伯努利家族的贡献

9.1.1 伯努利家族的贡献

摆是人们日常生活中司空见惯见惯的现象， 如老式时钟的钟锤的摆动等；然而在数学家的 眼里却是一个难得的课题：这就是沿着怎样的 一条曲线，使得摆动的周期与振幅无关？惠更 斯从几何上引进摆线解决了这个问题。出乎人 意料的是由这个问题又引出了一个更为深刻的 问题。根据惠更斯等人的研究成果，摆的近似 周期 T 2 l / g 依赖于重力加速度g，故 用摆的周期可以测量地球表面不同地点的重力。 只要沿着地球的一条经线依次测量


并没有给出这些方程的解。 弹性问题也是促使微分方程迅速发展的一 个重要课题，这一问题最早是在建筑中考虑房 梁在外加荷载下所形成的形状而提出的。这类 问题反映在数学中的形式是悬链线方程、振动 弦的方程、两端固定的弹性振动方程等。 在解决这些问题的过程中，伯努利家族 可以说是风光无限。这个家庭是数学与科学史 上最著名的家族之一，自17世纪以来，产生了 许多著名的数学家和科学家.其中雅各布· 伯努 利（Jacob Bernoulli,1654—1705）和约翰· 伯 努利（John Bernoulli,1667—1745）兄弟最为 著名。早先雅各布研究神学，约翰学医，但当
9.1 来自物理学的问题——微分方程

当牛顿、莱布尼茨创立了微积分以后，数 学家们便开始谋求微积分这一有力的工具去解 决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得 不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不 能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要 专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运 而生了。因此可以说，早在牛顿甚至牛顿以前 的时代，微分方程就开始进入到数学家的研究 视野中来了。
出相当于纬度改变一度的长度，再利用某一理 论和相应的g值，就可确定再地球的形状。事 实上，牛顿根据观察到的摆周期随地球表面不 同地点的变化推断出：地球在赤道上是鼓起的， 地球的赤道半径超过极半径1/230。为了对牛 顿的推断加以核实，许多科学家着手进行实测， 可能是测量工具不太精确，出现两种截然不同 的结论。然而此时的牛顿却更深入到天文学中 的“三体问题”中去了。所谓三体问题是指在 太阳和地球引力作用下月球的状态，这正是研 究行星及其卫星在太阳引力和所有别的星体的 相互吸引下的运动的开端。这个问题导致了牛 顿对二阶微分方程级的探讨，不过，牛顿


弧长，C则是依赖于弦在单位长度内的重量。 从这个微分方程可以推导出我们现在写成 x y C cosh C 的解，对此约翰感大莫大的骄傲，他认为这是 胜过自己哥哥的一个重要标志，因为他的哥哥 尽管提出这个难题但却不能解决它。 在这两兄弟的相互竞赛中，在1691年到 1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非 弹Байду номын сангаас软绳、等厚度的弹性软绳以及在每一点上 的作用力都指向一个固定中心的细绳所成形状 的问题。在解决这些问题的过程中，他们总结 出了解微分方程的变量分离法。特别是约 翰· 伯努利对这些方法作了完整的阐述，证明
b y a dy a dx
的解，雅各布· 伯努利认为这个微分等式两端 的积分必相等，并给出解答 2 3 2b y 2a 2 3 3 b y a x a 3b2 这是一条摆线。在给出这个问题解答的同一篇 论文中，雅各布· 伯努利提出了一个新的问题： 一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点, 求这个弦所形成的曲线.莱布尼茨称此曲线为 悬链线。问题提出一年后，莱布尼茨、惠更斯 和约翰· 伯努利分别给出了解答。其中约翰的 解答是这样的：首先将其归结为一个微分方 程 dy S ，其中S是由B到任意点A之间的 dx C

莱布尼茨的数学论文发表以后，他们都决意要 当数学家而成为了莱布尼茨最早的学生。尽管 这兄弟俩在学术问题上势不两立，经常争论得 不可开交，但在莱布尼茨的影响下，他们都认 识到微积分的巨大作用，并成功地将其应用于 各种各样的问题。 1690年，雅各布· 伯努利在考虑“求一条 曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动都取 相等的时间，而不管摆所经历的弧长大小”这 样的一个所谓的“等时问题”时，将其归结为 求一个微分方程 2 3 3
9.1.2 欧拉


如果说17世纪的微分方程仍然是微积分 的一部分的话，18世纪则是微分方程形成自身 独特理论体系的全新时代，而在这一时代尤以 欧拉的工作最为杰出。 欧拉（L.Euler,1707—1783）生于瑞士的 巴塞尔（Basel）。父亲保罗· 欧拉是一位牧师， 喜欢数学，所以欧拉从小就受到这方面的熏陶。 但父亲却执意让他攻读神学，以便将来接他的 班。幸运的是，欧拉并没有走父亲为他安排好 的路。父亲曾在巴塞尔大学上过学，与
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分析的时代——微积分的进 一步发展

17世纪由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学 的研究提供了强有力的工具。此后的大部分数学家的 注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引。尽 管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但 大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地 去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、 拉普拉斯、柯西和魏尔斯特拉斯等人。从18世纪到19 世纪上半叶的数学发展，可以说就是围绕这些天才大 师展开的。经过这些数学家的努力，在微积分的基础 上又产生了一些新的数学分支，如微分方程、无穷级 数、微分几何、函数论、积分发展、变分法、泛函分 析等等，这些学科的的总称也常常叫做数学分析，有 时被用作是微积分的同义语。可以说，17世纪到19世 纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史。

了如何将一次齐次方程化为可以分离变量类型 的方程，并将这种方法用到求正交轨线的方程 上。这一方法实际上最早应归功于莱布尼茨。 dy (n) P ( x ) Q ( x ) y 至于著名的伯努利方程 dx 则是 由雅各布· 伯努利于1695年提出的，莱布尼茨 利用变换 z y1 n 将其化为关于y和y’的线 性方程来处理，伯努利兄弟也给出了各自的解 法，但本质上都是变量分离法。