2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学答案

6. D 12. A
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，已知 sin2 B = sin Asin C ．
（1）求证： 0 B π ； 3
（2）求 2sin2 A + C + sin B −1的取值范围. 2
解：（1）由正弦定理可得
x
( x)
=
1+ x +1
a x2
=
x2 + ax + a (x +1)x2
，
令 h(x) = x2 + ax + a ， = a2 − 4a ，
…………………………………1 分
①当 = a2 − 4a 0 时，即当 0 a 4 时，(x) 0 ，此时，(x) 在 (−1,0) 和 (0, +) 单调
2ac
2ac 2
而0 Bπ
∴0 B π . 3
……………………………………………………………………6 分
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（2） 2sin2 A + C + sin B −1 2
= −cos(A+ C) + sin B
= cos B + sin B = 2 sin(B + π ) ， 4
x0 + 2 3
x0 − 2 3
∴k
k
=
y02 x02 −12
，
又 x02 12
+
y02 4
= 1，∴ x02
= 12 − 3y02 ，
∴k k = − 1 ， 3
…………………………………………………………………10 分
∵ k (− 1 , − 1) ， 23
∴ 2 k 1， 3
故直线 BM 的斜率的取值范围为 ( 2 ,1) . 3
又 (e
−1)
=
−
e
1 −1
0
， (e2
−1)
=
e2 e2
−2 −1
0
，
所以函数(x) 在 (e −1, e2 −1) 上有唯一的零点，又因为(x) 在 (0, +) 单调递增，
所以方程 ln(x0
+ 1)
−
x0 +1 x0
=
0
在
(0, +) 上存在唯一的根，
故在区间 (0, +) 上存在唯一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y = g(x) 相切．………………12 分
= 0,
1 2
y2
=
0,
取 x1 = 3 ， x2 = 3 ，可得
n1 = ( 3, −3, 0) ， n2 = ( 3,3, 6) ，
………………………10 分
∴ cos
n1, n2
= n1 n2 = | n1 | | n2 |
( 3, −3, 0) ( 3,3, 6)
=−1 ,
( 3)2 + (−3)2 ( 3)2 + 32 + 62 4
22
22
设平面 SAB 的法向量为 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 SCD 的法向量为 n2 = (x2, y2, z2 ) ，则
n1 AS = 0, n2 SD = 0,
n1 AB = 0, n2 DC = 0,
∴
z1
=
0,
3 2
x1 +
1 2
y1
=
0,
2
y2
3
2
− z2 x2 −
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
龄数据，得下面的频数分布表：
………………………………8 分
由（1）知 0 B π ， 3
∴ π B + π 7 ，
4
4 12
1 2 sin(B + π ) 2 4
………………………………10 分
即 2sin2 A + C + sin B −1的取值范是 (1, 2] . 2
………………12 分
18．(本小题满分 12 分)
∴ AE = 1 ， BE = 3 ，
2
2
从而可得 A(0,0,0) ， B( 3 , 1 , 0) ， C( 3 , 3 , 0) ， D(0, 2,0) ， S(0,0,1) ，则
22
22
AS = (0,0,1) ， AB = ( 3 , 1 , 0) ， SD = (0, 2, −1) ， DC = ( 3 , − 1 , 0) ，………8 分
∴平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为 1 . 4
………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C : x2 + y2 = 1 ， A 、 B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点. 12 4
（1）求 AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k ，且 k (− 1 , − 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围.
证明：（1））当点 P 为棱 SD 的中点时, CP / / 平面 SAB .证明如下:
取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则
FP / / AD 且 FP = 1 AD ，…………………………2 分 2
z S
∵ AD / /BC ， BC = 1 AD = 1 ，
2 ∴ FP / /BC 且 FP = BC ，
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试题类型：A
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. B
2. C
3. A
4. C
5. D
7. A
8. A
9. D
10. B
11. B
二、填空题：
1
13.
4
14. 32
15. 14 27
16. 6 − 3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（2）设直线 l 为函数 f (x) 的图象上一点 A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间 (0, +) 上存在唯
一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y = g(x) 相切．
解：（1）(x) = f (x) − x + a = ln(x +1) − x + a（x −1且 x 0) ，
x
∵点 M (x0 , y0 ) 在椭圆 C 上，
∴ x02 12
+
y02 4
= 1，∴ x02
= 12 − 3y02 ，
∴ tan AMB = − 2 3 ， y0
而 0 y0 2 ，
…………………………5 分
∴ tan AMB = − 2 3 − 3 ， y0
∵点 0 AMB π ，
∴ AMB
23
解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 M (x0 , y0 ) (−2 3 x0 2 3, 0 y0 2) .
过点 M 作 MH ⊥ x 轴，垂足为 H ，则 H (x0 , 0) (0 y0 2) ，
于是，有
……………1 分
tan AMH = | AH | = x0 + 2 3 ， tan BMH = | BH | = 2 3 − x0 ，
由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N(,15.22 ) ，其中
近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（ 70 ）的患者比例；
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（2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以 这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人 数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值．
……………12 分
20．（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) = ln(x +1) , g(x) = ex （ e 为自然对数的底数）．
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（1）讨论函数(x) = f (x) − x + a 在定义域内极值点的个数； x
a2
− 4a
=
a2 − 4a + 4 − 2
a2 − 4a 0 ，
…………4 分
所以 x1 x2 −1，此时(x) 0 ，(x) 在 (−1,0) 和 (0, +) 单调递增，无极值点.……5 分 综上所述，当 a 0 时，函数(x) 无极值点，当 a 0 时，函数(x) 有两个极值点.……6 分 （2）因为 f (x) = 1 ，