平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心

已知0是 ABC 内的一点，

BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证:

S A

?0A S B ?0B S C ?0C 0

°D 罟0B 誥0C

0D

S

B0D S

C0D

S

B0D S

C0D

S

A

0A

S

B0A

E OA

S

B0A

S

C0A S

B S

C

0D

S B

S C

S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0

推论o 是

ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则

S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z

如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则

BD DC

S A BD S B0D S ABD S B0D

S ACD S C0D

S

ACD

S

C0D

S C

S

鱼 0B 生 0C

S B

S C

S

B

S C

0A

oA

S

B

S B

S C

S

B S

C

0B

二0

C

有此定理可得三角形四心向量式

O是ABC的重心

S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0

0是

S

ABC的内心

BOC : S COA

:S AOB

■

a:b:c a ?OA

b?oB c?oC 0

0是ABC的外心

S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C

sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0

O是ABC的垂心

S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC

tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0

tanA 竺,tanB

AD

CD

DB

tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD

S BOC : S COA tan A:tan B

同理得S COA : S AOB tan B :tanC,

S BOC：S AOB tan A:tanC

S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统

证明：如图0为三角形的垂心,

一•知识梳理:

四心的概念介绍：

A.重点

B.外心

C.内心

D.垂心

2已知0是平面上一定点，A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

UUUT UUU UUU UL11T

OP OA (AB AC),

(0,

)，则P 的轨迹一定通过

△ ABC 的().

A.重点

B.外心

C. 内心

D.垂心

UJU UUU 【解析】由题意 AP (AB

UUU AC), 当 (0,)时，由于 UUU (AB UULT

AC)表示BC 边上 的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △A B C 的重心，如图⑵

(入€( 0, +x)),则动点P 的轨迹一定通过厶ABC£( )

A.内心

B.重心

C.外心

D.垂心

三角形“四心”的相关向量问题

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ⑷外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)

与"重心”有关的向量问题

1已知G 是△ ABC 所在平面上的一点，

2： 1 ；

，角平分线上的任意点到角两边的距离相等;

uuu ULUT UULT 若

GA GB GC 0，则G 是厶ABC 的()

3 .0是厶ABC 所在平面内一点，动点 AC

如图⑴.

A

图⑵

解：作出如图的图形AD丄BC由于|忑|sinB=|I£|sinC=AD,

|AB|

S

inB |AC|

£

inC 1^1

由加法法则知，P在三角形的中线上

故动点P的轨迹一定通过厶ABC的重心

故选：B.

与“垂心”有关的向量问题

3 P是厶ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是△ ABC 的（）

A.重点

B.外心

C.内心

D. 垂心

uuu uuu

【解析】由PA PB

uuu

PB

uur uuu

PC ,得PB

uuu

(PA

uu

PC) 0 ,即卩PB CA

uuu mu UJU uuu

0 ,所以PB丄CA •同

uuu uuu

理可证PC丄AB ,

uuu

uuu

PA丄BC .••• P是厶ABC的垂心•如图⑶.

图⑶

4已知0是平面上一定点，A, B,

uuu

OP

uuu

OA

UULT

AC

■uuu----- ■uu

AB cosB AC

, （0,）,则动点P的轨迹一定通过△ ABC A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心

cosC

uuu

AB