平面向量与三角形四心问题
向量训练一平面向量中三角形的四心问题
向量训练一 平面向量中三角形的“四心”问题1．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的 心。
2．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的 心。
3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 心。
4．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的 心。
5．已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +， 则O 点是△ABC 的 心。
6．O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅=()OB OC BC +⋅=()0OC OA CA +⋅=， 则O 点是△ABC 的 心。
7．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 心。
8．三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+=(||BA OB BA ⋅+||CB CB ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是△ABC 的 心。
9．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =， 则OC =_________________.10．已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 心。
平面向量与三角形“四心”
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA 121平面向量与三角形“四心”◎胡建勋刘健( 永吉实验高中132200)平面向量是高中数学的重要工具之一，它不仅可以把几何问题转化为代数问题求解，也可以把代数问题转化为几何问题求解． 它与高中数学的许多模块( 三角函数，平面解析几何，立体几何，数列，不等式等) 都有紧密联系． 借助平面向量研究三角形“四心”问题更会起到意想不到的效果． 本文仅从几个方面加以说明，以餐读者．一、“三角形四心”的向量表示1． 三角形重心的向量表示→ → →G 是△ABC 重心 GA + GB + GC = 0 若 D ，E ，F 分别为→ → → → → →AB ，BC ，CA 中点则CG = 2 GD ( 或AG = 2 GE ，BG = 2GF ) 2． 三角形外心的向量表示 →→ →O 是 △ABC 外 心，==OB OC ( → →→ → →→ → →→OA + OB )·AB = ( OB + OC )·BC = ( OA + OC ) ·AC = 0．3． 三角形内心的向量表示 (→ → )→ →I 是 △ABC 内 心IA ·= IB ·( → → ( →→= IC·= 0．4． 三角形垂心的向量表示H 是 △ABC→→ → → → →垂心 HA ·BC = HB ·AC = HC ·AB→ → → → → →HA·HB = HB·HC = HC·HA ．二、“三角形四心”相关问题 1．“三角形四心”的判定解题策略 利用向量运算化简题干中的向量等式，再据“三角形四心”的向量表示判定． 例，(→→)1 点 O 为 △ABC 所在平面内一点OA + OB ·→ ( → →) → ( → →) →AB = OB + OC ·BC = OA + OC ·OB = 0，则 O 是△ABC() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心→解析 设 D 为 AB→ →边中点，( OA + OB ) = 2 OD ，由→ →→ → →( OA + OB )·AB = 0，∴ OD·AB = 0，O 在 AB 垂直平分线上，同理 O 应在 BC ，AC 垂直平分线上．∴ O 是△ABC 外心． 应选 B ．例 2 点 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足→2 +OA BC → 2 = OB → 2 + AC → 2 = OC → 2 +AB →2 ，则 O 是 △ABC的( ) ． A ． 重心 B ． 外心 C ． 内心 D ． 垂心解析由→2 +→2 = → 2 +→ 2得，OABC OB AC → → → →→ → →→→ ( AC － BC ) ( AC + BC ) + ( OB － OA ) ( OB + OA ) =0， AB( → →) →( → →)AC + BC + AB OB + OA = 0．→ →2 AB·OC = 0，则 O 是△ABC 中 AB 边的高上，同理 O 应在△ABC 中 AC ，BC 边的高上， ∴O 是△ABC 垂心． 应选 D ．2．“三角形四心”与动点轨迹解题策略: 探究动点经过特殊点问题，首先据题干给出的向量等式，利用向量运算化简后，结合向量运算的几何意义，判定动点轨迹特征． 例 3 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →( → → )，则 P 点轨在平面内一动点，若OP = OA + λ 迹一定通过△ABC 的() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心( → → )解析由若+ →OP = OA + λ→→AP =→→→→分别为→，→同向的单位向λ量，AP 与∠A 平分线所在直线共线， ∴ P 过△ABC 内心，应选 C ．例 4 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所( → →) ( → →)在平面内一动点，若 OP － OA · AB － AC = 0，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心解析→ → → → → →→ →AB － AC = CB ，OP － OA = AP ，又∵ ( OP － OA )·( → →)AB － AC= 0，→ →→ →∴ AP·CB = 0，AP ⊥BC ． ∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的垂线上，点 P 轨迹过 △ABC 的垂心应选 D ．例 5 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →→→，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的() ． A ． 重心 B ． 外心C ． 内心 D．垂心→ → →→得:解析由OA = OP + λ+→→，→ →= λ= 0．→ →∴ PA ⊥BC ．∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的直线上，( 转下页)数学学习与研究 2016. 9解题技巧与方法122 JIETI JIQIAO YU FANGFA数列{ n2 }和 S n 的新求法◎郑晶晶 ( 永嘉县东瓯街道办事处消防办，浙江温州 325100) 【摘要】介绍数列{ n2}和 S n的新求法．【关键词】数列; 初等数学= 4 + 4 + 4 + 4笔者在文中介绍了数列{ n2}和 S n的新求法．其很好的= 3 + 3 + 3 = 2 + 2展现了数学之美且易懂．= 1．即: T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］一式: n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n － 3) + ( 2n － 1) +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］= 2 + 4 + 6 + 8 + … + ( 2n － 2) + 2n － n=［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·2 － n．+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］得到三式:( n2 + n) /2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］(在这里我们把等号的右边部分看作数列{ n( n + 1) /2}其+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］．和 T n．(上共有( n + 1)个［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］相T n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］+ 加)［1 + 2 + 3 + … + ( n － 1)］所以容易得出T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·( n + 1) + ( 1 + 2 + 3 + 4) = n·( n + 1) /2·( n + 1)+ ( 1 + 2 + 3) =［n·( n + 1)2］/2．+ ( 1 + 2) 又因为 T n为数列{ n( n + 1) /2}和，+ 1．因为 n( n + 1) /2 = ( n2 + n) /2，二式: n2 = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相所以 Tn=［n( n + 1) /2 + S ］/2．加) 所以 T n + S n =［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n．所以所以［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n =［n·( n + 1)2］/2．S n = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相加) 最后得出 S n = n( n + 1) ( 2n + 1) /6．= n + n + n + … + n(此处共有 n － 1 个 n － 1 相加)( 接上页)∴ P 在 BC 边高上，应过△ABC 的垂心，应选 D．→例 6 在△ABC 中，动点 M →2 －→2 →满足AC AB = 2 AM·BC，则点 M 一定通过△ABC 的( ) ．A．重心B．外心C．内心→2－→2D．垂心→ →→→解析由 AC AB = 2 AM · BC 得: ( AC － AB )→ →→→( AC + AB) = 2 AM·BC→→→→→→设 D 为 BC 中点，AC + AB = 2 AD，2 BC·AD = 2 AM·→ → →BC，BC·MD = 0．M 点应在 BC 的垂直平分线上．应选B．3．“三角形四心”的应用解题策略: 利用向量法解决有关“三角形四心”相关问题，首先确定一组基底，再根据“三角形四心”的向量表示，用向量线性运算，模的运算，向量数量积运算等简化( 经常利用正弦定理和余弦定理) 题干条件．例 7 G 是△ABC 的重心，AB，AC 的边长为 2 和 1，→→) ．∠BAC = 60°，则AG·BG等于(A．8 B．－1099C．5 －槡3 D．－5 + 槡39 9→ 1 → →解析AG = ( AB + AC)，3→ 1 →→ 1 →→BG = ( BC + BA) = ( AC － 2 AB)．3 3→ → 1 →→ 1 →→AG·BG = ( AB + AC) ×( AC － 2 AB)3 31 →2 →→→2)8= ( AC － AB·AC － 2 AB = －．9 9→例 8 O 是外接圆半径为 1 的△ABC 外心，且满足了 3 →→→→OA + 4 OB + 5 OC = 0，则OA·BC =→→→→→→解法 1 →→→OA·BC = OA ( OC － OB) = ，OA ·OC － OA ·→= →= →，OB又∵OA OB OC→→→3 OA +4 OB +5 OC = 0，∴ 9 → 2 →→→= 25 → 2OA + 12 OA·OB + 16 OB OC→→→→→→ 2 →→OA·OB = 0，3 OA + 5 OC = － 4 OB，9 OA + 30 OA·→ 2 = 16 → 2OC + 25 OC OB→ → 3 → → 3∴ OA·OC = －，∴ OA·BC = －．5 5→→解法 2 →→→→由 3 OA + 4 OB + 5 OC = 0，则以 3 OA，4 OB，5 →→OC为边可构成一个边长为3，4，5 的三角形，OA ·BC =→·→cos ∠AOC －→·→cos ∠AOB = cos OA OC OA OB∠AOC － cos∠AOB．∵ cos∠AOB = ，cos∠AOC = －3 →→ 3，∴ OA·BC = －．5 5数学学习与研究2016. 9。
平面向量四心问题(全)
平面向量四心问题(全)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心 ，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。
专题：平面向量与三角形四心问题
专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。
微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。
平面向量中三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1 :若G为/ ABC所在平面内一点，贝U GA • GB • GC = 6 二G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD二GB • GCGA GB GC = 6二-GA = GB GC-GA = 2GD,B 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为厶ABC 的重心1 一——若P为ABC所在平面内一点，贝U PG (PA，PB PC)3=G是厶ABC的重心—i - 一—(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC) = 0证明：PG (PA PB PC)u =GA GBGC = 0二G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3:若H为厶ABC所在平面内一点，则HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心证明：HAHB 二HB HC= HB (HA-HC) = 0 二HB AC = 0= HB — AC 同理，有HA —CB,HC 一AB故H为三角形垂心2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2若H为丄ABC所在平面内一点，贝U HA BC = HB AC = HC AB =H 是ABC的垂心-- '2 ------ 2 ------ 2 2 2 ■ * ------------------------------------ 2 * 证明：由HA BC 二HB CA 得,HA (HB - HC)2二HB (HC - HA)2 =HB HC 二HC HA同理可证得，HA HB = HB HC = HC HA由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HAHC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量三角形四心(有详解)
平面向量与三角形“四心”的应用问题三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。
本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．1 课本原题例１、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===，容易想到，点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点O 是123PP P △的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==．2 高考原题例２、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()[0,).||||AB ACOP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析 已知等式即()||||AB AC AP AB AC λ=+，设,||||AB ACAE AF AB AC ==，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为ABC ∠的平分线，选B ．例３、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC =，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有()()0OH OA OC OB --=，将已知代入，有[()]()0m OA OB OC OA OC OB ++--=，即22()(1)0m OC OB m OA BC -+-=，由O 是外心，得(1)0m OA BC -=，由于ABC ∆是任意三角形，则OA BC 不恒为０，故只有1m =恒成立．或者，过点O 作OM BC ⊥与M ，则M 是BC 的中点，有1()2OM OB OC =+；H 是垂心，则AH BC ⊥，故AH 与OM 共线，设AH kOM =，则()2kOH OA AH OA OB OC =+=++，又()OH m OA OB OC =++，故可得(1)()()022k k m OA m OB m OC -+-+-=，有102km m -=-=，得1m =．根据已知式子()OH m OA OB OC =++中的OA OB OC ++部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内任一点，均有3OA OB OCOG ++=，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到2HG GO =，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT 均与三角形的边AC 垂直，则//BF OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点．此时，会先猜想BHG TOG △∽△，但现在缺少一个关键的条件，即2BH OT =，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是3OH OG =．例４、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（ ）．A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点BC图１分析移项后不难得出，0OB CA OC AB OA CB ===，点O 是ABC ∆的垂心，选D ．3 推广应用题例５ 在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．分析 如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，有,AP x a BP x b =-=-．于是，22222222211()()3[()]()33AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+．当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1()3OP OA OB OC =++，则点P 为△ABC的重心．例６已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的 心．分析 将2222||()2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-，22||,||CA AB 也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心．例７ 已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=． 分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有033020230x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△．直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且图２AB33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△． 于是，容易验证，BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△，又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△， 1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△，又||||||OA OB OC ==，则所证成立．。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)--高一数学微专题
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AM =xAB ,AN =yAC ，则1x +1y的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】设MG =λMN ，则AG =AM +MG =AM +λMN =AM +λAN -AM=1-λ AM +λAN =x 1-λ AB +yλAC，又因为G 是△ABC 的重心，故AG =13AB +13AC，所以有x 1-λ =13yλ=13⇒1x +1y =31-λ +3λ=3.故选：A2(2024·全国·高一随堂练习)已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB +AC -3AG=0”是“点G 为△ABC 重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意AB +AC -3AG =AG +GB +AG +GC -3AG =GA +GB +GC =0，则G 是△ABC 重心，即充分性成立；若G 是△ABC 重心时，GA +GB +GC =0，可得GA +GB +GC =AG +GB +AG +GC -3AG =AB +AC -3AG =0所以AB +AC -3AG =0 ，必要性成立，故选：C .3(2024·全国·高一专题练习)已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP =OA+λAB AB sin B +AC AC sin C λ≥0 ，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的()A.内心 B.外心C.垂心D.重心【答案】D【解析】记E 为BC 的中点，连接AE ，作AD ⊥BC ，如图，则AB sin B =AC sin C =AD ，AB +AC =12AE ，因为OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C，所以AP =OP -OA =λAB AB sin B +ACACsin C=λ|AD |(AB +AC )=λ2|AD |AE，所以点P 在三角形的中线AE 上，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：D .题型二：内心定理1(2024·全国·高一专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA=11+OF OA =11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-322(2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-3723(2024·广西柳州·高一统考期末)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =mAB +nBCm ,n ∈R ，则m +n =【答案】56【解析】取BC 中点D ，连接AD ，作OE ⊥AB ，垂足分别为E ，∵AB =AC ，∴AD 为∠BAC 的角平分线，∴O ∈AD ；又AB =5，BD =12BC =4，∴sin ∠BAD =45，则tan ∠BAD =43；∵△ABC 周长L =5+5+8=18，面积S =12BC ⋅AD =12×8×52-42=12，∴△ABC 内切圆半径r =OE =2S L =2418=43，∴AE =rtan ∠BAD=1，又OA =12+r 2=53，∴AO =59AD ，∵AD =AB +BD =AB +12BC ，∴AO =59AD =59AB +518BC ，∴m =59，n =518，∴m +n =59+518=56.故答案为：56.题型三：外心定理1(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ⋅AO=．【答案】5【解析】如图所示，取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为△ABC 的外心，则OE ⊥AB ，所以AB ⋅AO =|AB ||AO |cos <AB ,AO >=|AB |×12|AB |=12×42=8，同理：AC ⋅AO =12|AC |2=12×22=2，所以AM ⋅AO =12(AB +AC )⋅AO =12AB ⋅AO +12AC ⋅AO =12×8+12×2=5.故答案为：5.2(2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +OB 2+λCA CA cos A +CBCB cos B ，λ∈R ，则P 的轨迹一定经过△ABC 的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)【答案】外心【解析】如图所示：D 为AB 中点，连接CD ，CA CA cos A +CB CB cos B⋅BA =CA ⋅BA CA cos A +CB ⋅BACB cos B=BA -BA =0，OP -OA +OB 2=OP -OD =DP ，故DP ⋅BA =λCA CA cos A +CB CBcos B ⋅BA =0，即DP ⊥BA ，故P 的轨迹一定经过△ABC 的外心.故答案为：外心3(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)已知△ABC 中，∠A =60°，AB =6，AC =4，O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.1 B.2C.1118D.12【答案】C【解析】由题意可知，O 为△ABC 的外心，设外接圆半径为r ，在圆O 中，过O 作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，因为AO =λAB +μAC ，两边乘以AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ，AO ,AB 的夹角为∠OAD ，而cos ∠OAD =AD AO=62r =3r ，则r ×6×3r =36λ+μ×4×6×12，得6λ+2μ=3①，同理AO =λAB +μAC 两边乘AC ，即AO ⋅AC =λAB ⋅AC +μAC 2，cos ∠OAC =2r，则r ×4×2r =λ×6×4×12+16μ，得3λ+4μ=2②，①②联立解得λ=49，μ=16，所以λ+μ=49+16=1118．故选：C ．题型四：垂心定理1(2024·江苏泰州·高一统考期末)已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC =45°，则BD ⋅BC=；若BD =12BA +13BC ，则BD=.【答案】 3025【解析】如图，AH 是△ABC 的BC 边上的高，则AH ⋅BC =0；设AD =λAH ，因为∠ABC =45°，面积为15，所以12BABC sin45°=15，即BA BC =302；BD ⋅BC =BA +AD ⋅BC =BA +λAH ⋅BC =BA ⋅BC +λAH ⋅BC =BA BCcos45°=30.由第一空可知BD ⋅BC =30，所以BD ⋅BC =12BA+13BC ⋅BC =12BA ⋅BC +13BC 2=30；所以BC 2=45，由BA BC =302可得BA =210，即BA 2=40；因为BD =12BA +13BC ，所以BD 2=14BA 2+19BC 2+13BA ⋅BC =14BA 2+19BC2+10=10+5+10=25；故答案为：30 25.2(2024·湖北黄冈·高一校联考期末)若O 为△ABC 的垂心，2OA +3OB +5OC =0 ，则S△AOB S △AOC=，cos ∠BOC =．【答案】 53-217/-1721【解析】因为2OA +3OB +5OC =0，所以2OA +OC =-3OB +OC ，设M 为AC 的中点，N 为BC 的中点，则OA +OC =2OM ，OB +OC =2ON，所以2OM =-3ON ，所以MN 为△ABC 的中位线，且OM ON=32，所以O 为CD 的中点，所以S △AOC =S △AOD ，又OM AD =12，ON DB =12，所以AD DB =32，所以S △AOD S △BOD =32，所以S △AOB S △AOC=53，同理可得S △BOC S △AOC=23，所以S △AOB S △ABC =12，S △AOC S △ABC =310，又O 为△ABC 的垂心，OD =OC ，设OD =x ，OB =y ，则OC =x ，OE =3y7，所以cos ∠BOD =x y =cos ∠COE =3y7x ，即x 2=37y 2，所以x 2y 2=37，则x y =217所以cos ∠BOD =217，所以cos ∠BOC =cos π-∠BOD =-217，故答案为：53；-2173(2024·山西·高一校联考阶段练习)已知H 为△ABC 的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+25AC ，则sin ∠BAC =.【答案】63/136【解析】因为AH =13AB +25AC，所以BH =BA +AH =-23AB+25AC ，同理CH =CA +AH =13AB -35AC ，由H 为△ABC 的垂心，得BH ⋅AC =0，即-23AB+ 25AC ⋅AC =0，可知25AC 2=23ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =3AC5AB ，同理有CH ⋅AB =0，即13AB - 35AC ⋅AB =0，可知13AB 2=35ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =5AB 9AC，所以cos 2∠BAC =13，sin 2∠BAC =1-cos 2∠BAC =1-13=23，又∠BAC ∈0,π ，所以sin ∠BAC =63．故答案为：63.【过关测试】一、单选题1(2024·全国·高一专题练习)在直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的重心、外心、垂心、内心分别为G 1，G 2，G 3，G 4，若AG i =λi AB +μi AC(其中i =1,2,3,4)，当λi +μi 取最大值时，i =()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】直角三角形ABC 中，A =90°，D 为BC 中点，△ABC 的重心为G 1，如图所示，AG 1 =23AD =23×12AB +AC =13AB+13AC ，则λ1=μ1=13，λ1+μ1=23；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的外心为G 2，则G 2为BC 中点，如图所示，AG 2 =12AB +AC ，则λ2=μ2=12，λ2+μ2=1；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的垂心为G 3，则G 3与A 点重合，AG 3 =0，则λ3=μ3=0，λ3+μ3=0；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的内心为G 4，则点G 4是三角形内角平分线交点，直角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12bc =12a +b +c r ，得r =bca +b +c，AG 4 =bc a +b +c ⋅AB AB +bc a +b +c ⋅AC AC =bc a +b +c ⋅AB c +bc a +b +c ⋅ACb =b a +b +cAB +ca +b +cAC ，λ=b a +b +c ,μ=c a +b +c ，λ+μ=b a +b +c +c a +b +c =b +ca +b +c <1.λ2+μ2=1最大，所以当λi +μi 取最大值时，i =2.故选：B .2(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习)若O 是△ABC 所在平面上一定点，H ，N ，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACAC，λ∈0,+∞ ，则直线AP 一定经过△ABC 的心，点H 满足HA = HB = HC ，则H 是△ABC 的心，点N 满足NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的心，点Q 满足QA ·QB =QB ·QC =QC ·QA ，则Q 是△ABC 的心，下列选项正确的是()A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心【答案】B【解析】OP =OA +λAB AB +AC AC ，变形得到AP =λAB AB +ACAC，其中AB AB ,ACAC 分别代表AB ,AC 方向上的单位向量，故AB AB +ACAC所在直线一定为∠BAC 的平分线，故直线AP 一定经过△ABC 的内心，HA = HB = HC，即点H 到△ABC 三个顶点相等，故点H 是△ABC 的外心，因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，如图，取AB 的中点D ，连接ND ，则NA +NB =2ND ，所以NC =-2ND ，故C ,N ,D 三点共线，且CN =2ND ，所以N 是△ABC 的重心，由QA ·QB =QB ·QC 可得QA ·QB -QB ·QC =QA -QC ·QB =CA ·QB=0，故CA ⊥QB ，同理可得CB ⊥QA ,BA ⊥QC ，故Q 为△ABC 三条高的交点，Q 为△ABC 的垂心.故选：B 二、多选题3(2024·河南郑州·高一校联考期末)点O 为△ABC 所在平面内一点，则()A.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的重心B.若OA ⋅AC AC -AB AB =OB ⋅BC BC -BABA=0，则点O 为△ABC 的垂心C.若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC=0．则点O 为△ABC 的垂心D.在△ABC 中，设AC 2 -AB 2 =2AO ⋅BC，那么动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心【答案】AD【解析】A ．由于OA =-OB +OC =-2OD ，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，故O 为△ABC 的重心；选项A 正确.B ．向量AC AC ，ABAB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC 和AB ，它们的差是向量B C，当OA ⋅AC AC-AB AB =0，即OA ⊥B C 时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB ⋅BC BC -BABA =0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；选项B 错误.C ．OA +OB 是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，OA +OB ⋅AB =0表示这个平行四边形是菱形，即OA =OB ，同理有OB =OC，故O 为△ABC 的外心．选项C 错误.对于D ，设M 是BC 的中点，AC 2-AB 2=AC +AB ⋅AC -AB =2AO ⋅BC =2AM ⋅BC，即AO -AM ⋅BC =MO ⋅BC =0，所以MO ⊥BC ，所以动点O 在线段BC 的中垂线上，故动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心.选项D 正确.故选：AD .4(2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若AM =12AB +12AC ，则点M 是边BC 的中点B.若AM =2AB -AC ，则点M 是边BC 的三等分点C.若AM =-BM -CM ，则点M 是边△ABC 的重心D.若AM =xAB +yAC ，且x +y =13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的23【答案】ACD【解析】对于A 中，根据向量的平行四边形法则，若AM =12AB +12AC =12(AB +AC)，则点M 是边BC 的中点，所以A 正确；对于B 中，由AM =2AB -AC ，则AM -AB =AB -AC ，即BM =CB，则B 为CM 的中点，所以B 错误；对于C 中，如图所示，由AM =-BM -CM ，可得AM +BM +CM =0，取BC 的中点D ，可得MA =-2MD，则点M 为△ABC 的重心，所以C 正确；对于D 中，由AM =xAB +yAC ，且x +y =13，所以3AM =3xAB +3yAC且3x +3y =1，设AN =3AM ，可得AN =3xAB +3yAC ，且3x +3y =1，所以N ,B ,C 三点共线，因为AN =3AM ，所以M 为AN 的一个三等分点(靠近A )，如图所示，所以S △MBC =23S △ABC ，即则△MBC 的面积是△ABC 面积的23，所以D 正确.故选：ACD .5(2024·山东枣庄·高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心，且M 为BC 的中点，则()A.OH =OA +OB +OCB.S △ABG =S △BCG =S △ACGC.AH =3OMD.AB +AC =4OM +2HM【答案】ABD【解析】A . ∵OG =12GH ,∴OG =13OH ,∵G 为重心，所以GA +GB +GC =0,所以OA -OG +OB -OG +OC -OG =0 ,所以OG =13(OA +OB +OC ),∴13OH=13(OA +OB +OC ),所以OH =OA +OB +OC ，所以该选项正确.B .S △BCG =12×BC ×h 1,S △ABC =12×BC ×h 2，由于G 是重心，所以h 1=13h 2，所以S △BCG =13S △ABC ，同理S △ABG =13S △ABC ,S △ACG =13S △ABC ,所以S △ABG =S △BCG =S △ACG ，所以该选项正确.C .AH =AG +GH =2GM +2OG =2(OG +GM )=2OM,所以该选项错误.D .OH =3OG ,∴MG =23MO +13MH ,∴GM =23OM +13HM ,所以AB +AC =2AM =6GM =623OM +13HM =4OM +2HM ,所以该选项正确.故选：ABD6(2024·安徽池州·高一统考期末)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法正确的是()A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BC D.OD +OE +OF =0【答案】ACD【解析】对于A ，因为D 为△OAB 中AB 的中点，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确；对于B ，因为△ABC 为正三角形，所以OA ⋅OB =OA 2cos120°=-12OA 2，所以OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-32OA2，所以B 不正确；对于C ，因为AO ⋅AB -AC =AO ⋅CB=0，所以OA ⊥BC ，所以C 正确；对于D ，因为O 为△ABC 的重心，D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,CA 的中点，所以CO =2OD ，即2OD +OC =0 ，所以OD +OE +OF =12OA +OB +12OB +OC +12OA+OC=OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，所以D 正确.故选：ACD .7(2024·广东广州·高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB =CD ，则AB =CDB.在△ABC 中，若O 点满足OA +OB +OC =0，则O 点是△ABC 的重心C.若a =(1,1)，把a 右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC 中，若CP =λCA |CA |+CB|CB |，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心【答案】BD【解析】对于A ，依题意如图，但AB ≠CD，故选项A 错误；对于B ，设BC 的中点为D ，由于OA +OB +OC =0 ，即OA =-(OB +OC )，所以OA =-2OD ，所以O 点是△ABC 的重心，故选项B 正确；对于C ，向量平移后不改变方向和模，为相等向量，故选项C 错误；对于D ，根据向量加法的几何意义知，以CA |CA |和CB|CB |为邻边的平行四边形为菱形，点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故P 点的轨迹经过△ABC 的内心，故选项D 正确.故选：BD8(2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则下列结论正确的是()A.若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则点O 为△ABC 的垂心B.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的外心C.若2OA +OB +3OC =0，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1D.若AO ⋅AB AB =AO ⋅AC AC 且CO ⋅CA CA =CO ⋅CB CB ，则点O 是△ABC 的内心【答案】ACD【解析】对A ：如图所示，OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则(OA -OC )⋅OB =CA ⋅OB =0，(OB -OC )⋅OA =CB ⋅OA =0，(OB -OA )⋅OC =AB ⋅OC =0，∴OB ⊥CA ,OA ⊥CB ,OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心，A 正确；对B ：如图，取AB 的中点D ，连接OD ，由OA +OB +OC =0 ，则OA +OB =2OD =-OC ，∴O ，D ，C 三点共线，又CD 是△ABC 的中线，且|OC |=2|OD |，∴O 为△ABC 的重心，B 错误；对C ：如图：D ，E 分别是AC ，BC 的中点，由2OA +OB +3OC =0 ，∴2(OA +OC )+(OB +OC )=0 ，∴4OD +2OE =0 ，∴OE =-2OD ，∴OD =13DE =16AB ，OE =23DE =13AB ，则S △AOC =16S △ABC ，S △BOC =13S △ABC ，S △AOB =12S △ABC ，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1，C 正确；对D ：如图，∵AO ⋅AB |AB |=AO ⋅AC|AC |，∴|AO ||AB |cos ∠BAO |AB |=|AO ||AC |cos ∠CAO |AC|，∴cos ∠BAO =cos ∠CAO ，∴∠BAO =∠CAO ，即AO 为∠BAC 的平分线，同理由CO ⋅CA |CA |=CO ⋅CB|CB|得∠ACO =∠BCO ，即CO 为∠ACB 的平分线，∴O 为△ABC 的内心，D 正确．故选：ACD 三、填空题9(2024·甘肃武威·高一校联考期末)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若O 为△ABC 的重心，OB ⊥OC ,3b =4c ，则cos A =.【答案】56【解析】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB ⊥OC ，所以OD =BD =CD =12a ，AD =32a .因为∠ADB +∠ADC =π，所以cos ∠ADB +cos ∠ADC =94a 2+14a 2-c 22×32a ×12a +94a 2+14a 2-b 22×32a ×12a =0，得b 2+c 2=5a 2.故cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 2+c 2-15b 2-15c 22bc=25b c +c b=25×34+43 =56.故答案为:56.10(2024·全国·高一专题练习)点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上)．①动点P 满足OP =OA +PB +PC，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP =OA +PB +PC，∴AP =PB +PC ，则点P 是△ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，∴AP =λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，又AB |AB |+AC |AC |在∠BAC 的平分线上，∴AP与∠BAC 的平分线所在向量共线，所以△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C，(λ>0)，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则|AB |sin B =|AC|sin C =AD ，AP =λAD(AB +AC )，向量AB +AC 与BC 边的中线共线，因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP ⋅BC =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =λ(|BC |-|BC |)=0，∴AP ⊥BC ，所以△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，设OB +OC2=OE，则EP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C，由④知AB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =0，∴EP ⋅BC=0，∴EP ⊥BC ，∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．11(2024·辽宁·高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sin∠PAC=；若AC:AB:BC=6:5: 4，则PA+PB+PC的值为.【答案】74234/5.75【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4，即sin∠ACB=34，由于∠ACB是锐角，故cos∠ACB=74，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC,故∠PAC=π2-∠ACB，所以sin∠PAC=cos∠ACB=7 4；设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β，则∠PAC=π2-β,∠PBA=π2-θ,∠PAB=π2-α，由于AC:AB:BC=6:5:4，不妨假设AC=6,AB=5,BC=4，由余弦定理知cosθ=62+52-422×6×5=34,cosα=42+52-622×4×5=18,cosβ=42+62-522×4×6=916，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于∠ECB+∠EBC=π2,∠PCD+∠CPD=π2,故∠EBC=∠CPD ,则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC，所以PCsinπ2-β=PAsinπ2-θ=ACsin∠APC=ACsin∠ABC=2R=4，同理可得PBsinπ2-α=ABsin∠APB=ABsin∠ACB=2R=4，所以PA+PB+PC=4cosθ+cosα+cosβ=434+18+916=234,故答案为：74；23412(2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P 为△ABC 所在平面内一点，有下列结论：①若P 为△ABC 的内心，则存在实数λ使AP =λAB |AB |+AC|AC |；②若PA +PB +PC =0 ，则P 为△ABC 的外心；③若PA =PB =PC ，则P 为△ABC 的内心；④若AP =13AB +23AC ，则△ABC 与△ABP 的面积比为2:3．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)【答案】①【解析】设AB 中点D ，对于①若P 为△ABC 的内心，所以P 在∠BAC 的角平分线上，因为AB |AB |为AB 方向上的单位向量，AC|AC |为AC 方向上的单位向量，令AE =AB |AB |+AC|AC |，所以AE 在∠BAC 的角平分线上，即AE 与AP共线，所以存在实数λ使AP =λAE ，即AP =λAB |AB |+AC|AC |，故①正确；对于②，若PA +PB +PC =0，则2PD +PC =0 ，所以P 在中线CD 上且CP =2PD ，即P 为三角形重心，故②错误；对于③，PA =PB =PC，所以P 为△ABC 的外心，故③错误；若AP =13AB +23AC ，则13(AB -AP )+23(AC -AP )=0 ，即PB +2PC =0 ，所以P 为BC 上靠近C 的三等分点，所以BP =2PC ，故△ABC 与△ABP 的面积比为3:2，故④错误．故答案为：①13(2024·广西河池·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =5，AC =3，A =2π3，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交AB 于点D ，则△ABC 的外接圆的面积为，CD =.【答案】 49π3/493π；372/327.【解析】由余弦定理得BC 2=25+9-2×5×3×-12=49，∴BC =7.设三角形的外接圆的半径为R , 所以732=2R ，∴R =733,所以△ABC 的外接圆的面积为π×7332=493π.由余弦定理得cos ∠ACB =49+9-252×7×3=1114=1-2sin 2∠ACD ,所以sin ∠ACD =2114，cos ∠ACD =5714.所以sin ∠ADC =sin (∠A +∠ACD )=32×5714-12×2114=217.由正弦定理得3217=CD 32,∴CD =327.故答案为：49π3；372.14(2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填序号)．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心【答案】④【解析】设BC 的中点为D ，∵OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC AC cos C，∴OP =OD +λAB AB cos B +ACAC cos C ，即DP =λAB AB cos B +ACAC cos C，两端同时点乘BC ，∵DP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =λAB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C ACcos C=λ-BC +BC=0，所以DP ⊥BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.15(2024·高一课时练习)已知O 为△ABC 的内心，∠BAC =π3，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】23【解析】如图，延长AO 交BC 于D ，设BC ,AC 分别与圆切于点E ,F ，则OE =OF ，OE ≤OD ，设AD =λAO ，则AD =λxAB +λyAC ，因为B ,D ,C 三点共线，所以λx +λy =1，x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE AO =11+OF AO =11+sin A 2=11+sin π6=23，当且仅当D ,E 重合时等号成立．所以x +y 的最大值为23．故答案为：23．16(2024·高一课时练习)已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ΔABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OCλ∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).【答案】重心【解析】根据已知条件判断P ,C ,D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心.∵点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OC λ∈R ，且132-2λ +131+2λ =1，∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ΔABC 的重心.故答案为：重心17(2024·高一课时练习)已知点O 是ΔABC 的内心，若AO =37AB +17AC，则cos ∠BAC =.【答案】16【解析】因为-OA =37OB -OA +17OC-OA ，即OC =-3OA +OB ，取AB 中点D ，连接OD ，则OA +OB =2OD ，故OC =-6OD，故点C ,O ,D 共线，又∠ACO =∠BCO ，故AC =BC ，且CD ⊥AB ，所以cos ∠BAC =DA CA=OD OC =16.故答案为：16.18(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =．【答案】7【解析】如图，∵AB =6，BC =8，B =2π3，且BO =xBA +yBC ，∴BO ⋅BA =|BO |⋅|BA |⋅cos ∠ABO =12|BA |2=18，BO ⋅BC =|BO ||BC |⋅cos ∠CBO =12|BC |2=32，BA ⋅BC =6×8×-12 =-24，∴BO ⋅BA =xBA 2+yBA ⋅BC BO ⋅BC =xBA ⋅BC +yBC2 ，∴18=36x -24y 32=-24x +64y ，整理得，6x -4y =38y -3x =4 ，∴(6x -4y )+(8y -3x )=3x +4y =7．故答案为：719(2024·湖北武汉·高一期末)△ABC 中，AB =2，BC =26，AC =4，点O 为△ABC 的外心，若AO =mAB +nAC ，则实数m =．【答案】45/0.8【解析】由BC =AC -AB 可得BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2-2AB ⋅AC =4+16-2AB ⋅AC =24，所以，AB ⋅AC =-2，同理可得BA ⋅BC =6，CA ⋅CB =18，故AB AC cos A <0即cos A <0，而A ∈0,π ，故A 为钝角.如下图所示：取线段AC 的中点E ，连接OE ，由垂径定理可得OE ⊥AC ，则AO ⋅AC =AE +EO ⋅AC =AE ⋅AC +EO ⋅AC =12AC 2，同理可得AO ⋅AB =12AB 2，因为AO =mAB +nAC ，则AO ⋅AC =mAB +nAC ⋅AC =mAB ⋅AC +nAC 2=-2m +16n =12AC 2=8；AO ⋅AB =mAB +AC ⋅AB =mAB 2+nAB ⋅AC =12AB 2，即4m -2n =2，故m =45故答案为：45.20(2024·湖北·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =2,AC =5,∠BAC =60°，P 是△ABC 的外心，则∠APB 的余弦值为.【答案】1319【解析】BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos60°=4+25-10=19，故BC =19，设△ABC 的外接圆半径为R ，则R =BC 2sin60°=573，△APB 中，cos ∠APB =R 2+R 2-42R 2=1-2R 2=1319.故答案为：1319.21(2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =5，则OA ⋅BC =．【答案】8【解析】如图所示，因为O 为△ABC 的外心，取AB 中点E ，则OE ⊥AB ，则AO ⋅AB =OA AB cos ∠OAB =AB OA cos ∠OAC =AB ⋅12AB =12c 2=252，同理AO ⋅AC =12b 2=92，所以OA ⋅BC =OA ⋅AC -AB =-AO ⋅AC -AB =-AO ⋅AC +AO ⋅AB =-92+252=8．故答案为：822(2024·广东汕头·高一金山中学校考期末)已知O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，则cos A 最小值.【答案】34【解析】∵O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，∴AO ⋅AC -AB =4BO ⋅BC -BA ,∴AO ⋅AC -AO ⋅AB =4BO ⋅BC -4BO ⋅BA ，∴12AC 2-12AB 2=4×12BC 2-4×12BA 2,即b 2-c 2=4a 2-4c 2，即b 2+3c 2=4a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-b 2+3c 242bc=3b 2+c 28bc ≥23bc 8bc=34,当且仅当3b =c 时取等号，∴cos A 的最小值为34.故答案为:34.23(2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是△ABC 内的一点，且存在x ,y ,z ∈R ，使得xOA +yOB +zOC =0 ，则S △AOB :S △AOC :S △COB =z :y :x ．请以此结论回答：已知在△ABC 中，∠A =π4，∠B =π3，O 是△ABC 的外心，且AO =λAB +μAC λ,μ∈R ，则λ+μ=．【答案】33/133【解析】如图，因为O 是△ABC 的外心，所以∠BOC =2∠BAC =π2,∠AOC =2∠ABC =2π3,∠BOA =2∠BCA =5π6，由结论可得S △BOC ⋅OA +S △AOC ⋅OB +S △BOA ⋅OC =0 ，即12R 2sin ∠BOC ⋅OA +12R 2sin ∠AOC ⋅OB +12R 2sin ∠BOA ⋅OC =0 ，可得sin π2⋅OA +sin 2π3⋅OB +sin 5π6⋅OC =0 ，即OA +32OB +12OC =0 .因为AO =λAB +μAC =λ(OB -OA )+μ(OC -OA )，所以(1-λ-μ)OA +λOB +μOC =0 ，所以λ1-λ-μ=32μ1-λ-μ=12 ，即λ+μ1-λ-μ=3+12，即1-(λ+μ)λ+μ=3-1，解得λ+μ=33.故答案为：33.24(2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末)已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列各结论正确的有①若P 为△ABC 的垂心，AB ⋅AC =2，则AP ⋅AB =2②若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA ⋅PB +PC 的最小值为-1③若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP =xAB +yAC 且x +2y =1，则AB =BC④若AP =1AB cos B +12 AB +1AC cos C +12AC ，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心【答案】①③④【解析】对于①，若P 为△ABC 的垂心，则AB ⋅PC =0，又AB ⋅AC =2，所以AP ⋅AB =AB ⋅AC +PC =AB ⋅AC +AB ⋅PC =2+0=2，①正确；对于②，取CB 的中点O ，连接OA ，以O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ,A 0,3 ，设P m ,n ，则PA ⋅PB +PC =-m ,3-n ⋅-2m ,-2n =2m 2+2n 2-23n =2m 2+2n -32 2-32，故当m =0,n =32时，PA ⋅PB +PC =2m 2+2n -32 2-32取得最小值，最小值为-32，②错误；对于③，有题意得AP =xAB +yAC =1-2y AB +yAC ，则AP -AB =y -2AB +AC ，即BP =y BA +BC ，如图，设D 为AC 的中点，则BA +BC =2BD ，故BP =2yBD ，故B ,P ,D 三点共线，因为P 是△ABC 的外心，所以BD 垂直平分AC ，所以AB =BC ，③正确；对于④，AP =AB AB cos B +AC AC cos C +12AB +AC ，AP ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C +12AB +AC ⋅BC=AB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C AC cos C +12AB +AC ⋅BC =-BC +BC +12AB +AC ⋅BC =12AB +AC ⋅BC ，所以2AP ⋅BC =AB +AC ⋅BC ，如图，设E 是BC 的中点，则AB +AC =2AE ，故2AP ⋅BC =2AE ⋅BC ，即AP -AE ⋅BC =EP ⋅BC =0，故则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心，④正确.故答案为：①③④25(2024·全国·高一专题练习)(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC )，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的．(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )【答案】 重心内心【解析】空1：由已知，AP =λ(AB +AC )，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB +AC =2AD ，∴AP =2λAD ，∴AP ⎳AD ，则A ，P ，D 三点共线，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心；空2：由已知，AP =λAB |AB |+AC |AC |，而AB |AB |表示与AB 同向的单位向量，AC |AC |表示与AC 同向的单位向量，∴AP 在∠BAC 的角平分线上，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．故答案为：重心；内心．四、解答题26(2024·全国·高一专题练习)已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，AP =pPB ，AQ =qQC .(1)求GA +GB +GC ；(2)求证：1p +1q=1.(3)求S 1S 2的取值范围.【解析】(1)延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，∴GB +GC =2GD ，∵G 是重心，∴GA =-2GD ，∴GA +GB +GC =-2GD +2GD =0 ；(2)设AB =a ,AC =b ，∵AP =pPB ，∴AP =p 1+p a ，∴a =1+p p AP ∵AQ =qQC ，∴AQ =q 1+q b ，∴b =1+q q AQ ∵AG =23AD =23⋅12(AB +AC )=13a +b =13⋅1+p p AP +13⋅1+q qAQ 且P ,G ,Q 三点共线，∴13⋅1+p p +13⋅1+q q =1，∴1p +1 +1q+1 =3即1p +1q =1；(3)由(2)AP =p 1+p AB ，AQ =q 1+q AC ，∴S 1S2=12AP ⋅AQ ⋅sin ∠BAC 12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =AP ⋅AQ AB ⋅AC =p 1+p ⋅q 1+q ，∵1 p +1q=1，q=pp-1，可知p>1，∴S1S2=p1+p⋅q1+q=p1+p⋅p2p-1=p22p2+p-1=1-1p2+1p+2=1-1p-122+94，∵p>1，∴0<1p<1，则当1p=12时，S1S2取得最小值49，当1p=1时，S1S2取得最大值12，∵1 p ≠1，则S1S2的取值范围为49,12.。
平面向量中的三角形四心问题（定稿）
平面向量中的三角形四心问题（定稿）第一篇：平面向量中的三角形四心问题（定稿）平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：若G为∆ABC所在平面内一点，则GA+GB+GC=0⇔G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD=GB+GCGA+GB+GC=0⇔-GA=GB+GC∴-GA=2GD,这表明，G 在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为∆ABC的重心结论2：1若P为∆ABC所在平面内一点，则PG=(PA+PB+PC)3⇔G是∆ABC的重心1证明：PG=(PA+PB+PC)⇔(PG-PA)+(PG-PB)+(PG-PC)=03⇔GA+GB+GC=0⇔G是∆ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔H是∆ABC的垂心证明：HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HA-HC)=0⇔HB⋅AC=0⇔HB⊥AC同理，有HA⊥CB,HC⊥AB故H为三角形垂心结论4：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA+BC=HB+AC=HC+AB⇔H 是∆ABC的垂心证明：由HA+BC=HB+CA得，HA+(HB-HC)=HB+(HC-HA)2⇔HB⋅HC=HC⋅HA同理可证得，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA由结论3可知命题成立2222222222222三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：若O是∆ABC所在平面内一点，则OA=OB=OC⇔O是∆ABC的外心证明：由外心定义可知命题成立结论6：若O是∆ABC所在平面内一点，则（OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC ⇔O是∆ABC的外心 3 证明：Θ(OA+OB)⋅BA=(OA+OB)(OA-OB)=OA-OB∴(OB+OC)⋅CB=OB-OC( OC+OA)⋅AC=OC-OA222222222故OA-OB=OB-OC=OC-OA⇒OA=OB=OC故O为∆ABC的外心222四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程屮，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
—% 重心(barycenter)三角形重心是三角形三边屮线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2： lo在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论若G为AAB俩在平面内一点，贝^A + GB + GC = 0结论2：• I • I • I •若P为AAB俩在平面内一点，贝ipG = —(PA+PB+PC)oG是AABC^J重心•I I •I •I •・ 4 . ・•■•・•■•—♦证明:PG = -(PA-bPB + PC)^>(PG-PA) + (PG-PB) + (PG-PC) = O 3<^>GA + GB + GC = 0oG是AABC^J重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：若H为口3術在平面内一点，贝孫•而=而•万乙=岚•阪OH是口砧勺垂心证明：页•丽二而.HCOHB-(HA-HC) = 0 AO 丽•疋= 0oH〃丄AC /同理,有HA丄CB、HC丄A B \故H为三角形垂心/结论“！一若H为AABC所在平面内_点，贝归4o H是AABCfi勺垂心证明：由阪2 + 荒2 =丽? + 冯‘得,/£42 +(而 _ 7/C)2=HB2 +(HC - HA)2 <^> HB HC = HC HA同理可证得页•而=而•说=万&阪由结论3可知命题成立三、夕卜心(circumcenterj三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：A若0是AABC所在平面内一点，贝|J /—‘n、OA = OB = 0C 0是AABC^J外心/证明：由外心定义可知命题成立/结论6: eg若O是AABC所在平面内一点，则\,(OA + OB)-BA = (OB + OC)'CB = (OC + OA)-AU>O是外心证明:•・• (OA + OB) • BA = (0A + OB)(OA- OB) = \0A\ -\0B\(OC + OA)・AC = pq -|0A| 故网-|OB|2 =阿-阿2 =阿2 -网 n |网=|OB|=|OC|故O为AABC^J外心四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
(完整版)平面向量四心问题(最全)
近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心 ，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
平面向量与三角形的“四心”问题
平面向量与三角形的“四心,，综合问题【例题精讲】例题1已知O ,N ,P 在二MC 所在平面内，且iQri=rsri=iE |, 丽+血+眈=0,且卫矿•血=帀•疋=疋・方，则点 O, N, P 依次是二ABC 的（ ）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.夕卜心重心垂心D.夕卜心重心内心【解析】由了| = |亦| = |龙|知，O 为JABC 的外心；由丽+血+丙厂=0知，N 为匚/EC 的重心； 因为眉•南=血•比，所以（眉一龙）<^=0, 所以_CZ >-W = 0,所以左了口帀\即CA1PB, 同理APZBC, CPLAB,所以P 为二ABC 的垂心，故选C.例题 2 在 JABC 中，28=5, AC=6, cos A=j, O 是 JABC 的 内心，若OP 、= x OB' +y 0（2,其中x, yD[O,l],则动点卩的轨迹所 覆盖图形的面积为（）【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以05 OC 为邻边的平行四边形及其内部,其面积为~BOC 的面积的2倍.在匚曲C 中，设内角儿B, C 所对的边分别为厲b, c, A. ]0& 3由余弦定理 a 2=b 2+c 2—2bccosA,得 a = 7. 设~ABC 的内切圆的半径为r, 则y/jcsiiiA=^(a+b+c)r ,解得 r=^~,所以S ：BOC= 故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2Sd°c=呼，故选B.【知识小结】三角形“四心"的向量表示(1) 在二拐C 中，若 1^1 = 1^1 = |^|或0了2 =亦2 =龙2, 则点O 是二4BC 的外心.(2) 在匚曲C 中，若~at+~GB"+~G^=O,则点G 是LABC 的重 心.(3) 对于匚MC, O, P 为平面内的任意两点，若亦一乙了 = /」初+*反入口(0, +oo),则直线APyiLABC 的重心.(^Tat ~OB "=~o^ =员・玄T 或者同F+|优平=|勿卩+|岔卩，则点o 为三角形的垂心.(5)|反>勿+|女|•亦+|対|•龙=0,则点O 为三角形的 内心.(6)对于匚45C, O, P 为平面内的任意两点，若~Of = ~oX +【变式练习】G>0),则直线APxldABC 的内心. |xt7Xr = |x7x^^=AB"~AB "1.已知O是平面上的一定点，厦，B, C是平面上不共线的三个动点，若动点卩满足亦=勿+久（莎+女），2j（0, +◎,则点P的轨迹一定通过匚卫3C的（）A.内心B.夕卜心C.重心D.垂心【解析】选C由原等式，得亦一岔=2（初+岔），即方=&（初+岔），根据平行四边形法则，知初+立=2訪（D为BC的中点），所以点P的轨迹必过~ABC的重心.故选C.] 3 2・在匚ABC中，|初| = 3, |五'| = 2, 方=于初+才羽，则直线2D 通过-ABC的（）A.重心B.外心C.垂心D.内心解析：选D 口|対| = 3, |女|=2,1 Q Q匚护閃=汩©=41 3设龙=齐硏，~AF"=^A^,贝IJI龙| = |匚护|.1 2匚如=丁硏+才女=农 +击，O4Z）平分LEAF, 二Q平分二BAC、匚直线乂0通过3ABC的内心。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心之迟辟智美创作已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心，DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 【解析】由题意()AP AB AC λ=+，那时(0)λ∈+∞，，由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足图⑴图⑵（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．图⑶图⑷A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷. 5若H为ABC△所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】∵IB IA AB=+，IC IA AC=+，则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠． 同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足=OP OA +λ⎫⎛AC AB ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭，∴那时(0)λ∈+∞，，AP 暗示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.图⑸图⑹OCAB8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则O 是△ABC 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心 解：∵向量的模即是1，因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OAOB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC==，则222OA OB OC==，∴OA OB OC==，则O 是ABC △的外心，如图⑺.图⑺图⑻9 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 【解析】由于2OB OC+过BC的中点，那时(0)λ∈+∞，，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O，∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1 =ODBCDCOB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心之欧侯瑞魂创作已知O 是ABC ∆内的一点,AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ,B S ,C S ,求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点,且0=++•••OC OB OA z y x ,则 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心,DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆,C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点,重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点,高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）,角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点,若0GA GB GC ++=,则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0)λ∈+∞，,则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+,那时(0)λ∈+∞，,由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点P 的轨迹一定通过图⑴图⑵ABC △的重心,如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点,动点P 满足（λ∈（0,+∞））,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC,由于sinB=sinC=AD,∴=由加法法则知,P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅,得()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥,PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹图⑶图⑷一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭, 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭,即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量,即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上,所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心,如图⑷. 5若H 为ABC △所在平面内一点,且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥, 故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点,且AB c =,AC b =,BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=,则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心图⑸图⑹【解析】∵IB IA AB =+,IC IA AC =+,则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=,∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭, ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量,∴AI 与BAC ∠平分线共线,即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心,如图⑸.7已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足=OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+AC AC AB AB ,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭,∴那时(0)λ∈+∞，,AP 暗示BAC∠的平分线所在直线方向的向量,故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心,如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=,则O 是△ABC 的（ ）O CA B解：∵向量的模即是1,因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC,OA 平分∠ACB, ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点,若222OA OB OC ==,则O 是ABC△的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==,则222OA OB OC==,∴OA OB OC==,则O 是ABC △的外心,如图⑺.9 已知O 是平面上的一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P的轨迹一定通过ABC △的( ).图⑺ 图⑻【解析】由于2OB OC+过BC的中点,那时(0)λ∈+∞，,cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.）,所以P 在BC 垂直平分线上,动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心,如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O,则点H为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC△的外心为O,则点G为ABC△的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ,则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线）,且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O,重心为G ．取点H,使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O,G,H 三点共线,且OG ：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O, ∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O,G,H三点共线,且OH=3OG即O,G,H三点共线,且OG：GH=1：2创作时间：二零二一年六月三十日。
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平面向量基本定理与三角形四心已知0是 ABC 内的一点，BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证:S A?0A S B ?0B S C ?0C 0°D 罟0B 誥0C0DSB0D SC0DSB0D SC0DSA0ASB0AE OASB0ASC0A SB SC0DS BS CS A ?0A S B ?0B S C ?0C 0推论o 是ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则BD DCS A BD S B0D S ABD S B0DS ACD S C0DSACDSC0DS CS鱼 0B 生 0CS BS CSBS C0AoASBS BS CSB SC0B二0C有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 00是SABC的内心BOC : S COA:S AOB■a:b:c a ?OAb?oB c?oC 00是ABC的外心S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2Csin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0O是ABC的垂心S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanCtan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0tanA 竺,tanBADCDDBtan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: ADS BOC : S COA tan A:tan B同理得S COA : S AOB tan B :tanC,S BOC：S AOB tan A:tanCS BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统证明：如图0为三角形的垂心,一•知识梳理:四心的概念介绍：A.重点B.外心C.内心D.垂心2已知0是平面上一定点，A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足UUUT UUU UUU UL11TOP OA (AB AC),(0,)，则P 的轨迹一定通过△ ABC 的().A.重点B.外心C. 内心D.垂心UJU UUU 【解析】由题意 AP (ABUUU AC), 当 (0,)时，由于 UUU (AB UULTAC)表示BC 边上 的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △A B C 的重心，如图⑵(入€( 0, +x)),则动点P 的轨迹一定通过厶ABC£( )A.内心B.重心C.外心D.垂心三角形“四心”的相关向量问题(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ⑷外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)与"重心”有关的向量问题1已知G 是△ ABC 所在平面上的一点，2： 1 ；，角平分线上的任意点到角两边的距离相等;uuu ULUT UULT 若GA GB GC 0，则G 是厶ABC 的()3 .0是厶ABC 所在平面内一点，动点 AC如图⑴.A图⑵解：作出如图的图形AD丄BC由于|忑|sinB=|I£|sinC=AD,|AB|SinB |AC|£inC 1^1由加法法则知，P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过厶ABC的重心故选：B.与“垂心”有关的向量问题3 P是厶ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是△ ABC 的（）A.重点B.外心C.内心D. 垂心uuu uuu【解析】由PA PBuuuPBuur uuuPC ,得PBuuu(PAuuPC) 0 ,即卩PB CAuuu mu UJU uuu0 ,所以PB丄CA •同uuu uuu理可证PC丄AB ,uuuuuuPA丄BC .••• P是厶ABC的垂心•如图⑶.图⑶4已知0是平面上一定点，A, B,uuuOPuuuOAUULTAC■uuu----- ■uuAB cosB AC, （0,）,则动点P的轨迹一定通过△ ABC A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心cosCuuuABuuu 【解析】由题意APLOTuuuAB则点H 是厶ABC 的（）A.重点B.外心C.内心D.垂心故H 是厶ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题6已知I 为△ ABC 所在平面上的一点，且AB c , AC b , BC a •若nr ur nr aIA bIB cIC 0，则 I 是厶 ABC 的（） .A.重点 B.外心C.内心D.垂心由于 -uuu ------ AB cosB-uuuu ----- AC cosCuuu BC 0,]uuul ABcosBAC cosCuuuu uuuu uuu uuuBC CB 0,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心，如图⑷5若HABC 所在平面内一点，且iuur 2 uuu 2 uuu 2 uuu 2 uur 2 uuur 2 HA BC HB CA HC AB(HA得(HA 即（HC 同理ACHB)?BA HB CAHC)?BA HB, BC(CA CB)?BACB)?BA 00 AB HC HA ,uuuAB uuu ACuuu uuu AB BC uiur uuuAC BC2证明：Q HACA【解析】UU ••• IBUU IA UUU AB ，UJT C UU IA UUUT AC ， 则由题意得(aUU b c)IA UUU bABUUUT cAC 0，UUU UUUTUUUUUUT UULT UUU UUU UUUTUULT UUU AB AC -bABcAC AC AB AB ACACAB 鎚/YX-Z 1 ■ II W .UUUI | ，AB ACuurAC uuuUULff分别为AB 和AC 方向上的单位向量,ULT••• AI 与/ BAC 平分线共线，即 AI 平分同理可证：BI 平分 ABC ，CI 平分 ACB •从而I 是厶ABC 的内心，如图⑸O 在 △ ABC 所 在 的A.垂心B.重心C.内心D.外心二一的模等于1，因而向量一 是单位向量UUU UUUT rbeAB ACAIi ■ 1 ■ II IT ■a b cABAC的( ) ABBC1BC |I BA I)=oc<- CA CB则O 是厶ABCuuu • AB 与A 1~~f■ACBAC •7已知0是平面上一定点,A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP 0AAB AC(0,)，则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的()•A.重点B.外心C.内心D.垂心UUU UUIT UUUAB AC 【解析】由题意得 APUUU ACT ，•当T(0,)时，AP 表示 BAC 的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心，如图⑹I a I I 3 Iuuu AB UUU ------- AB cosBuuu ACUUU ------ AC cosC•••由向量」丄—为邻边构成的四边形是菱形, |AC| \^\ 预•（竺 蛙）二0 |AC| |AB|可得AO 在/ BAC 的平分线上 同理可得OB 平分/ ABC OA 平分/ ACB • 0是厶ABC 的内心.故选：C. 与“外心”有关的向量问题 ujuu uumr 8已知O 是△ ABC 所在平面上一点，若 OA 0B 2uuuLrOC 2，则O 是厶ABC 的（）A.重点B.外心C.内心 CD.垂心 uuu 2 UUU 2 uuir 2uuu 2uuu 2 uur 2 uuuuuu【解析】若OA OB OC ，则 OAOBOC，…OAOB图⑺ uuirOC ，则O 是△ ABC 的外心，如图⑺。
已知O 是平面上的一定点，A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuu uuirUUL OB OC OP2（0， ），则动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）。
A.重点B.外心C.内心D.垂心uuu uuur OB OC【解析】由于过BC 的中点，当 （0,）时,2的轨迹一定通过 △ABC 的外心，如图⑻四心的相互关系1. 三角形外心与垂心的向量关系及应用 设△ ABC 的外心为O ，则点HABC 的垂心的充要条件是2. 三角形外心与重心的向量关系及应用 设△ ABC 的外心为O ，则点G 为△ ABC 的重心的充要条件是3. 三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设厶ABC 的外心、重心、垂心分别为 O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H1三点连线称为欧拉线），且OG -GH 。
2 相关题目10.设△ ABC 外心为O,重心为G.取点H,使 —「 -I. 求证：（1） H 是厶ABC 的垂心；（2） O, G H 三点共线，且 OG GH=1 2. 【解答】证明：（1）v^ ABC 外心为O,/.||OA |=|5B |=|CE |又I/.B-1 ：-1'- I '■ I :'则二匸=门 T ?:「「-「「=- =0uuu示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。
），所以P 在BC 垂直平分线上，动点 PUUUT AC uuu ------- AC cosCiuiu iuu uuu uur OH OA OB OC 。
uur 1 uuu uuu uuurOG3(OA OB OC )uur即AH L BC同理BH L AC, CH L AB即H是厶ABC的垂心；(2)v ABC的重心: | 「I「=3 1「「•''=3 i+ -1= i 即1=3( J即O, G, H三点共线，且OH=3OG即O, G, H三点共线，且OG GH=1 2。