泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲课程基本信息1课程代码MA3082课程
《泛函分析》教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA3082、课程名称（中文）：泛函分析课程名称（英文）：Functional Analysis3、学时/学分：72学时/4学分4、先修课程：数学分析，高等代数，空间解析几何，微分方程及实变函数。
5、面向对象：数学系本科生6、开课院系：理学院数学系7、推荐教学参考书(按作者姓名拼音排序)：●程其襄，张奠宙等：实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004●郭大均等：实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986● F.黎茨，B.塞克福尔维-纳吉著，庄万等译：《泛函分析讲义》第一卷，第二卷，科学出版社，1981.●Л.A.刘斯铁尔尼克，B.N.索波列夫著，杨从仁译：《泛函分析概要》，科学出版社，1964.●W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.●夏道行，吴卓人，严邵宗，舒五昌编著：《实变函数与泛函分析概要》下册，高等教育出版社，1984●K. Yosida, Functional Analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.●张恭庆，林源渠编著：《泛函分析讲义》上册，北京大学出版社，1990.●郑维行，王声望：《实变函数与泛函分析概要》下册，高等教育出版社，1992（第二版）二、课程的性质和任务本课程是数学系本科生必修的基础课程，该课程集中了作为现代数学基础的重要的基本思想方法。
内容可归纳为空间论、算子论及谱论。
空间论部分，主要讲解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和内积空间，以及它们的拓扑结构和空间结构等等。
泛函分析(科) 教学大纲
泛函分析（科）一、课程说明课程编号：130911Z10课程名称（中/英文）：泛函分析（科）/Functional Analysis课程类别：专业核心课学时/学分：88/5.5先修课程：数学分析、高等代数、实变函数适用专业：数学科学班教材、教学参考书：《泛函分析》江泽坚孙善利，高等教育出版社，2005；《泛函分析讲义》（上册）张恭庆林源渠，北京大学出版社，1995.二、课程设置的目的意义泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间满足各种代数和拓扑条件的映射的分支学科。
它是从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
它已成为现代纯粹数学和应用数学研究和应用的基础,在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。
这门课程旨在引导相关专业的学生初步进入这一领域；培养学生对数学分析、拓扑学、代数等知识的综合运用能力；为进一步学习研究现代数学打下良好基础.三、课程的基本要求泛函分析是数学各专业的核心课程之一。
通过本课程的学习，学生应该理解泛函分析的基本思想；掌握度量空间、赋范线性空间、有界线性算子，内积空间，算子的谱等基本概念；掌握Hilbert空间和Banach空间的基本理论。
四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求共计安排24学时的习题课，用以讲解与讨论每一章节课后的练习题。
其中，一部分为基础练习题，目的是加深对于基本概念的理解，促使掌握基本原理的典型运用；一部分为拓展练习题，目的是对课堂讲解内容作适度的补充以及延伸。
六、考核方式及成绩评定七、大纲主撰人：大纲审核人：。
泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲第一篇：泛函分析教学大纲一、教学目的通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。
二、教学重点线性算子的谱及分类，全连续算子。
三、教学难点紧集和紧线性算子的谱。
四、讲授要求通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。
五、讲授要点谱集及分类，有界线性算子谱的性质，紧集合全连续算子，紧线性算子的谱。
第二篇：泛函分析教学大纲课号：218.116.1泛函分析教学大纲(Functional Analysis)学分数 3 周学时 4一.说明1.课程名称: 泛函分析(一学期课程)，第五学期(3+1)*18=72.2.教学目的和要求:(1)课程性质: 本课程是数学系专业基础课, 为数学系本科三年级学生所必修。
(2)基本内容: 本课程主要内容: 度量空间中点集分析，赋范空间上算子与几何，内积空间中几何与算子，线性算子谱理论。
(3)基本要求: 通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。
3.教学方式: 课堂授课。
4.考试方式: 考试。
5.教材: 《泛函分析》讲义，郭坤宇，徐胜芝编参考书: 《实变函数与泛函分析》夏道行等编, 高等教育出版社。
二.讲授纲要第一章度量空间中点集分析1.1 度量空间(3学时)1.2 度量拓扑(2学时)1.3 数值函数(2学时)1.4 紧~~~与极值(2学时)1.5 贝尔纲论(3学时)1.6 函数空间(2学时)本章要求: 通过学习度量空间的基本点集理论, 读者应能熟悉紧集与其应用, 熟悉纲理论及其应用, 掌握映射的连续性与数值函数的上半连续与下半连续性及其特征.第二章赋范空间上算子与几何有界线性算子(3学时)连续线性泛函(3学时)弱收敛与共轭(2学时)一致有界原理(2学时)开映射与闭算子(3学时)凸集与超平面(2学时)本章要求: 通过学习有界线性算子的基本理论, 读者应能掌握线性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析与几何上的应用;一致有界原理及其应用;开映射原理与闭图像定理的应用等.第三章内积空间上几何与算子内积空间(2学时)共轭算子(2学时)投影算子(2学时)基与维数(2学时)赋范代数(2学时)本章要求: 通过学习内积空间的几何, 掌握投影定理与投影算子的应用,直交基的确立及其应用.第四章线性算子谱理论正则点与谱点(3学时)紧算子谱分析(3学时)有界正规算子(2学时)无界线性算子(2学时)谱测度与积分(3学时)指标理论初步(2学时)本章要求: 通过学习线性算子谱理论, 读者应能计算一些典型线性算子如单向平移和乘法算子等的谱, 提高利用Gelfand谱理论分析谱的能力, 掌握正规算子谱分解及其应用, 能分析紧算子的谱并掌握Fredholm算子指标的应用.第三篇：泛函分析1.设(X,d)为距离空间。
泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲一、泛函分析课程说明(一) 课程代码 08130013(二) 课程英文名称:Functional Analysis(三) 开课对象: 数学与应用数学专业本科生(四) 课程性质:泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。
本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。
通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》(五) 教学目的通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础(六) 教学内容本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。
通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。
习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。
(七) 学时、学分数及学时数具体分配教学时数：72学时学分数： 4 学分教学时数具体分配(八) 教学方式以教师讲解为主的课堂教学方式(九) 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。
平时成绩占30％，期末成绩占70％。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章度量空间和赋范线性空间教学要点:1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X3 有理点集是可数稠密集4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间教学时数:12学时教学内容第一节度量空间第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间第三节连续影射第四节柯西点列和完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间考核要求：第一节度量空间（识记）第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间（领会与应用）第三节连续影射（领会与应用）第四节柯西点列和完备度量空间（领会与应用）第五节度量空间的完备化（领会）第六节压缩映射原理及其应用（领会与应用）第七节线性空间（领会与应用）第八节赋范线性空间和Banach空间（领会与应用）第二章有界线性算子和连续线性泛函教学要点:1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间3 掌握线性同构的概念教学时数：16学时教学内容第一节有界线性算子和连续线性泛函第二节有界线性算子空间和共轭空间第三节广义函数考核要求：第一节有界线性算子和连续线性泛函（识记、领会、应用）第二节有界线性算子空间和共轭空间（识记、领会、应用）第三节广义函数（领会）第三章内积空间和Hilbert空间教学要点:1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系教学时数：20学时教学内容：第一节内积空间的基本概念第二节投影定理第三节 Hilbert空间中的规范正交系第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函第五节自伴算子,酉算子和正常算子考核要求：第一节内积空间的基本概念（识记，领会，应用）第二节投影定理（领会，应用）第三节 Hilbert空间中的规范正交系（领会，应用）第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函（领会，应用）第五节自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）第四章Banach空间中的基本定理教学要点:1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理2 掌握弱收敛和强收敛的概念3 理解Baie纲定理教学时数：16学时教学内容第一节泛函延拓定理第二节 C[a,b]的共轭空间第三节共轭算子第四节纲定理和一致有界定理第五节强收敛,弱收敛和一致收敛第六节逆算子定理第七节闭图象定理考核要求：第一节泛函延拓定理（领会，应用）第二节 C[a,b]的共轭空间（领会，应用）第三节共轭算子（识记，领会，应用）第四节纲定理和一致有界定理（领会，应用）第五节强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）第六节逆算子定理（领会，应用）第七节闭图象定理（领会，应用）第五章线性算子的谱教学要点:1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广2 赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集3 用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程教学时数：8学时教学内容第一节谱的概念第二节有界线性算子谱的基本性质第三节紧集和全连续算子第四节自伴全连续算子的谱论第五节具对称核的积分方程考核要求：第一节谱的概念（识记，领会）第二节有界线性算子谱的基本性质（领会，应用）第三节紧集和全连续算子（领会，应用）第四节自伴全连续算子的谱论（领会，应用）第五节具对称核的积分方程（领会，应用）三、推荐教材和参考书目《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社《实变函数论与泛函分析概要》,王声望, 第二版，高等教育出版社《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社Introduction to Functioal Analysis,A.B.Tayor,New york Functional Analysis.Walter Rudin,New York:Mcgraw-Hill Book Com。
泛函分析 教学大纲
泛函分析一、课程说明课程编号：130111Z10课程名称：泛函分析/Functional Analysis课程类别：专业教育课程（专业核心课）学时/学分：56/3.5先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何、实变函数、拓扑学适用专业：数学与应用数学教材、教学参考书：1. 黎永锦, 泛函分析讲义，科学出版社，20112. 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社，19873. 刘培德, 泛函分析基础,武汉大学出版社，20014. 夏道行，吴卓人等，实变函数与泛函分析（下），高等教育出版社，20055. 程其襄，张奠宙等，实变函数与泛函分析基础（下），高等教育出版社，2010二、课程设置的目的意义《泛函分析》是数学与应用数学专业核心课程，是现代数学中的主要数学分支之一。
泛函分析的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。
它综合地运用分析、代数和拓扑的观点与方法研究数学中的诸多问题，它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题，形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法。
该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础。
三、课程的基本要求通过该课程的学习，使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用，掌握泛函分析中诸如度量，范数，线性算子，内积，直交投影等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论等，学会用代数、分析和拓扑学知识综合处理问题的新方法，弄清有限维空间与无穷维空间的差别，学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法。
1、知识要求：（1）正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念；理解并掌握度量空间中的内点，极限点，开集、闭集、闭包等概念；（2）理解并掌握列紧集及紧集的概念以及紧集、列紧集上的连续映射的性质；（3）熟练掌握压缩映照原理及其应用；（4）理解线性空间和范数的概念以及相关的例子；掌握范数的等价性及判别方法；（5）掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质；（6）理解并掌握线性连续泛函与Hahn-Banach保范延拓定理；（7）熟练掌握线性算子范数的计算；（8）熟练掌握一致有界原理；熟练掌握开映射定理、闭图像定理、逆算子定理以及应用；（9）掌握求序列空间的共轭空间的基本方法，具体空间上的有界线性泛函的表示；（10）理解并掌握共轭算子及其性质；（11）理解并掌握弱收敛；（12）掌握内积的定义，内积中的一些不等式；理解并掌握内积空间的正交集及其性质；（13）理解投影定理；理解并掌握Riesz表示定理。
泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲一、课程概述泛函分析是数学的一个重要分支，它集合了线性代数、函数分析和拓扑学的方法和理论，用于研究无限维空间中的函数类和算子。
本课程旨在介绍泛函分析的基本概念、理论和应用，培养学生的抽象思维和数学推理能力。
二、教材主教材：《泛函分析导论》（第三版）- Walter Rudin辅助教材：《实变函数与泛函分析》- 杨维明、李荣华三、教学目标1. 了解泛函空间的基本概念和性质，如：范数、完备性、可分性等。
2. 掌握泛函分析中的重要定理和结论，如：泛函的极值问题、开映射定理、闭图像定理等。
3. 理解并应用泛函分析在数学及其他学科中的实际应用，如：泊松方程、最小二乘法等。
4. 培养学生的抽象思维和数学推理能力，培养学生对数学问题的分析和解决能力。
四、教学内容及安排1. 范数空间- 定义和基本性质- 例子：赋范空间、Banach空间、Hilbert空间等 2. 泛函空间- 定义和基本性质- 例子：连续函数空间、L^p空间、Sobolev空间等 3. 算子理论- 线性算子和有界算子- 特征值和特征向量- 正规算子和紧算子4. 泛函分析中的重要定理- Hahn-Banach定理及其几何意义- 开映射定理和闭图像定理- 范数空间上的Riesz表示定理5. 实际应用- 泊松方程及其解的存在性和唯一性- 最小二乘法及其在数据拟合中的应用五、教学方法1. 理论讲授：通过讲解、演示和示例分析，系统介绍各个概念、定理和方法。
2. 习题训练：针对不同内容和难度的习题，培养学生的问题解决能力和思维灵活性。
3. 实例分析：引入相关的实际问题和案例，让学生将抽象的概念和理论与实际问题联系起来，提高应用能力。
六、学时安排本课程总共授课48学时，其中包括理论课、实践课和讨论课等形式。
- 范数空间和泛函空间：6学时- 算子理论：6学时- 泛函分析中的重要定理：8学时- 实际应用：8学时- 综合练习和讨论：12学时- 期末复习和考试：8学时七、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和小测验成绩等。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲一、课程概述《泛函分析》是数学专业的研究生核心课程之一，主要介绍泛函空间中线性算子、拓扑空间、紧算子、测度及积分、特征值问题等内容。
本课程的学习目标是让学生掌握泛函分析的基本理论和方法，培养学生独立分析和解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握泛函空间的基本概念及性质；2.熟悉线性算子的定义、性质和范数；3.熟练运用拓扑空间的知识进行分析；4.理解紧算子的定义、性质和应用；5.熟悉测度及积分的基本概念和性质；6.能够解决特征值问题并应用于实际问题。
三、教学内容及课时安排1.泛函空间的基本概念与性质（3课时）1.1线性空间的定义和基本性质1.2赋范线性空间的定义和范数1.3内积空间的定义和内积2.线性算子的定义、性质和范数（3课时）2.1线性算子的定义和性质2.2算子的闭图像定理2.3范数的定义和性质3.拓扑空间及其性质（4课时）3.1拓扑空间的概念和性质3.2开集、闭集和邻域的定义3.3连通性、紧性与局部紧性4.紧算子的定义、性质和应用（4课时）4.1紧算子的定义和性质4.2 Arzelà-Ascoli定理4.3 Fredholm算子的性质和应用5.测度及积分的基本概念和性质（4课时）5.1测度的定义和性质5.2积分的定义和性质5.3可测函数的性质和分解6.特征值问题及其应用（4课时）6.1特征值问题的定义和基本性质6.2特征值问题的解法6.3特征值问题在物理和工程学中的应用四、教学方法1.讲授与讨论相结合，理论和实例相结合，拓展学生的思维；2.通过实例分析和讲解提高学生的应用能力；3.鼓励学生进行课外阅读和综合研究，提高学生的自主学习能力；4.组织学生进行小组讨论和展示，提高学生的合作和表达能力。
五、考核方式1.平时表现（10%）：包括课堂参与、作业完成情况等；2.课程论文（30%）：要求学生选择一个泛函分析领域的研究课题进行深入阅读和分析，并撰写一篇学术论文；3.期末考试（60%）：考核学生对泛函分析的理论知识和应用能力。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲一、课程概述1.1课程名称：泛函分析1.2学分：3学分1.3总学时：54学时（每周3学时，共18周）1.4先修课程：数学分析、线性代数1.5课程性质：必修课程1.6课程教材：《泛函分析导论》（杨宗胜著）、《泛函分析》（顾兆麟著）二、教学目标2.1知识目标掌握泛函空间的基本概念、性质和结构；熟悉泛函的连续性、可分性和完备性的相关理论；学习泛函的一些常用技巧和方法。
2.2能力目标能够利用泛函分析的基本理论解决实际问题；能够运用泛函分析的方法进行数学建模和分析。
三、教学内容3.1泛函空间3.1.1基本概念：范数、内积、赋范线性空间、希尔伯特空间3.1.2基本算子：线性算子、有界线性算子、伴随算子、幂零算子3.1.3 例子和常见空间：有限维空间、无穷维空间、连续函数空间、$L^p$空间、Sobolev空间等3.2连续性与收敛性3.2.1等价范和等度量空间3.2.2函数序列的一致收敛与逐点收敛3.2.3一致收敛对收敛性的影响3.2.4可分性的等价定义3.3完备性与紧性3.3.1 Cauchy序列与完备性3.3.2 Baire范胞定理3.3.3可列并的完备性和范数完备性3.3.4紧性的等价定义3.4泛函空间的结构3.4.1赋范线性空间的线性性质3.4.2收敛序列的性质与特征3.4.3线性算子的开集定理3.4.4可分空间的稠密性3.5一些重要的泛函3.5.1 凸泛函与Legendre-Fenchel变换3.5.2泛函的连续可微性3.5.3范数空间的双共轭空间3.5.4双线性泛函和正交分解四、教学方法4.1讲授教学法：通过教师的讲授和示范，介绍泛函分析的基本概念、理论和技巧。
4.2引导教学法：通过引导学生解决实际问题和讨论习题，培养学生的分析和解决问题的能力。
4.3实践教学法：通过课堂练习、实例分析和泛函分析的应用实例，让学生对泛函分析的方法和技巧有更深入的认识。
五、教学评价方法5.1平时成绩：包括课堂表现、课后作业和小测验成绩等，占总评成绩的40%。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，72学时，4学分。
二、课程的性质、目的和任务泛函分析是数学专业一门重要的指定选修课，它是以集合论为基础的近代分析数学的一个重要组成部分。
通过课程的学习，使学生了解并进而掌握近代抽象分析的基本内容，扩大学生们通常的三维欧氏空间的视野，加深对数学分析和中学数学的认识和了解。
三、课程教学的基本要求在概要讲述和掌握实变函数中的集合论和欧氏空间中的点集等预备知识的基础上，理解和掌握度量空间的定义，性质及其上度量的特征，熟练掌握度量空间的典型例子；线性赋范空间的定义和性质及典型的Banach空间例子；内积空间的定义和性质；Hilbert空间及其特征；理解线性有界算子(线性连续泛函) 的概念，性质，了解线性算子空间和共朝空间的理论；初步理解和掌握空间中的四大基本定理；泛函延拓定理；一致有界性定理；逆算自定理和闭图象定理；理解线性算子的谱理论初步等。
四、课程的教学内容，重点和难点(-)预备知识1.集合的概念，运算，基数，可数集与不可数集。
2.欧氏空间中的聚点，内点，界点，开集，闭集和完备集等概念和性质。
(-)度量空间1.度量空间的定义及典型例子2.度量空间中的极限，连续映照3. Cauchy点列和完备度量空间4.压缩映照原理及其应用(三)赋范线性空间1.线性空间的定义2.赋范线性空间的定义性质和典型例子3. Banach空间及例子4.有限维赋范线性空间及性质（四）线性有界算子和线性连续泛函1.线性有界算子和线性连续泛函2.线性算子空间和共朝空间（五）内积空间1.内积空间的基本概念，性质，Herbert空间2.投影定理3. Herbert空间上的赋范直交系4. Herberl空间上的线性连续泛函5.自伴算子，酉算子和正常算子（六）Banach空间中的基本定理1.泛函延拓定理，C[a,b]的共舸空间2. 一致有界性定理3.强收敛，弱收敛和一致收敛4.逆算子定理5.闭图象定理（七）线性算子的谱论初步1.谱的概念2.有界线性算子谱的基本性质3.自伴全连续算子的谱论五、课程各教学环节的要求由于本课程概念较多，理论性强，比较抽象，学习时会感到困难，所以在教学过程中的各环节上要注意方法，尽量的多讲一些例子，以帮助学生理解。
“泛函分析”课程教学大纲
“泛函分析”课程教学大纲（本教学大纲按适用专业分（A）、（B）两类）“泛函分析”课程教学大纲（A）课程编号：00834250课程名称：泛函分析英文名称：FunctionalAnalysis课程学分：4课程学时数：64开课学期：春季适用专业：数理学基地班,数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，实变函数一、基本教学目的和任务泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。
泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。
本课程主要讲述线性泛函分析。
使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。
本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。
本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。
二、课程内容与建议学时本课程的内容包括以下几个部分:绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。
绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。
内容的前三章侧重于泛函分析中的空间理论,特别是Hilbert空间的几何特征。
第四章介绍了有界线性算子以及有界线性算子空间的概念，系统地讲述Banach空间中的基本定理和它们的应用，即：一致有界原理，开映像定理和闭图像定理。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲课程编码：110819课程名称：泛函分析学时/学分：54/3先修课程：《数学分析》、《实变函数》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析与方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课，是现代数学中的一个较新的重要分支，它综合地运用分析、代数和几何的观点与方法，研究分析数学，现代物理和现代工程技术提出的许多问题。
2．课程任务：通过该课程的学习，使学生掌握泛函分析中的基本概念、基本方法。
初步了解其思想方法对现代纯粹数学与应用数学、理论物理及现代工程技术理论等问题的渗透，为今后更进一步的数学研究工作打下坚实的基础。
二、课程教学基本要求在概要讲述和掌握实变函数中的集合论和欧氏空间中的点集等预备知识的基础上，理解和掌握度量空间的定义、性质及其上度量的特征，熟练掌握度量空间的典型例子；线性赋范空间的定义和性质及典型的Banach空间例子；内积空间的定义和性质；Hilbert空间及其特征；理解线性有界算子（线性连续泛函）的概念、性质，了解线性算子空间和共轭空间的理论；初步理解和掌握空间中的四大基本定理；泛函延拓定理；一致有界性定理；逆算自定理和闭图象定理；理解线性算子的谱理论初步等。
成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章距离空间与赋范空间1．教学基本要求通过本章学习使学生理解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和内积空间，以及它们的拓扑结构和空间结构等。
2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章教学使学生理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；进一步了解连续映射的概念；掌握完备的度量空间；理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲《泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：泛函分析英文名称：Functional analysis课程类别：选修课学时：54学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考察先修课程：数学分析，高等代数，实变函数二、课程简介《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。
本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。
三、课程性质与教学目的1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。
在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。
2、本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。
3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。
4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。
5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。
四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章度量空间和赋范线性空间（14学时）(1) 度量空间的进一步例子(2) 度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性）(3) 连续映射（度量空间上的连续映射）(4) 柯西(Cauchy)点列和完备度量空间(5) 度量空间的完备化（完备的距离空间，第一第二类型集，距离空间的完备化）(6) 压缩映射原理及其应用(7) 线性空间(8) 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间教学目的及要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲课程编号：10140032英文名称：Functional Analysis学分：3学时：总学时48学时，其中理论48学时，实践0学时先修课程：数学分析、实变函数、高等代数、解析几何课程类别：专业课程（选修1）授课对象：数学与应用数学（师范）专业学生教学单位：数理信息学院修读学期：第6学期一、课程描述和预期目标本课程为专业选修课程，它运用代数，几何手段处理问题的新观点和新方法把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究. 本课程总学时共48学时，其中理论课48学时，在教与学的教学活动中，本课程坚持理念“以学生发展为中心，学生学习结果（课程教学目标）为导向，并持续改进(教学反思)学生的学习效果”。
本课程主要包含可使学生了解和掌握度量空间、赋范线性空间、Hilbert空间和Banach 空间中有界线性算子与连续线性泛函的基本概念、基本理论及其应用，培养学生抽象思维、逻辑思维、分析和解决问题的能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。
本课程教学活动结束，学生将达到以下学习效果：熟悉泛函分析学科发展的基本情况，把握中学数学与泛函分析的内在联系；掌握泛函分析的基本知识和主要思想方法，具备较好的分析、演绎推理和数学表达能力；初步使学生能体验和感受到数学魅力，提高学生的数学素养。
【学生学习结果1】: 通过课堂讲授、课堂讨论、课后作业、课堂报告、查阅文献资料等教学活动，学生学会泛函分析(度量空间和赋范线性空间、有界线性算子和连续线性泛函、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间、巴拿赫(Banach)空间中的基本定理)的基础知识和理论，初步熟悉和掌握必要的泛函分析基础(基本概念，系统的泛函分析理论和抽象的严格的泛函分析方法)，为学生进一步学习现代数学打下必要的基础，培养学生抽象思维能力、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，提高学生对知识的理解和应用能力。
【学生学习结果2】：通过互动的课堂教学，学生的学习兴趣被刺激；通过学科探索讨论课，学生的学习主动性被激发；通过写专题读书报告，学生的查阅资料和归纳总结的能力被训练；通过难题攻关，学生不仅享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，而且学会进行独立思维和解决实际问题，并能够积极创新。
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《泛函分析》课程教学大纲
一课程说明
1.课程基本情况
课程名称：泛函分析
英文名称：Functional Analysis
课程编号：2411215
开课专业：数学与应用数学
开课学期：第6学期
学分/周学时：3/3
课程类型：专业方向选修课
2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是现代数学的一个重要分支。
它综合地运用分析、代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，是将具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行的研究。
随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支以及将其应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理、工程技术等领域有很大帮助。
3．本课程的教学目的和任务
本课程基本要求学生能理解该学科的思想及应用性，掌握基本理论方法，了解定理证明过程。
通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某
些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
5．教学时数及课时分配
二教材及主要参考书
1. 程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》（下册）（第三版），高等教育出版社，2010年6月.
2.曹广福等编.《实变函数论与泛函分析》（下册）（第三版），高教出版社，2011年6月.
3．张恭庆、林源渠编著，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1987年.
4.夏道行等编.《实变函数与泛函分析》（下册）(第二版)，高等教育出版社，2005年.
5．李广民编.《应用泛函分析》.西安电子科技大学出版社，2004.
三教学方法和教学手段说明
《泛函分析》课程的特点是：基本概念多且非常抽象，理论推证很多而且繁长，教学中极需展示数学思维的活动过程。
采用讲授式的教学方法和自主学习方法相结合，设问解疑，激发学生的求知欲望和培养学生的自学能力。
与此同时，教师要在教材处理和备课上狠下功夫，注重教学研究和教学方法，教师除讲清课程内容外，还经常穿插数学史、数学方法论和某些新成果以及同其他数学分支的联系，激发学生的学习热情和兴趣；课后，除布置适量的作业外，经常给学生布置一些不落俗套思考题、判断题、改错题等。
四成绩考核办法
本课程是一门考试课程，考核以笔试为主,闭卷。
主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。
成绩考核办法按学校教务处的相关规定执行。
五教学内容
第一部分距离空间和赋范线性空间（16学时）
一、教学目的
通过本章的学习使学生了解距离空间中定义及例，距离空间中收敛的概念。
掌握距离空间的完备性，熟练掌握压缩映照原理及应用，为后面学习打下基础。
二、教学重点
距离空间基本概念，压缩映照原理及应用。
三、教学难点
稠密集，距离空间的完备化，可分空间。
四、讲授要求
通过本章的学习使学生掌握具体距离空间中收敛的意义并熟练应用柯西列
证明距离空间的完备性；熟练掌握压缩映照原理及应用。
五、讲授要点
距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，柯西点列。
第二部分有界线性算子与连续线性泛函（4学时）
一、教学目的
通过本章的学习使学生理解有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质，掌握共轭空间和有界线性算子空间。
二、教学重点
有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质。
三、教学难点
共轭空间，有界线性算子空间，广义函数。
四、讲授要求
通过本章的学习使学生理解有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质，掌握共轭空间和有界线性算子空间。
五、讲授要点
有界线性算子，连续线性泛函，共轭空间，有界线性算子空间，广义函数。
第三部分内积空间与Hilbert空间（10学时）
一、教学目的
通过学习内积空间的基本概念，理解直交系及三种算子，掌握投影定理与投影算子及其应用。
二、教学重点
内积空间的基本概念，直交与直交系。
三、教学难点
投影定理与投影算子及其应用。
四、讲授要求
通过学习内积空间的基本概念，理解直交系及三种算子，掌握投影定理与投影算子及其应用。
五、讲授要点
内积空间的定义、性质及例子，投影定理，Hilbert空间中的规范正交系，Hilbert空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。
第四部分 Banach空间中的基本定理（14学时）
一、教学目的
通过学习此章，理解共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，掌握Banach空间中的几个基本定理：泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
二、教学重点
共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛。
三、教学难点
Banach空间中的几个基本定理：泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
四、讲授要求
通过学习此章，理解共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，掌握Banach空间中的几个基本定理：泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
五、讲授要点
共轭算子，纲及Baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，泛函延拓定理，Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
第五部分线性算子的谱（10学时）
一、教学目的
通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。
二、教学重点
线性算子的谱及分类，全连续算子。
三、教学难点
紧集和紧线性算子的谱。
四、讲授要求
通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。
五、讲授要点
谱集及分类，有界线性算子谱的性质，紧集合全连续算子，紧线性算子的谱。