管理运筹学讲义第12 章排队理论

合集下载

《运筹学排队论》课件

资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或人员。
等待时间
顾客到达后到开始接受服务所需的时间。
顾客
需要接受服务的对象。
队列
顾客按到达顺序等待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。

运筹学排队论-文档资料

系统服务类型银行储蓄
飞机着陆或起飞电话通话
卸货或装货工序安排
计算机系统机器维护
1
排队论的研究内容：（1）性态问题：研究排各队种系统的概率性，规主律要研究队长分等布待、时间的分布和忙期分布等；（2）最优化问题：分态为最静优和动态最优者，指前最优设计，后现者有指排队
Pn (t )表示在时刻 t、系统状态为 n的概率。
含 Pn (t )的关系式一般为微分差分方程，其解成为瞬态（ transient state ）解 ;
lim
t
Pn
(t)
P（n 如果存在）称为稳态
（ steady state ）解，或称统计平衡状
3、排队模型的分类按排队系统中的影三响个最特大征进1行 95年分 3 ，类 D.G（ .Kend） a:ll （1）相继顾客到间达的间分隔布时；（2）服务时间的分布；（3）（并列）服数务。台的个
7
相应的模型用 Kendall 记号表示： X /Y /Z
其中， X , Y , Z分别表述上述三个特征。例如： M — 负指数分布（ M 为 Markov 的首字母） D — 确定型（ determinis tic ） E k — k阶爱尔朗（ erlang ）分布 GI — 一般相互独立（ general independen t）的间隔时间的分布 G — 一般（ general ）服务时间的分布 M / M / 1， D / M / c（ c个并列服务平台，但顾客是一队）
需要知道单位时间内的顾客到达数或相继到达的间隔时间分布。
4）顾客的到达可以是相互独立的，也可以是有关联的。
5）输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的，是指相继到达的间隔时间分布和

管理运筹学-排队论

§6 单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型
• 记号： M / D / 1 / ∞ / ∞ • 注：是 M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情况 = 0 • 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
*有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。
泊松分布为单位时间平均到达的顾客数为平均服务率，即单位时间服务的顾客数。
P (x) = x e- / x! (x = 0,1,2,……)
3、服务时间分布：服从负指数分布
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t
4、排队规则分类 (1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去；先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务。 (2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去； 5、平稳状态：业务活动与时间无关。
单位平均服务顾客数
P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
9
• 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率
§3 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
• 记号： M / M / C / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数
单位平均服务顾客数 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
4
• 关心的项目:

运筹学-排队论

（接受服务）
5
二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的非平稳的
6
14
9、其他常用数量指标
s —— 系统中并联服务台的数目；
—— 平均到达率；
1/
—— 平均到达间隔。
—— 平均服务率；
1/ —— 平均服务时间。
—— 服务强度，
每个服务台单位时间内的平均服务时间；
一般有 s ；当s=1时：
15
对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时，若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不一定全部进入系统，为此引入：
例如：某排队问题为
M / M / s / ∞ / ∞ /FCFS
则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。可简记为： M / M / s
12
四、排队系统的参数(分析结果)
1、队长（Ls）指在系统中的顾客数,期望值 2、排队长（Lq）指系统中排队等候服务的顾客数
13
5、忙期指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态n：指系统中的顾客数。 7、系统状态的概率Pn(t)：指时刻t、系统状态为n的概率。一般为关于t的微分方程、关于n的差分方程。 8、稳定状态：t→时，t=0时的系统不稳定状态将消失，系统的状态概率分布不再随时间变化，即 limPn(t)→Pn。

运筹学-排队论

定长分布（D）：每个顾客接受的服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ：顾客相继到达时间服从参数为的负指数分布；服务台数为1；服务时间服从参数为的负指数分布；系统的空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1，有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客相继到达时间间隔和服务时间这两个量中至少有一个是随机的，因此，排队论又称随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并记分布函数为A(t)。

《运筹学》排队论培训课件

一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源顾客到来
排队结构排队规则
服
服务规则
务机
构
离去
排队系统
图12-1
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和服务台等3个组成部分：
1、输入过程这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述输入过程。
3．忙期和闲期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，它关系到服务员的服务强度。
与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
除了上述几个基本数量指标外，还会用到其他一些重要的指标：
设随机变量T服从以为参数的负指数分布，它
的分布函数为：
P (T
t
)
1 0,
e
t
,
t 0 t 0
方差：E(t ) 1/ 期望：Var (t ) 1/ 2
负指数分布的性质：
性质1 由条件概率公式容易证明 p{T t s|T s} p{T t }
这性质称为无记忆性。若T表示排队系统中顾客到达的时间间隔，那么这个性质说明一个顾客到来所需要的时间与过去一个顾客到来所需要的时间s无关，所以说在这种情形下的顾客到达是纯随机的。
性质2 当单位时间内的顾客到达数服从以为平均数的泊松分布时，则顾客相继到达的间隔时间T服从负指数分布。
由性质2可知：相继到达的间隔时间是独立且为相同参数的负指数分布，与输入过程为泊松流（参数为）是等价的。
根据负指数分布与泊松流的关系可以推导出，当服

运筹学——排队论

1 对于泊松流， λ表示单位时间内平均到达的顾客数，因此，就表示
λ
相继顾客到达的平均间隔时间，这与 E[T ] =
1
λ
的意义正好相符。
18
服务时间v的分布对一顾客的服务时间（也即在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间）有时也服从负指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别为 Fv (t ) = 1 − e − µt , v的期望值 E (v) = 1 f v (t ) = µe − µt
期望值和方差相等，是泊松分布的一个重要特征，可以由此对一个经验分布是否是泊松分布进行初步的识别。
16
3、负指数分布（negtive exponential distribution）
随机变量T的概率密度若是 λe −λt , t ≥ 0 fT (t ) = 0, t < 0 则称T服从负指数分布。T 分布函数是 1 − e −λt , t ≥ 0 FT (t ) = 0, t < 0 E[T ] = 1
∞
∑ P (t , t + ∆t ) = o( ∆t )
n=2 n
15
通过建立Pn (t )与Pn (t + ∆t )之间的关系方程并求解，得到
( λ t ) n − λt Pn (t ) = e n! t > 0, n = 0,1,2,L
Pn (t ) = Pn (0, t )表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，并称随机变量 N (t )服从泊松分布，其数学期望和方差分别为 E[ N (t )] = λt Var[ N (t )] = λt
第12章 12章
排队论
排队论（随机服务系统理论）是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的排队系统的理论。

管理运筹学讲义第12 章排队理论

10
OR:SM
第三节标准M/M/1模型
一、模型特征
输入过程

顾客源无限；顾客到达方式是单个到达，且相互独立；输入过程服从参数为的泊松分布，到达过程平稳。队列为单队；队长无限，即系统容量无限；系统按先到先服务的等待制规则进行服务只有一个服务台；服务方式为单个服务，服务时间相互独立；服务时间服从相同参数的负指数分布。
第12 章排队理论
学习要点 Sub title
正确理解排队系统中排队规则和服务规则顾客输入过程和服务过程的时间分布函数排队问题的求解步骤及运行指标间的关系标准M/M/1模型的状态方程及其运行指标标准M/M/c模型与c个M/M/1模型的差别典型排队系统的结构优化和运行优化问题

求运行指标:
• 顾客数 • 排队时间 • 忙期
8 OR:SM
第二节排队问题求解
二、分布函数
• 泊松分布
条件：

输入流的平稳性输入流无后效性输入流的普通性输入流的有限性
n! 期望E (t ) t 方差 2 t
v0 v0
Pn (t )
性质： ( t ) n

平均等待时间 Wq Ws [服务时间]
忙期概率
P 0 忙 1 P
Ws Wq 1
Ws
1

Ws
Ls Ws

Lq Wq
16
Ls Lq Lq

OR:SM
第三节标准M/M/1模型
例题
为了评价某单人理发馆随机服务系统，记录了100个工作小时，每小时来理发的顾客数的统计情况。又记录了100次理发所用的时间，如表所示。

运筹学课件排队论

长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、
一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。
1.基本概念
（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出很多排队模型。为了方便对众多模型的描述，肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式：
前言
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见图1至图5。
图1 单服务台排队系统
前言
图2 单队列——S个服务台并联的排队系统图3 S个队列——S个服务台的并联排队系统
前言
图4 单队——多个服务台的串联排队系统图5 多队——多服务台混联、网络系统
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样的服务系统被称为随机服务系统。
1.基本概念
一排队系统的描述
（一）系统特征和基本排队过程实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
队长和排队长一般都是随机变量。我们希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。队长的分布是顾客和服务员都关心的，特别是对系统设计人员来说，如果能知道队长
的分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而确定合理的等待空间。
1.基本概念
2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段

运筹学—排队论共28页文档

运筹学—排队论
6、纪律是自由的第一条件。——黑格尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ——马一切都会陷入污泥中。 ——马克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而鲁莽，倔强而有原则，热情而不冲动，乐观而不盲目。 ——马克思
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

第12章排队论(清华教材)

排队论
Queueing theory
第一节
引言
一、排队系统的特征及排队论排队论（queueing theory）是研究排队系统的数学理论和方法
是运筹学的一个重要分支。
在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。如进餐馆就餐，到图书馆借书，在车站等车，去医院看病，去售票处购票，上工具房领物品等等。在这些问题中，餐馆的服务员与顾客、公共汽车与乘客、图书馆的出纳员与借阅者、医生与病人、售票员与买票人、管理员与工人等，均分别构成一个排队系统或服务系统。排队论又叫随机服务系统理论。排队问题的表现形式往往是拥挤现象，随着生产与服务的日益社会化，由排队引起的拥挤现象会愈来愈普遍。
具有优先权的服务( PS)规则
服务台根据顾客的优先权进行服务，优先权高的先接受服务。如病危的患者应优先治疗，加急的电报电话应优先处理等。
3、服务机制的描述(1)
3．服务机制排队系统的服务机制主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）顾客是单个还是成批接受服务服务时间的分布
在这些因素中，服务时间的分布更为重要一些记某服务台的服务时间为V 则常见的分布有： (1)定长分布(D) 其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)
排队系统的一般描述（1）
实际的排队系统可以千差万别，但都可以一般地描述如下：顾客为了得到某种服务而到达系统，若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统
顾客到达队列服务完成后离去
服务台
正在接受服务的顾客
单服务台排队系统服务台1 服务台2
顾客到达
队列
服务完成后离去多服务台排队系统
2、排队及排队规则(4)
逗留时间有限：等待时间与服务时间之和有限

12排队论(全)

17
12.2.4 排队系统容量
在有些排队系统中，其排队等候区域受到物理空间限制，当队
列达到一定长度时，后续的顾客无法进入等待区，除非当前接受服务的顾客接受服务后离开系统，后续新到顾客才被允许进入排队区等待。对于有限队列长度的排队系统，其到达的顾客可视为其到达数量必须累积到排队容量以后的成批的排队。这是最简单成批到达情况，原因在于顾客的批量是固定值。
8:02
8:20
8:29
P(t 8: 29 8: 20 (8: 20 8: 02) | t (8: 20 8: 02)) P(t 8: 29 8: 20)
P(t 9 18| t 18) P(t 9)
23
t
0
S
S
T
S+T
令指数分布 f(t) 表示相继事件之间的时间t的概率分布。如果 S为上一个事件发生以来的时间区间，则遗忘性意味着
如果进入排队系统的顾客流存在不确定性，此时用平均到达率或者平均间隔时间，仅能描述输入顾客的随机过程的集体趋势，如果要进一步完整地描述顾客到达模式，则需要顾客到达随机变量的概率分布。
顾客到达模式可能不是一次到达一个顾客，而是一批一批到达的，此时相邻批次到达的间隔时间可能是随机的，每批次的顾客数量也是随机的。
5
6
为什么会产生排队现象？
泛泛地说，是由于顾客需求量大于设施能提供的服务量。究竟又是什么原因导致服务设施的服务不足？原因很多，例如缺少服务点、提供的更多服务则经济上不可行、空间限制无法容纳更多的服务台。一般来说，当然可以通过增加投资建设更多的服务设施消除上述因素，但这需要分析“应该再增加多少服务台才可以消除排
通过、在银行柜台前很多顾客等待办理业务、城市中随时可能有急诊病人等待救护车的救援、港口外多艘万吨级船舶等待进港装卸货物、等待加工的零部件、等待装配的汽车等等。

卫生管理运筹学排队论

第八章排队论排队（queue）是社会活动中经常遇到的现象，如顾客到商店购物，学生去图书馆借书，病人上医院看病，仪器等待维修等等，当售货员、图书管理员、医生和修理员的数量满足不了顾客或病人及时服务的需要时，就出现了排队等待的现象．由于接受服务的顾客数和服务时间的随机性，排队现象是不可避免的．当然增加服务能力可以减少排队现象，但这样势必增加投资，有时因供大于求造成资源浪费．因此，在这样一个排队系统中，作为管理人员不但需要了解排队等待服务的顾客数，等待服务时间长度，系统内服务设施的空闲率等数量指标的变化规律，而且需要在满足顾客服务基本要求的条件下，研究如何提高服务质量、降低排队系统运行成本等问题．排队论就是解决这类问题的一门科学．在排队系统中要求得到某种服务的对象统称为顾客（customer），为顾客服务者统称为服务台（service facility）．根据顾客和服务台的不同情况，组成不同的排队系统．本章研究的主要内容是排队系统的状态概率、队长、等待时间、服务时间、服务台利用效率等运行指标，以及排队系统的优化问题．第一节排队系统的基本概念一、排队系统的组成一个排队系统或称服务系统（service system），有三个基本组成部分：即输入过程（arrival process）、排队规则（queue discipline）和服务规则（service discipline）．图8-1给出了排队系统的一般结构．1．输入过程：指顾客到达排队系统的规律，可用到达时间间隔或单位时间内顾客到达数的概率分布来描述；按到达的时间间隔分有确定的时间间隔和随机的时间间隔；按顾客到达的方式有单个到达和成批到达；从顾客源总体看，分有限源总体和无限源总体．2．排队规则：排队系统一般分为等待制、损失制和混合制．(1) 等待制顾客到达系统时，如果服务台没有空闲，则顾客排队等候服务．等待制服务的方式有：① 先到先服务（first come first service ，FCFS ）：按顾客到达先后给予服务，这是最常见的服务规则．② 后到先服务（last come first service ，LCFS ）：如情报收集中最后到达的信息最有价值，往往最先采用．③ 优先权服务（priority ，PR ）：如医院对危重病人给予优先治疗．④ 随机服务（service in random order ，SIRO ）：排队系统随机抽取等待服务的顾客．(2) 损失制顾客到达系统时，如果服务台没有空闲，则顾客离去，另求服务．如没有足够医生或医疗器械救治急诊患者，医院药物、卫生材料暂缺等．(3) 混合制它是介于等待制和损失制之间的形式．方式有：① 队伍长度有限，当队伍的长度小于N 时，新到顾客就排队等待；当队伍长度为N 时，新来顾客离去．如患者住院所需要的病床数有限就属此类．② 等待时间有限，新到顾客排队等候服务，一段时间后仍未得到服务，顾客离去．例如医院血库的血浆、生物制剂等．③ 逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限，顾客在系统中的逗留时间不得超过确定的时间．例如药品的有效期．3．服务机构：指排队系统中服务台的个数、排列及服务方式．排队系统中服务台的个数可以是一个或多个．多个服务台可以是串联或并联．排列结构大体有：(1) 单服务台、单列图8-2输出(2) 多服务台、单队列（多队列）(3) 多服务台串列(4) 多服务台混合医院里的CT室就是(1)的例子，口腔科、理疗室就是(2)的例子，先挂号候诊再住院手术就是(3)或(4)的例子．服务方式上有单个服务，也有成批服务的，如医院里的上下电梯．二、排队系统的评价指标排队论研究的问题，可以分成两大类，第一类问题是在服务设施设置之前，根据顾客输入过程与服务过程的要求，结合对系统的一定数量指标与服务过程要求（如规定服务质量的必需水平），确定服务设施（如诊断室、检验科、供应中心等等）的图8-3图8-4图8-5…图8-6规模；第二类问题是对已有的服务系统施以最优控制，改进和提高排队系统工作效率．排队系统的数量指标主要有：1．单位时间内到达的顾客数的期望值，即单位时间内的平均到达率，记作λ．而λ1表示相邻两个顾客到达的平均间隔时间．2．单位时间内服务的顾客数的期望值，即单位时间内顾客的平均离去率，记作μ．同样，μ1表示每个顾客的平均服务时间．3．在时刻t时排队系统中恰有n个顾客的概率()tPn ，显然()tP为系统空闲率．4．系统内的平均顾客数称为队长（queue length），记作L．5．系统内排队等待服务的平均顾客数称为等待队长，记作qL．6．顾客从进入系统到接受完服务后离开系统的平均时间称为平均逗留时间，记作W．7．顾客在系统内排队等待服务的平均时间称为平均等待时间(waiting time)，记作qW．三、排队模型的符号表示由于排队系统的特征可以有许许多多的组合，从而形成不同的排队模型．本章采用A/B/C/m/N形式表示不同排队模型．其中：A——顾客到达间隔时间概率分布B——服务时间的概率分布C——服务台数m——顾客源总数N——系统内顾客的容量例如：M/M/ 1 / ∞/ 12排队模型的特点是：顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布（M指负指数分布，具有无记忆性，即Markov性），单服务台，顾客来源总体数无限，系统的顾客容量为12．四、排队系统的常见分布顾客到达和离开分别构成排队系统的输入与输出过程流．到达分布和离开分布确定了到达系统和离开系统的顾客数这两个随机变量的分布．求解排队系统有关数量指标问题，首先要确定顾客到达流的概率分布，即在一定的时间间隔内来n 个顾客的概率是多大．其次是要确定顾客离开流的概率分布，即在一定的时间内服务完m 个顾客的概率是多大．实际问题研究中，可根据原始资料测算顾客在单位时间平均到达流的经验分布，然后按照统计学的方法（例如，2χ检验法）确定资料适合于哪种理论分布，并估计理论分布的参数值，这是确定排队模型的前提．1．泊松分布（Poisson distribution ）在排队论中，最基本的排队模型是在给定时间内到达系统的顾客数服从泊松分布，即顾客到达流是泊松流（也称最简单流）．它具有如下性质：(1) 平稳性：在时间+t △t 内，到达n 个顾客的概率只与△t 和n 的大小有关，而与时刻起点t 无关．(2) 无后效性：在时间+t △t 内到达n 个顾客的概率与起始时刻之前到达多少个顾客无关．(3) 普通性：对于充分小的时间间隔△t ，在时间+t △t 内最多有一个顾客到达系统．即在时间+t △t 内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，有()0lim2=∆+∑∞=→∆t t P n nt可以证明，在长为t 的时间内到达n 个顾客的概率为：()(),2,1,00!)(=>=-n t e n t t P tn n λλ （8-1）当1=t 时，即单位时间内到达n 个顾客的概率为：()λλ-==e n P P nn n !1其中λ为单位时间内到达系统的顾客的期望值． 2．负指数分布(negative exponential distribution )理论上可以证明若顾客在单位时间内到达系统的个数X 是服从参数为λ的泊松分布，则顾客到达系统的间隔时间T 服从参数为λ的负指数分布，反之亦然．即同一随机过程可从两种不同的角度用两种分布来描述．负指数分布的概率密度为：)0()(>=-t e t f tT λλ间隔时间T 的期望值。

管理运筹学讲义 第12 章 排队理论

《运筹学排队论》课件

运筹学排队论-文档资料

管理运筹学-排队论

运筹学-排队论

运筹学-排队论

《运筹学》排队论培训课件

运筹学——排队论

管理运筹学讲义 第12 章 排队理论

运筹学课件排队论

运筹学—排队论共28页文档

第12章排队论(清华教材)

12排队论(全)

卫生管理运筹学排队论

管理运筹学讲义第12 章排队理论

管理运筹学讲义第12 章排队理论