f E D ,0mD =,令[]k E E f k =>故有⊃⊃⊃321E E E ∞=∞→==1lim k k k k E E D 所以0lim lim ===∞→∞→mD E m mE k k k k ,故0,0k ∃>∀ε,使得ε<0K mE令g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=000)()(K K E x E E x x f x g 故00K mE f g mE ε⎡->⎤=<⎣⎦。
证毕。
10、求证 120111ln 1()∞==-+∑⎰p n x dx x x p n , (1)p >-。
证:由于∑∑∑⎰⎰∑∑∞=∞=∞=++∞=+∞=+=++==-≥∈=-=-<12020101011)(1)1(11ln 1ln 1x ,0ln x )1,0(,1ln 1ln 1x ,10,x 111n n n p n pn p n p n p n nn p n p dx x x dx x x x x x x x x x 所以时,而当)上,故在(时,证毕。
实变函数测试题21、证明 1lim =n m n n m nA A ∞∞→∞==。
证明:设lim n n x A →∞∈,则N ∃,使一切n N >,n x A ∈,所以 ∞+=∈1n m mAx ∞=∞=⊂1n nm m A ,则可知n n A ∞→lim ∞=∞=⊂1n nm mA。
设 ∞=∞=∈1n n m mAx ,则有n ,使 ∞=∈nm mAx ,所以n n A x lim ∞→∈。
因此,n n A lim ∞→= ∞=∞=1n nm m A 。
2、设(){}222,1E x y x y =+<。
求2E 在2R 内的'2E ,02E ,2E 。
解:(){}222,1E x y x y '=+≤, (){}222,1E x y x y =+<,(){}222,1E x y xy =+<。
3、若nR E ⊂,对0>∀ε,存在开集G , 使得G E ⊂且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。
证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ⊃,使得()1*m G E n-<。
令 ∞==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n-≤-<, 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。
由)(E G G E --=知E 可测。
证毕。
4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ⊂,12mE =。
解:在[0,1]中去掉一个长度为16的开区间57(,)1212,接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为1163⨯的两个开区间,以此类推,一般进行到第n 次时, 一共去掉12-n 个各自长度为11163n -⨯的开区间,剩下的n2个闭区间,如此重复下去,这样就可以得到一个闭的疏朗集,去掉的部分的测度为11112121663632n n --+⨯++⨯+=。
所以最后所得集合的测度为11122mE =-=,即12mE =。
5、设在E 上()()n f x f x ⇒,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立, ,3,2,1=n , 则有{()}n f x a.e.收敛于)(x f 。
证明 因为()()n f x f x ⇒,则存在{}{}i n n f f ⊂,使()i n f x 在E 上a.e.收敛到()f x 。
设0E 是()in f x 不收敛到()f x 的点集。
1[]n n n E E f f +=>,则00,0nm E m E==。
因此0()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑。