第三章变额年金
复递增年金和每年支付m次的变额年金
nm
m
1
1
m 1[vm 1( 1 vm 1vn)]nm vnv1 m (1vm 1v)1vni (mn )ivn1
(Ia)(m) n
1
vn nivn1 ivi(m)
1vn nvn iv i(m)
a (1i) nvn a&&nvn
n i(m)
n
i(m)
(Is)(nm) (Ia)(nm)(1i)n-& s& n i(m )n
-
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示( Ia )(m ) ，且有
n
-
(Ia)(m) 1(vm 1vm 2Lv)2(v1m 1v1m 2Lv2)L
nm
m
n(vn1m 1vn1m 2Lvn) m
v(Ia)(m)1(v1m 1v1m 2Lv2)2(v2m 1v2m 2Lv3)L
nmபைடு நூலகம்
m
n(vnm 1vnm 2Lvn1) m
-
iv(Ia)(m)1(vm 1vm 2Lvv1m 1v1m 2Lvn)n(vnm 1vnm 2Lvn1)
-
• 若 i k ，则
PV n
-
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。
变额年金保险管理暂行办法
变额年金保险管理暂行办法第一章总则第一条变额年金保险，是指保单利益与连结的投资账户投资单位价格相关联，同时按照合同约定具有最低保单利益保证的人身保险。
变额年金保险应当约定年金给付保险责任，或提供满期保险金转换为年金的选择权。
年金给付应当在保单签发时确定领取标准，并不允许趸领。
年金选择权可以在保单签发时保证领取标准，或在满期保险金转换为年金时再确定年金的领取标准。
变额年金保险可以提供以下最低保单利益保证：（一）最低身故利益保证，是指被保险人身故时，若保单账户价值低于保单约定的最低身故金，受益人可以获得最低身故金；若保单账户价值高于最低身故金，受益人可以获得保单账户价值。
（二）最低满期利益保证，是指保险期间届满时，若保单账户价值低于保单约定的最低满期金，受益人可以获得最低满期金；若保单账户价值高于最低满期金，受益人可以获得保单账户价值。
（三）最低年金给付保证，是指在保单签发时确定最低年金领取标准。
（四）最低累积利益保证，是指在变额年金保险累积期内的当前资产评估日，若投资单位价格低于历史最高单位价格的约定比例，保单账户价值以历史最高投资单位价格的该比例计算；若投资单位价格高于历史最高投资单位价格的约定比例，保单账户价值以投资单位价格计算。
历史最高投资单位价格，是指账户设立以来的最高历史投资单位价格。
第二条本通知所称投资账户，是指保险公司依照《投资连结保险管理暂行办法》（保监发〔2000〕26号）和《投资连结保险精算规定》（保监寿险〔2007〕335号）设立、管理和评估的投资账户。
变额年金保险可以连结到一个或多个投资账户。
第三条变额年金保险保单应当具有保单账户价值。
保单账户价值为保单连结的投资账户单位数乘以投资单位价格。
在最低累积利益保证的情形下，若投资单位价格低于历史最高单位价格乘以约定比例，保单账户价值为保单连结的投资账户单位数乘以历史最高单位价格乘以约定比例。
变额年金保险保单连结多个投资账户的，保单账户价值应当将保单在各个投资账户中的价值加总计算。
第三章 确定年金讲义教材
(2-7A)
1 vn a=
nd
(2-8A)
1+d s =(1+i)n n
(2-7B)
(1 i)n 1
s=
n
d
(2-9A)
例3.3. 有一位40岁的工人打算通过在25年内每年 初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始， 此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试 确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实 质利率为8%，而此后仅为7%。
例3.4答案
（1）
Ra
300000
15120.465%
R2464
（2）
PV60
Ra 1200.465%
22621.504
或者
PV60
3000001.0046650
Rs 600.465%
22621.504
例3.5
• 假定现在起立即开始每6个月付款200直 到满4年，随后再每6个月付款100直到 从现在起满10年，若
a s vn
n|
n|
注3: 1ia vn n|
字面解释：考虑初始投资1，历时n个时期。在每个时 期，此投资1将产生在期末支付的利息i.这些利息
的现时值为 ia.在n | 第 n 个时期，原始投资的本金
1仍收回，它的现时值为Vn.这样，方程两边都表 示投资1在投资之日的现时值。
例3.1. 一辆新汽车的现金价为$10000，某顾客想 以月度转换18%利率的分期付款来购买此车，如果 它在四年内每月末付款$250，问现付款需为多少？
• 解：
n 4 1 2 4 8 ,i 1 8 % 0 .0 1 5 ,p m t 2 5 0 1 2
现 付 款 $ 1 0 0 0 02 5 0a n |
第三章变额年金(1)
mn v
n
令 R v 2v 3v
1 m
1 m
2 m
3 m
mn v n
在式两边同时乘以(1 i) ，则有
R(1 i) 1 2v 3v
R 1 i
1 m 1 2 1 1 v m v m
50 eu du
0
0.5
2 50 exp 0.1 t 0.06 t 0
0.5
2.68
25
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0， 结束时刻为b，计算在0点的现值：
方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
1 m
1 m
2 m
mnv
v
n 1 m
n
1 m
n ( m) n mn v ma mn v n
5
1 ( m) m R 1 i 1 man mn v n
上式两边同时乘以m，则有
( m) m2 an m2 n v n
a b t exp s ds rt exp s ds dt 0 a a
方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在
时刻零的现值：
t rt exp s ds dt a 0
b
26
例：一个连续支付现金流的支付率为 rt = 3 元，支付期限从 时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力t = 0.05，试计算 此现金流在时刻零的现值。 解： 改变对利息力积分的积分限，有：
经济衰退时变额年金对策研究
经济衰退时变额年金对策研究作者：侯婵指导老师：孙妍摘要中国保监会于2010年授权相关的寿险公司进行了变额年金的试点，因为变额年金能够同时满足投资者养老资金防通胀与安全性两方面的需求，发展势头迅猛，但同时，变额年金也因为产品形态复杂，资本市场的关联度较高且我国资本市场的不完善，而具有一定的风险。
正是因为变额年金本身的特点使其在经济衰退时呈现出一定的弱势，所以本文首先研究了变额年金的风险识别和对冲模式，同时应对我国的经济情况进行了分析，并考虑了经济衰退时变额年金的发展情况。
最后，结合我国现阶段的经济状况提出了相应的对策。
所以本文具有较强的实用性，希望能为变额年金的发展提供一定的参考。
关键词：变额年金; 风险对冲;产品分析;经济衰退对策AbstractThe CIRC authorized the life insurance company the amount of variable annuities experimental unit in 2010, because change forehead annuity could satisfy investors endowment funds against inflation and safety of both aspects of the demand, fast development situation, but at the same time, become the forehead annuity also because product form complex, capital market and higher degree of the capital market in China is not perfect, and has certain risks. It is for variable amount of pension itself characteristics in the recession has a certain vulnerable, so this paper first studied variable amount of pension risk identification and hedge mode, and reply to the economic analysis, and consider the economic recession amount of development of the time-varying pension. Finally, according to the current state of the economy and puts forward the countermeasures. So this paper has strong practicability, the hope can change the forehead annuity the development to provide certain reference.Key words: variable annuity; Risk hedge; Product analysis; Recession strategies目录一引言 (1)（一）研究背景及意义 (1)（二）国内外学者对该问题研究的主要文献综述 (2)（三）本文的基本思路和逻辑结构 (3)二变额年金传统定义和风险对冲模式 (3)（一）变额年金定义 (3)（二）变额年金风险识别及经济衰退时的表现 (4)（三）国外变额年金风险对冲模式 (8)三变额年金在国外市场的发展与我国市场分析 (9)（一）国外变额年金市场 (9)（二）变额年金在我国市场发展的分析 (9)（三）我国变额年金案例分析 (10)四变额年金经济衰退时对策研究 (13)（一）对变额年金的有序发展提出对策 (13)（二）对该对策的实用性分析 (16)五结论 (16)致谢 (17)参考文献 (18)一引言（一）研究背景及意义根据第六次全国人口普查的数据，我国60岁以上的老年人已经占到总人口的13%以上，65岁以上已经占到8.8%。
第三章 变额年金
1 (1 v n )(an 1| 1) i
n| an| a
16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
原年金已支付10次
1.089X
1.0810X
Y
1.0824X
……
价值方程 ( X = 54 ) 为： Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15) = 54(1.08)9· 15 由此可得：Y = 129.5
2
v
n 1
n (v n v n 1 v) = i
( Da) n
n an i
13
( Da)n|
n an| i
• 递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da)n| (1 i)n n an| i n(1 i)n sn| i
)n| = (1 + i)(Da)n| (Da
=
n an | d
)n| = (1 i) ( Da )n| ( Ds
n
n(1 i)n sn| d
14
• 例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直
(3)变额年金
until 25 payments in total are made.
Solution ：
( Ia)10| 10v a15|
10
10 25
0 次数：
1
2
金额：
1
2
10
10
17
3、复递增年金 （compound increasing annuity）
含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年末支付(1+r)n-1。
其中 j i r 0.04 0.05 0.0095
1 r 1 0.05
因此该项年金的现值为：
-10 1 1 1 （ 1 0.0095） 1000 a10 6% 1000 10040.94 1.05 1.05 0.0095
21
期初付复递增年金(compound increasing annuity-due) ： 假设一项年金在第1年初支付1元，此后给付金额按复利增 n 1 (1 r ) 长，直到第 n 年初支付金额为 元。
1 v i
v)
=
n an i
13
( Da) n|
n an| i
递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da) n| (1 i) n n an| i n(1 i)n sn| i
( D a)n| = (1 + i)( Da)n|
1 (1+r) (1+r)2 (1+r)n-1
可以把变额年金保险简单理解为变额年金保险=投资连结保险 最低
2011年5月10日【保監會】中國保監會人身保險監管部負責人就變額年金保險試點答記者問中國保監會近日發佈了《關於開展變額年金保險試點的通知》和《變額年金保險管理暫行辦法》，開始推動變額年金保險試點。
中國保監會人身保險監管部負責人回答了記者的有關問題。
問：什麼是變額年金保險？具有什麼特點？答：變額年金保險，是指包含保險保障功能，保單利益與連結的投資帳戶投資單位價格相關聯，同時按照保單約定具有最低保單利益保證的人身保險產品。
可以把變額年金保險簡單理解為：變額年金保險＝投資連結保險＋最低保證＋年金化支付具備以下特點：1、由保險公司設立獨立帳戶，與其他資產隔離，以確保核算清晰，不侵佔、損害被保險人利益。
2、投資收益完全歸屬于被保險人，保險公司只按保單約定收取各項費用。
3、投資帳戶價格定期公佈，以方便被保險人查詢，透明度很高。
4、可提供最低保單利益保證。
為以下4種之一：最低身故利益保證、最低滿期利益保證、最低年金給付保證和最低累積利益保證。
以最低滿期利益保證為例，即保單滿期時，被保險人可以獲得當時帳戶價值與約定的最低滿期金的較大者。
對於另外一些風險程度較高的最低保單利益保證，如最低退保利益保證，從控制風險角度出發，目前暫不開展試點。
5、提供年金給付方式或年金轉換權。
以最低滿期保證為例，滿期時，被保險人可按當時的帳戶價值與最低保證的較大者轉換為未來每年能領取的年金。
6、保險保障風險完全由保險公司承擔，且保險公司承擔提供最低保證帶來的投資風險。
高於最低保證以上部分的投資風險由被保險人承擔。
問：請簡要介紹變額年金保險在國際上發展的情況。
答：變額年金保險在歐美保險市場是一款主流產品，最早出現於二十世紀五十年代，九十年代後由於風險對沖技術的發展和各類最低保證的相繼出現，開始快速發展。
在金融危機前的2007年，美國變額年金保險保費收入為1700億元美元，約占年金保險市場的68.5%，占人身險市場的20%，總資產餘額約1.5萬億美元。
新利息理论教案第3章
新利息理论教案第3章第3章：变额年金本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。
本章将讨论年金不相等的情况。
如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。
但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。
第3.1节：递减年金本节内容：3.1.1期末交递减年金假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。
一、年金现值(ia)nn(ia)如果用(ia)n表示其现值，则有v2v23v3...nvn（1）公式推论过程：上式两边同乘（1+i）(1?i)(ia)?1?2v?3v2?...?nvn?1n用第二式减去第一式i(ia)?(1?v?v2?v3?...?vn?1)?nvnnannvn所以：(ia)?ann?nvni（2）公式的另一种推论思路（略）二、年金终值(is)nnnii三、例题基准1、一项20年期的递减年金，在第1年末缴付65元，第2年末缴付70元，第3年末缴付75元，以此类推，最后一次缴付出现在第20年末，假设年实际利率为6%，谋此项年金在时刻零的现值。
解：最后一次支付的金额应该为65?19?5?160元。
将此年金分解成一项每1(is)?(1?i)(ia)n?sn?n?sn?1?(n?1)年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。
这时：基准2、一项递减年金，第1年末缴付300元，第2年末缴付320元，第3年末缴付340元，以此类推，直至最后一次缴付600元，假设年实际利率为5%，先行排序此项年金在最后一次缴付时刻的终值。
20上述年金的现值为：60a20?5(ia)?1181.70解：支付金额每次递增20元，因为600?300?15?20，所以一共支付了16次。
最后一次支付发生在第16年末。
将此年金分解成一项每年末缴付280元的等额年金和一项第1年末缴付20，每年递减20元的递减年金。
(3)变额年金-2
(1.061837) 2 − 1 = 2.124948 0.06
( Is ) 2 =
2.124948 − 2 = 2.082467 0.06
⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.06×(7 − 2) = ⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• 因此，本例年金的终值为：
0.5 0
=
∫ (10t + 3) exp ⎡ −(0.1t ⎣
0
2
+ 0.06t ) ⎤dt ⎦
77
= 2.68
78
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0，结束时刻为b，计算在0点的现值： 方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
⎡ a ⎤ b ⎡ t ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣ 0 ⎦ a ⎣ a ⎦
81 82
因此上述现金流在时刻零的现值为：
10.88 × 0.90484 = 9.84
3
a 0
t
1
b
c
为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一 时点 c，有两种方法：
方法一：利用前面的公式计算此现金流在时刻b的终 值，再将此值累积到时刻c。
⎡c ⎤ b ⎡b ⎤ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣b ⎦ a ⎣t ⎦
上式右边可用分部积分法展开：
6、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）
（continuously increasing annuity） 假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为δ，则连续支付 连续递增年金的现值为：
变额年金保险产品浅析
变额年金保险产品浅析近期，保监会正式下发《变额年金保险管理暂行办法》（保监发[2011]25号）（以下简称《办法》）和《关于开展变额年金试点的通知》（保监寿险[2011]624号）（以下简称《通知》），标志着国内变额年金保险产品试点工作正式开展。
一、变额年金的特点所谓变额年金保险，是指包含保险保障功能，保单利益与连结的投资账户投资单位价格相关联，同时按照保单约定具有最低保单利益保证的人身保险产品。
变额年金保险应当约定年金给付保险责任，或提供满期保险金转化为年金的选择权。
可以把变额年金保险简单理解为：“变额年金保险＝投资连结保险＋最低保证＋年金化支付”。
国内即将推出的变额年金保险可以提供四种保证：（1）最低身故利益保证（GMDB），是指被保险人身故时，受益人可以获得保单账户价值与保单约定的最低身故金的较大者。
（2）最低满期利益保证（GMMB），是指保险期间届满时，投保人可以获得保单账户价值和保单约定的最低满期金的较大者。
（3）最低年金给付保证（GMIB），是指在保单签发时确定最低年金领取标准。
（4）最低累积利益保证（GMAB），是指在变额年金保险累积期内的当前资产评估日，保单账户价值按投资单位价格和历史最高单位价格的约定比例的较大者计算。
二、变额年金保险在海外发展情况变额年金保险最早出现于二十世纪五十年代的美国，上世纪九十年代之后，其在美国及其他地区开始快速发展。
在金融危机前，2007年，美国变额年金保险保费收入为1700亿美元，约占年金保险市场的68.5%，占人身险市场的20%，总资产余额约1.5万亿美元。
在金融危机中，该产品受到了一定程度的冲击，但仍然是美国市场的主流产品。
2009年，变额年金保险在美国年金市场占比仍接近50%。
变额年金保险的出现，一是保险公司适应市场利率和资本市场变化的结果；二是给客户提供充分参与资本市场收益的机会，并降低风险；三是满足客户养老和避税的需求。
在日本，变额年金保险于1999年由ING率先引入，随后，AIG、SONY LIFE等几家公司也开始在传统销售渠道销售该类产品，但效果不甚理想。
第3章 年金
第3章年金年金是指每隔相等的时间间隔进行的一系列收、付款行为。
例如：房屋租赁、养老金的缴纳与提取等。
在我国，年金就是指养老金。
3.1年金的定义及其分类定义1 年金（annuity）一般是指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为。
分期偿还贷款、发放养老金、支付租金、提取折旧等都属于年金收付形式。
年金最原始的含义是指一年收款一次，每次支付相等金额的一系列款项。
但现在，年金的含义得到了推广，每月支付一次、每季度支付一次或每周支付一次的都被看做年金。
年金按照不同的分类方式，就具有不同的类型。
（1）按照支付金额和支付时间是否确定，可以分为确定年金和风险年金。
（2）按照付款周期与利息换算周期是否一致，可以分为基本年金和广义年金。
（3）按照每次收付款项发生的时间点不同，可以分为期末年金、期初年金、递延年金和永久年金。
（4）按照每次付款金额是否相等，可以分为等额年金和变额。
3.2基本年金所谓基本年金是指付款周期与利息换算周期相同的年金。
基本年金有四种基本类型，即期末年金、期初年金、递延年金和永久年金。
3.2.1期末年金定义2 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行，则称这种年金为期末年金，有时也叫后付年金。
推导期末年金的终值公式以银行的零存整取为例，推导现值公式则以银行按揭贷款为例进行推导。
所谓零存整取，是银行和储户约定在每月的某个日期定期存入一笔相同的款项，在存款期满按规定利率计算利息的定期储蓄方式。
n期，每期利率问题1：每期存款A，共存i，则n期期末的终值F为多少？为解：第1期期末存入款A，n期期末时为1-)1(n i A +； 第2期期末存入款A ，n 期期末时为2-)1(n i A +；第3期期末存入款A ，n 期期末时为3-)1(n i A +；以此类推，第n 期期末存入款A ，n 期期末时为A 。
所以，A i A i A i A F n n n +++++++= 3-2-1-)1()1()1( ii A i i A n n ]1)1[(])1(1[-+=-+-=。
变额年金
什么是变额年金保险根据保险合同的规定,年金领取人每期领取的年金数额随着帐户投资业绩的变化而变化的年金保险.变额年金保险为年金与变额保险特性相结合之商品，保单的现金价值以及年金给付额度都随著投资绩效好坏而变动。
在通货膨胀时期，由于物价上涨使定额年金的货币购买力下降，为了对付通货膨胀，变额年金在20世纪50年代应运而生。
这是一种保险公司把收取的保险费计入特别账户，主要投资于公开交易的证券，并且将投资红利分配给参加年金的投保者，保险购买者承担投资风险，保险公司承担死亡率和费用率的变动风险。
对投保人来说，购买这种保险产品，一方面可以获得保障功能，另一方面可以以承担高风险为代价得到高保额的返还金。
因此购买变额年金类似于参加共同基金类型的投资，如今保险公司还向参加者提供多种投资的选择权。
由此可见，购买变额年金保险主要可以看做是一种投资。
在风险波动较大的经济环境中，人寿保险市场的需求重点在于保值以及与其他金融商品的比较利益。
变额年金保险提供的年金直接随资产的投资结果而变化。
变额年金保险，是专门为了对付通货膨胀，为投保者提供一种能得到稳定的货币购买力而设计的保险产品形式。
[编辑]变额年金保险的特色1、保户可自由选择投资工具。
2、提供高报酬率可能性与自负投资风险。
3、保费另设分离帐户免于保险公司债权人追偿。
4、变额年金保证最低死亡给付。
所谓投资连结保险，其正式名字是“变额寿险”。
顾名思义，投连险最大的特点就是身故保险金和现金价值是可变的。
投连险是一种新形式的终身寿险产品，它集保障和投资于一体。
保障主要体现在被保险人保险期间意外身故，会获取保险公司支付的身故保障金，同时通过投连附加险的形式也可以使用户获得重大疾病等其他方面的保障。
投资方面是指保险公司使用投保人支付的保费进行投资，获得收益。
投连险的费用主要包括初始保费、风险保险费、帐户转换费用、投资单位买卖差价、资产管理费、部分支取和退保手续费等，根据产品的不同上述费用的收取也存在差异，一般头几年的费用较高，适合于长线的理财规划。
变额年金险-精选文档
为孩子累计教育资金。
中产以上家庭适合投保
对养老金有一定规划的人群,补充部分养老金
使激进型投资者实现部分资产保本,优化资产配置
2019/2/15
8
刘先生45岁时投保“保得盈”变额年金险1,000,000元
2019/2/15
9
Байду номын сангаас019/2/15
10
高流动性
在投保期间可以随时领取个人账户余额，并且享有更低的退保手续费。
人身险
意外身故1-2倍偿还个人账户价值，最高可达百万元。
年金转换权 合同满期时，可自动转为年金
2019/2/15 5
市场覆盖广，对冲机制 丰富
变额年金保险在国外市场 覆盖率很高，截止2019年，美 国变额年金保费收入达1700亿 美元，约占年金保险市场的 68.5%，总资产余额1.5万亿美 元。日本变额年金险余额达 16.5万亿日元，占个人养老市 场的70%。 海外保险公司运用大量金融 衍生品对冲风险。如看空期权、 金融期货、利率掉期等。
产品种类较少，内部对冲 为主 “步步稳赢”月销售额达 4600万，“保得盈”40天销 售额超3000万。华泰保险公 司的变额年金产品也即将面 市。 在风险对冲上，国内保险 公司主要采取”内部对冲法 和“CPII”法，目前上不能 进行衍生品对冲。
市场规模逐步扩大，风险管理 机制逐步完善。 随着中国老龄化的加剧, CPI 高位难降，变额年金险的需求 将逐年增加。 随着中国金融市场的逐步完 地方 善，金融管制的逐步放松，越 来越多的金融衍生品将被允许 使用。证监会表示，在未来的 一年中，中国将首次推出国债 期货及期权产品，中国金融衍 生品市场即将建立，变额年金 险的投资尺度和风险对冲将被 加强
第三章变额年金1
P＋(n-1)Q
n
A P aQ v(Ia )
n
n 1
12
例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款 为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。 如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？
解：这项年金可以表示为一项等额年金（每年末付款900 元）和100项递增年金的和，即
1(uu2u3 un)1a
1e
1enj
其中 u 1
1 j
j 1 1 i e u 1e
注：若 e = i, 则现值为n/(1+e)
33
例：小王拥有一项10年期期末付的复递增年金，第一年末 付1000元，此后的给付金额按5％的复利递增，假设年实 际利率为11.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。
8
将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为
(I)a n | a n | va n 1 | v n 1a 1 |
1vnv1vn1 vn11v
i
i
i
1vnvvn vn1vn
ii
i
1vv2 vn1nvn i
an| nvn i
9
根据现值求得其累积值为
a nvn
(Ia) n|
n|
i
(Is) (1i)n(Ia ) (1i)na nn vn
1 .0 5 0 .0 6
35
期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此 后给付金额按复利增长，直到第 n 年初给付金额为 (1 e)n1 元。
36
此项年金的现值表达式： 1 ( 1 e ) v ( 1 e ) 2 v 2 ( 1 e ) n 1 v n 1
令 u(1e)v ，可将上式化简为：
等差变额年金法的计算公式
等差变额年金法的计算公式等差变额年金法的计算公式为：该式为等差变额年金法第1期租金的计算公式。
公式中的d 表示每期租金比前1期增加(或减少)的常数。
当d>0时，是等差递增变额年金法；当d<O 时，是等差递减变额年金法；当d=0时，是等额年金法。
事实上，等额年金法可以看做是等差变额年金法的特例。
根据第l 期租金，可求出其余各期租金和租金总额。
变额年金法的分类及计算[1]变额年金法分为等差变额年金法和等比变额年金法。
①等差变额年金法。
在这种方法下，每期租金都比前一期增加一个常数d 。
其公式是：式中：R 1真为第一期期末支付的租金；d 为常数。
根据定义：R 2 = R 1 + dR 3 = R 1 + 2d……R n = R 1 + (n - 1)d将上面R 1,R 2,R 3……R n 的内容代入……得：……………………所以：如果d > 0，则后一期租金比前一期租金增加一个正数，称为等差递增变额年金法。
如果d < 0，则后一期租金比前一期租金增加一个负数，称为等差递减变额年金法。
如果d＝0，则为等额年金法，因此，等额年金法是变额年金法的特例。
②等比变额年金法。
在这种方法下，每期租金与前一期租金的比值总是一个常数q。
公式如下：为第一期期末支付的租金额；q为常数。
式中：R1公式可推导如下：……把上式代入等式……得：…………所以，或者如果q > 1，则为等比递增变额年金法。
如果q < 1，则为等比递减变额年金法。
如果q = 1，则为等额年金法。
由此我们可以看出，使用变额年金法，每次支付租金的金额不同，有时递增、有时递减；此法符合收益与成本相配比的原则；d与q的大小难以确定，而且d、q越大，租金增额越多。
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1 1
j
a nj
其中
(1 r)v
1 1
j
(1 r)(1
j
i 1
r r
j)
(1 i)
19
• 期末付复递增年金的现值：
PV末
PV初 1+i
a nj
1 i
ir 其中 j
1 r
20
• 例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给 付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这 项年金在时刻零的现值。
1250 = 25X/1.08
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
1.089X
原年金已支付10次
1.0810X
Y
……
1.0824X
价值方程 ( X = 54 ) 为：
Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15)
• 上式两边乘以(1 + i)：
(1 i)(Ia) 1 2v 3v2 nvn1 n|
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
3
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
•
a nvn n|
i i(m)
(Ia) n
关系：
(Ia)(m) n
i i(m)
(Ia) n
(Is)(m) n
(Ia)(m) n
(Is)(m) n 31
• 每年支付 m 次的递增年金(mthly increasing mthly annuity)：同一年的每次付款递增
两种方法计算现值： （1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。 （2）建立新公式（略）
现值
a nvn
(Ia) (1 i)(Ia) n
n
n
d
累积值
(I s) = (1 + i)(Is)
n
n
s n n
d
7
递增永续年金(increasing perpetuity)
• 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
a nvn
(Ia) |
lim(Ia)
n
n|
2|
i(4)
2
34
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0
1
2
100 200
300 400 500 600
700 800
a 8(1 j)8
100 (I a) 100 8 j
3148.8
8j
j
(1 j)4 110%
35
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) a(m) n (n 1)v (n 2)v2 vn1
2
1、递增年金（increasing annuity）
• 期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支 付n元。按算术级数递增。
• 用 (Ia)n| 表示其现值： (Ia)n| v 2v2 3v3 nvn
(I a) vn (Da)
n|
n1|
15
(I a)n| vn (Da)n1|
a nvn (n 1) a
n|
+vn
n1|
i
i
1 (a 1 nvn nvn vn vna )
i n1|
n1|
1(a vna 1 vn)
i n1|
n1|
现值： (Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
1 v (Ia) 1 v (1 i) (Ia)
i(m)
i n
(m)
n
(Ia)(m) n
lim n
n|
i
1 di
a nvn
(Ia) lim(Ia) lim n |
| n
n | n
d
1 d2
lim nvn lim n 0
• 在计算上述极限时，n
n (1 i)n
8
• 例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年 增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利 率为5%，这项年金的现值应该是多少？
• 递增年金的现值：
a nvn
(Ia) n
n
i
4
• 例：证明下列关系式成立：
a (n 1)vn
（1）
(Ia) n1 | n|
i
（2）
a nvn
(Ia) a n|
n|
n|
i
a nvn
已知： (Ia) n|
n|
i
5
例：写出下述年金的现值公式
P P＋Q P＋2Q
• 含义：连续支付，但支付金额离散变化。 – 连续支付的递增年金 – 连续支付的递减年金
• 假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…， 第n 年连续支付 n 元，如下图所示：
38
• 连续支付的递增年金的现值：
(I a) = lim(Ia)(m) lim i (Ia) = i (Ia)
n m
0123
……
P＋(n-2)Q
……
n-1
P＋(n-1)Q
n
设A表示此年金的现值，则
A P a Q v (Ia)
n
n1
6
• 根据现值求得其累积值为
a nvn
(Ia) n|
n|
i
(Is)
(1 i)n (Ia)
(1 i)n
a n
nvn
n
n
i
s n n
i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
32
应用递增年金公式计算现值：
I (m)a (m) 1 Ia , (1 j)m 1 i
n
m2
nm j
33
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0
1
2
100 100
100 100 200 200
200 200
400 (I a)(4) 400 i (I a)
1 (1 vn )(a 1)
i
n1|
a a n| n| 16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuity-
immediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
• 如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下 述两种情况：
– 同一年的每次付款相同（每年递增一次）： increasing mthly annuity
– 同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一 次）：mthly increasing mthly annuity （略）
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity)： 同一年的每次付款相同
时期
0 1 2 3 … n –1 n
递减年 金
等 额 年 金
n n –1 n –2 … 2
1 1 1…1 1 1 1…1 1 1 1… ……… 111 11
1 1
12
• 递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，
即：
(Da) a a a
n
n
n1
1
1 vn 1 vn1
1 v
23
Exercise
• A perpetuity-immediate pays 100 per year. • Immediately after the fifth payment, the perpetuity is
exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. • Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. • The annual effective rate of interest is 8%. • Calculate Y.
= 54(1.08)9·15
注：v = 1.08-1
由此可得：Y = 129.5
26
回顾与展望（算数级数递增或递减）
a nvn
(Ia) n
n
i
na
(Da)
n
n
i
1年 支付1次
1年 支付m次
连续支付， 离散变化
连续支付， 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)