离散数学 第二讲

1.1.3 命题符号化

1.1.2介绍的5种常用的联结词也可称为真值联结词或逻辑联结词。在命题逻辑中，利用这些联结词可将各种各样的复合命题符号化，基本的步骤如下：

9找出各简单命题，将它们符号化；

9使用合适的联结词，将简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化形式。

例1.12将下列命题符号化：

（1）小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。

（2）小王现在在宿舍或在图书馆里。

（3）选小王或小李中的一人做班长。

解：根据以上步骤，上述命题可符号化为：

（1）p ∨q，其中，p：小王是游泳冠军，q：小王是百米赛跑冠军。

（2）p ∨q，其中，p：小王在宿舍，q：小王在图书馆。这里的“或”是排斥或，但因p与q不能同时发生，所以仍然符号化为p ∨q。

（3）(p ∧¬q) ∨(q ∧¬p)，其中，p：选小王做班长，q：选小李做班长。这里的“或”是排斥或，因p与q可能同时发生，所以须符号化为(p ∧¬q) ∨(q ∧¬p)。

例1.13将下列命题符号化：

（1）如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。

（2）小王是电子工程学院的学生，他生于1983年或1984年，他是三好学生。

解：上述命题可符号化为：

（1）¬r→(p→q)，其中，p：我上街，q：我去书店看看，r：我很累。（该命题也可符号化为(p∧¬r)→q或p→(¬r→q)）

（2）p∧(q∨r)∧s，其中，p：小王是电子工程学院的学生，q：他生于1983年，r：他生于1984年，s：他是三好生。

1.1 命题符号化及联结词

5个联结词的优先级顺序为：

¬、∧、∨、→、↔

例我们写符号串：

p ∨q ∧r→q∧¬s ∨r

即为如下公式：(p ∨(q ∧r))→((q∧(¬s)) ∨r)

1.2 命题公式及分类

1.2.1 命题公式

命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但并不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式，下面给出命题公式的严格定义：定义1.6（1）单个命题常项或变项p , q , r , …p i , q i , r i , …, 0, 1是合式公式；

（2）若A 是合式公式，则¬A 也是合式公式；

（3）若A 、B 是合式公式，则A ∧B 、A ∨B 、A →B 、A ↔B 也是合式公式；

（4）只有有限次地应用（1）—（3）组成的符号串才是合式公式。

我们将合式公式称为命题公式，或简称为公式。

1.2 命题公式及分类

注意：

¾公式(¬p)、(p∧q)等的括号可以省略，写成¬p、p∧q ，整个公式的最外层括号可以省略；

¾p∧q→r是公式，但pq→r不是公式。

定义1.7（1）设A为单个命题（常项或变项），p, q, r, …p

i , q

i

,

r i, …, 0,1，则称A为0层公式；

（2）称A是n+1（n ≥0）层公式，若A符合下列情况之一：

①A = ¬B，B是n层公式；

②A=B ∧C，其中B、C分别为i层和j层公式，且n=max( i,j)；

③A=B ∨C，其中B、C的层次同②；

④A=B →C，其中B、C的层次同②；

⑤A=B ↔C，其中B、C 的层次同②；

（3）若A的最高层为k，则A是k层公式。

例1.2.2¬p ∨q、p ∧q ∧r、¬(¬p ∧q) →r ∨s分别为2、2、4层命题公式。

1.2 命题公式及分类

1.2.2 解释（赋值）公式：(p ∧q )→r

若p ：电子院学生，q ：2004级本科生，当r ：学习离散数学，(p ∧q )→r 为真；当r ：学习复变函数，(p ∧q )→r 为假。

定义1.8设A 为命题公式，p 1, …, p n 是出现在A 中的所有命题变项，给p 1, …, p n 指定一组真值，称为对A 的一个赋值或解释。若指定的一组值使A 的值为真，则称这组值为A 的成真赋值；若指定的一组值使A 的值为假，则称这组值为A 的成假赋值。

1.2 命题公式及分类

1.2 命题公式及分类

定义含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2n组赋值，将命题公式A在所有赋值之下取值的情况列成表，称为A的真值表。

构造真值表的步骤：

¾列出每个命题变项的所有可能的取值（按字典顺序）；

¾按命题公式的层次从低到高写出各个层次。

例1.7（1）求命题公式p ∧(q ∨¬r)的真值表解：

例1.7（2）求命题公式(p∧(p→q)) →q 的真值表解：

例1.7（3）求命题公式¬(p→q) ∧q 的真值表解：

1.2 命题公式及分类

定义1.9设A为一个命题公式：

（1）若A在它的各种赋值下均为真，则称A为重言式或永真式；

（2）若A在它的各种赋值下均为假，则称A为矛盾式或永假式；

（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则称A为可满足式。

显然：例1.7(2) （真值表最后一列全为1）为永真式，例1.7(3) （真值表最后一列全为0）为永假式，例1.7(1)（真值表最后一列即有0又有1）为可满足式。

1.3 等值演算

定义1.10设A、B为两个命题公式，若等价式A↔B 是永真式，则称A与B等值，记为A⇔B。

注意：

¾“⇔”不是联结词，它只是A与B等值时的记号。¾等值关系具有自反性、对称性和传递性。

¾A与B是否等值应判断A↔B是否为永真式。

例1）