第三章变额年金

n|
n|
na
=
n|
d
(Ds) n|
= (1 i)n (Da) n|
n(1 i)n s

n|
d
14
• 例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直
至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一
年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为
a a n| n|
1
2
n
n-1
1
0123
……
P＋(n-2)Q
……
n-1
P＋(n-1)Q
n
设A表示此年金的现值，则
A P a Q v (Ia)
n
n1
6
• 根据现值求得其累积值为
a nvn
(Ia) n|
n|
i
(Is)
(1 i)n (Ia)
(1 i)n
a n
nvn
n
n
i
s n n
i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
• 含义：连续支付，但支付金额离散变化。 – 连续支付的递增年金 – 连续支付的递减年金
• 假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…， 第n 年连续支付 n 元，如下图所示：
38
• 连续支付的递增年金的现值：
(I a) = lim(Ia)(m) lim i (Ia) = i (Ia)
n m

i i(m)
(Ia) n
关系：
(Ia)(m) n

i i(m)
(Ia) n
(Is)(m) n
(Ia)(m) n
(Is)(m) n 31
• 每年支付 m 次的递增年金(mthly increasing mthly annuity)：同一年的每次付款递增
两种方法计算现值： （1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。 （2）建立新公式（略）
lim n
n|
i
1 di
a nvn
(Ia) lim(Ia) lim n |
| n
n | n
d

1 d2
lim nvn lim n 0
• 在计算上述极限时，n
n (1 i)n
8
• 例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年 增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利 率为5%，这项年金的现值应该是多少？
32
应用递增年金公式计算现值：
I (m)a (m) 1 Ia , (1 j)m 1 i
n
m2
nm j
33
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0
1
2
100 100
100 100 200 200
200 200
400 (I a)(4) 400 i (I a)
23
Exercise
• A perpetuity-immediate pays 100 per year. • Immediately after the fifth payment, the perpetuity is
exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. • Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. • The annual effective rate of interest is 8%. • Calculate Y.
现值
a nvn
(Ia) (1 i)(Ia) n
n
n
d
累积值
(I s) = (1 + i)(Is)
n
n
s n n
d
7
递增永续年金(increasing perpetuity)
• 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
a nvn
(Ia) |

lim(Ia)
n
n|
2
1、递增年金（increasing annuity）
• 期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支 付n元。按算术级数递增。
• 用 (Ia)n| 表示其现值： (Ia)n| v 2v2 3v3 nvn
PV初 1 (1 r)v (1 r)2v2 (1 r)n1vn1
18
PV初 1 (1 r)v (1 r)2v2 (1 r)n1vn1
•
令
(1 r)v 1 1 j
， 则：
2
n1
PV初
1
1 1
j

1

1

j




(I a) vn (Da)
n|
n1|
15
(I a)n| vn (Da)n1|
a nvn (n 1) a
n|
+vn
n1|
i
i
1 (a 1 nvn nvn vn vna )
i n1|
n1|
1(a vna 1 vn)
i n1|
n1|
n
1
1 v
1 v
(Da) (1 i) (Da)
i(m)
i n
(m)
n
(Da)(m) i (Da)
n
i(m)
n
36
关系：
(Da)(m) n

i i(m)
(Da) n
(Ds)(m) n
(Da)(m) n
(Ds)(m) n 37
5、连续支付的变额年金
(continuously payable varying annuity)
1 (1 vn )(a 1)
i
n1|
a a n| n| 16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuity-
immediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
时期
0 1 2 3 … n –1 n
递减年 金
等 额 年 金
n n –1 n –2 … 2
1 1 1…1 1 1 1…1 1 1 1… ……… 111 11
1 1
12
• 递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，
即：
(Da) a a a
n
n
n1
1
1 vn 1 vn1
1 v
现值： (Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
1 v (Ia) 1 v (1 i) (Ia)
i(m)
i n
(m)
n
(Ia)(m) n
变额年金
主要内容
• 递增年金（离散支付，离散递增） • 递减年金（离散支付，离散递减） • 复递增年金：按几何级数递增的年金 • 每年支付 m 次的递增年金（递减年金，略） • 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） • 连续支付、连续递增（或递减）的年金 • 一般形式的连续支付、连续变额现金流
• 上式两边乘以(1 + i)：
(1 i)(Ia) 1 2v 3v2 nvn1 n|
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
3
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
•
a nvn n|
1 1
j

a nj
其中
(1 r)v

1 1
j

(1 r)(1


j

i 1
r r
j)

(1 i)
19
• 期末付复递增年金的现值：
PV末

PV初 1+i
a nj
1 i
ir 其中 j
1 r
20
• 例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给 付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这 项年金在时刻零的现值。
1.04
1.04 j / (1 j)
22
例
• 年金的年增长率 r 与年实际利率 i 相等，即 j = 0. 请 计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？
• 解： 期初付 = n 期末付 = n/(1+i)
PV初 1 (1 r)v (1 r)2v2 (1 r)n1vn1
• 递增年金的现值：
a nvn
(Ia) n
n
i
4
• 例：证明下列关系式成立：
a (n 1)vn
（1）
(Ia) n1 | n|
i
（2）
a nvn
(Ia) a n|
n|
n|
i
a nvn
已知： (Ia) n|
n|
i
5
例：写出下述年金的现值公式
P P＋Q P＋2Q
• 解：年金分解如下：
1000
1100
1800
1900
900
900
100
200
900
900
900
1000
900a 100(I a) = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 (元)
10|
10|
9
2、递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate)：第一期末 支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
24
第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250
100
100
100
100
第一次替换后的递增年金：25次付款
100
100
X
1.08X
1.082X
1.083X
1.0824X
由于利率i ＝0.08，与年金增长率相等，故上述递增年金 的现值为：
PV = X ·n/(1 + i) = 25X/1.08
= 54(1.08)9·15
注：v = 1.08-1
由此可得：Y = 129.5
26
回顾与展望（算数级数递增或递减）
a nvn
(Ia) n
n
i
na
(Da)
n
n
i
1年 支付1次
1年 支付m次
连续支付， 离散变化
连续支付， 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)
1250 = 25X/1.08
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
1.089X
原年金已支付10次
1.0810X
Y
……
1.0824X
价值方程 ( X = 54 ) 为：
Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15)
• 解：年金的现金流如下：
21
a
a
• 现值： 1000 n j 1000 10 j
1 i
1.04
•
其中
j i r 0.04 0.05 0.009524 1 r 1 0.05
• 现值：
a 1000 10 j 1000
1
1（1 j）10 10042.29
• 如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下 述两种情况：
– 同一年的每次付款相同（每年递增一次）： increasing mthly annuity
– 同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一 次）：mthly increasing mthly annuity （略）
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity)： 同一年的每次付款相同
n
i m (m)
n
n
(I a) i (Ia)
n
n
39
• 例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续 支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支 付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。
2|
i(4)
2
34
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0
1
2
100 200
300 400 500 600
700 800
a 8(1 j)8
100 (I a) 100 8 j
3148.8
8j
j
(1 j)4 110%
35
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) a(m) n (n 1)v (n 2)v2 vn1



i
i
i
n (vn vn1 v) =
i
na
(Da) n
n
i
13
na
(Da)
n|
n|
i
• 递减年金的其他公式：
n a n(1 i)n s
(Ds) (1 i)n (Da) (1 i)n n|
n|
n|
n|
i
i
Baidu Nhomakorabea
(Da) = (1 + i)(Da)