泛函分析教学大纲

《泛函分析》课程教学大纲

一课程说明

1.课程基本情况

课程名称：泛函分析

英文名称：Functional Analysis

课程编号：2411215

开课专业：数学与应用数学

开课学期：第6学期

学分/周学时：3/3

课程类型：专业方向选修课

2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是现代数学的一个重要分支。它综合地运用分析、代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，是将具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行的研究。随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支以及将其应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理、工程技术等领域有很大帮助。

3．本课程的教学目的和任务

本课程基本要求学生能理解该学科的思想及应用性，掌握基本理论方法，了解定理证明过程。通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求

泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某

些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

5．教学时数及课时分配

二教材及主要参考书

1. 程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》（下册）（第三版），高等教育出版社，2010年6月.

2.曹广福等编.《实变函数论与泛函分析》（下册）（第三版），高教出版社，2011年6月.

3．张恭庆、林源渠编著，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1987年.

4.夏道行等编.《实变函数与泛函分析》（下册）(第二版)，高等教育出版社，2005年.

5．李广民编.《应用泛函分析》.西安电子科技大学出版社，2004.

三教学方法和教学手段说明

《泛函分析》课程的特点是：基本概念多且非常抽象，理论推证很多而且繁长，教学中极需展示数学思维的活动过程。采用讲授式的教学方法和自主学习方法相结合，设问解疑，激发学生的求知欲望和培养学生的自学能力。与此同时，教师要在教材处理和备课上狠下功夫，注重教学研究和教学方法，教师除讲清课程内容外，还经常穿插数学史、数学方法论和某些新成果以及同其他数学分支的联系，激发学生的学习热情和兴趣；课后，除布置适量的作业外，经常给学生布置一些不落俗套思考题、判断题、改错题等。

四成绩考核办法

本课程是一门考试课程，考核以笔试为主,闭卷。主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。成绩考核办法按学校教务处的相关规定执行。

五教学内容

第一部分距离空间和赋范线性空间（16学时）

一、教学目的

通过本章的学习使学生了解距离空间中定义及例，距离空间中收敛的概念。掌握距离空间的完备性，熟练掌握压缩映照原理及应用，为后面学习打下基础。

二、教学重点

距离空间基本概念，压缩映照原理及应用。

三、教学难点

稠密集，距离空间的完备化，可分空间。

四、讲授要求

通过本章的学习使学生掌握具体距离空间中收敛的意义并熟练应用柯西列

证明距离空间的完备性；熟练掌握压缩映照原理及应用。

五、讲授要点

距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，柯西点列。

第二部分有界线性算子与连续线性泛函（4学时）

一、教学目的

通过本章的学习使学生理解有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质，掌握共轭空间和有界线性算子空间。

二、教学重点

有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质。

三、教学难点

共轭空间，有界线性算子空间，广义函数。

四、讲授要求

通过本章的学习使学生理解有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质，掌握共轭空间和有界线性算子空间。

五、讲授要点

有界线性算子，连续线性泛函，共轭空间，有界线性算子空间，广义函数。

第三部分内积空间与Hilbert空间（10学时）

一、教学目的

通过学习内积空间的基本概念，理解直交系及三种算子，掌握投影定理与投影算子及其应用。

二、教学重点

内积空间的基本概念，直交与直交系。

三、教学难点

投影定理与投影算子及其应用。

四、讲授要求

通过学习内积空间的基本概念，理解直交系及三种算子，掌握投影定理与投影算子及其应用。

五、讲授要点

内积空间的定义、性质及例子，投影定理，Hilbert空间中的规范正交系，Hilbert空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

第四部分 Banach空间中的基本定理（14学时）

一、教学目的

通过学习此章，理解共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，掌握Banach空间中的几个基本定理：泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。

二、教学重点

共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛。

三、教学难点

Banach空间中的几个基本定理：泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。

四、讲授要求

通过学习此章，理解共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，掌握Banach空间中的几个基本定理：泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。

五、讲授要点

共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。

第五部分线性算子的谱（10学时）