《计数原理》一轮复习学案
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案一、教学目标1. 理解分类计数原理和分步计数原理的概念。
2. 学会运用分类计数原理和分步计数原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类计数原理：定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分类计数原理。
公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$2. 分步计数原理：定义：从n个不同元素中，按一定的顺序逐个取出m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分步计数原理。
公式：$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$三、教学重点与难点1. 教学重点：分类计数原理和分步计数原理的概念及公式的运用。
2. 教学难点：如何将实际问题转化为分类计数原理和分步计数原理问题。
四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体案例让学生理解分类计数原理和分步计数原理。
2. 运用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
3. 利用多媒体教学，生动展示分类计数原理和分步计数原理的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例引入分类计数原理和分步计数原理。
2. 讲解分类计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
3. 讲解分步计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
4. 案例分析：让学生尝试解决实际问题，运用分类计数原理和分步计数原理。
5. 课堂练习：布置练习题，巩固所学内容。
6. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动1. 小组讨论：学生分组讨论分类计数原理和分步计数原理在实际问题中的应用，分享解题思路和方法。
2. 课堂展示：每组选取一个讨论题目，进行课堂展示，阐述解题过程和答案。
3. 教师点评：针对学生的展示，进行点评，指出优点和需要改进的地方。
七、拓展与应用1. 生活中的计数原理：让学生举例说明分类计数原理和分步计数原理在生活中的应用。
届数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析
第七节n次独立重复试验与二项分布[最新考纲］［考情分析][核心素养］1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2。
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查条件概率，对相互独立事件及独立重复试验多在解答题中考查,分值为5分左右。
1。
数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下,A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为1P(A|B)。
当P(B）〉0时，我们有P（A|B）＝错误! (其中，A∩B也可以记成AB）。
类似地,当P(A)〉0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A)＝错误!错误!（1)0≤P(B|A）≤1;（2）如果B和C是两个互斥事件,则P（B∪C|A）＝错误!P（B|A)＋P（C|A）2。
事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件,若P(AB）＝错误!P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．（2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B｜A）＝错误!P（B)，P（A｜B)＝P（A），P(AB)＝错误!P（A)P(B)．②如果事件A与B相互独立,那么错误!A与错误!,错误!错误!与B，错误!错误!与错误!也相互独立．3．独立重复试验与二项分布‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1)若事件A,B相互独立,则P（B|A)＝P（B）．(）(2）P(B｜A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P(A）·P(B)．()（3)相互独立事件就是互斥事件．(）(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C错误! p k（1－p）n－k，k＝0，1，2,…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．（)答案：（1)√（2)×(3)×(4)√二、走进教材2．（选修2－3P55T3改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0。
基本计数原理
《基本计数原理》复习学案（一）2010.5知识点回顾（一）两个基本计数原理1.分类计数原理2.分步计数原理（二）排列组合1.排列数公式_________A =m n2.组合数公式_________C =m n3.组合数公式的两个重要的性质（三）二项式定理1.二项式展开式的通项2.二项式系数的性质例题分析（Ⅰ）两种计数原理应用例1： 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书,(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法?(2) 若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本, 有多少种不同的选法?(3) 若从这些书中取不同科目的书两本, 有多少种不同的选法?变式1：四封信，投入三个不同的信箱，有多少种不同的投法？变式2：三封信，投入四个不同的信箱，有多少种不同的投法？变式3：三封信，投入四个不同的信箱，要求每个信箱最多投一封信，有多少种不同的投法？（Ⅱ）排数问题例2：用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数（1）奇数；（2）偶数（3）比20300大的数；（4）被5整除的数（Ⅲ）排队问题例3：有5名男生，3名女生排成一排（1）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不同的排法？（2）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多少不同的排法？（3）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少不同的排法？（5）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？（6）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起，则有多少不同的排法？（7）如果3名女生不全在一起, 有多少种不同的排法?（8）如果甲在乙左, 丙在乙右,顺序固定, 有多少种不同的排法?（Ⅳ）抽取分配问题例4：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少有甲型和乙型各1台, 有多少种不同的取法?变式：从5男4女中选4位代表，其中至少2位男士，且至多2位女士，分到四个不同的工厂调查，不同的分配方法有多少种？（Ⅴ）分配分组问题例5：6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
--高中数学第一轮复习学案---(19)计数原理(理科)
第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理广东高考考试大纲说明的具体要求：① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
（一）基础知识梳理：1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=_________________种不同的方法。
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=_________________种不同的方法。
（二）典型例题分析：例1. 用1，3，5，9，13作分子，4，7，8，16作分母，可以构成________个不同的真分数。
例2. 现有高一的学生3名，高二的学生5名，高三的学生4名。
（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有________种不同的选法。
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有________种不同的选法。
例3. (1) 3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是_________.(2) 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是_________.（三）基础训练：1. 设某班有男生25名，女生22名， 要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛， 共有_________种不同的选法。
2.（2007全国Ⅱ文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名方法共有（ ）(A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种3. 乘积式))()((5432121321c c c c c b b a a a +++++++展开后共_________项。
4．有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有________种不同的结果;（2）每项竞赛只许一位学生参加，有________种不同的结果.5．（1）集合{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤中有_________个元素；（2）集合{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤中有_________个元素；（四）巩固练习：1. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合}5,4,3,2,1,0{=A 内取值的不同点共有______个。
计数原理学案(孙平公开课)
计数原理学案（孙平公开课）1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学案）学习目标(1)通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理；（2）根据具体问题的特点，可以选择分类加法计数或分步乘法计数的原理来解决一些简单的实际问题际问题；（3）在“分类”和“逐步”计数的过程中体验这两个原则的区别和联系；（4）认识到数学源于生活，服务于生活学习重点和难点1.要点：总结分类加法计数和分步乘法计数的原理，并能应用于解决简单的实际问题；2.难点：正确理解“完成一件事”的含义；能够根据实际问题的特点正确区分“点”类”或“分步”．学习过程（一）课前预习：自学、思考、练习1.分类加法计数原理：完成一件事有两种不同的方案。
第一种方案有m种不同的方法，第二种方案有N种不同的方法，两种不同的方法。
2.推广分类加法和计数原则：____________________________________________________________________________3．分步乘法计数原理完成一件事有两个步骤。
有m种不同的方法来完成第一步，N种不同的方法来完成第二步，所以有两种方法来完成这件事，两种不同的方法。
4.逐步乘法和计数原理的推广：__________________________________________________________________________（二）知识建构引例1:假如我们从湖州到杭州去旅游，查看了交通信息后，发现明天适合我们乘坐的火车有3班，普通客车有2班。
乘坐这些交通工具从湖州到杭州，请问我们共有多少种不同的走法？引文2：教室座位号（如“a”、“B”、“0”、“1”）可以用大写英文字母或阿拉伯数字编码多少个不同的数字？探究1：你能说说以上两个引例中问题的共同特征吗？问题2：你能总结一下解决这些问题的一般规则吗？1______________________原则：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有_____________种不同的方法．例1变体：如果我们从湖州旅行到杭州，在检查交通信息后，我们可以乘坐直达列车或普通巴士，或者乘坐快车。
高考数学一轮复习 第十五单元 计数原理学案 理
第十五单元计数原理教材复习课“计数原理”相关基础知识一课过两个计数原理两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m×n种不同的方法[小题速通]1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数为( )A．50 B．26C．24 D．616解析：选A 由分类加法计数原理知不同的选法种数为26＋24＝50.2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C ∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．3．已知集合P＝{x，y，z}，Q＝{1,2,3}，映射f：P→Q中满足f(y)＝2的映射的个数为( )A．2 B．4C．6 D．9解析：选D 集合P＝{x，y，z}，Q＝{1,2,3},要求映射f：P→Q中满足f(y)＝2,则要构成一个映射f：P→Q，只要再给集合P中的另外两个元素x，z在集合Q中都找到唯一确定的像即可.x可以对应集合Q中的三个元素中的任意一个，有3种对应方法，同样z也可以对应集合Q中的三个元素中的任意一个，也有3种对应方法，由分布乘法计数原理，可得映射f：P→Q中满足f(y)＝2的映射的个数为3×3＝9.[清易错]1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )A．30 B．20C．10 D．6解析：选D 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279解析：选B 0,1，2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数有900－648＝252个．排列与组合1．排列与排列数(1)排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝n！n－m！组合数公式C m n＝A m nA m m＝n n－1…n－m＋1m！＝n！m！n－m！[1．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实施中程序顺序的编排方法共有( )A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C 由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A22＝2种方法．因为程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有A44A22＝48种方法，根据分步乘法计数原理可知共有2×48＝96种方法．2．某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为( ) A．720 B．504C．384 D．120解析：选B 以数学课的排法进行分类：(1)数学排在第四节，则体育课可排在其余任意一节，故不同的排法种数为A55＝120.(2)数学排在除第一节、第四节外的其余四节，其排法为4种；体育课则从除第四节、数学选择的节次外的其余四节任选一节，其排法为4种；其余课程由剩余4节课进行全排，不同的排法种数为A44＝24.由分步乘法计数原理可得，不同的排法种数共有4×4×24＝384.综上，由分类加法计数原理可得，不同的排法种数有120＋384＝504.3．将某师范大学4名大四学生分成2人一组，安排到A城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有________种．解析：采取“学校”选“人”的思路，则不同的实习安排方案有C 24C 22＝6种． 答案：64．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________． 解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.答案：55．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则C m8＝________.解析：由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ， 由组合数公式可知，m ！5－m ！5！－m ！6－m ！6！＝7×7－m ！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2. 故C m8＝C 28＝28. 答案：28[清易错]易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关.用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为( )A ．423B ．288C ．216D ．144解析：选B 若2,4相邻，把2,4捆绑在一起，与另外四个数排列(相当于5个元素排列)，1不在左、右两侧，则六位数的个数为2×C 13×A 44＝144，同理2,4与6相邻的有A 22×2×2×A 33＝48个，所以只有2,4相邻的有144－48＝96个，全部符合条件的六位数有96×3＝288个．二项式定理 1．二项式定理 二项式定理(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项式系数 二项展开式中各项系数C kn (k ＝0,1，…，n )二项式通项 T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项2．二项式系数的性质[小题速通]1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( ) A ．63 B ．64 C ．31D ．32解析：选A 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n＝729，即3n＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.2.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中，x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．6D ．20解析：选A T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r＝(－2)r C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r x 5－r y r.令5－r ＝2，得r ＝3，∴(－2)3C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125－3＝－20.∴x 2y 3的系数为－20.3．(2017·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________. 解析：(1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r. 令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4. 答案：44．(2018·山西四校联考)如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于________．解析：令x ＝0，有1＝a 0；令x ＝1，有1＝a 0＋a 1＋…＋a 6，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝0.答案：0[清易错]1．二项式的通项易误认为是第k 项，实质上是第k ＋1项．2．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C kn (k ＝0,1，…，n )．1．(2018·长沙长郡中学月考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：选B 由二项式系数之和为2n＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x 18－3r，令18－3r＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.2．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝16C 4n x n 2－6是常数项，可得n2－6＝0，解得n ＝12.一、选择题1．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )A ．C 25 B ．25C ．52D ．A 25解析：选B 不妨设5名同学分别是A ，B ，C ，D ，E,对于A 同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种， 同样对于B ，C ，D ，E 都是2种，由分步乘法计数原理可得， 第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2＝25(种).2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种解析：选D 按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．3．(2018·云南师大附中适应性考试)在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为( )A．1 B．±1C．2 D．±2解析：选C 由题知，C47a3＝280，解得a＝2.4.如图，∠MON的边OM上有四点A 1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为( )A．30 B．42C．54 D．56解析：选B 用间接法．先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C38个，再减去三点共线的情形即可．共有C38－C35－C34＝42(个)．5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为( )A．12 B．24C．36 D．48解析：选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A33种排法，故总的排法有2×2×A33＝24(种)．6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：选D 展开式中含x2的系数为C25＋a C15＝5，解得a＝－1.7．(2018·成都一中摸底)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选A 令等式中令x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a －lg b的不同值的个数是( )A．9 B．10C．18 D．20解析：选C lg a －lg b ＝lg ab，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20个结果，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93，故共可得到不同值的个数为20－2＝18.二、填空题9.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的二项展开式中x 项的系数为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x 5－2r.令5－2r ＝1，得r ＝2.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 项的系数是C 25·(－1)2·25－2＝80.答案：80 10．若n ＝⎠⎛ee2 0181xd x ，则二项式(1－2x )n的展开式中第 1 009项的二项式系数为________．(用符号作答)解析：由题意知，n ＝⎠⎛ee 2 0181xd x ＝ln x ⎪⎪⎪e 2 018e＝2 017，二项式(1－2x )2 017的展开式中第1 009项为T 1 008＋1＝C 1 0082 017(－2x )1 008，其二项式系数为C 1 0082 017.答案：C 1 0082 01711．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C 14C 35A 44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A 45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 08012．有一个五边形ABCDE ，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有________种不同的涂色方法．解析：首先A 选取一种颜色，有3种情况. 如果A 的两个相邻点B ，E 颜色相同，有2种情况， 则最后两个点C ，D 也有2种情况；如果A 的两个相邻点B ，E 颜色不同，有2种情况； 则最后两个点C ，D 有3种情况.所以共有3×(2×2＋2×3)＝30种不同的涂色方法. 答案：30 三、解答题13．已知(a 2＋1)n展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r x 20－5r2.令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16，又(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和为2n， 由题意得2n＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3， 从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.14．已知袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，现从中取出4个． (1)取出的4个球必须是两种颜色的取法有多少种？(2)取出的4个球中红球个数不少于白球个数的取法有多少种？解：(1)根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有C 410＝210种取法，其中颜色相同的情况有2种：4个红球或4个白球， 若4个红球，有C 44＝1种取法， 若4个白球，有C 46＝15种取法，则取出球必须是两种颜色的取法有210－(1＋15)＝194种. (2)若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论： ①4个全部是红球，有C 44＝1种取法， ②3个红球，1个白球，有C 34C 16＝24种取法， ③2个红球，2个白球，有C 24C 26＝90种取法，则取出的4个球中红球个数不少于白球个数的取法共有1＋24＋90＝115种． 高考研究课(一)排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配 [全国卷5年命题分析]组合问题 5年2考 组合分步 分组分配问题5年2考均分问题排列问题[典例] 3名女生和(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320(种)不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A 55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400(种)不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400(种)不同排法．(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，因此符合要求的排法种数为12A 88＝20 160(种)．(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种．由分类加法计数原理得，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960(种)．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A 17种，余下7个位置全排，有A 77种，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960(种)．法三(间接法)：8个人全排，共A 88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 77种，乙在最右边时，有A 77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960(种)． [方法技巧]求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B 第一类：甲在左端，有A55＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．2．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．解析：(捆绑法)首先排两个奇数1,3，有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.答案：8组合问题[典例] 7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520C．600 D．720(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．[解析] (1)根据题意，分2种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种情况；若甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240种情况，其中甲、乙相邻的有C22·C25·A33·A22＝120种情况．则不同的发言顺序的种数为480＋240－120＝600.(2)第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种．[答案] (1)C (2)472[方法技巧]组合问题常有的2类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[即时演练]1．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( ) A．50种B．51种C．140种D．141种解析：选D 因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0,1,2,3，共4种情况，所以共有C06＋C16C15＋C26C24＋C36C33＝141种．2．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A．24对B．30对C．48对D．60对解析：选C 正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48对.分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题，有不等分、整体均分和部分均分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.常见的命题角度有：1不等分问题；2整体均分问题；3部分均分问题.角度一：不等分问题1．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法． 根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法． 再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． 答案：360角度二：整体均分问题2．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．答案：90角度三：部分均分问题3．若8人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人，最多载4人，则不同的坐法共有( ) A ．770种 B ．1 260种 C ．4 620种D ．2 940种解析：选C 第一步，分组：由题意把8人分为以下三组(1,3,4)，(2,2,4)，(2,3,3)，则分组的种数为C 18C 37＋C 48·C 24A 22＋C 28·C 36A 22＝280＋210＋280＝770种，第二步，分配：每一种分法都有A 33＝6种， 根据分步乘法计数原理，共有770×6＝4 620种． [方法技巧]解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．(3)部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9解析：选B 由题意可知E →F 有C 24种走法，F →G 有C 13种走法，由乘法计数原理知，共C 24·C 13＝18种走法．3．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选D 第一步，先排个位，有C 13种选择； 第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有C 13·A 44＝72(个)．4．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个解析：选B 当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A 34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C 13A 34个偶数．故符合条件的偶数共有2A 34＋C 13A 34＝120(个)．5．(2014·重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168解析：选B 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120.6．(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A ，B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A ，B ，C 3件在一起，且A ，B 相邻，A ，C 相邻有CAB ，BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A ，B 相邻，A ，C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：36一、选择题1．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A 33×2＝12种排列方法．2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180C ．200D ．280解析：选A 分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝150.3．将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有( )A．30 B．36C．60 D．66解析：选A 由题意知有一个盒子要放入2球，先假设A，B可放入一个盒子，那么方法有C24＝6,再减去A，B在一起的情况，就是6－1＝5种.把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有A33＝6种.根据分步乘法计数原理知共有5×6＝30种.4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：选B 根据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A．12 B．6C．8 D．16解析：选A 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．6．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为( )A．72 B．324C．648 D．1 296解析：选D 核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法种数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.7．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )A．72 B．96C．120 D．156解析：选B 甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A36＝120种，其中丁没有连续的安排，安排甲，乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有A33C34＝24种，故不同的安排方法有120－24＝96种．8．有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，那么互不相同的安排种数为( )A．10 B．20C．30 D．40解析：选B 根据题意，将5名游客分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C25＝10种情况，再将2组对应2个游艇，有A22＝2种情况，则互不相同的安排种数为10×2＝20.二、填空题9．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：66010．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．解析：分两种情况：。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案第一章：排列与组合1.1 排列的概念与性质学习排列的定义及排列数的计算方法。
理解排列的性质，如排列的交换律、结合律等。
1.2 组合的概念与性质学习组合的定义及组合数的计算方法。
理解组合的性质，如组合的交换律、结合律等。
1.3 排列与组合的应用学习排列与组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、抽屉原理等。
第二章：计数原理2.1 分类计数原理学习分类计数原理的定义及应用。
理解分类计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
2.2 分步计数原理学习分步计数原理的定义及应用。
理解分步计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
第三章：概率初步3.1 概率的概念学习概率的定义及计算方法。
理解概率的性质，如概率的取值范围、概率的加法规则等。
3.2 事件的相互独立性学习事件的相互独立性的概念及判断方法。
理解事件的相互独立性在实际问题中的应用。
3.3 概率的计算学习概率的计算方法，包括条件概率、联合概率等。
能够运用概率的计算方法解决实际问题。
第四章：二项式定理4.1 二项式定理的概念学习二项式定理的定义及展开式。
理解二项式定理的性质，如系数的对称性、系数的和等。
4.2 二项式定理的应用学习二项式定理在实际问题中的应用，如组合数的计算、概率的计算等。
第五章：排列组合的综合应用5.1 排列组合的综合问题学习排列组合的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合的知识解决综合问题。
5.2 排列组合与概率的综合问题学习排列组合与概率的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合与概率的知识解决综合问题。
高中教案：计数原理学案第六章：鸽巢原理6.1 鸽巢原理的基本概念学习鸽巢原理的定义及应用。
理解鸽巢原理的原理，并能运用到实际问题中。
6.2 鸽巢原理的推广学习鸽巢原理的推广形式，如鸽巢原理在排列组合中的应用。
第七章：数论初步7.1 整数的基本性质学习整数的基本性质，如整数的加法、减法、乘法、除法等。
理解整数的性质，如整数的相反数、整数的倒数等。
高三一轮复习《计数原理》教材
排列、组合和二项式定理2015．12一、高考要求二、本章定位计数原理的课程设置意图：必修三概率→本章→选修2－3第二章概率1．必修3强调概率思想，避免复杂的组合计算干扰学生对概率思想的领悟；2．本章为进一步研究概率做准备；3．本章学习为学生提供解决问题的思想和工具；“课标”对本章内容的定位是:用计数原理、排列与组合概念解决“简单的实际问题”。
所以，教学中一定要把握好这种定位，避免在技巧和难度上做文章(排列组合的求值化简证明题难度要控制,要重点做应用题)。
三、本章内容与要求【计数】1．分类计数原理完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．3．排列从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数称为排列数．(1)当m<n时的排列称为选排列，排列数为A m n＝n(n－1)×…×(n－m＋1)＝n！(n－m)！．(2)当m＝n时的排列称为全排列，排列数为A n n＝n(n－1)×…×3×2×1＝n！．规定0！＝1．4．组合从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，所有组合的个数称为组合数．(1)组合数公式：C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！．规定：C 0n ＝1．(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n－mn； ②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n． 注意：1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题． 【二项式定理】1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…C n －1n ab n －1＋C n n b n (n ∈N ＋)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其通项公式为T r ＋1＝ .(a －b )n 的展开式第r ＋1项T r ＋1＝ . 2．二项式系数的性质(1)对称性：C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k <n ＋12时，二项式系数是递增的；当k >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数最大．当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．(3)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n . (4)C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n＋…＝2n –1.注意:1．通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 是第k ＋1项，而不是第k 项，注意其指数规律． 2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n 与k 的取值范围．3．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．三、高考题【2015高考北京版理第9题】（ 9 ）在5(2)x 的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答）40【2014高考北京版理第13题】把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．36[解析]先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有44A 种方法，而A 、B 可交换位置，所以有48244=A 种摆法，又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，有12233=A 种摆法，故满足条件的摆法有361248=-种【2013高考北京版理第12题】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 96[解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A 44种方法，所以不同的分法种数是4A 44＝96.【2012高考北京版理第6题】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6[解析]由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。
高三一轮复习教案(统计,概率,计数原理,二项式定理,概率分布)
统计一．抽样方法：1．简单随机抽样的概念：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
2．简单随机抽样实施的方法：抽签法；随机数表法。
3．系统抽样的定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
4．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．5二．总体分布的估计：1.频率分布表含义:当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布。
把反映总体频率分布的表格称为频率分布表。
2.列频率分布表的步骤：（1）求全距，决定组数和组距，组距=全距÷组数；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表。
3.频率分布直方图的含义：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图，简称频率直方图。
4. 频率分布直方图的特点：①纵轴表示频率÷组距；②矩形的面积表示频率，各矩形的面积和为1.5.获得样本的频率分布的一般步骤：（1）计算最大值与最大值（极差）；（2）确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列出频率分布表；（5）画出频率分布直方图。
6.频率分布折线图的含义：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，称这条折线为频率折线图。
7.制作茎叶图的方法：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共有一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，相同的数重复写出来。
2015年高考数学一轮复习导学案：计数原理
2、已知 （ ），
(1）当 时，求 的值；
(2）设 ，试用数学归纳法证明：当 时， 。
3、已知 ， ．
(1）若 ，求 的展开式中 的系数；
(2）证明：
,( )
四：课后反思
备注
课堂检测——计数原理姓名：
1、将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有.
6、一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为 的函数： ， ， ， ， ， , 。从盒子里任取两张卡片：
(1）至少有一张卡片上写着奇函数的取法有多少种？（用数字表示）
(2）两卡片上函数之积为偶函数的取法有多少种？（用数字表示）
2、将5种不同的商品在货架上排成一排，其中甲乙两种必须排在一起，丙，丁两种不能在一起，则不同的排法种数是.
3、设 的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,
若M-N＝240,则展开式中x3的系数为.
4、若 的展开式中含 项，则最小自然数 是.
5、将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字做答）
4、若 展开式各项系数和为25来自，设 为虚数单位，复数 的运算结果为________.
5、二项式 的展开式的常数项为第________项.
6、从 中任取2个数，从 中任取2个数，⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵若将⑴中所有个位是 的四位数从小到大排成一列，则第 个数是多少？
三：课堂研讨
1、二项式 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.
课题：计数原理班级姓名：
高考一轮复习教案十二(1)计数原理(教师)文科用
模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 1、计数原理教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决．重难点： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．一、 知识要点1、分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法．2、分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．二、 例题精讲例 1 、电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？答案：28800．例2、从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?答案：32个例3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种．（以数字作答）答案：120种 654321例4、（1）有红、黄、白色旗子各n 面（3n ），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？答案：（1）60；（2）7种．例5、d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？答案：9种．例6、关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？答案：（1）40个；（2）7440．例7、如图所示,问从A 到D 每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)答案：16例8、由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？答案：（1）72；（2）1600三、 课堂练习1、4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ． 答案：576；1440；144；840.2、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法． 答案：18003、三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则共有出场方案 种．答案：364、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．答案：4955、7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．答案：3600；3720.6、远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．答案：15四、 课后作业一、填空题1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_________种行车路线．答案：122、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 种． 答案：123、从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有______种． 答案：254、72的正约数（包括1和72）共有__________个．答案：125、从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数()2f x ax bx c =++的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个．（用数字作答）答案：18；66、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答） 答案：72 二、选择题7、某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是( )A 、9×8×7×6×5×4×3B 、8×96C 、9×106D 、81×105答案：D8、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则n m 等于( ) A 、0 B 、41 C 、21 D 、43 答案：B9、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A 、504B 、210C 、336D 、120答案：A三、解答题10、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？答案：3611、五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？答案：（1）1024种；（2）526种．12、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？答案：36⑤④③②①。
2020版高考数学一轮复习 11.1计数原理精品学案 新人教版
2020版高考数学一轮复习精品学案：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布【知识特点】1．本章是高中数学中相对独立的一部分，概念性强、灵活性强、思维方法独特；2．本章内容应用性强，与实际问题联系密切，读不懂题意、题意理解错误往往是解不出题的原因。
【重点关注】1．排列、组合问题及随机变量的分布列、期望、方差是必考的内容。
准确确定随机变量的取值，准确计算概率是求分布列的基础，在复习过程中要多角度地加大训练力度。
2．在解题过程中要注意“分类讨论”“正难则反”的思想。
【地位与作用】1．计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。
在本章中，将复习到计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。
2．概率是描述随机事件发生可能性大小的量度，它已经渗透到人们的日常生活中，例如：彩票的中奖率，产品的合格率，天气预报、台风预报等都离不开概率。
概率在整个高中数学中占有重要地位，在整个高考考试中也占据着重要的地位。
3．对本章而言，高考中主要以选择、填空或解答题的形式考查，属于中、低档题。
重点考查的是两个计数原理、古典概型、离散型随机变量的分布列及其期望、方差等，预计本章在今后的高考中仍将在计数原理、古典概型、几何模型及随机变量的分布列等处命题。
11．1 计数原理【高考新动向】一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．考纲点击（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；（2）全用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
2．热点提示（1）主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理及分类讨论思想；（2）对两个原理的考查一般在选择、填空题中出现。
二、排列与组合1．考纲点击（1）理解排列、组合的概念；（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合公式；（3）能解决简单的实际问题。
2019-2020学年高考数学一轮复习-计数原理导学案
2019-2020学年高考数学一轮复习 计数原理导学案 一：学习目标1、理解分类计数原理与分步计数原理，并能用它们解决一些简单的应用问题。
2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
3、理解二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
二：课前预习1、若25(21)x +=24100125a a x a x a x +++，则135a a a ++的值为________.2、某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有_________种3、将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________.4、若n x )31(+展开式各项系数和为256，设 i 为虚数单位，复数ni )1(+的运算结果为________. 5、二项式3032a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第________项. 6、从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数，⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵若将⑴中所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少？三：课堂研讨1、二项式n x x )21(3-展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍. 求：（1）n ； (2）展开式中的所有的有理项。
2、已知()()()()nn n x a x a x a a x 11112210-++-+-+=+ （*,2N n n ∈≥），备 注1、将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 .2、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是 .3、2013年南京青奥会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是 .4、若291()ax x的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 5、将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有____________种(用数字作答)．6、已知)()2(82*∈-N n xx (1）求展开式中各项系数和；（2）二项式系数最大的项. (3）求展开式中含23x 的项；（4）求展开式中系数最大的项课外作业——计数原理 姓名：1、毕业之际，2名教师与4名学生站成一排合影留念，则2名教师之间恰好站有2名学生的不同站法种数为 .2、将5种不同的商品在货架上排成一排，其中甲乙两种必须排在一起，丙，丁两种不能在一起，则不同的排法种数是 .3、设5n x x -（）的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 .4、若321()n a a+的展开式中含3a 项，则最小自然数n 是 .5、将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种.（以数字做答）6、一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为R 的函数：31)(x x f =，22)(x x f =，x x f =)(3，x x f cos )(4=，x x f sin )(5=，x x f -=2)(6,2)(7+=x x f 。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：基本计数原理
§10.1基本计数原理考试要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．知识梳理基本计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事，如果有n 类办法，且：第一类办法中有m 1种不同的方法，第二类办法中有m 2种不同的方法……第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n 个步骤，且：做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．常用结论两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)教材改编题1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A．16B．13C．12D．10答案C解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种)．2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种答案B解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．3．由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线有()A．10条B．8条C．6条D．4条答案C解析由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走法．所以所求路线共有3×2＝6(条)．题型一分类加法计数原理例1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种)．(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．答案240解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．思维升华使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．跟踪训练1(1)(2023·太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有()A．3种B．6种C．7种D．8种答案C解析由题意得，三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆．一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种)．(2)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．答案9解析对子集A分类讨论：当A是二元集{1,2}时，B可以为{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4种情况；当A是三元集{1,2,3}时，B可以为{1,2,4}，{1,2}，共2种情况；当A是三元集{1,2,4}时，B可以为{1,2,3}，{1,2}，共2种情况；当A是四元集{1,2,3,4}时，B取{1,2}，有1种情况．根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．题型二分步乘法计数原理例2(1)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有()A．12种B．24种C．72种D．216种答案A解析先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法．(2)(多选)(2022·武汉模拟)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是()A．共有43种不同的安排方法B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种答案ABD解析对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确；对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16(种)安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法，故D正确．思维升华利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．跟踪训练2(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种答案D解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法．(2)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是()A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种答案AD解析对于A，B，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，D，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有4种选择，第3个社团有4种选择，根据分步乘法计数原理知共有43种结果，D正确，C错误．题型三基本计数原理的综合应用例3(1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是()A．14B．23C．48D．120答案C解析分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法．所以不同的取法种数是8×6＝48.(2)(2023·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________．答案80解析5日至9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9，有3天是奇数日，2天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)用车方案，共计12＋8＝20(种)用车方案．根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.思维升华利用基本计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．跟踪训练3(1)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24B．14C．10D．9答案B解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12(种)选择方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理可知，共有12＋2＝14(种)选择方式．(2)如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为()A．480B．600C．720D．840答案C解析依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最后涂b有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(种)，若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e，b也各有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(种)，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(种)．课时精练1.小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A．9B．21C．12D．8答案D解析由图形可以看出，从A→B，可以分成两种情况，A→D→B或A→C→B，这两类方法中各自包含的单位时间内通过的信息量分别是5,3，根据分类加法计数原理可知，传递的最大信息量为5＋3＝8.2．(2023·济宁模拟)某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有()A．4种B．6种C．8种D．12种答案B解析根据题意得，分两步进行分析：①小明必选化学，则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有3×2＝6(种)．3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8答案D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把这四个数列顺序颠倒，又得到4个新数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．4．中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为()A．8B．10C．15D．20答案B解析由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一个位置有5种排列方法，不妨假设是金，则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放，有2种选择，不妨假设排的是水，则第三个位置只能排木，第四个位置只能排火，第五个位置只能排土，因此，总的排列方法种数为5×2×1×1×1＝10.5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有() A．360种B．50种C．60种D．90种答案B解析第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)；第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．6．(2023·宿州模拟)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为()A．12B．24C．36D．48答案C解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．7．用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成无重复数字的四位偶数的个数为()A．180B．240C．420 D.480答案C解析以末位数字进行分类：当末位数字为0时，共有6×5×4＝120(个)；当末位数字是2,4,6中的某个数时，共有3×5×5×4＝300(个)，故共有120＋300＝420(个)不同的数字．8．(多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是()A．选1人为负责人的选法种数为34B．每组选1名组长的选法种数为5400C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种答案AD解析对于A,4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选法共有34种，A对；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5040(种)，B错；对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法．所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，所以不同的选法有64－27＝37(种)，D对．9.如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．答案40解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形，共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形，共有8个．由分类加法计数原理可知，共有32＋8＝40(个)．10．(2023·保定模拟)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：数字123456789方式纵式横式用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，知“”表示的三位数为________；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．答案62114解析由题意，结合表格中的数据和图形，知“”表示的三位数为621；共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，①当个位数为5时，不符合题意；②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，若百位有1根，十位有4根，则共有1×2＝2(个)三位数；若百位有2根，十位有3根，则共有2×2＝4(个)三位数；若百位有3根，十位有2根，则共有2×2＝4(个)三位数；若百位有4根，十位有1根，则共有2×1＝2(个)三位数；若百位有5根，十位有0根，则共有2个三位数．所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14(个)三位数．11.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是()A．48B．54C．72D．108答案C解析设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区．第一步给①区涂色，有4种涂色方法．第二步给②区涂色，有3种涂色方法．第三步给③区涂色，有2种涂色方法．第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法．若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法．所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(种)涂色方法．12．(2022·怀化模拟)世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为________．答案64解析因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8×6＝48，因为16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8＋4＋2＋2＝16，因此比赛进行的总场数为48＋16＝64.13．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有() A．23种B．24种C．32种D．33种答案D解析不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E，可得G>A>B，且G，A，B 在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28(种)排法；(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类加法计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有28＋5＝33(种)．14．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时，各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是________．答案300解析第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理可知，值为1942的“简单的”有序数对的个数为2×10×5×3＝300.。
高三一轮复习数学计数原理复习教案
富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字： 年 月 日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理） 授课人：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．思维启迪：(1)根据甲品牌频数条形图计算寿命小于200小时的频率；(2)根据甲乙两品牌频数条形图求出使用了200小时的产品总数量和甲品牌使用了200小时的产品数量，并计算相应的频率．题型二：互斥事件的概率【例2】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．题型二：古典概型【例2】有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．思维启迪：确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式求解．题型三：古典概型的综合应用【例3】为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：一、知识梳理1. 几何概型2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A）=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积3．在切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点二、典型例题题型一：与长度有关的几何概型【例1】在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋3 4审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日。
计数原理学案、教学设计
基本计数原理学案一、学习目标：1、通过典型的、熟悉的实例归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
初步学会区分“分类”和“分步”；2、能够用两个计数原理解决简单的计数问题；3、通过例题体会用分步乘法计数原理时各个步骤的数量；4、通过实例体会分类与分步的基本思想及综合应用方法；二、学习重难点：重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
难点：正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确的区分“分类”和“分步”三、学习过程：（一）学习目标1：通过实例归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
情景引入：见课件：对两个情景的分析：情景2：小结：1、分类加法原理：2、分步乘法原理：（二）学习目标2：能够用两个计数原理解决简单的计数问题例1：一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书：（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上每层各取一本，有多少种不同的取法？变式：现有高一年级学生代表3名，高二年级学生代表6名，高三年级学生代表5名：（1）从中任选一人担任校学生会主席，共有多少种不同的选法？（2）从每个年级的代表中任选一人，由选出的三个人组成学生会主席团，共有多少种不同的选法？（三）学习目标3：通过例题体会用分步乘法计数原理时各个步骤的数量；例2 ：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？变式1、要把3个球放入2两个不同的口袋,有几种不同的放法?变式2、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？例3：用0、1、2、3这四个数字可以组成多少个：•（1）三位数•（2）无重复数字的三位数•（3）无重复数字的三位奇数变式：用0,1,2,3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：•（1）银行存折的四位密码？•（2）四位数？•（3）四位奇数？（四）学习目标4：通过实例体会分类与分步的基本思想及综合应用方法；例3：如图：从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地直接到达丙地有2条水路可走（1）从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？变式1：一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取两本不同的书，有多少种不同的取法？变式2：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。
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《计数原理》一轮复习学案2017.12
一．知识梳理
1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．
2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．
二．基础自测
1.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）.
2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不
同的分配方案有 种（用数字作答）．
3. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若
每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
4. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
5.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
三．典例剖析
例1. 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ),问:
(1)P 可表示平面上多少个不同的点?
(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)P 可表示多少个不在直线y =x 上的点?
1.(2016·深圳调研考试)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”
(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有( )
A ．18个
B ．15个
C ．12个
D ．9个
2. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
37
2
例2.现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
3.(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24 B ．18 C ．12 D ．9
4.有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一
人，且每人至多参加一项，则共有________种不同
的报名方法．
例3. 四种不同的颜色涂在如图所示的6
种不同涂色方法
5. 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有
种
例 4. 将一个四棱锥P 如果只有5
B
C
6. 四棱锥P ABCD ，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，有 种涂法
7. 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，
每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，
如果颜色可以反复使用，共有
种不同的涂色方法
8.(2016·大同质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形
A ，
B ，
C ，
D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )
A ．72种
B ．48种
C ．24种
D ．12种
课后巩固练习
1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
2.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）
A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．48种
3. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
4.(2016·山东济宁)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的同学，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )
A.484
B.472
C.252
D.232
5.(2016·四川成都第二次诊断)某微信群中甲，乙，丙，丁，戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(金额相同视为相同红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有( )
A.36种
B.24种
C.18种
D.9种
6.(2015·河南信阳)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( )
A.36 种
B.30种
C.24种
D.6种
B C
7.(2015郑州二模)某校开设A类选修课2门；B类选修课3门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有()
A.3种
B.6种
C.9种
D.18种
8.(2016·山东枣庄4月)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有________种(用数字作答)
9.(2016·广东肇庆)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答).
10.(2016·河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答).
11.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.
12.数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．。