古希腊数学(雅典时期)
古希腊数学
古代希腊数学1.古希腊数学的时间希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间2. 古希腊数学的三个阶段古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替3.爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖数学贡献：论证数学的开创者证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分”2、“等腰三角形两底角相等”3、“两相交直线形成的对顶角相等”4、“两角夹一边分别相等的三角形全等”泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角4.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560-前480）数的理论：万物皆数自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）形数（完全三角形数、正方形数）不可公度几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。
毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正方形之和。
（数学中第一个真正重要的定理。
）五角星形与黄金分割立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
5.伊利亚学派芝诺（约公元前490-约前425年）芝诺悖论：两分法，及运动不存在阿基里斯追不上乌龟飞箭不动6.诡辩学派希比亚斯、安提丰古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。
化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
7.柏拉图学派柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者8.亚里士多德学派亚里士多德（前384—前322年）亚里士多德三段论、建立了形式逻辑、矛盾律、排中律9.欧几里得（约公元前330年—前275年）与《几何原本》《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基。
《雅典学院》中的数学文化
《雅典学院》中的数学文化在雅典学院中，数学的研究主要集中在几何学，这是因为古希腊人认为几何是一种精确的学科，可以用来研究自然现象和人类生活中的各种问题。
在雅典学院中，数学家们通过推演和演绎的方法，发展了很多几何学的基本理论，为后世的数学研究奠定了基础。
在雅典学院中，最著名的数学家之一就是欧几里德。
欧几里德是古希腊数学发展的重要人物，他在几何学领域有着深远的影响。
他所著的《几何原本》是古代最重要的几何学著作之一，其中包含了许多几何学的基本定理和推理方法，被后人誉为几何学的圣经。
欧几里德通过逻辑推理和严密的证明，建立了几何学的基础体系，为后世的数学研究提供了重要参考。
此外，在雅典学院中还有其他许多重要的数学家，如毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德等，他们都对数学领域的发展做出了重要的贡献。
毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，提出了著名的毕达哥拉斯定理，对三角学的发展有着重要影响；柏拉图通过对数学的研究，提出了“数学世界观”的理论，认为数学是揭示世界本质的最高形式；亚里士多德则是通过对逻辑学和数学的研究，建立了逻辑学的基础，为后世哲学和数学的发展提供了理论支持。
雅典学院中的数学文化不仅仅局限于理论研究，更体现在实践应用中。
在古希腊时期，数学被广泛运用于建筑、军事和天文领域，为古希腊文明的发展做出了重要贡献。
在建筑方面，古希腊建筑师运用几何学知识，设计了许多优美的建筑作品，如帕台农神庙、雅典卫城等，这些建筑物不仅体现了古希腊人的审美观念，也展现了他们对数学的精湛掌握；在军事方面，古希腊将数学运用于军事战略和战术，比如毕达哥拉斯定理被应用于军事测量和导航中，为古希腊的军事征战提供了技术支持；在天文领域，古希腊人通过数学方法，研究了行星运动规律和恒星位置变化等问题，为后世天文学的发展奠定了基础。
总的来说，雅典学院中的数学文化是古代希腊文明的重要组成部分，数学家们通过对几何学和数学的研究，建立了重要的数学理论和方法，为后世的数学研究提供了宝贵的经验和启示。
数学史前两个时期
一、数学的起源与早期发展（公元前6世纪前）1.数与形概念的产生人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。
原始人在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼在数量上的差异，然后通过比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一棵树……之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。
同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应。
这种为一定物群所共有的抽象性质，就是数。
当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的。
最早可能是手指计数，当指头不敷运用时，就出现了石子记数，结绳记数和刻痕记数。
与算数的产生相仿，最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的。
史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作，建筑设计及绘画装饰中加以再现。
古埃及及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，古印度几何学的起源于宗教密切相关，古代中国几何学起源更多与天文观测相联系。
2.河谷文明与早期数学1)纸草书上的数学——古埃及公元前3500—前3000年诞生一个美丽富饶而强大的王国——埃及。
大约在公元前2900年，埃及王国统治者修建了闻名至今，被称为世界七大奇迹之一的胡夫大金字塔，原高146.6米，基底正方形的边长是230.4米，而且底边的相对误差不超过14000分之一，基底的直角相对误差不超过27000分之一，成为法国埃菲尔铁塔（约320米高）落成以前几千年中世界上最高的建筑物。
“莫斯科纸草书”（约公元前1850年所写）是1893年由俄罗斯收藏家格列尼切夫获得，1912年转为莫斯科博物馆保存，这本书上面记载有25个问题，由于卷首失落而不知其书名和作者。
“伦敦本”或“莱茵德纸草书”或“阿默士纸草书”（作者是埃及僧人阿默士，约公元前1700年）是1858年由苏格兰埃及考古学者莱茵德在埃及发现，现存英国博物馆。
第二章 古代希腊数学
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强 了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。
（一）三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是： ⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 ⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 ⊙三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳 卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著 作的评注者主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯 学派。
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达 哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定 理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方 法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch, 约46-120）的面积剖分法。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历 埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊 (Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并 在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。 这是一个宗教式的组织。
相传“哲学”（希腊原词φιλοσοφια意为“智力爱好”）和数学 （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕 达哥拉斯本人所创。
''
用 DA 和 A B 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置， 那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。
希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊 民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派 林立，主要有： ●伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝 诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。 ●诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代 表人 物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安 提丰（Antiphon,约公元前480-411）等，均以雄辩著称。 ●雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前 347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典 创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。 ●亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
数学史古希腊数学
几何《原本》第十二卷
▪ 第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。 并用穷竭法加以证明。
▪ 命题5 等高三棱锥之比等于它们底之比。 ▪ 命题7 三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。 ▪ 命题10 圆锥是同底等高圆柱的三分之一。
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
(完整版)数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
外国数学历史
古代埃及数学 (Ancient Egyptian Mathematics)非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。
在公元前3500-3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。
目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书，又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。
阿梅斯纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。
古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位值制，而分数还有一套专门的记法。
由埃及数系建立起来的算术具有加法特征，其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。
古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为1的分数之和)，在阿梅斯纸草书中，有很大一张分数表，把分数表示成单位分数之和。
古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。
如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。
一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。
大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。
埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。
其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。
至于在建造金字塔和神殿过程中，大量运用数学知识的事实表明，埃及人已积累了许多实用知识，而有待于上升为系统的理论。
印度数学 (Hindu Mathematics)印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。
但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。
希腊古典时期的数学公元前6世纪-公元前3世纪
希腊古典时期的数学（公元前6世纪-公元前3世纪）这一时期始于泰勒斯（thales）为首的伊奥尼亚学派（ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
稍后有毕达哥拉斯（pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
希腊化时期（公元前4世纪末——公元1世纪）希腊化时期，马其顿国王亚历山大大帝东征(公元前334-前323年)率军先后征服了希腊、小亚细亚、叙利亚、埃及和印度（部分地区）等地区，建立了一个横跨欧、亚、非三大洲的庞大军事帝国。
随着帝国的不断扩展，产生了希腊文化向东方的传播以及与东方文化的交流，这一时期又称“泛希腊时期”。
亚历山大死后，他所建立的帝国分裂为若干王国。
这些王国以后相继被罗马灭亡。
亚历山大的军事扩张，在客观上起到了促进不同民族文化之间的交流与融合、推动希腊文化的广泛传播的重要作用，从而为希腊化时期的教育发展创造了有利的条件。
另一方面，在希腊世界内部，由于城邦的覆灭，曾经创造出灿烂辉煌的希腊文化的社会基础不复存在，因而，在希腊化时期，文化和教育方面的变化呈现出明显不同于古典时期的特点。
古罗马通常指从公元前10世纪初在意大利半岛中部兴起的文明，历罗马王政时代、罗马共和国，于1世纪前后扩张成为横跨欧洲、亚洲、非洲的庞大罗马帝国。
到395年，罗马帝国分裂为东西两部。
西罗马帝国亡于476年。
东罗马帝国(即拜占廷帝国) 变为封建制国家，1453年为奥斯曼帝国所灭。
公元前7世纪后期，意大利半岛上的古罗马人建立了奴隶制的城邦。
公元前2～前1世纪，罗马人征服了马其顿和希腊人的托勒密王朝，成为跨欧、亚、非三大洲的大帝国。
2 古代希腊数学
毕达哥拉斯学派的主要成就： 5.数的“理论”
对数的“看法”
完全数 亲和数 形数
毕达哥拉斯学派的主要成就
5. 数的“理论” （1）对数的“看法” 万物皆数 1称为“原因数” 10是最神圣的数 偶数是阴性的 奇数是阳性的 5是结婚的“象征” 讨厌17
毕达哥拉斯学派的主要成就
毕达哥拉斯（Pythagoras）
毕达哥拉斯学派的主要成就
勾股定理（毕达哥拉斯定理）
勾股数
正多面体
黄金分割 数的“理论” 不可公度量
毕达哥拉斯学派的主要成就：
1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）
c a b
2 2
2
毕氏学派百牛大祭
法
中
国——驴桥问题
国----商高定理
毕达哥拉斯定理（希腊，1955）
1
1+4
1+4+9
2
1+4+9=16
第n个四棱锥数为
n(n 1)(2n 1) 1 4 9 n 6
与形数有关的高考题
2006年广东数学高考题
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗 里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品， 其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底 层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层 开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总 数，则 f (3) =______， f (n) =______。
b
a
a 1.618 b
~
a 1.18 b
j abb
a 0.2 b
希腊数学兴衰原因
述希腊数学兴衰的原因及其特色和局限性希腊数学发展的历史可分为三个阶段：第一阶段从公元前700年到公元前323年，又称为古典时期或雅典时期，即从泰勒斯的伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止；第二阶段是亚历山大时期，从公元前323年起到公元前30年；第三阶段从公元前30年到公元600年，又称为亚历山大后期，即罗马人统治下的时期。
下面我将从各个发展阶段述说希腊数学兴衰的原因及其数学特色和局限性。
一、兴起原因：希腊数学的兴起正是在雅典时期，该时期人们在学术上的辩论风气较浓，唯理论的学术风气很盛，另外，人们信奉多种宗教，思想自由，可以充分发挥想象力，有助于科学和数学从宗教的神学中分离出来，所以一时学派林立，百花齐放，出现了泰勒斯为代表的伊奥尼亚学派以及毕达哥拉斯学派和其他学派。
特点：从初始概念和公理出发，诞生了演绎体系的论证数学（或几何），故从研究思想方法看，希腊人重于理论，善于使用形式逻辑，后来的《几何原本》为典型代表。
1、泰勒斯学派（伊奥尼亚学派）泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。
它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。
在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
他曾发现了不少平面几何学的定理，诸如：“直径平分圆周”、“三角形两等边对等角”、“两条直线相交、对顶角相等”、“三角形两角及其夹边已知，此三角形完全确定”、“半圆所对的圆周角是直角”等，这些定理虽然简单，而且古埃及、古巴比伦人也许早已知道，但是，泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用。
伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。
他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
2、毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯(公元前560-前500),是论证数学的另一位创始人。
数学史资料
数学史期末复习资料数学史的三大危机：初等：第一次危机：毕达哥拉斯学派主张←万物皆数（有理数）→无理数→欧多克斯→近代（17C）：第二次：微积分→极限→柯西→运动与变化→函数现代（19C下半叶）：第三次危机：罗素悖论（集合）→公理化0-数学史1.数学史的分期通常采用的线索：（1）按时代顺序（2）按数学对象、方法等本身的质变过程（3）按数学发展的社会背景。
2.数学史的四个分期：I数学的起源与早期发展（萌芽时期，公元前6世纪前）II初等数学时期（公元前6世纪-16世纪）（1）古希腊数学（公元前6世纪-16世纪）（2）中世纪东方数学（3世纪-15世纪）（3）欧洲文艺复兴时期（15世纪-16世纪）III近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪-18世纪）IV现代数学时期（1820-现在）（1）现代数学酝酿时期（1820-1870）（2）现代数学形成时期（1870-1940）（3）现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950-现在）3.使用位值制的两种数字：巴比伦楔形数字和中国筹算数码。
最早使用位值制的国家是古巴比伦，最早使用十进制位值得国家是中国。
4.埃及数学：古埃及人用纸莎草书写，关于古埃及数学知识主要依据莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。
5.美索不达米亚数学：主要著作泥版文书。
2.古代希腊数学1.泰勒斯证明了四条定理：(1)圆的直径将圆分为两个相等的部分(2)等腰三角形两底角相等(3)两直线相交形成的对顶角相等(4)如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。
他是最早的希腊数学家和古希腊论证几何学鼻祖。
2.毕达哥拉斯学派的基本信条是：万物皆数。
毕达哥拉斯可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
3.普鲁塔克的面积剖分法证明勾股定理。
4..雅典时期的希腊数学学派：（1）伊利亚学派（2）诡辩学派（3）雅典学院（柏拉图学派）（4）亚里士多德学派5.三大几何问题：（1）化圆为方，即做一个与给定面积相等的正方形。
三大几何问题
（2）倍立方
x3 2
x3 2
（3）化圆为方
x2
x
三大问题的解决——规尺数
直尺与圆规
直线和圆 一次和二次方程式
所以要求它们的交点，我们至多只要解一个二次方程式就
可以把交点的坐标用有理运算和平方根表示出来。
凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以通过有限次的有理运算 和平方根表示出来。
三大问题的解决——规尺数
已知正方体体积的2倍。
尺规作图的来历
• 几何作图，规定只能用无刻度的直尺和圆规。希 腊人为什么这样规定呢？
➢ 希腊几何的基本精神。 ➢ 奥林匹克精神。 ➢ 圆和直线是几何学最基本的研究对象。
希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是 在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这 是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的 重要的一步。
• 诡辩(sophism)学派：
• 化圆为方：求作一正
巧辩学派创立、活动于雅
方形，使其面积等于
典。这个学派中聚集了各
一已知圆；
方面的学者大师，如文法、 修辞、辨证法、人文，以 及几何、天文和哲学方面
•
三等分角：分任意角 为三等分；
的学者，他们研究的主要
目标之一是用数学来探讨 宇宙的运转。
• 倍立方体：求作一正 方体，使其体积等于
启示和意义
• 特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法 国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在 1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理 论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础， 它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几 何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以， 一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理 论是在他死后14年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论 才得到第一次全面清楚的介绍。
数学史第二讲：古代希腊数学
物理上：浮力定律
相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好 后，国王疑心工匠做的金冠并非纯金，而这顶金冠确又与当初交 给金匠的纯金一样重。国王请来阿基米德来检验皇冠。 最初阿基米德对这个问题无计可施。有一天，他在家洗澡，当他 坐进澡盆里时，看到水往外溢，突然想到不同质料的东西，虽然 重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。 他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重 量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放 王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同 重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其 他金属。 这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现 了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等 于它所排出液体的重量。（即广为人知的排水法）
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直 角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角 的一侧相交.
古希腊最著名的哲学家、科学家
亚里士多德(公元前384－前322年)（乌拉圭, 1996）
古希腊数学发展史
古希腊数学地中海的灿烂阳光——古希腊文明著称于世。
拥有特殊的地理环境的克里特岛是希腊文明的发端,同时,政治和经济的发展造就了希腊文化。
希腊文化汲取了各种各样的优秀东方文化。
其中,希腊数学就是希腊文化中的一个主要分支。
希腊数学汇集了巴比伦精湛的算术和埃及神奇的几何学。
以希波战争为界限划分为前后2个历史时期。
希波战争前的希腊数学就是以爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派为主要代表的。
希波战争之后,则以巧辩学派,埃利亚学派,原子论学派柏拉图学派的成就为代表。
尤其是从BC480年到BC336年,数学史上又称为雅典时期。
雅典时期哲学和经济的空前繁荣诞生了像亚里斯多德这样的百科全书般的杰出人物。
BC4世纪以后的希腊数学慢慢成为了独立的学科。
数学的历史进入了一个新的阶段——初等数学时期。
在这一个时期里,初等几何,算术,初等代数大体已经分化出来。
同17世纪出现的解析几何学,微积分学相比,这一时期的研究内容可以用“初等数学”来概括,因此叫做初等数学时期。
在这一大时期里,希腊各地涌现了许许多多的学派,他们共同作用于希腊数学的发展。
在这些学派中最有影响力的主要有三大流派;(一)爱奥尼亚学派——古希腊历史上的第一个学派爱奥尼亚学派是由彼赋盛名的“希腊科学之父”泰勒斯创立。
泰勒斯是一个精明的商人,他流转于各地经商,并从巴比伦河埃及等地带回了数学知识,故而创立了爱奥尼亚学派。
他在数学上的最著名的业绩是测量金字塔的高度,而划时代的贡献是开始引入了命题证明的思想,因而被认为是希腊几何的先驱。
关于泰勒斯,希腊史诗并无明确的记载,但据可靠的材料我们可以推断出下列五大命题的发现时归功于泰勒斯:(1)圆的直径将圆平分。
(2)等腰三角形两底角相等。
(3)两条直线相交,对顶角相等。
(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等。
(5)对半圆的圆周角是直角。
其中,第五个命题还被人们称为“泰勒斯定理”。
泰勒斯证明了或视图证明这些命题,使得数学从具体的,实验的阶段开始向抽象的,理论的阶段过渡,这是数学史上的一个重大创举。
《数学史》古希腊数学(1)解析
轶事典故
▪
欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百
六十五天又六小时的第一个希腊人。既然埃及人对此已
有所了解，那么欧多克斯只不过是把这传到了希腊，而
并不是他发现的。
▪
他接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的
观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认，行星
的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动。为了当时所
轶事典故
▪ 后来，在今天土耳其西北岸的锡塞克斯创办了他自己 的学校，最后他把学校迁到雅典，在那里任教多年。那 时他已成为公认的有成就的哲学家。他再次拜访了过去 的老师柏拉图，主人专为他举行了宴会。（当公元前367 年柏拉图在西西里时，欧多克斯甚至可能还是柏拉图学 园的积极负责人。）在这些年里，他提出了许多几何证 法，后来被纳入欧几里得所总结的几何学。他还对不能 直接确定其长度和面积的图形的近似值开始进行研究， 这在一百年后由阿基米德作了进一步的发展。
主要贡献：倡导逻辑演绎结构
• 亚里斯多德学派(吕园学派)
代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322) 欧多谟斯
主要贡献：倡导逻辑演绎结构。
▪ 欧多克斯
欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC） 希腊天文 学家和数学家。
公元前约400年生于奈得斯。欧多克斯在柏拉图学园中学习时， 处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这 里可以找到较便宜的的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里。 毕业后他到了埃及，进行天文学的我们今天称作研究生的学业。
西比阿斯：发明 “割圆曲线”. 如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而
且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。
古希腊数学
古代希腊数学1.古希腊数学的时间希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间2. 古希腊数学的三个阶段古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替3.爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖数学贡献：论证数学的开创者证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分”2、“等腰三角形两底角相等”3、“两相交直线形成的对顶角相等”4、“两角夹一边分别相等的三角形全等”泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角4.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560-前480）数的理论：万物皆数自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）形数（完全三角形数、正方形数）不可公度几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。
毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正方形之和。
（数学中第一个真正重要的定理。
）五角星形与黄金分割立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
5.伊利亚学派芝诺（约公元前490-约前425年）芝诺悖论：两分法，及运动不存在阿基里斯追不上乌龟飞箭不动6.诡辩学派希比亚斯、安提丰古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。
化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
7.柏拉图学派柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者8.亚里士多德学派亚里士多德（前384—前322年）亚里士多德三段论、建立了形式逻辑、矛盾律、排中律9.欧几里得（约公元前330年—前275年）与《几何原本》《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基。
希腊数学的盛衰
希腊数学的盛衰总的来说,希腊数学的成就是辉煌的,它为人类创造了巨大的精神财富,不论从数量上还是质量上来衡量,在世界上都是首屈一指的,历史上第一个公理化的演绎体系就出现在古希腊数学之中。
由于各种原因,它逐渐走向衰落。
一，希腊数学成就的回顾1，把数学作为抽象化的科学，这一重大贡献有其不可估量的意义和价值。
在此之前是没有的。
2，坚持符合逻辑的演绎推理，建立完备的公理体系，在世界上的几百年文明里，有的民族的确也搞出了一种粗陋的集合与算术，但只有希腊人才想到要用演义推理来证明结论。
3，坚持几何图形必须存在的，因而强调只有用尺规作图得出的才是可信的。
4，坚持概念必须明确，必须无矛盾。
5，重视数学在美学上的意义，对称美，秩序美，事实上，在希腊人的思想里，对合理的，美的乃至对道德上的关心都是分不开的，他们反复说过，球是一切形体中最美的，因而是神圣的，是善的。
6，比例论，原子论，穷竭法，分析法，归谬法等数学思想，都为近现代的数学发展提供了思路，例如，戴得金的实数分划是受欧多克索斯的比例论的启发，德谟克利特的原子论，德谟克利特的原子论，阿基米德的穷竭法更是孕育着近代积分论的思想。
7，在数学内容的贡献是——平面几何和立体几何，平面与球面三角，数论萌芽，巴比伦和埃及算术与代数的推广。
二，希腊数学繁荣的原因1，工商业发达。
2，政治民主和思想自由3，国家实行鼓励学术和尊重学者的政策。
4，有相当长的和平时期。
5，其他原因，对自然界的理性主义观点，有助于摆脱宗教和神话的束缚；创造了拼音文字，有助于学术交流。
三，希腊数学的局限性1，无法建立逻辑基础的无理数概念，偏废了算术和代数。
2，对无法弄清楚的无限概念心存疑惧。
3，把结构严密的数学限于几何，甚至把几何只限于那些能用直线和圆作出的图形4，轻视感性经验，轻视实践四，遗留问题1，由于他们未能把无理量接受为数，于是不可公度比是否可指定为其一数而用算术方法来处理就成为问题。
希腊人就留下两门截然不同的，发展不平衡的数学，一门是严格的演绎式的，有系统的几何学，一门是凭直观的，经验的算术及其到代数的推广。
历史上的数学学派雅典学派
历史上的数学学派雅典学派
历史上的数学学派——雅典学派古希腊雅典建立的学派。
盛行于公元前5世纪至公元前4世纪，主要成员及其思想集中在柏拉图科学园和亚里士多德的吕园这两个科学机关，因此常分别被称为柏拉图学派和亚里士多德学派。
柏拉图是雅典的大哲学家，曾师从苏格拉底，颇受老师的逻辑思想的影响。
他于公元前387年左右在雅典成立学园，在授课时大力提倡几何学研究和逻辑证明，传说学园门口写着“不懂几何者不得人内”。
他坚持准确的定义、清楚的假设和严格的推理，促进了数学的科学化。
其思想一直影响到罗马帝国末期及中世纪，形成新柏拉图主义学说。
柏拉图的学生有许多是数学家，如第一个系统研究圆锥曲线的门奈赫莫斯，用割圆锥曲线研究化圆为方问题的狄诺斯特拉托斯，研究不可公度量的泰特托斯等。
此外还有两位著名学者欧多克索斯和亚里士多德。
欧多克索斯一度为柏拉图的学生，是最早介绍球面天文学和描述星座的希腊科学家。
他在数学中创立了比例论和穷竭法，深人研究了中末比问题，还最早得到“阿基米德公理”，证明了近代极限论的某些命题，其理论对欧几里得几何公理体系的完成颇有帮助。
他在基齐库斯（Cyzicus，今属土耳其）建立起自己的纯几何学派，常称之为欧多克索斯学派。
亚里士多德与柏拉图相处20年之久，后因与其继任者的哲。
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抽象化的数学精神
——古希腊数学分析与讨论
岭南学院经济学类 2012级4班苏博学号：12327203
在古希腊人的科学成就中，数学可谓是最抽象也是最迷人的科学体系。
古希腊数学可大致分为两个阶段，第一阶段是公元前600-公元前300的雅典时期，第二阶段是公元前300-641的亚历山大时期。
本次讨论稿中将着重讨论雅典时期的古希腊数学。
这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
伊奥尼亚学派否认神是世界的创造者，认为水是万物之基，崇尚自然规律，并对数学的一些基本定理做了科学论证。
“数学之父”泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想。
命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程。
它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。
这在数学史上是一次不寻常的飞跃。
在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。
《普罗克洛斯概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者。
他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈。
”普罗克洛斯指出他发现的命题有：
(1)圆的直径将圆平分(2)等腰三角形两底角相等(3)两直线相交，对顶角相
等(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等(5)对半圆的圆周角是直角
历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的
思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学。
稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以万物皆数作为信条，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。
毕达哥拉斯学派对古希腊数学发展的最重大推动作用，是其将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位，这在当时，是非常难得的。
希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，持使用演绎证明。
与之相比，古代中国的数学研究更多从实际出发，从《九章算术》可以看出，中国算学一般遵循小农经济体积下生产、政治等的实际需要，具有浓厚的应用数学的色彩。
我想是自由贸易的经济体制催生了希腊人对数学的独立追求，从而演变成现代的数学科学（而并没有从中国起源）。
总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。
数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念使数学成为了一门独立的科学，现代的数学也由此而催生。
参考书目及期刊文摘：《西方的遗产》、《古今数学思想》、《张顺燕——数学的美与理》、《古希腊罗马哲学》，《梁宗巨著世界数学史简编》、《数学汇编》、《数
学史概论》。