常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用
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F (S ) f (t)estdt 0
式中：s = + j (复数)
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。
F (S ) f (t)estdt (Re s c) 0
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值
M和c，使得对于所有t 满足：
拉普拉斯变换
1 拉普拉斯变换的定义 2 拉普拉斯变换的性质 3 拉普拉斯反变换
1 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高 阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。
时域 微分 方程
拉氏变换 频域 代数 方程
拉氏逆变换 求解
时域 解
拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函 数 f(t)，它的拉氏变换定义为：
L[ (t)] L[ d (t)] s 1 0 1
dt
s
L[df (t)] SF(S) f (0) dt
推广：
d2 f (t) L[ dt 2 ]
S[SF(S) f (0)] f (0) S 2F (S) Sf (0) f (0)
d n f (t) L[ dt n ]
S nF (S) S n1 f (0) S n2 f (0) f (n1) (0)
f ( )es( t0 )d
0
0
est0 F (S )
例5 求图示矩形脉冲的象函数
f(t) 1
Tt
f (t) (t) (t T)
F ( S ) 1 1 eST SS
f(t) T
T
f (t) t[ (t) (t T )]
F(S)
1 S2
e ST S2
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt
0
af1 (t
)est dt
0
bf2
(t
)e st dt
aF1(S ) bF2 (S )
例2 若： 1) f (t ) sin(t )
2) f (t ) k(1 eat )
f (u)du
dt 0
L[ f (t)] L[ d
t
f (u)du]
dt 0
t
t
F(S)
sL[
f (u)du]
0
f (t)dt
0
t0
t
1
L[0 f (t)dt] S F(S)
例4 利用积分性质求函数 f (t) t 的象函数。
解：由于f (t) t
t
( )d
0
L[
f
(t)]
2.频域导数性质
设：L[ f (t)] F(S)
则：L[tf (t)] dF(S) dS
证：d f (t)estdt f (t)(t)estdt
ds 0
0
L[tf (t)]
推广：L[t n
f
(t )]
(1)n
d
nF(S) dS n
L[tf (t)] dF(S) dS
例1：L[t (t)] d ( 1 )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由 于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
二 、导数性质
1. 时域导数性质
设：L[ f (t)] F(S),
udv uv vdu
u est ,dv df ( t )
则：
L[df (t)] SF(S) f (0) dt
证： df (t)estdt estdf (t)
0 dt
0
est f (t) est f (t)(s)dt
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
L[
t
( )d ]
0
1 s
L[ (t)]
1 s2
推广：L[t 2 ]
2 s3
t 2
2
t
tdt
0
L[t 2 ]
L[20t
tdt]
2
L[t ] s
2 s3
推 广 ：L[t n ]
n! s n1
四、延迟性质
1.时域延迟
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
t
t
t
t0
t0
f ( t ) Mect
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反 变换，它定义为：
f ( t ) 1 j F( S )e stds
2j j
记作：f (t ) L1[F (s)]
特殊情况：当 =0，s=j，且积分下限为－∞时， 拉氏变换就是傅立叶变换
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
傅立叶变换
F ( j )
f ( t )e jt dt
正变换
1
f
(t
)
2
j F ( j )e jt d 反 变 换
j
例1 求以下函数的象函数。
(1)指数函数
L[eat ] eatestdt
1
e(sa)t
1
0
sa
0 sa
(2)单位阶跃函数
L[ (t)]
(t )e st dt
dS S
1 S2
例2：L[t n (t )] (1)n
d (n) dS ( n)
(1) S
n! S n1
例3：L[teat ]
d( 1 ) dS S a
(S
1 a)2
三、积分性质
设：L[ f (t)] F(S)
则：L[ t f (u)du] 1 F(S)来自百度文库
0
S
证：f (t) d
t
式中：s = + j (复数)
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。
F (S ) f (t)estdt (Re s c) 0
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值
M和c，使得对于所有t 满足：
拉普拉斯变换
1 拉普拉斯变换的定义 2 拉普拉斯变换的性质 3 拉普拉斯反变换
1 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高 阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。
时域 微分 方程
拉氏变换 频域 代数 方程
拉氏逆变换 求解
时域 解
拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函 数 f(t)，它的拉氏变换定义为：
L[ (t)] L[ d (t)] s 1 0 1
dt
s
L[df (t)] SF(S) f (0) dt
推广：
d2 f (t) L[ dt 2 ]
S[SF(S) f (0)] f (0) S 2F (S) Sf (0) f (0)
d n f (t) L[ dt n ]
S nF (S) S n1 f (0) S n2 f (0) f (n1) (0)
f ( )es( t0 )d
0
0
est0 F (S )
例5 求图示矩形脉冲的象函数
f(t) 1
Tt
f (t) (t) (t T)
F ( S ) 1 1 eST SS
f(t) T
T
f (t) t[ (t) (t T )]
F(S)
1 S2
e ST S2
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt
0
af1 (t
)est dt
0
bf2
(t
)e st dt
aF1(S ) bF2 (S )
例2 若： 1) f (t ) sin(t )
2) f (t ) k(1 eat )
f (u)du
dt 0
L[ f (t)] L[ d
t
f (u)du]
dt 0
t
t
F(S)
sL[
f (u)du]
0
f (t)dt
0
t0
t
1
L[0 f (t)dt] S F(S)
例4 利用积分性质求函数 f (t) t 的象函数。
解：由于f (t) t
t
( )d
0
L[
f
(t)]
2.频域导数性质
设：L[ f (t)] F(S)
则：L[tf (t)] dF(S) dS
证：d f (t)estdt f (t)(t)estdt
ds 0
0
L[tf (t)]
推广：L[t n
f
(t )]
(1)n
d
nF(S) dS n
L[tf (t)] dF(S) dS
例1：L[t (t)] d ( 1 )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由 于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
二 、导数性质
1. 时域导数性质
设：L[ f (t)] F(S),
udv uv vdu
u est ,dv df ( t )
则：
L[df (t)] SF(S) f (0) dt
证： df (t)estdt estdf (t)
0 dt
0
est f (t) est f (t)(s)dt
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
L[
t
( )d ]
0
1 s
L[ (t)]
1 s2
推广：L[t 2 ]
2 s3
t 2
2
t
tdt
0
L[t 2 ]
L[20t
tdt]
2
L[t ] s
2 s3
推 广 ：L[t n ]
n! s n1
四、延迟性质
1.时域延迟
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
t
t
t
t0
t0
f ( t ) Mect
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反 变换，它定义为：
f ( t ) 1 j F( S )e stds
2j j
记作：f (t ) L1[F (s)]
特殊情况：当 =0，s=j，且积分下限为－∞时， 拉氏变换就是傅立叶变换
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
傅立叶变换
F ( j )
f ( t )e jt dt
正变换
1
f
(t
)
2
j F ( j )e jt d 反 变 换
j
例1 求以下函数的象函数。
(1)指数函数
L[eat ] eatestdt
1
e(sa)t
1
0
sa
0 sa
(2)单位阶跃函数
L[ (t)]
(t )e st dt
dS S
1 S2
例2：L[t n (t )] (1)n
d (n) dS ( n)
(1) S
n! S n1
例3：L[teat ]
d( 1 ) dS S a
(S
1 a)2
三、积分性质
设：L[ f (t)] F(S)
则：L[ t f (u)du] 1 F(S)来自百度文库
0
S
证：f (t) d
t