线面积分习题word版
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第9章 线面积分习题课
一. 内容提要
1.第一类曲线积分和曲面积分—Riemann 积分的一种 (1) ①当Riemann 积分
⎰
Ω
Ω d )(M f 中2R ⊂=ΩL (平面曲线段) 或
⊂Γ=Ω3R (空间曲线段),f 是定义在L 或Γ上的函数时,就是对
弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记为
⎰
L
s x,y f )d (或
⎰
Γ
)d ,(s z x,y f ,其中s d 是L 或Γ的弧微分.
②当Riemann 积分⎰
Ω
Ω d )(M f 中3R ⊂∑=Ω(曲面块), f 是定义
在∑上的函数时,就是对面积的曲面积分,也称为第一类曲面积分,记
为
⎰⎰∑
S z y x f d ),,(,其中S d 是曲面(∑的)面积元素.
(2) 存在条件及性质--------与重积分相同. (3) 计算方法 ①基本方法
由于线面积分的被积函数f 是定义在曲线段Γ或曲面块∑上的,其自变量z y x ,,必然要满足Γ或∑的方程,故有下面的基本计算方法:
对于⎰Γ
)d ,(s z x,y f ,将曲线段Γ的参量方程⎪⎩
⎪
⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ,代
入被积式,化为对参量t 的定积分(注意:上限必须大于等于下限):
⎰
Γ
)d ,(s z x,y f ⎰'+'+'=β
α
222d )()()()](),(),([t t z t y t x t z t y t x f ;
对于
⎰⎰∑
S z y x f d ),,(,将曲面块∑的显式方程),,(y x z z =xy
D
y x ∈),(
(或),,(z x y y =zx D z x ∈),(,或),,(z y x x =yz D z y ∈),()代入被积式,化为投影域xy D (或zx D ,或yz D )上的二重积分: ⎰⎰∑
S z y x f d ),,(⎰⎰'+'+=xy
D y x y x z z y x z y x f d d 1)]
,(,,[22
,
或 ⎰⎰
∑
S z y x f d ),,(⎰⎰'+'+=zx
D z x z x y y z z x y x f d d 1)]),,(,[22
, 或
⎰⎰
∑
S z y x f d ),,(⎰⎰
'+'+=
yz
D z y z y x x z y z y x f d d 1],),,([22
.
②利用对称性或几何意义进行计算 ③当曲线段Γ以一般式方程⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F 给出时,原则上要将其化为参
量方程来计算
(为了比较容易地写出参量方程,可将⎩⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F 尽量化简,);但有时可
利用对称性或几何意义进行计算, (4)应用
①曲线段Γ的弧长⎰
Γ
= d s s ,
曲面块∑的面积⎰⎰∑
=S S d ;
②曲线状物体Γ的质量⎰Γ
=
d ),,(s z y x m μ,
曲面状物体∑的质量⎰⎰∑
=S z y x m d ),,(μ;
③曲线状物体与曲面状物体的转动惯量 对于平面曲线段L ,有=x I ⎰
L
s y x y 2d ),(μ,=
y I ⎰
L
s y x x 2d ),(μ,
及=
O I ⎰
+L
s y x y x 22d ),()(μ等;
对于空间曲线段Γ,有=
x I ⎰
Γ
+ 22d ),,()(s z y x z y μ,
=
O I ⎰
Γ
++ 222d ),,()(s z y x z y x μ,=
xy I ⎰
Γ
2d ),,(s z y x z μ等;
对于曲面块∑,有=
x I ⎰⎰
∑
+S z y x z y d ),,()(22μ, =
O I ⎰⎰∑
++S z y x z y x d ),,()(2
22μ,=xy I ⎰⎰∑
+S z y x z y d ),,()(2
2μ等; ④曲线状物体与曲面状物体的重心坐标),,(z y x C 线密度为),,(z y x μ的曲线段Γ的重心坐标为
⎰⎰ΓΓ=
= d ),,(d ),,(s z y x s z y x x m
M x yz
μμ, ⎰⎰Γ
Γ=
=
d ),,(d ),,(s z y x s z y x y m
M y zx μμ, ⎰⎰Γ
Γ
=
=
d ),,(d ),,(s
z y x s z y x z m
M z xy
μμ; 面密度为),,(z y x μ的曲面块∑的重心坐标为
⎰⎰⎰⎰∑
∑
==dS
),,(dS
),,(z y x z y x x m
M x yz
μμ,