最新北师大版八年级数学下册-第4章单元检测题
北师大版初二数学下册第4章《因式分解》单元测试卷 (含答案)
北师大版八年级数学下册第4章《因式分解》单元测试题一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）2．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（）A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣253．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．﹣9a2D．1﹣a44．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的个数是（）（1）x2﹣4；（2）x2+6x+9；（3）4x4﹣2x2+；（4）x2+4xy+2y2A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x6．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（）A．5，﹣14B．﹣5，14C．5，14D．﹣5，﹣14 7．如果（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，那么m是（）A．7B．﹣7C．1D．﹣18．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．把多项式m3﹣81m分解因式的结果是．10．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝．11．分解因式：a2﹣9b2+2a﹣6b＝．12．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为．13．已知a、b满足a+b＝5，ab2+a2b＝10，则ab的值是．14．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是．15．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是．三．解答题（共7小题，满分48分）16．把下列多项式分解因式：（1）x3﹣9x；（2）2a2+4ab+2b217．分解因式（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+4918．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．21．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题【阅读材料】对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．【解决问题】（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．22．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）则图③可以解释为等式：．（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝．（拼图图形画在方框内）（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：①xy＝；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝其中正确的关系式为．（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．参考答案一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1﹣x）（1+x）．故选：C．2．解：多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．故选：B．3．解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故选：A．4．解：（1）x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意；（2）x2+6x+9，符合完全平方公式；故此选项符合题意．（3）4x4﹣2x2+符合完全平方公式；故此选项符合题意；（4）x2+4xy+2y2不符合完全平方公式；故此选项不符合题意．故选：B．5．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意．D、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：C．6．解：∵将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），∴m＝﹣7+2＝﹣5，n＝﹣7×2＝﹣14，故选：D．7．解：∵（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，∴（x+4）（x﹣3）＝x2﹣mx﹣12＝x2+x﹣12，故﹣m＝1，解得：m＝﹣1．故选：D．8．解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．解：m3﹣81m＝m（m2﹣81）＝m（m+9）（m﹣9）．故答案为：m（m+9）（m﹣9）．10．解：m4﹣2m2＝m2（m2﹣2）＝m2（m+）（m﹣）．故答案为：m2（m+）（m﹣）．11．解：a2﹣9b2+2a﹣6b，＝（a2﹣9b2）+（2a﹣6b），＝（a+3b）（a﹣3b）+2（a﹣3b），＝（a﹣3b）（a+3b+2）．12．解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m＝±2，故答案为：±2．13．解：∵ab2+a2b＝10，∴ab（b+a）＝10，∵a+b＝5，∴ab＝2，故答案为：2．14．解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7＝x+x2﹣7＝1﹣7＝﹣6故答案为：﹣6．15．解：原式＝（216+1）（216﹣1）＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1）＝（216+1）（28+1）×17×15．则这两个数是15和17．故答案是：15和17．三．解答题（共7小题）16．解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）；（2）2a2+4ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．17．解：（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）＝3a2（x+y）[（x+y）2﹣9a2]＝3a2（x+y）（x+y﹣3a）（x+y+3a）；（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49＝（x2﹣9﹣7）2＝（x2﹣16）2＝（x+4）2（x﹣4）2．18．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝，ab＝﹣，∴原式＝ab（a+b）2＝﹣×（）2＝﹣3，即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣3．19．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．20．解：（1）∵x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3，∴3﹣a＝2，a＝1；故答案为：1；（2）设x3+2x+3＝（x+1）（x2+ax+3）＝x3+（a+1）x2+（a+3）x+3，a+1＝0，解得a＝﹣1，多项式的另一因式是x2﹣x+3．21．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x＝0，x＝1，即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5；（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，用上述方法可求得：a＝4，b＝4，所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）＝（x+1）（x+2）2．22．解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）拼图如图⑤所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；故答案为：（3a+b）（a+2b）；（3）∵m2﹣n2＝4xy∴①正确；∵x+y＝m∴②正确；∵x+y＝m，x﹣y＝n∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，∴③正确；∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；∴④正确．故答案为：①②③④．（4）剪拼图形如图⑥、⑦；把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），∴S阴影（梯形）＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∵图⑥中的S阴影＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．。
八年级数学北师大版下册第4章《单元测试》04(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！北师大版八年级下单元测试第4单元班级________姓名________一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．若()()2322x x p mx nx ++=--，则下列结论正确的是（）A ．6m =B ．1n =C ．2p =-D ．3mnp =2．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）①2m 4-+②22x y --③22x y 1-④()()22m a m a --+⑤222x 8y -⑥22x 2xy y ---⑦229a b 3ab 1-+A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x-=-4．下列因式分解正确的是（）A ．222()a b a b ++＝B ．2222()a ab b a b ++-＝C ．2(1)a a a a =+-D ．22()()a b a b a b -=+-5．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（）A ．222()n mn n n n m -+=-B ．22(21)n mn n n m -+=-+C ．22(2)n mn n n n m -+=-D ．22(21)n mn n n n m -+=-+6．下列因式分解正确的是（）A ．a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）B ．x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2C ．x 2﹣2x ＋4＝（x ﹣2）2D ．x 2﹣4＝（x ＋4）（x ﹣4）7．数学兴趣小组开展活动：把多项式2114x x ++分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果2112x æö+ç÷èø不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是（）A ．21(1)2x +B ．21(1)4x +C ．21(2)2x +D ．21(2)4x +8．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为249x -，乙与丙相乘，积为2914x x -+，则甲与丙相加的结果是（）A ．25x +B ．25x -C ．29x +D ．29x -9．已知M ＝3x 2－x ＋3，N ＝2x 2＋3x －1，则M 、N 的大小关系是（）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N10．在3257x x x k +++中，若有一个因式为(2)x +，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．6D ．6-11．分解因式4x 2﹣y 2的结果是（）A ．（4x +y ）（4x ﹣y ）B ．4（x +y ）（x ﹣y ）C ．（2x +y ）（2x ﹣y ）D ．2（x +y ）（x ﹣y ）12．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．14．分解因式：2m n mn -＝_________________．15．已知2ab =，3a b +=，则22a b ab +的值为_____．16．分解因式：2224a ab b -+-=________________．17．若实数x 满足210x x --=，则3222021x x -+=__．18．分解因式：2244x y y -+-=__________．19．已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为_____．20．已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0，则b c a +＝__．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)(1)(2)(2)a x yb y x ---(2)2()()()x x y x y x x y +--+22．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++¹的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式()20ax bx c a ++¹的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如()222224445452922x x x x x æöæö+-=++--=+-ç÷ç÷èøèø()()()()232351x x x x =+++-=+-根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式：228x x +-；(2)求多项式243+-x x 的最小值；(3)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求ABC 的周长．(1)416m -；(2)32242x x x -+；(3)276xy xy x -+；(4)()22214a a +-．24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
初中数学北师大版八年级下册第4章《因式分解》单元测试卷(带答案)
北师大版八年级下册第4 章《因式分解》单元测试卷满分： 100 分姓名： ___________班级： ___________学号： ___________成绩： ____________一．选择题（共 8 小题，满分 24 分）1．多项式 ① x 2 +8y 2， ② x 2 ﹣ 4y 2， ③ ﹣ x 2+1， ④ ﹣ x 2﹣ y 2中能用平方差公式分解因式的有（ ）A ．①②B ．②③C ． ③④D ． ①④2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．m （a+b ）＝ ma+mbB ． ma+mb+1＝ m （ a+b ）+1C ．（a+3）（a ﹣ 2）＝ a 2+a ﹣ 6D ． x 2﹣ 1＝（ x+1）（ x ﹣ 1）3．分解因式 a 4﹣ 2a 2b 2+b 4的结果是（ ）A ．a 2（ a 2﹣ 2b 2） +b 4B ．（ a ﹣ b ）2C ．（a ﹣ b ）4D ．（ a+b ） 2（ a ﹣ b ）24．若△ ABC 的三边长为a ，b ，c 满足 a 2+b 2+c 2+50 ＝ 6a+8b+10c ，则△ ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．若 x 2﹣ ax ﹣ 1 可以分解为（ x ﹣2）（ x+b ），那么 a+b 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．﹣ 2D ． 22的值（）6． a 是有理数，则多项式﹣ a +a ﹣ A ．一定是正数B ．一定是负数C ．不可能是正数D ．不可能是负数 7．（﹣ 2）100+（﹣ 2） 101的结果是（）A ．2100B ．﹣ 2100C ．﹣ 2D ． 2 8．已知 a ﹣ b ＝ 5，且 c ﹣ b ＝ 10，则 a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac 等于（） A ．105B ．100C ． 75D ． 50二．填空题（共 8 小题，满分 24 分）9．分解因式： 32．a +2a +a ＝10．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 ．11．在实数范围内分解因式 ： x 5﹣ 4x ＝．12．如果代数式 x 2+mx+9＝（ ax+b ） 2，那么 m 的值为．13．若 3x 2﹣mx+n 进行因式分解的结果为（ 3x+2）（ x ﹣ 1），则 mn ＝．14．若长方形的长为 a ，宽为 b ，周长为 16，面积为22的值为 ．15，则 a b+ab 15．已知 a 2+a ﹣ 3＝ 0，则 a 3+3 a 2﹣a+4 的值为．16．化简： a+1+a （ a+1） +a （a+1） 2 + +a （ a+1）99＝．三．解答题（共 6 小题，满分 52 分）17．因式分解：（ 1）﹣ 2ax 2+8ay 2；（ 2） 4m 2﹣ n 2+6n ﹣ 9．18．利用因式分解计算： 22 ﹣315 2．999 +999+68519．若已知 x+y ＝ 3， xy ＝1，试求（ 1）（x ﹣ y ） 2的值（ 2） x 3 y+xy 3 的值．20．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么．例：把多项式 am+an+bm+bn 分解因式解法 1： am+an+bm+bn ＝（ am+an ）+（bm+bn ）＝ a （ m+n ）+b （m+n ）＝（ m+n ）（a+b ）解法 2： am+an+bm+bn ＝（ am+bm ）+（ an+bn ）＝ m （ a+b ） +n （ a+b ）＝（ a+b ）（m+n ）根据你的发现，把下面的多项式分解因式：（ 1）mx ﹣ my+nx ﹣ ny ；（ 2） 2a+4b ﹣ 3ma ﹣ 6mb ．21．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．∵（ x+4）（ x+2）＝ x 2+6 x+8∴ x 2+6x+8＝（ x+4）（ x+2）由此可见 x 2+6x+8 是可以因式分解成（ x+4）（ x+2）的，爱研究问题的小明同学经过认真思考，找到了 x 2+6x+8 的因式分解方法如下：x 2+6x+8 ＝ x 2+6x+32﹣ 32+8 ＝（ x+3） 2﹣ 1＝（ x+3+1 ）（ x+3﹣ 1）＝（ x+4）（ x+2）根据你对以上内容的理解，解答下列问题：（ 1）小明同学在对 2 进行因式分解的过程中，在2 的后面加 2，其目的是构 x +6x+8 x +6x 3成完全平方式，请在下面两个多项式的后面分别加上适当的数，使这成为完全平方式，并将添加后的多项式写成平方的形式．① x 2+4x+ ＝（ ）2；② x 2﹣ 8x+＝（）2（ 2）请模仿小明的方法，尝试对多项式x 2+10x ﹣ 24 进行因式分解．22．材料阅读：若一个整数能表示成 2 2a +b （ a 、 b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为 13＝32+22，所以 13 是“完美数” ；22 2 222也是“完美数”．再如：因为 a +2ab+2b ＝（ a+b ） +b （ a 、b 是正整数），所以 a +2ab+2 b（ 1）请你写出一个大于 20 小于 30 的“完美数” ，并判断 53 是否为“完美数” ；（ 2）试判断（ x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）（x 、 y 是正整数）是否为“完美数” ，并说明理由．参考答案一．选择题1．【解答】解： ② x 2﹣ 4y 2， ③ ﹣ x 2+1 能用平方差公式分解因式，故选： B ．2．【解答】解： A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、右边不是整式的积的形式，实际上本题不能分解，错误；C 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；D 、是平方差公式，分解正确．故选： D ．3．【解答】解： a 4﹣ 2a 2b 2+b 4，＝（ a 2﹣b 2） 2，＝（ a+b ） 2（ a ﹣b ） 2．故选： D ．4．【解答】解：已知等式整理得：（ a 2﹣ 6a+9） +（ b 2﹣8b+16） +（c 2﹣ 10c+25）＝ 0，即（ a222﹣ 3） +（ b ﹣ 4） +（ c ﹣ 5） ＝ 0，∴ a ﹣ 3＝ 0， b ﹣4＝ 0， c ﹣5＝ 0，解得： a ＝ 3， b ＝ 4， c ＝ 5，∵ 32+42＝52，∴△ ABC 为直角三角形，故选： B ．5．【解答】解： （ x ﹣ 2）（ x+b ）＝ x 2+（﹣ 2+b ） x ﹣ 2b ，∵ x 2﹣ ax ﹣ 1 可以分解为（ x ﹣2）（ x+b ），∴﹣ a ＝﹣ 2+b ，﹣ 2b ＝﹣ 1，∴ a ＝ ， b ＝ ，∴ a+b ＝2，故选： D ．6．【解答】解：∵﹣ a 2+a ﹣ ＝﹣（ a ﹣ ） 2，∴多项式﹣ a 2+a ﹣ 的值不可能是正数．故选： C ．7．【解答】解： （﹣ 2） 100101 100 100+（﹣ 2） ＝（﹣ 2） ×（ 1﹣ 2）＝﹣ 2 ．故选： B ．8．【解答】解：∵ a ﹣ b ＝ 5，c ﹣b ＝ 10∴ a ﹣ c ＝﹣ 5a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ bc ﹣ ac ＝ [（ a ﹣ b ）2+（ b ﹣ c ）2+（ a ﹣ c ）2]＝ × [52+（﹣ 10）2+（﹣ 5）2]＝75故选： C ． 二．填空题9．【解答】解： a 3+2a 2+a ＝ a （ a 2+2a+1 ） ＝ a （ a+1） 2，故答案为： a （ a+1）210．【解答】解：由题意可得： am+bm+cm ＝ m （ a+b+c ）． 故答案为： am+bm+cm ＝m （a+b+c ）．11．【解答】解：原式＝ x （ x 4﹣ 4）＝ x （ x 2+2）（x 2﹣ 2）＝ x （x 2+2）（ x+ ）（ x ﹣ ），故答案为： x （ x 2+2）（ x+ ）（ x ﹣ ）12．【解答】解：已知等式整理得：x 2+mx+9＝（ ax+b ） 2，可得 m ＝± 2× 3× 1，则 m ＝± 6．故答案为：± 6．213．【解答】解：∵（ 3x+2 ）（ x ﹣1）＝ 3x ﹣x ﹣2，∴ 3x 2﹣ mx+n ＝3x 2﹣ x ﹣ 2，∴ m ＝ 1， n ＝﹣ 2，∴ mn ＝﹣ 2，故答案为：﹣ 2．14．【解答】解：由题意得： a+b ＝ 8， ab ＝ 15，则原式＝ ab （ a+b ）＝ 120，故答案为： 12015．【解答】解：∵ a 2+a ﹣ 3＝ 0，∴ a 2＝ 3﹣ a ，∴ a 3＝ a?a 2＝ a （ 3﹣ a ）＝ 3a ﹣ a 2＝ 3a ﹣（ 3﹣ a ）＝ 4a ﹣3，32∴ a +3a ﹣ a+4＝ 4a ﹣ 3+3（ 3﹣ a ）﹣ a+4＝ 10．故答案为 10．16．【解答】解：原式＝（ a+1） [1+ a+a （ a+1） +a （ a+1） 2+ +a （ a+1 ）98]＝（ a+1） 2[1+ a+a （a+1） +a （a+1） 2+ +a （ a+1 ）97]＝（ a+1） 3[1+ a+a （a+1） +a （a+1） 2+ +a （ a+1 ）96]＝＝（ a+1） 100．100故答案为：（ a+1） ．2217．【解答】解： （ 1）原式＝﹣ 2a （ x ﹣4y ）（ 2）原式＝ 4m 2﹣（ n 2﹣ 6n+9）＝ 4m 2﹣（ n ﹣3）2＝（ 2m+n ﹣3）（ 2m ﹣ n+3 ）．18．【解答】解： 9992+999+685 2﹣ 3152＝ 999×（ 999+1） +（ 685﹣ 315）×（ 685+315）＝ 999× 1000+370× 1000＝ 999000+370000＝ 1369000．19．【解答】解： （ 1）∵ x+y ＝ 3，xy ＝ 1；∴（ x ﹣y ） 2＝（ x+y ）2﹣ 4xy ＝ 9﹣ 4＝ 5；（ 2）∵ x+y ＝ 3， xy ＝ 1，∴ x 3y+xy 3＝ xy[（ x+y ） 2﹣ 2xy] ＝ 9﹣2＝ 7．20．【解答】解（ 1）原式＝ m （ x ﹣ y ）+n （ x ﹣ y ）＝（ x ﹣y ）（ m+n ）；（ 2）原式＝ 2（a+2 b ）﹣ 3m （a+2b ）＝（ a+2b ）（ 2﹣3m ）．21．【解答】解： （ 1） ① x 2+4x+22＝（ x+2） 2；故答案为： 22， x+2；② x 2﹣ 8x+16＝（ x ﹣ 4） 2故答案为： 42， x ﹣ 4；（ 2） x 2+10x ﹣ 24＝ x 2+10x+52﹣ 52﹣ 24＝（ x+5） 2﹣ 49＝（ x+12）（ x ﹣ 2）．2 222．【解答】解： （ 1） 25＝ 4 +3，∵ 53＝49+4 ＝ 72+22，∴ 53 是“完美数” ；（ 2）（x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）是“完美数” ，22 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2理由：∵（ x +9 y ）（? 4y +x ）＝ 4x y +36y +x +9x y ＝ 13x y +36y +x ＝（ 6y +x ） +x y ，∴（ x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）是“完美数” ．。
北师大版数学八年级下册第四章因式分解 测试题附答案
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．如果多项式4a2－(b－c)2＝M(2a－b＋c)，那么M表示的多项式应为( )
A．2a－b＋cB．2a－b－c
C．2a＋b－cD．2a＋b＋c
4．若a2＋8ab＋m2是一个完全平方式，则m应是( )
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，三角形中三边之间的关系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
9．3(a－b)(a＋b)
【解析】
【分析】
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=3（a2-b2）=3（a+b）（a-b），
故答案为：3（a-b）（a+b）
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
18．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
【详解】
A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误；
B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确；
C、x2y－xy2＝xy(x－y)，正确；
D、x2－y2＝(x－y)(x＋y)，正确.
故选：A．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．C
北师大版初中数学八年级下册单元测试第四单元
图2 图3 图1(A) (B) (C) (D) 八年级数学下册第四章整章水平测试（A)本试卷满分120分安徽省泗县中学 魏大付 邮编：234300 邮箱：复习巩固与应用一、精心选一选（每小题3分，共24分）1.下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）（A ）1、2、3、4 （B ）1、2、2、4 （C ）3、5、9、13 （D ）1、2、2、32.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形，其中每个图案花边的宽度都相每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )3.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图1所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为 （ ）（A ）6米 （B ）7米 （C ）8.5米 （D ）9米4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为(A)12.36cm (B)13.6cm (C)32.36cm (D)7.64cm5.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为（ ）(A)3米 (B)0.3米 (C)0.03米 (D)0.2米6.如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）(A)2DE=3MN ， (B)3DE=2MN ，(C) 3∠A=2∠F (D)2∠A=3∠F7.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）(A)1∶4 (B)1∶2 (C)2∶1 (D)１∶28.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）(A)只有1个 (B)可以有2个 (C)有2个以上但有限 (D)有无数个二、耐心填一填（每小题3分，共24分）9.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为 m10.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米.则这棵树的高度为 米.11.如图4，A 、B 两处被池塘隔开，为了测量A 、B 两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC 、BC ，并分别取线段AC 、BC 的中点E 、F ，测得EF=20m ，则AB=______m ．12如图5，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x= mm ．13.如图6，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是__________m ． 14.如图，已知△OAB 与△OA /B /是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内O B 'A 'B A y x一点P （x ，y ）与△OA /B /内一点P /是一对对应点，则点P /的坐标是 ． 15.关于对位似图形的表述，下列结论正确的是 ．（只填序号） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 16.如图8，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 （只需写出一个条件即可）.三、用心想一想（60分） 17、（12分）已知432c b a ==，求（1）b c b a ++ （2） ca cb a +-+23的值. 18、（12分）如图9，在△ABC 中,AB=4,点E 在AC 上,点D 在AB 上,若AE=2,EC=3,且ECAE DB AD =. (1)求AD 的长； (2)试问,AC EC AB DB =能成立吗?请说明理由.19.（12分）、如图10，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ． (1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； (2)请分别说明两对三角形相似的理由．20（12分）、如图11，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是多少？21.（本题满分121的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上． （1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′；（2）△A ′B ′C ′绕点B ′顺时针旋转90，画出旋转后得到的△A ″B ′C ″，并求边A ′拓广探索与提升（12分）22（12分）、学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.AB CO 图10 A D E B C 图9 图12图11（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》检测题(答案解析)(2)
一、选择题1．如图，Rt ABC ∆中，90,2,3ACB BC AC ︒∠===，点D 在Rt ABC ∆的边AC 上，DC m =，以BD 为直角边在AC 同侧作等腰直角三角形BDE ，使BD DE n ==，连接AE ，若52AEBC S n =四边形，则m 与n 的数量关系式是（ ）A ．6nm =B ．5m n +=C ．1n m -=D ．23n m = 2．下列因式分解中，正确的是( )A ．224(4)(4)x y x y x y -=-+B ．()ax ay a a x y ++=+C ．()()()()a x y b y x x y a b -+-=--D ．2224(2)x y x y +=+3．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解 4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ 5．已知a+b=3，ab=1，则多项式a 2b+ab 2-a-b 的值为（ ） A ．-1B ．0C ．3D ．6 6．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．()a m n am an +=+B ．2221(1)x x x +-=-C ．21055(21)x x x x -=-D ．216+6(+4)(4)+6x x x x x -=-7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() ． A ．2x 4x 4-+B ．2x 1+C ．2x 2x 2--D ．2x 4x 1++ 8．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11 9．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．12a 2b 2＝3a •4ab 2 B ．（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16C ．am +an ＝a （m +n ）D ．x ﹣1＝x （1﹣1x） 10．下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是( ) A ．a(x+y)=ax+ay B ．x 2-2x+1=x(x-2)+1 C ．x 2-1=(x+1)(x-1)D ．a 2+2a+3=(a+1)2+2 11．下列四个多项式：①－a 2＋b 2；②－x 2－y 2；③1－(a －1)2；④x 2－2xy ＋y 2，其中能用平方差公式分解因式的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )A ．x 2﹣16+6x =(x +4)(x ﹣4)+6xB ．10x 2﹣5x =5x (2x ﹣1)C ．a 2﹣b 2﹣c 2=(a ﹣b )(a +b )﹣c 2D ．a (m +n )=am +an二、填空题13．分解因式：224ma mb -=______．14．已知一个长方形的面积是2642a ab a -+，且它的一条边长为2a ，则长方形的周长为___．15．分解因式：a 3﹣4a 2b+4ab 2=___________．16．计算()()9910022-+-=_______． 17．分解因式（2a ﹣1）2+8a ＝__．18．分解因式：1015mn m -= ______．19．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是________．20．已知：10,a a a>-=1a a +=___________________． 三、解答题21．计算：（1）（ab+1）2﹣（ab ﹣1）2（2）4xy 2z÷(－2x －2yz －1)22．计算：（1）分解因式①()()39a x y y x -+-②27196x x --（2）解不等式及不等式组并把它们的解集在数轴上表示出来．①()21132x x +-≥+②43421x x x x ->⎧⎨+<-⎩23．化简与因式分解：()1化简：()()()()3362a a a a -+-+-；()2因式分解：()()3x p q x q p +--24．因式分解：（1）322242a a b ab -+（2）4481x y -25．a b c 是ABC 的三边，且有2241029a b a b +=+-（1）求a 、b 的值（2）若c 为整数，求c 的值（3）若ABC 是等腰三角形，求这个三角形的周长26．因式分解：（1）3-a b ab（2）2244x xy y -+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】作EF ⊥AC ，垂足为F ，根据全等的条件可得，△DBC ≌△EDF ，可得CD=EF=m ，AEBC S =四边形S △BDE + S △BDC + S △ADE ，可得出m+n=5．【详解】解：作EF ⊥AC ，垂足为F∴∠EFD=90,ACB ︒∠=∴∠BDC+∠DBC=90°∵三角形BDE 是等腰直角三角形，∴∠EDB=90°，∴∠EDF+∠BDC=90°，∴∠EDF=∠DBC在△DBC 和△EDF 中==EFD DCB EDF DBC ED DB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△DBC ≌△EDF （AAS ）∴CD=EF=m,∵AC=3,∴AD=AC-CD=3-m∵AEBC S =四边形S △BDE + S △BDC + S △ADE∴AEBC S =四边形111222BD DE DC CB AD FE ⋅+⋅+⋅ =11152(3)2222n n m m m n ⋅+⋅+-⋅= 化简得：22235n m m m n ++-=()()5()n m n m n m +-=-，∵n 是Rt DBC ∆的斜边，m 是直角边∴n-m ＞0∴5n m +=故答案选：B【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．2．C解析：C【分析】根据因式分解的基本方法，对各多项式进行分解，即可得出结论．【详解】解：A 、224(2)(2)x y x y x y -=-+，故此选项错误；B 、(1)ax ay a a x y ++=++，故此选项错误；C 、()()()()a x y b y x x y a b -+-=--，故此选项正确；D 、224x y +不能在实数范围内分解因式，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．4．C解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 5．B解析：B【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a 2b+ab 2-a-b=（a 2b-a ）+（ab 2-b ）=a （ab-1）+b （ab-1）=（ab-1）（a+b ）将a+b=3，ab=1代入，得原式=0．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．6．C解析：C【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可．【详解】解：A. ()a m n am an +=+,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；B. 2221(1)x x x +-=-，变形错误，不是因式分解，不合题意；C. 21055(21)x x x x -=-，是因式分解符合题意；D. 216+6(+4)(4)+6x x x x x -=-，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解． 7．A解析：A【分析】根据完全平方式的特征进行因式分解，判断即可.【详解】A. 22x 4x 4=(x-2)-+，能用完全平方公式进行因式分解，故选项A 正确；B. 2x 1+，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项B 错误；C. 2x 2x 2--，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项C 错误；D. 2x 4x 1++，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项D 错误.故选：A【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握用完全平方公式进行因式分解的方法是解题的关键. 8．B解析：B【分析】 利用完全平方公式把221a a+变形成为21()2a a +-，代入解答即可． 【详解】 221a a+=21()2a a +-=232-=7． 故选B ．【点睛】 本题考查了完全平方公式．解题的关键是把221a a +变形成为21()2a a +-．9．C解析：C【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定．【详解】A、左边不是多项式的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、am+an＝a（m+n）是因式分解，故此选项符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．10．C解析：C【分析】把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A．属于整式乘法运算，不属于因式分解；B．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；C．x2-1=（x+1）（x-1），属于因式分解；D．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解．故选：C．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．11．C解析：C【分析】根据平方差公式特点：①两项，②都可以写成平方的形式，③平方前面是异号，可以得到答案．【详解】解：①－a2＋b2；③1－(a－1)2；符合平方差特点；④x2－2xy＋y2，②－x2－y2；不符合平方差特点；故选：C．【点睛】此题主要考查了平方差公式特点，把握公式特点是解题的关键．12．B【分析】根据因式分解的定义逐个进行判断即可.【详解】解：A 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；B 、把多项式10x 2﹣5x 变形为5x 与2x ﹣1的积，是因式分解；C 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；D 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；故选：B ．【点睛】本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.二、填空题13．【分析】应先提取公因式m 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；【详解】故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法公式法分解因式关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解解析：()()22m a b a b -+【分析】应先提取公因式m ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；【详解】()()()22224422ma mb m a b m a b a b -=-=+- ，故答案为：()()22m a b a b +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．14．【分析】先将分解因式得到长方形的另一条边长即可求解【详解】解：∵长方形的面积是它的一条边长为∴另一条边长是∴周长为：故答案为：【点睛】本题考查因式分解整式的加减运算掌握提公因式法是解题的关键 解析：1042a b -+【分析】先将2642a ab a -+分解因式，得到长方形的另一条边长，即可求解．【详解】解：∵长方形的面积是()26422321a ab a a a b -+=-+，它的一条边长为2a ， ∴另一条边长是()321a b -+，∴周长为：()232121042a b a a b -++=-+，故答案为：1042a b -+．本题考查因式分解、整式的加减运算，掌握提公因式法是解题的关键．15．a （a ﹣2b ）2【解析】试题分析：根据因式分解的步骤和方法先提公因式再用完全平方公式分解为：a3﹣4a2b+4ab2=a （a2-4ab+4b2）=a （a-2b ）2故答案为a （a-2b ）2点睛：因式分解析：a （a ﹣2b ）2【解析】试题分析：根据因式分解的步骤和方法，先提公因式，再用完全平方公式分解为： a 3﹣4a 2b+4ab 2=a （a 2-4ab+4b 2）=a （a-2b ）2.故答案为a （a-2b ）2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.16．【分析】先提取公因式即可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查因式分解提取公因式的方法熟练掌握提取公因式方法是解题的关键解析：992【分析】先提取公因式，即可得()()999999100(2)222(1)2-⨯-++=-=-． 【详解】解：()()999999100(2)222(1)2-⨯-++=-=- 故答案为：992【点睛】本题考查因式分解提取公因式的方法，熟练掌握提取公因式方法是解题的关键． 17．（2a+1）2【分析】运用乘法公式展开合并同类项即可再根据完全平方公式进行分解因式【详解】原式═4a2+4a+1＝（2a ）2+4a+1＝（2a+1）2故答案为：（2a+1）2【点睛】本题考查乘法公式解析：（2a +1）2【分析】运用乘法公式展开，合并同类项即可，再根据完全平方公式进行分解因式．【详解】原式═4a 2+4a +1＝（2a ）2+4a +1＝（2a +1）2，故答案为：（2a +1）2．【点睛】本题考查乘法公式在多项式的化简及因式分解中的运用．解题关键是明确要求，特别是因式分解时，要分解到不能再分解为止．18．【分析】提取公因式5m 后即可求解【详解】原式=【点睛】此题考查因式分解熟练运用提取公因式法运算是解题关键解析：5(23)m n -【分析】提取公因式5m 后即可求解．【详解】原式=5253⋅-⋅m n m5(23)=-m n【点睛】此题考查因式分解，熟练运用提取公因式法运算是解题关键．19．-3【分析】先根据求出a-c=-1再将多项式分解因式代入求值即可【详解】∵∴a-c=-1∴====-3故答案为：-3【点睛】此题考查多项式的化简求值掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法解析：-3【分析】先根据3a b -=，4b c -=-，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【详解】∵3a b -=，4b c -=-，∴a-c=-1，∴()2a acb ac --- =()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-⨯=-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.20．【分析】由已知式子利用等式性质开方运算以及完全平方公式进行变形可得再由已知条件即可确定答案【详解】解：∵∴∴∴∴∴∴∴∵∴故答案是：【点睛】本题考查了代数求值涉及到的知识点有等式性质开方运算完全平方解析：【分析】由已知式子利用等式性质、开方运算以及完全平方公式进行变形可得1a a +=±已知条件0a >即可确定答案．【详解】解：∵1a a-=∴(221a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴22128a a -+= ∴22110a a+= ∴221212a a++= ∴2211212a a a a ⎛⎫+⋅⋅+= ⎪⎝⎭∴2112a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴1a a+==±∵0a >∴1a a +=．故答案是：【点睛】本题考查了代数求值，涉及到的知识点有等式性质、开方运算、完全平方公式等知识点，体现了数学运算的核心素养．三、解答题21．（1）4ab ；（2）322x yz - ．【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）根据单项式除以单项式的法则计算即可．【详解】（1） 22(1)(1)ab ab +--＝ (11)(11)ab ab ab ab ++-+-+＝2ab×2=4ab ；（2） 2214(2)xy z x yz --÷-= 1(2)211(1)4(2)x y z -----÷-= 322x yz -．【点睛】本题考查了平方差公式，单项式除以单项式，熟练掌握平方差公式和单项式除以单项式的法则是解题的关键．22．（1）①()()33x y a --；②(3)(72)x x -+；（2）①x≤-1，数轴见详解；②x ＞5，数轴见详解【分析】（1）①根据提取公因式法，即可求解；②根据十字相乘法分解因式，即可求解；（2）①通过去括号，移项合并同类项，未知数系数化为1，即可求解；②分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可．【详解】（1）①原式=()()39a x y x y ---=()()39x y a --=()()33x y a --；②原式=(3)(72)x x -+；（2）①()21132x x +-≥+，去括号得：22132x x +-≥+，移项合并同类项得：1x -≥，解得：x≤-1，②43421x x x x ->⎧⎨+<-⎩①②， 由①得：x ＞1，由②得：x ＞5，∴不等式组的解为：x ＞5．【点睛】本题主要考查因式分解以及解一元一次不等式（组），熟练掌握提取公因式法以及解不等式（组）的基本步骤，是解题的关键．23．()143a -；()2()11()()+--x x x p q【分析】(1)先用多项式公式和乘法法则展开,合并同类项即可；(2)先提公因式,然后再用公式因式分解即可．【详解】解：()1原式()()22941243a a a a =--++--=； ()2原式()()()211())1(x p q x x x x p q =--=+--． 【点睛】本题考查多项式乘法与因式分解，掌握多项式乘法法则与因式分解方法，两者互为逆运算，能区别多项式乘法与因式分解是解题关键．24．（1）22()a a b -；（2）22((3)(3)9)x y x y x y +-+．【分析】（1）先提公因式2a ，再利用完全平方公式进行分解222a ab b -+，即可得出结果；（2）原多项式先利用平方差公式分解为2222(9)(9)x y x y +-，再次利用平方差公式对229x y -进行分解即可．【详解】解：（1）322242a a b ab -+222(2)a a ab b =-+22()a a b =-，（2）4481x y -2222(9)(9)x y x y =+-22(93(3))()x y x y x y =+-+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能结合多项式的特点准确分解是解题的关键．25．（1）2a =，5b =；（2）4c =或5c =或6c =；（3）12【分析】（1）由a 2+b 2=4a+10b−29，可得：（a−2）2+（b−5）2=0，利用非负数的性质求解a ，b ； （2）再利用三角形三边的关系得到c 的取值范围；（3）分两种情况讨论，当a=2为腰时，当b=5为腰时，再结合三角形的三边的关系，确定三角形的三边，从而可得答案．【详解】解：（1）2241029a b a b +=+-()()224410250a a b b -++-+=()()22250a b -+-=2a =，5b =（2）a 、b 、c 是ABC 的三边37c ∴<<又c 为整数4c ∴=，5c =，6c =（3）ABC 是等腰三角形，2a =，5b =根据三边关系可知，只有当c=5时三角形才为等腰三角形，5c ∴=25512ABC C ∴=++=△故周长为：12【点睛】本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．26．（1）()()11ab a a +-；（2）()22x y -- 【分析】（1）首先提公因式“ab”，然后再利用平方差公式分解即可；（2）首先提出“-”，然后利用完全平方公式分解．【详解】解：（1）3-a b ab()21ab a =-()()11ab a a =+-（2）2244x xy y -+-()2244x xy y =--+()22x y =--【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》检测题(有答案解析)(3)
一、选择题1．下列因式分解正确的是（ ）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)2 2．若22()x y A x y -+⋅=-，则代数式A 等于（ ） A ．x y --B ．-+x yC ．x y -D ．x y + 3．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2444x x ++B ．244x x -++C ．4244x x -+D ．291216x x ++ 4．如果917255+能被n 整除，则n 的值可能是( ) A ．20B ．30C ．35D ．40 5．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( ) A ．()210x 5x 5x 2x 1-=-B ．()()2222a b c a b a b c --=-+-C ．()a m n am an +=+D ．()()2x 166x x 4x 46x -+=+-+ 6．下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（ ） A ．a 2﹣1 B ．a 2+2a +1 C ．a 2+4D ．9a 2﹣6a +1 7．下列各式从左到右因式分解正确的是（ ） A ．()26223x y x y -+=-B ．()22121x x x x -+=-+C ．()2242x x -=-D ．()()311x x x x x -=+- 8．下列各式中：①()()22x y x y x y --=-+-，②()()22x y x y x y -+=-++， ③()22 242x x x --=-，④221142x x x ++=+⎛⎫ ⎪⎝⎭中，分解因式正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．301050B ．103020C ．305010D ．501030 10．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()212x a ax x +=+B ．2224(4)x x x x -+=-+C ．()236966)9(x x x x x -+=+-+D ．()()22m n m n m n -=+- 11．因式分解2x ax b ++，甲看错了a 的值，分解的结果是()()61x x +-，乙看错了b的值，分解的结果为()()21x x -+，那么x ax b ++分解因式正确的结果为（ ）． A ．()()23x x -+B ．()()23x x +-C ．()()23x x --D ．()()23x x ++12．已知，则a 2－b 2－2b 的值为 A ．4 B ．3 C ．1 D ．0 二、填空题13．分解因式：269a a ++=_______________．14．分解因式：－3x 2+6xy －3y 2=________．15．因式分解：24a b b -=______．16．已知2019x y +=，20202019-=x y ，则22x y -的值为___________． 17．若a 2-b 2=8，a-b=2，则a+b 的值为_________．18．分解因式：3m n mn -=_________．19．把多项式2122214x x --进行分解因式，结果为________________．20．若多项式222(3)x mx x x +=-，则m =_______________．三、解答题21．（1）因式分解：32862a a a --；（2）利用因式分解进行计算：32322022220222020202220222023-⨯-+-． 22．因式分解（1）22()()a x y b x y --- （2）2288x y xy y -+23．观察下列分解因式的过程：2223a ab b +-．解：原式=222223a ab b b b ++--222(2)4a ab b b =++-22()(2)a b b =+-()()22a b b a b b =+++-(3)()a b a b =+-像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．（1）请你运用上述配方法分解因式：2245a ab b +-；（2）代数式222612a a b b ++-+是否存在最小值？如果存在，请求出当a 、b 分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．24．（1）分解因式：244am am a ++（2）计算：(-2)(2)(2)x x x y x y ++-25．分解因式：（1）21449x x -+=__________；2718x x +-=__________；（2）()()2294a x y b y x -+-．26．（1）计算题：①（a 2）3•（a 2）4÷（a 2）5②（x ﹣y+9）（x+y ﹣9）（2）因式分解①﹣2a 3+12a 2﹣18a②（x 2+1）2﹣4x 2．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A 、等号左右两边不相等，故错误；B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；C 、右边不是整式的积，故错误；D 、等号左右两边不相等，故错误．故选：B ．【点睛】因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．2．A解析：A【分析】利用平方差公式将等号右边写成()()x y x y +-，即可求解．【详解】解：∵()()22()y x y A x y x y x -+=+⋅--=， ∴A x y =--，故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．3．C解析：C【分析】利用完全平方公式逐项进行判定即可．【详解】解：A. 2444x x ++，无法因式分解，故不符合题意；B. 244x x -++，无法因式分解，故不符合题意；C. ()2422442x x x -+=-，符合题意；D. 291216x x ++，无法因式分解，故不符合题意．故答案为Ｃ．【点睛】本题主要考查了运用完全公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题关键． 4．B解析：B【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答．【详解】()91718171717162555555156530+=+=⨯+=⨯=⨯，917255∴+能被n 整除，则n 的值可能是30，故选B ．【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的．5．A解析：A【分析】根据把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、10x 2-5x=5x(2x-1)是因式分解，故本选项正确；B 、右边不是整式积的形式，故本选项错误；C 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；D 、右边不是整式积的形式，故本选项错误.故选A.【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，熟记因式分解的定义是解题的关键．6．C解析：C【分析】直接利用公式法分别分解因式进而得出答案．【详解】A 、a 2﹣1＝（a+1）（a ﹣1），可以运用公式法分解因式，不合题意；B 、a 2+2a+1＝（a+1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；C 、a 2+4，无法利用公式法分解因式，符合题意；D 、9a 2﹣6a+1＝（3a ﹣1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了公式法，正确运用乘法公式是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据提公因式法可判断A 项，根据公式法可判断B 、C 两项，根据提公因式法和平方差公式可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A 、()262231x y x y -+=-+，所以本选项因式分解错误，不符合题意； B 、()22211x x x -+=-，所以本选项因式分解错误，不符合题意；C 、()()2422x x x -=-+，所以本选项因式分解错误，不符合题意；D 、()()()32111x x x x x x x -=-=+-，所以本选项因式分解正确，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 8．B解析：B【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式分解因式得出答案即可．【详解】解：①()2222+x y x y--=-，无法分解因式，故此选项错误； ②()()22x y x y x y -+=-++，正确；③()222415(11x x x x x --=--=-+--，故此选项错误； ④221142x x x ++=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，故此选项正确；所以，正确的答案有2个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式和完全平方公式是解题关键． 9．B解析：B【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．【详解】x 3−xy 2＝x （x 2−y 2）＝x （x ＋y ）（x−y ），当x ＝30，y ＝20时，x ＝30，x ＋y ＝50，x−y ＝10，组成密码的数字应包括30，50，10，所以组成的密码不可能是103020．故选：B ．【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．10．D解析：D【分析】将多项式写成整式积的形式，即为将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】A 、()212x a ax x +=+，不是因式分解，不符合题意；B 、2224(4)x x x x -+=-+，不是因式分解，不符合题意；C 、()236966)9(x x x x x -+=+-+，不是因式分解，不符合题意； D 、()()22m n m n m n -=+-，是因式分解，符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查多项式因式分解的定义，熟记定义及因式分解的特点是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据甲看错了a 的值，将分解的结果展开，能求出正确的b 的值，乙看错了b 的值，可以求出a 的值，再因式分解即可得到答案．【详解】解：∵甲看错了a 的值∴b 是正确的∵()()61x x +-=256x x +-∴b=-6∵乙看错了b 的值∴a 是正确的∵()()21x x -+=22x x --∴a=-1∴26x x --=()()23x x +-故选：B ．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．12．C解析：C【分析】先将原式化简，然后将a−b ＝1整体代入求解．【详解】()()2212221a b a b b a b a b ba b ba b-∴--+--+--＝，＝＝＝＝．故答案选：C ．【点睛】此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用． 二、填空题13．（a+3)2【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案【详解】解：（a+3)2故答案为：（a+3)2【点睛】此题主要考查了公式法分解因式正确运用乘法公式是解题关键解析：（a +3)2【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：269a a ++=（a +3)2．故答案为：（a +3)2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．14．；【分析】先提公因式-3再用完全平方公式因式分解即可【详解】解：原式=－3（x2-2xy+y2）=；故答案为：；【点睛】本题考查了因式分解掌握因式分解的方法是解题的关键解析：23()x y --；【分析】先提公因式-3，再用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：原式=－3（x 2-2xy+y 2）=23()x y --； 故答案为：23()x y --；【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．【分析】直接提取公因式b 进而利用平方差公式分解因式得出即可【详解】解：4a2b-b=b （4a2-1）=b （2a-1）（2a+1）故答案为：b （2a-1）（2a+1）【点睛】本题考查了提取公因式法以及解析：()()2121b a a -+【分析】直接提取公因式b ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】解：4a 2b-b=b （4a 2-1）=b （2a-1）（2a+1）．故答案为：b （2a-1）（2a+1）．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 16．2020【分析】将写成(x+y)(x-y)然后利用整体代入求值即可【详解】解：∵∴故答案为：2020【点睛】本题考查了平方差公式的应用将写成(x+y)(x-y)形式是代入求值在关键解析：2020【分析】将22x y -写成(x+y)(x-y)，然后利用整体代入求值即可．【详解】解：∵2019x y +=，20202019-=x y ， ∴()()222020==2019=20202019x y x y y x -+⨯-， 故答案为：2020．【点睛】 本题考查了平方差公式的应用，将22x y -写成(x+y)(x-y)形式是代入求值在关键．17．4【分析】先对a2-b2=8左侧因式分解然后将a-b=2代入求解即可【详解】解：∵a2-b2=8∴（a-b ）（a+b ）=8∴2（a+b ）=8∴a+b=4故答案为4【点睛】本题考查了代数式求值和因式分解析：4【分析】先对a 2-b 2=8左侧因式分解，然后将a-b=2代入求解即可．【详解】解：∵a 2-b 2=8∴（a-b ）（a+b ）=8∴2（a+b ）=8∴a+b=4．故答案为4．【点睛】本题考查了代数式求值和因式分解，灵活运用因式分解是正确解答本题的关键． 18．【分析】原式提取公因式后利用平方差公式分解即可【详解】解：==故答案为：【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：()()11mn m m +-【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．【详解】解：3m n mn -=2(1)mn m -=()()11mn m m +-．故答案为：()()11mn m m +-．【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．2（2x+1）(3x-7)【分析】先提取公因式2再利用十字相乘法进行因式分解【详解】12x2-22x-14＝2（6x2-11x-7）＝2（2x+1）（3x-7）故答案为：2（2x+1）（3x-7）【解析：2（2x+1）(3x-7)【分析】先提取公因式2，再利用十字相乘法进行因式分解．【详解】12x 2-22x-14＝2（6x 2-11x-7）＝2（2x+1）（3x-7）．故答案为：2（2x+1）（3x-7）．【点睛】考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底． 20．-6【分析】利用多项式乘法去括号根据对应项的系数相等即可求解【详解】∵∴故答案为：-6【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算并且考查了代数式相等的条件：对应项的系数相等解析：-6【分析】利用多项式乘法去括号，根据对应项的系数相等即可求解．【详解】∵222(3)262+x x x x x mx --==∴6m =-，故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等的条件：对应项的系数相等．三、解答题21．（1）()()2141a a a -+；（2）20202023． 【分析】（1）提取公因式2a ，后用十字相乘法分解即可；（2）反复使用提取公因式法化简即可．【详解】（1）32862a a a --=22(431)a a a --=()()2141a a a -+；（2）32322022220222020202220222023-⨯-+- =222022(20222)20202022(20221)2023--+- =22202220202020202220232023⨯-⨯- =222020(20221)2023(20221)⨯-⨯- =20202023．【点睛】本题考查了提取公因式法，十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的基本方法，并灵活选择方法是解题的关键．22．（1）()()()x y a b a b -+-；（2）22(2)y x -【分析】（1）根据提取公因式和平方差公式化简即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式化简即可；【详解】（1）()()()()()2222()()---=--=--+a x y b x y x y a b x y a b a b ； （2）()()22228824422-+=-+=-x y xy y y x x y x ； 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键．23．（1）（a-b ）（a+5b ）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2．【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；(2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可．【详解】解：(1) 2245a ab b +-，22224445a ab b b b -=++-，()()2223a b b =+-， ()()2323b a b a b b =+++-，()()5a b a b =+-；（2）代数式222612a a b b ++-+，=a 2+2a+1+b 2-6b+9-1-9+12，=()()22132a b ++-+， ()()2210,30a b +≥-≥， ∴当10a +=，b-3=0即1a =-，b=3时原式有最小值，最小值是2．【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键． 24．（1）()22a m + ；（2）22224x x y --【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式分解因式；（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：244am am a ++()244a m m =++()22a m =+； （2）(2)(2)(2)x x x y x y -++-22224x x x y =-+-22224x x y =--．【点睛】此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．25．（1）()27x -；()()29x x -+；（2）()()()3232x y a b a b -+- 【分析】（1）直接运用完全平方公式和十字相乘法因式分解即可；（2）先凑出公因式x-y ，然后提取公因式，最后运用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）21449x x -+=22277x x -⨯+=()27x -； 2718x x +-=()()29x x -+：（2）()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =--- ()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法、完全平方公式和十字相乘法成为解答本题的关键．26．（1）①4a ②x 2﹣y 2+18y ﹣81 （2）①﹣2a （a ﹣3）2 ②（x+1）2（x ﹣1）2【分析】（1）①原式利用幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；②原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可；（2）①原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；②原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）①原式＝a 14÷a 10＝a 4；②原式＝x 2﹣（y ﹣9）2＝x 2﹣y 2+18y ﹣81；（2）①原式＝﹣2a （a ﹣3）2；②原式＝（x2+1+2x）（x2+1-2x）=（x+1）2（x﹣1）2．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
北师大版八年级下数学第四章《因式分解》单元测试(含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列因式分解结果正确的是（）A. x2+3x+2=x（x+3）+2B. 4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D. a2﹣2a+1=（a+1）22.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 8a2b3=2a2•4b3D. x2-4=（x+2）（x-2）3.若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4.把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A. 只有xB. x2和xC. x2和﹣xD. x和x﹣15.计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C. ﹣ D. 3×6.下列多项式能因式分解的是（）A. B. C. D.7.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C. x2﹣4y2=（x﹣2y）2D. 2x2+4x+2=2（x+1）28.在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A. x（x4﹣64）B. x（x2+8）（x2﹣8）C. x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D. x（x+2）3（x﹣2）9.分解因式得正确结果为（）A. a2b（a2﹣6a+9）B. a2b（a﹣3）（a+3）C. b(a2﹣3)2D. a2b（a﹣3)210.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 50二、填空题11.分解因式：a3﹣ab2=________．12.分解因式：m2﹣16=________．13.分解因式x2-8x+16=________14. 分解因式：x2﹣9= ________.15.分解因式：a2﹣16=________.16.已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中长边为a+b，则短边长是________ ．17.分解因式：x2y﹣4xy+4y=________．18. 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________19.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=________20.分解因式：9a﹣a3=________ ．三、解答题21.因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）22.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．23.阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．请你说明这个等式的正确性．参考答案一、选择题C D D D D C D C D C二、填空题11.a（a+b）（a﹣b）12.（m+4）（m-4）13.（x-4）214.（x+3）（x﹣3）15.（a+4）（a﹣4）16.解：（a2﹣b2）÷（a+b）=（a+b）（a﹣b）÷（a+b）=a﹣b．故答案为a﹣b．17.y（x﹣2）218.9x（x﹣1）219.1820.a（3+a）（3﹣a）三、解答题21.解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．22.解：﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005=﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a2（a2﹣2a﹣3）+2005=2005．23.（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，因为（m+3）2≥0，所以代数式m2+6m+13的最小值是4（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]。
最新北师大版八年级数学下册第四章同步测试题及答案全套
最新北师大版八年级数学下册第四章同步测试题及答案全套第四章因式分解1因式分解知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.下列式子从左到右的变形是因式分解的是()A.(x+3)(x-3)=x2-9B.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)C.a2+1=(a-1)(a+1))D.m2-2m-3=m(m-2-3m2.已知多项式x2+mx+5因式分解的结果是(x+5)·(x+n),则m,n的值分别是()A.m=1,n=5B.m=5,n=1C.m=1,n=6D.m=6,n=13.若x+2是多项式4x2+5x+m因式分解后的一个因式,则m等于()A.-6B.6C.-9D.94.若x2+x+m=(x-3)(x+n)对x恒成立,则n=.5.利用因式分解简便计算53×98+48×98-98时,下一步算式是,结果是.6.计算下列(1)~(4)题,将(5)~(8)题因式分解.(1)(x+3)(x-3)=;(2)(y+2)2=;(3)4m(m-1)=;(4)2a(a2+1)=;(5)4m2-4m=;(6)2a3+2a=;(7)y2+4y+4=;(8)x2-9=.7.连一连:8.用简便方法计算:23×2.718+59×2.718+18×2.718.9.求证:32 017-4×32 016+10×32 015能被7整除.10.多项式2x 2+5x+m 因式分解的结果中有一个因式为x+3,试将多项式2x 2+5x+m 因式分解.创新应用11.如图是一个边长为a 的小正方形与两个长、宽分别为a ,b 的长方形组成的大长方形ABCD ,则整个图形可表达出一些关于多项式因式分解的等式,请你写出其中的两个.答案：能力提升1.B2.D3.A4.45.98×(53+48-1) 9 8006.(1)x 2-9 (2)y 2+4y+4 (3)4m 2-4m (4)2a 3+2a(5)4m (m -1) (6)2a (a 2+1) (7)(y+2)2 (8)(x+3)(x -3)7.解8.解 23×2.718+59×2.718+18×2.718=(23+59+18)×2.718=100×2.718=271.8.9.证明 ∵原式=32 015×(32-4×3+10)=32 015×(9-12+10)=32 015×7,∴32 017-4×32 016+10×32 015能被7整除.10.解 设2x 2+5x+m=(x+3)(ax+b ),因为(x+3)(ax+b )=ax 2+(3a+b )x+3b ,所以2x 2+5x+m=ax 2+(3a+b )x+3b ,所以a=2,且{3a +b =5,m =3b ,解得{b =-1,m =-3,所以2x 2+5x+m=(x+3)(2x -1).创新应用11.分析 这是一道开放性题目,利用长方形的面积特点构成等式,只要数形相符,并且符合因式分解的定义即解a2+2ab=a(a+2b);a(a+b)+ab=a(a+2b).2提公因式法第1课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.下列各数中,能整除(-8)2 017+(-8)2 018的是()A.3B.5C.7D.92.要使式子-7ab-14abx+49aby=-7ab()成立,括号内应填入的式子是()A.-1+2x+7yB.-1-2x+7yC.1-2x-7yD.1+2x-7y3.已知mn=1,m-n=2,则m2n-mn2的值是()A.-1B.3C.2D.-24.单项式12x3y3z3,-18x3y3z3,24x2y4z3,-6x2y3z4的公因式是.5.已知当x=1时,2ax2+bx=3,则当x=2时,ax2+bx=.6.利用因式分解计算:(1)(-3)201+(-3)200+6×3199;(2)-2 122-2 1222+2 1232.,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.7.已知2x-y=188.请你利用甲、乙两个纸片(甲是圆形纸片,乙是长方形纸片)为底,用橡皮泥做出一样高的圆柱体和长方体.现知道圆形纸片的周长为10a cm,长方形纸片的长是3a cm,宽是2a cm.请比较这两个物体哪个体积更大.创新应用9.在物理电学中,求串联电路的总电压公式时,有公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=19.7,R2=32.4,R3=35.9,I=2.5时,求电压U的值.答案：能力提升1.C2.D3.C4.6x2y3z35.66.解(1)(-3)201+(-3)200+6×3199=(-3)199×[(-3)2-3-6]=(-3)199×0=0;(2)-2 122-2 1222+2 1232=-2 122×(1+2 122)+2 1232=-2 122×2 123+2 1232=2 123×(-2 122+2 123)=2 123.7.解原式=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y).当2x-y=18,xy=2时,原式=(xy)3(2x-y)=23×18=1.8.解我们可以采用作差的方法.首先,求出圆柱体的底面半径为10a2πcm.∵圆柱体和长方体的体积都是“底面积×高”,∴哪个物体的底面积大哪个物体的体积就大.∴S圆柱体-S长方体=π(10a2π)2-3a·2a=a2(25π-6)(cm2).易知25π-6大于0,故圆柱体的体积大于长方体的体积.创新应用时,U=2.5×(19.7+32.4+35.9)=2.5×88=220.第2课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.下列各组代数式中,没有公因式的是( )A.3a -3b 与b -aB.mx+y 与x+myC.(m -1)3与-(1-m )3D.a+b 与-(b+a )2.若a ,b ,c 为△ABC 的三边长,且(a -b )b+a (b -a )=a (c -a )+b (a -c ),则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.(x+y -z )(x -y+z )和(y+z -x )(z -x -y )的公因式是( )A.x+y -zB.x -y+zC.y+z -xD.不存在4.多项式-ab (a -b )2+a (b -a )2-ac (a -b )2因式分解时,所提公因式应是 .5.如果(m+n )(m -n )2+2mn (m+n )=(m+n )·M ,那么M= .6.因式分解:(1)-3a n +2+2a n +1-7a n ;(2)(x -y )4+x (x -y )3-y (y -x )3;(3)2(a -3)2-a+3.7.已知a+b=-4,ab=2,求多项式4ab (a+b )-4a -4b 的值.创新应用8.不解方程组{2x -y =12,x +2y =11,求(2x -y )3-(2x -y )2·(x -3y )的值.答案：能力提升1.B2.B3.A4.-a (a -b )25.m 2+n 2(2)原式=(x-y)4+x(x-y)3+y(x-y)3=(x-y)3·[(x-y)+x+y]=2x(x-y)3;(3)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)·[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7).7.解原式=4(a+b)(ab-1).当a+b=-4,ab=2时,原式=4(a+b)(ab-1)=-16.创新应用8.解(2x-y)3-(2x-y)2(x-3y)=(2x-y)2·[(2x-y)-(x-3y)]=(2x-y)2(x+2y).因为2x-y=12,x+2y=11,所以原式=(2x-y)2(x+2y)=122×11=1 584.3公式法第1课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.把多项式xy2-9x因式分解,结果正确的是()A.x(y+9)(y-9)B.x(y+3)2C.x(y+3)(y-3)D.x(y2-9)2.若a+b=2,则a2-b2+4b的值是()A.2B.3C.4D.63.某同学粗心大意,因式分解时,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字可以是()A.8,1B.16,2C.24,3D.64,84.在实数范围内因式分解:x2y-3y=.5.如果实数x,y满足方程组{x-y=-12,2x+2y=5,则x2-y2的值为.6.一条水渠,其横断面为梯形,根据图中的长度求横断面面积的代数式,并计算当a=1.5,b=0.5时,横断面的面积.7.利用平方差公式因式分解:(1)16-9a2;(2)-259x 2+814y 2.8.计算:(1-122)(1-132)(1-142)…(1-1992)(1-11002).创新应用9.在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x 4-y 4,因式分解的结果是(x -y )·(x+y )(x 2+y 2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是:x -y=0,x+y=18,x 2+y 2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x 3-xy 2,当取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码有: , , .答案：知能演练·提升能力提升1.C2.C3.B4.y (x+√3)(x -√3)5.-546.解 设横断面的面积为S ,则S=12(a+a+2b )·(a -b )=(a+b )(a -b ).当a=1.5,b=0.5时,S=(1.5+0.5)×(1.5-0.5)=2.7.解 (1)原式=(4+3a )(4-3a );(2)原式=-(259x 2-814y 2) =-(53x +92y)(53x -92y). 8.101200创新应用9.101030 103010 301010第2课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )C.x2+x+1D.x2+4x+4x2的值()2.若x为任意实数,则多项式x-1-14A.一定为负数B.不可能为正数C.一定为正数D.为一切实数3.因式分解:(a+b)(a+b+6)+9=.4.因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2=.5.当x=时,多项式-x2+2x-1有最大值.6.将下列多项式因式分解:(1)x3y-2x2y+xy;(2)(a-b)2+4ab;(3)(x2-8)2+8(x2-8)+16.7.先因式分解,再求值:(a2+b2)2-4a2b2,其中a=3.5,b=1.5.8.已知a2-4a+9b2+6b+5=0,求a2-6ab+9b2.创新应用9.观察思考:1×2×3×4+1=25=52,2×3×4×5+1=121=112,3×4×5×6+1=361=192,……从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?答案：能力提升1.D2.B3.(a+b+3)24.(3x-3y+2)25.106.解(1)原式=xy(x2-2x+1)=xy(x-1)2;(2)原式=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2;(3)原式=[(x2-8)+4]2=(x2-4)2=[(x+2)(x-2)]2=(x+2)2(x-2)2.7.解(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,当a=3.5,b=1.5时,原式=(a+b)2(a-b)2=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=25×4=100.8.解∵a2-4a+9b2+6b+5=0,∴(a2-4a+4)+(9b2+6b+1)=0,(a-2)2+(3b+1)2=0,∴a-2=0,3b+1=0,∴a=2,3b=-1.∴a2-6ab+9b2=(a-3b)2=[2-(-1)]2=32=9.创新应用9.分析仔细观察,寻找规律是关键.等式左边是四个连续自然数的积与1的和,等式右边是一个完全平方数,因此结论是四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.解结论:四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.证明:设最小的自然数是n,则这四个自然数的积与1的和可以表示为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)·(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.第四章测评(时间:90分钟,满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)2.将多项式49a3bc3+14a2b2c2因式分解时,提取的公因式是()A.a2bc2B.7a2bc2C.7a2b2c2D.7a3b2c33.把多项式3x3-6x2y+3xy2因式分解,结果正确的是()C.x (3x -y )2D.3x (x -y )24.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A .a 2-1B .a 2+aC .a 2+a -2D .(a+2)2-2(a+2)+15.若n 为任意整数,(n+11)2-n 2的值总可以被k 整除,则k 的值等于( )A.11的倍数B.11C.12D.11或126.课堂练习中,王莉同学做了如下4道因式分解题,你认为王莉做得不够完整的一道是( )A.x 3-x=x (x 2-1)B.x 2+2xy+y 2=(x+y )2C.x 2y -xy 2=xy (x -y )D.ab 2-6ab+9a=a (b -3)27.下列多项式中,不能用公式法因式分解的是( )A.-x 2+16y 2B.81(a 2+b 2-2ab )-(a+b )2C.m 2-23mn+19n 2D.-x 2-y 28.利用因式分解计算88×111+33×111-111,正确的是( )A.111×(88+33)=111×121=13 431B.111×(88+33-1)=111×120=13 320C.111×(88+33+1)=111×122=13 542D.111×(88+33-111)=111×10=1 110二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)9.因式分解:4x -x 3= .10.已知a+b=2,ab=1,则a 2b+ab 2的值为.11.当m+n=3时,式子m 2+2mn+n 2的值为.12.已知(2x -21)(3x -7)-(3x -7)(x -13)可因式分解为(3x+a )(x+b ),其中a ,b 均为整数,则a+3b= .13.观察下列等式:1×2+2=4=22;2×3+3=9=32;3×4+4=16=42;4×5+5=25=52;……由此,你得出的结论是 .(用含n 的等式表示)三、解答题(共48分)14.(12分)因式分解:(1)169(a -b )2-196(a+b )2;(2)m 4-2m 2n 2+n 4;(3)m 2(m -1)-4(1-m 2).15.(12分)利用因式分解计算:(1)29×20.16+72×20.16-20.16;(2)(50111)2−(491011)2;(3)1012+101×198+992.16.(12分)老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22,……(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)证明这个规律的正确性.17.(12分)给你若干张长方形和正方形卡片,如图,请你用拼图的方法,拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+5ab+4b2,并根据你拼成的图形将多项式a2+5ab+4b2进行因式分解.答案：一、选择题1.D2.B3.D4.C5.B(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(2n+11),∴(n+11)2-n2的值总可以被11整除.6.A7.D8.B二、填空题9.-x(x+2)(x-2)4x-x3=-x(x2-4)=-x(x+2)·(x-2).10.2当a+b=2,ab=1时,a2b+ab2=ab(a+b)=2.11.9m2+2mn+n2=(m+n)2=9.12.-31原式=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)·(x-8),故a=-7,b=-8,a+3b=-7-24=-31.13.n(n+1)+(n+1)=(n+1)2三、解答题14.解(1)原式=[13(a-b)]2-[14(a+b)]2=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=(27a+b)(-a-27b)=-(27a+b)(a+27b);(2)原式=(m2-n2)2=[(m+n)(m-n)]2=(m+n)2(m-n)2;(3)原式=m2(m-1)+4(m+1)(m-1)=(m-1)(m2+4m+4)=(m-1)(m+2)2.15.解(1)原式=20.16×(29+72-1)=20.16×100=2 016;(2)原式=(50111+491011)×(50111-491011)=100×211=20011;(3)原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2002=40 000.16.(1)解72-52=8×3;92-32=8×9等.(2)解规律:任意两个奇数的平方差是8的倍数.(3)证明设m,n(m≠n)为整数,两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).∵当m,n同是奇数或偶数时,m-n一定为偶数,∴4(m-n)一定是8的倍数;∵当m,n一偶一奇时,则m+n+1一定为偶数,∴4(m+n+1)一定是8的倍数.∴任意两个奇数的平方差是8的倍数.17.解由于所给长方形与正方形卡片的面积分别为a2,ab,b2,因此,要想拼成面积为a2+5ab+4b2的大长方形,可用1张图①,5张图②,4张图③拼成如图的长方形.又因为大长方形的面积等于(a+b)(a+4b),故多项式a2+5ab+4b2分解为(a+b)(a+4b),即a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b).。
北师大版数学八年级下册：第四章 因式分解 单元测试(附答案)
第四章因式分解单元测试(时间：40分钟满分：100分）一、选择题(每小题3分，共30分）1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．(3－x）(3＋x）＝9－x2B．m4－n4＝(m2＋n2）(m＋n）(m－n）C．(y＋1）(y－3）＝－(3－y）(y＋1）D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz）＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是（）A．x2－xy B．x2＋xyC．x2－y2D．x2＋y23．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a(4a2－4a＋1）B．8a2(a－1）C．2a(2a＋1）2D．2a(2a－1）24．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（）A．a2－1 B．a2＋aC．a2＋a－2 D．(a＋2）2－2(a＋2）＋15．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是（）A．4x2－4x＋1＝(2x－1）2B．x3－x＝x(x2－1）C．x2y－xy2＝xy(x－y）D．x2－y2＝(x＋y）(x－y）6．若x2＋ax－24＝(x＋2）(x－12），则a的值为（）A．－10 B．±10 C．14 D．－147．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是（）A．x2＋2x＝x(x＋2）B．x2－2x＋1＝(x－1）2C．x2＋2x＋1＝(x＋1）2D．x2＋3x＋2＝(x＋2）(x＋1）8．已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．09．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5）2－9都能（ ）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被m －1整除D ．被2m －1整除 10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，8二、填空题(每小题3分，共15分）11．因式分解：2m 3－8m ＝ ．12．若二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是 ．13．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝ ． 14．计算：1.222×9－1.332×4＝ ．15．两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成(x ＋1）(x ＋9）；乙因看错了常数项而分解成(x －2）(x －4），则将原多项式因式分解后的正确结果应该是 ．三、解答题(共55分）16．(16分）因式分解：(1）3m 2n －12mn ＋12n ； (2）n 2(m －2）－n(2－m ）；(3）(a ＋b ）3－4(a ＋b ）； (4）8(x 2－2y 2）－x(7x ＋y ）＋xy.17．(8分）不解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y(x －3y ）2－2(3y －x ）3的值．18．(9分）商贸大楼共有四层，第一层有商品(a＋b）2种，第二层有商品a(a＋b）种，第三层有商品b(a＋b）种，第四层有商品(b＋a）2种．若a＋b＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？19．(10分）阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．20．(12分）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a＞b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式．【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b(a＞b）的小正方体后余下的部分(如图3）再切割拼成一个几何体(如图4）．图3中的几何体的体积为，图4中的几何体的体积为，根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为：．(结果写成整式的积形式）【知识运用】(1）因式分解：8x3－1；(2）已知a－b＝4，ab＝3，求a3－b3的值．参考答案：一、选择题(每小题3分，共30分）1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(B）A．(3－x）(3＋x）＝9－x2B．m4－n4＝(m2＋n2）(m＋n）(m－n）C．(y＋1）(y－3）＝－(3－y）(y＋1）D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz）＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是(C）A．x2－xy B．x2＋xyC．x2－y2D．x2＋y23．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(D）A．2a(4a2－4a＋1）B．8a2(a－1）C．2a(2a＋1）2D．2a(2a－1）24．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是(C）A．a2－1 B．a2＋aC．a2＋a－2 D．(a＋2）2－2(a＋2）＋15．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是(B）A．4x2－4x＋1＝(2x－1）2B．x3－x＝x(x2－1）C．x2y－xy2＝xy(x－y）D．x2－y2＝(x＋y）(x－y）6．若x2＋ax－24＝(x＋2）(x－12），则a的值为(A）A．－10 B．±10 C．14 D．－147．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是(D）A．x2＋2x＝x(x＋2）B ．x 2－2x ＋1＝(x －1）2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1）2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2）(x ＋1）8．已知a －b ＝1，则a 2－b 2－2b 的值为(C ）A ．4B ．3C ．1D ．09．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5）2－9都能(A ）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被m －1整除D ．被2m －1整除 10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(B ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，8二、填空题(每小题3分，共15分）11．因式分解：2m 3－8m ＝2m(m ＋2）(m －2）．12．若二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是±6．13．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝1． 14．计算：1.222×9－1.332×4＝6.32．15．两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成(x ＋1）(x ＋9）；乙因看错了常数项而分解成(x －2）(x －4），则将原多项式因式分解后的正确结果应该是(x －3）2．三、解答题(共55分）16．(16分）因式分解：(1）3m 2n －12mn ＋12n ；解：原式＝3n(m 2－4m ＋4）＝3n(m －2）2.(2）n 2(m －2）－n(2－m ）；解：原式＝n 2(m －2）＋n(m －2）＝n(n ＋1）(m －2）．(3）(a ＋b ）3－4(a ＋b ）；解：原式＝(a ＋b ）[(a ＋b ）2－4]＝(a ＋b ）(a ＋b ＋2）(a ＋b －2）．(4）8(x 2－2y 2）－x(7x ＋y ）＋xy.解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y ）(x －4y ）．17．(8分）不解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y(x －3y ）2－2(3y －x ）3的值． 解：原式＝(x －3y ）2[7y ＋2(x －3y ）]＝(x －3y ）2(2x ＋y ）．∵⎩⎨⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，∴原式＝12×6＝6.18．(9分）商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b ）2种，第二层有商品a(a ＋b ）种，第三层有商品b(a ＋b ）种，第四层有商品(b ＋a ）2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？解：(a ＋b ）2＋a(a ＋b ）＋b(a ＋b ）＋(b ＋a ）2＝2(a ＋b ）2＋(a ＋b ）(a ＋b ）＝2(a ＋b ）2＋(a ＋b ）2＝3(a ＋b ）2.因为a ＋b ＝10，所以3(a ＋b ）2＝300.答：这座商贸大楼共有商品300种．19．(10分）阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状． 解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，①∴c 2(a 2－b 2）＝(a 2＋b 2）(a 2－b 2）．②∴c 2＝a 2＋b 2.③∴△ABC 为直角三角形．问：(1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③；(2）写出该题正确的解法．解：正确的解法如下：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，∴c 2(a 2－b 2）＝(a 2＋b 2）(a 2－b 2）．∴c2(a2－b2）－(a2＋b2）(a2－b2）＝0.∴(a2－b2）[c2－(a2＋b2）]＝0.分三种情况讨论：①当a2－b2＝0，c2－(a2＋b2）≠0时，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②当a2－b2≠0，c2－(a2＋b2）＝0时，则c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形；③当a2－b2＝0，且c2－(a2＋b2）＝0时，则a＝b，c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰直角三角形．综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．20．(12分）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a＞b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式a2－b2＝(a＋b）(a－b）．【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b(a＞b）的小正方体后余下的部分(如图3）再切割拼成一个几何体(如图4）．图3中的几何体的体积为a3－b3，图4中的几何体的体积为a2(a－b）＋ab(a－b）＋b2(a－b），根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为：a3－b3＝(a－b）(a2＋ab＋b2）．(结果写成整式的积形式）【知识运用】(1）因式分解：8x3－1；(2）已知a－b＝4，ab＝3，求a3－b3的值．解：(1）8x3－1＝(2x）3－1＝(2x－1）(4x2＋2x＋1）．(2）∵a－b＝4，ab＝3，∴a2＋b2＝(a－b）2＋2ab＝16＋6＝22.∴a3－b3＝(a－b）(a2＋ab＋b2）＝4×(22＋3）＝100.。
北师大新版八年级下学期数学第4章因式分解单元练习试题 含答案
第4章因式分解一．选择题（共8小题）1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a+）2．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）A．x2﹣6x+9 B．﹣x2+y2C．x2+2x D．﹣x2+2xy﹣y2 3．已知a为任意整数，且（a+7）2﹣a2的值总可以被n（n为自然数，且n≠1）整除，则n的值为（）A．14 B．7 C．7或14 D．7的倍数4．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+b2＝（a+b）2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b25．如果：x2﹣8xy+16y2＝0，且x＝5，则（2x﹣3y）2＝（）A．B．C．D．6．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣1）整除D．被（2m﹣1）整除7．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（）A．1 B．7 C．11 D．138．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形二．填空题（共7小题）9．多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是．10．若多项式x2﹣mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m＝．11．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝．12．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．13．已知x2﹣2x﹣3是多项式3x3+ax2+bx﹣3的因式（a、b为整数）则a＝，b＝．14．分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝．15．多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为．三．解答题（共6小题）16．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy17．阅读某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，并解决问题：解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步的变形运用了（填序号）；A．提公因式法B．平方差公式C．两数和的平方公式D．两数差的平方公式（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？（填“能”或“不能”）．如果能，直接写出最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分行解．18．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；19．阅读下面文字内容：对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+4x ﹣5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2+4x构成个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．请用配方法来解下列问题（1）请用上述方法把x2﹣6x﹣7分解因式．（2）已知：x2+y2+4x﹣6y+13＝0，求y的值．20．我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的A卡片1张、B卡片1张、C卡片2张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释a2+2ab+b2＝（a+b）2．请用A卡片1张、B卡片2张、C卡片3张拼成一个长方形，画图并完成多项式a2+3ab+2b2的因式分解．21．阅读材料：某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形的面积来解释．（1）如图②所表示的因式分解的恒等式是．（2）现有足够多的正方形和长方形卡片（如图③），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形（每两张卡片之间既不重叠也无空隙），使该长方形的面积为a2+3ab+2b2，并利用你画的长方形的面积对a2+3ab+2b2进行因式分解．参考答案一．选择题（共8小题）1．B．2．C．3．B．4．B．5．B．6．A．7．A．8．C．二．填空题（共7小题）9．5a2b；10．4．11．﹣5．12．x2+2.5x+．13．解：﹣5，﹣11．14．（2x+1）（x﹣2）15．（x+2）（x﹣2）（x+）（x﹣）三．解答题（共6小题）16．（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．17．解：（1）该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的平方公式，故选C；（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能进一步因式分解，最后结果（x﹣2）4，故答案为能，（x﹣2）4；（3）设x2+6x＝y（x2+6x）（x2+6x+18）+81＝y（y+18）+81＝y2+18y+81＝（y+9）2＝（x2+6x+9）2＝（x+3）4．18．解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．19．解：（1）x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）（2）∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3．20．解：如图③，所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．21．解：（1）2a2+2ab＝2a（a+b），故答案为：2a2+2ab＝2a（a+b），；（2）画图如下：此题画法不唯一，提供以下参考答案：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），。
北师大版八年级数学下册第4章测试题及参考答案
北师大版八年级数学下册第4章测试题一、选择题1．下列运算正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6C．3a2﹣2a3=a6D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（）A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（）A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）4．下列各因式分解正确的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2=x2+2x+15．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2 6．因式分解x2y﹣4y的结果是（）A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）8．下列代数式变形正确的是（）A．﹣a+b=（a+b）B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣39．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+110．因式分解4﹣4a+a2正确的是（）A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2 11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（）A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）12．下列因式分解正确的是（）A．x2+9=（x+3）2B．a2+2a+4=（a+2）2C．a3﹣4a2=a2（a﹣4）D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）二、填空题13．分解因式：x2﹣4=．14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是．15．因式分解：x2+6x=．16．分解因式：m2+4m=．17．因式分解3a2+a=．三、解答题18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当D（p，q）=30时，求的最大值．23．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．答案与解析1．下列运算正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6C．3a2﹣2a3=a6D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】选择题【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；B、原式=4a2b6，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式=a（a+1）（a﹣1），正确，故选D【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（）A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：3y2﹣6y+3=3（y2﹣2y+1）=3（y﹣1）2．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（）A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，故选B【点评】此题考查了提公式法与公式法的综合运用，要注意有没有分解到不能分解．4．下列各因式分解正确的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2=x2+2x+1【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；B、﹣x2+（﹣2）2=（2+x）（2﹣x），故B错误；C、x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2），故C正确；D、（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．5．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】根据提公因式，完全平方公式，可得答案．【解答】解：原式=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，故选：D．【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式，完全平方公式是解题关键．6．因式分解x2y﹣4y的结果是（）A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．1【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】选择题【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣8x+16=（x﹣4）2．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．8．下列代数式变形正确的是（）A．﹣a+b=（a+b）B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3【考点】54：因式分解﹣运用公式法；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．【专题】选择题【分析】直接利用添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用分别分析得出答案．【解答】解：A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此选项错误；C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正确；D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用，正确掌握运算法则是解题关键．9．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】选择题【分析】根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．10．因式分解4﹣4a+a2正确的是（）A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】选择题【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．【解答】解：4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（）A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】先提取公因式y，然后利用平方差公式进行分解．【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）．故选：D．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．下列因式分解正确的是（）A．x2+9=（x+3）2B．a2+2a+4=（a+2）2C．a3﹣4a2=a2（a﹣4）D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】各项利用提取公因式法及公式法分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能分解，错误；B、原式不能分解，错误；C、原式=a2（a﹣4），正确；D、原式=（1+2x）（1﹣2x），错误，故选C【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．分解因式：x2﹣4=．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】填空题【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】直接提公因式x即可．【解答】解：原式=x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．15．因式分解：x2+6x=．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】根据提公因式法，可得答案．【解答】解：原式=x（6+x），故答案为：x（x+6）．【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．16．分解因式：m2+4m=．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2+4m=m（m+4）．故答案为：m（m+4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．17．因式分解3a2+a=．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】直接提公因式a即可．【解答】解：3a2+a=a（3a+1），故答案为：a（3a+1）．【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式．18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；(2)根据题意可以表示出N和N的团结数，然后作差即可解答本题．【解答】解：(1)由题意可得，设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c=100（a﹣b）+10（b﹣a）=90（a﹣b），∵，∴M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)由题意可得，N=2×100+10a+b=200+10a+b，N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，解得，或，即N是284或218．【点评】本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，由于m2﹣64=20（5t2+8t），于是得到结论；(2)根据已知条件得到10t+8=（p+q）（p﹣q），于是得到H（28）=，H （48）=或H（48）==或H（48）=，即可得到结论．【解答】(1)证明：设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，∴m2﹣64=（10t+8）2﹣64=100t2+160t+64﹣64=20（5t2+8t），∵1≤t≤9，且t为整数，∴5t2+8t是正整数，∴m2﹣64一定为20的倍数；(2)解：∵m=p2﹣q2，且p，q为正整数，∴10t+8=（p+q）（p﹣q），当t=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q；当t=2时，28=1×28﹣3×14=4×7，其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28=82﹣62，∴H（28）=，当t=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q；当t=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，满足条件的p，q的数对为或或，解得：或或，即48=132﹣92=82﹣42=72﹣12，∴H（48）=或H（48）==或H（48）=，∵，∴H（m）的最大值为．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解”好数”和“友好数对”是解题的关键．20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)根据题意即可得到结论；(2)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．【解答】解：(1)由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，故答案为：1001，9999；(2)设这个“和平数”为，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，∴2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，可知c+1=6k且a+b=c+d，∴c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，2（c+2）=12k，可知c+2=6k且a+b=c+d，∴c=4则b=8，综上所述，这个数为2754和4848．(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)根据欢喜数的定义可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，结合b能被9整除即可证出“欢喜数”能被99整除；(2)设m=，n=（且a1＞a2），根据F（m）﹣F（n）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3结合a1、a2、b均为整数，即可得出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3，将其代入m﹣n=99（a1﹣a2）中即可得出结论．【解答】(1)证明：∵为欢喜数，∴a+c=b．∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“欢喜数”能被99整除．(2)设m=，n=（且a1＞a2），∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：(1)找出=99a+11b；(2)由F（m）﹣F（n）=3，求出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当D（p，q）=30时，求的最大值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，即t2+t﹣s2﹣s=30，分解因式得到（t﹣s）（t+s+1）=30，根据30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程组求得或或或，于是得到结论．【解答】解：(1)若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，即t2+t﹣s2﹣s=30，∴（t﹣s）（t+s+1）=30，∵t，s是正整数，t＞s，∴t﹣s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t﹣s，∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，∴或或或，解得：或或或，∵t，s是正整数，∴符合条件的是：或或，∴或=或=，∵，∴的最大值是．【点评】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．23．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【考点】51：因式分解的意义．【专题】解答题【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m 的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a=4，k=20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．。
北师大版八年级数学下册第4-5章达标测试卷附答案
北师大版八年级数学下册第四章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )A．x2－6x＋9＝(x－3)2B．(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3C．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x D．6ab＝2a·3b2．下列四个多项式中，能因式分解的是( )A．a－1 B．a2＋1 C．x2－4y D．x2－4x＋4 3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－10x＋25 4．分解因式－2m(n－p)2＋6m2(p－n)时，应提取的公因式为( ) A．－2m2(n－p)2B．2m(n－p)2C．－2m(n－p) D．－2m5．一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是( )A．a3－a＝a(a2－1) B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)6．下列因式分解正确的是( )A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax) B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)27．若多项式5x2＋17x－12可因式分解为(x＋a)(bx＋c)，其中a，b，c均为整数，则a－c的值是( )A．1 B．7 C．11 D．138．已知x3＋x2＋x＋1＝0，则x2 023＋x2 022＋x2 021＋…＋x＋1的值是( ) A．0 B．1 C．－1 D．29．从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图①所示，然后拼成一个平行四边形，如图②所示，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为( )A ．a 2－b 2＝(a －b )2B ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题(每题3分，共30分)11．分解因式：3m 3＋6m 2＋9m ＝____________．12．把多项式()1＋x ()1－x －()x －1提取公因式x －1后，余下的部分是__________．13．如果x －2是多项式x 2－6x ＋m 的一个因式，那么m 的值为________． 14．若关于x 的二次三项式x 2＋ax ＋14是完全平方式，则a 的值是________．15．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－12 023，2y －x ＝2 0237，不解方程组直接求出代数式x 2－4y2的值为________．16．已知a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，分解因式：(x 2＋y 2)－(axy ＋b )＝________________．17．在对多项式x 2＋ax ＋b 进行因式分解时，小明看错了b ，分解的结果是(x －10)(x＋2)；小亮看错了a ，分解的结果是(x －8)(x －2)，则多项式x 2＋ax ＋b 进行因式分解的正确结果为__________．18．计算：123 456 7892－123 456 788×123 456 790＝________．19．甲、乙两农户各有2块土地，如图所示(单位：m ).2020年，两农户决定共同投资饲养业，为此，他们准备将4块土地换成1块土地，所换土地的长为(a ＋b )m ，为了使所换土地的面积与原来4块土地的总面积相等，所换土地的宽应该是__________m .20．观察下列各式：x 2－1＝(x －1)(x ＋1)，x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)，x 4－1＝(x－1)(x 3＋x 2＋x ＋1)，根据前面各式的规律可猜想：x n ＋1－1＝____________________________________．三、解答题(21题16分，26题12分，其余每题8分，共60分) 21．把下列各式因式分解： (1)4x 2－64； (2)a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3；(3)(a －b )2－2(b －a )＋1; (4)x 2－2xy ＋y 2－16z 2.22.给出三个多项式：12x 3＋2x 2－x ，12x 3＋4x 2＋x ，12x 3－2x 2，请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算，再把结果因式分解．23．已知x ＋y ＝4，x 2＋y 2＝14，求x 3y －2x 2y 2＋xy 3的值．24．实验材料：现有若干张如图①所示的正方形和长方形硬纸片，实验目的：用若干张这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6张，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)或(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab ＋2b2探索问题：(1)选取如图①所示的正方形、长方形硬纸片共8张可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；(2)试借助拼图的方法，把二次三项式2a2＋5ab＋2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．(3)小明同学又用了x张边长为a的正方形硬纸片，y张边长为b的正方形硬纸片，z张相邻两边长为a，b的长方形硬纸片拼出了一个面积为(25a＋7b)(18a＋45b)的长方形，那么x＋y＋z的值为________．25．先阅读下列材料，再解答问题：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)分解因式：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝____________；(2)分解因式：(a＋b)(a＋b－4)＋4；(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．26．观察猜想如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(______)(______)．说理验证事实上，我们也可以用如下方法进行变形：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝________________＝(______)(______)．于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．尝试运用例题：把x2＋3x＋2因式分解．解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．请利用上述方法将下列多项式因式分解：(1)x2－7x＋12；(2)(y2＋y)2＋7(y2＋y)－18.答案一、1.A 2.D 3.D 4.C 5.A 6.D 7.B 8．A 9.D 10.D 二、11.3m (m 2＋2m ＋3) 12．－x －2 13．8 14.±1 15.1716．(x ＋y ＋2)(x ＋y －2) 17．(x －4)2 18．1 19.(a ＋c )20．(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)三、21.解：(1)原式＝4(x 2－16)＝4(x ＋4)(x －4)；(2)原式＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2； (3)原式＝(a －b )2＋2(a －b )＋1＝(a －b ＋1)2； (4)原式＝(x －y )2－(4z )2＝(x －y ＋4z )(x －y －4z )． 22．解：12x 3＋2x 2－x ＋12x 3＋4x 2＋x ＝x 3＋6x 2＝x 2(x ＋6)；或12x 3＋2x 2－x ＋12x 3－2x 2＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x ＋1)(x －1)； 或12x 3＋4x 2＋x ＋12x 3－2x 2＝x 3＋2x 2＋x ＝x (x 2＋2x ＋1)＝x (x ＋1)2. 23．解：∵x ＋y ＝4，∴(x ＋y )2＝16. ∴x 2＋y 2＋2xy ＝16. 而x 2＋y 2＝14， ∴xy ＝1. ∴x 3y －2x 2y 2＋xy 3 ＝xy (x 2－2xy ＋y 2) ＝14－2＝12.24．解：(1)由题意可得：题图③的长方形的面积为a2＋4ab＋3b2，也可以写成(a＋3b)(a＋b)，相应的等式为：a2＋4ab＋3b2＝(a＋3b)(a＋b)；(2)如图，2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)·(a＋2b)．(3)2 01625．(1)(x－y＋1)2(2)解：令a＋b＝A，则原式变为A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2.故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2.(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数．∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．26．解：观察猜想：x＋p；x＋q说理验证：x(x＋p)＋q(x＋p)；x＋p；x＋q尝试运用：解：(1)原式＝(x－3)(x－4)；(2)原式＝(y2＋y＋9)(y2＋y－2)＝(y2＋y＋9)(y＋2)(y－1)．北师大版八年级数学下册第五章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式：①k22π；②1m＋n；③m2－n24；④2b3a；⑤（x＋1）2x－1；⑥1x，其中分式有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2. 函数y ＝1x ＋2中，x 的取值范围是( ) A ．x ≠0B ．x >－2C ．x <－2D ．x ≠－23．计算a 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2的结果是( )A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 94．分式方程2x －3＝3x的解为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3C ．x ＝5D ．x ＝95．化简x 2x －1＋x1－x的结果为( )A ．x ＋1B ．x －1C ．－xD ．x6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁7．若关于x 的分式方程m －3x －1＝1的解为x ＝2，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28．如果a －b ＝23，那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22a －b ·a a －b的值为( ) A. 3B ．2 3C ．3 3D ．4 39．某市建设高铁，钢轨铺设任务即将完成，现在还有6 000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是( )A.6 000x －6 000x ＋20＝15B.6 000x ＋20－6 000x＝15 C.6 000x －6 000x －15＝20D.6 000x －15－6 000x＝20 10．已知m 2－3m ＋2＝0，则代数式mm 2－m ＋2的值是( )A ．3B ．2C.13D.12二、填空题(每题3分，共30分)11．若分式x 2－4x ＋2的值为0，则x 的值为________．12. 在分式：①a 3x ；②x ＋y x 2－y 2；③a －b （a －b ）2；④x ＋yx －y中，是最简分式的是__________(填序号)．13. 化简：x －1x －2÷x 2－2x ＋1x 2－4＝__________．14．计算：b 2a －b＋a ＋b ＝__________．15．(x －y －2)2＋|xy －3|＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫3xx －y －2x x －y ÷1y 的值是________． 16．若1m ＋1n ＝2，则分式5m ＋5n －2mn －m －n 的值为________．17．当x ＝________时，4x ＋1与3x －1互为相反数． 18．已知关于x 的分式方程x －3x －2＝2－m2－x 会产生增根，则m ＝____________．19．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产________台机器． 20．关于x 的分式方程2x ＋ax ＋1＝1的解为负数，则a 的取值范围为____________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分) 21．计算下列各式： (1)4a ＋4b 5ab ·15a 2b a 2－b 2；(2)⎝⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1÷x 2＋6x ＋9x 2－1.22．解下列方程： (1)x －3x －2＋1＝32－x ； (2)32－13x －1＝56x －2.23.下面是小明化简x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x －1·1－x 1＋x的过程：解：x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x －1·1－x 1＋x＝x 2－1x 2－2x ＋1÷(－1) ① ＝－（x －1）（x ＋1）（x －1）2 ②＝－x ＋1x －1③. (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？ (2)求当x ＝23时原代数式的值．24．小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大作业本的单价比小作业本贵0.3元，已知用8元购买大作业本的数量与用5元购买小作业本的数量相同．(1)求大作业本与小作业本每本各多少元．(2)因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小作业本的数量是大作业本数量的2倍，总费用不超过15元，则大作业本最多能购买多少本？25．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程ax－1＋31－x＝1的解为正数，求a的取值范围．经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a－2.由题意可得a－2＞0，所以a＞2，问题解决．小强说：你考虑得不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：________________________．完成下列问题：(1)已知关于x 的方程2mx －1x ＋2＝1的解为负数，求m 的取值范围； (2)若关于x 的分式方程3－2x x －3＋2－nx 3－x＝－1无解，直接写出n 的取值范围．26．阅读下面的材料：∵11×3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，13×5＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15，15×7＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17，…，117×19＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫117－119， ∴11×3＋13×5＋15×7＋…＋117×19＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫117－119＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋117－119＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－119＝919. 解答下列问题：(1)在和式11×3＋13×5＋15×7＋…中，第6项是________，第n 项是________________；(2)材料是通过逆用____________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以______________，从而达到求和的目的；(3)根据上面的方法，请你解下面的方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18. 答案一、1.C 2.D 3.A 4.D 5.D 6.D 7．B 8.A 9.A 10．D二、11.2 12. ①④ 13.x ＋2x －1 14.a 2a －b 15.3216．－4 17.1718.－1 19.200 20．a ＞1且a ≠2三、21.解：(1)原式＝4（a ＋b ）5ab ·15a 2b （a ＋b ）（a －b ）＝12a a －b； (2)原式＝2（x ＋1）－（x －1）x ＋1÷（x ＋3）2（x ＋1）（x －1）＝x ＋3x ＋1·（x ＋1）（x －1）（x ＋3）2＝x －1x ＋3. 22．解：(1)方程两边同时乘x －2，得x －3＋x －2＝－3，解得x ＝1.检验：当x ＝1时，x －2＝1－2＝－1≠0，∴原方程的解为x ＝1.(2)方程两边同时乘2(3x －1)，得3(3x －1)－2＝5，解得x ＝109. 检验：当x ＝109时，2(3x －1)≠0， ∴x ＝109是原方程的解． 23．解：(1)小明的解答不正确，错在第①步．(2)x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x －1·1－x 1＋x＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2·x －1x ＋1·1－x 1＋x＝1－x 1＋x. 当x ＝23时，原式＝1－231＋23＝15. 24．解：(1)设小作业本每本x 元，则大作业本每本(x ＋0.3)元，依题意，得8x ＋0.3＝5x， 解得x ＝0.5.经检验，x ＝0.5是原方程的解，且符合题意．∴x ＋0.3＝0.8.答：大作业本每本0.8元，小作业本每本0.5元．(2)设大作业本购买m 本，则小作业本购买2m 本，依题意，得0.8m ＋0.5×2m ≤15.解得m ≤253. ∵m 为正整数，∴m 的最大值为8.答：大作业本最多能购买8本．25．解：小明没有考虑分式的分母不为0(或分式必须有意义)这个条件(1)解关于x 的分式方程，得x ＝32m －1， ∵方程有解，且解为负数， ∴⎩⎨⎧2m －1＜0，32m －1≠－2，解得m ＜12且m ≠－14. (2)n ＝1或n ＝53. 26．解：(1)111×13；1（2n －1）（2n ＋1）(2)分数减法；相互抵消(3)将分式方程变形为13(1x －1x ＋3＋1x ＋3－1x ＋6＋1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18.整理，得1x －1x ＋9＝92（x ＋9）. 方程两边都乘2x (x ＋9)，得2(x ＋9)－2x ＝9x ，解得x ＝2. 经检验，x ＝2是原分式方程的解．。
北师大版八年级数学下册第四章测试题
第四章测试题一、选择题：（每小题3分，共24分）1．下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( )A.a 2b 2－1 B ．4－0．25a 2 C ．－a 2－b 2 D ．－x 2+12．如果多项式x 2－mx+9是一个完全平方式,那么m 的值为( )A ．－3B ．－6C ．±3D ．±63．下列变形是分解因式的是( )A ．6x 2y 2=3xy ·2xyB ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x4．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A ．)34(391222xyz xyz y x xyz -=- B.)2(363322+-=+-a a y y ay y aC.)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D.)5(522a a b b ab b a +=-+5．满足0106222=+-++n m n m 的是（ ）A.3,1==n mB.3,1-==n mC.3,1=-=n mD.3,1-=-=n m6．把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（）A ))(2(2m m a +-B ))(2(2m m a --C 、m(a-2)(m-1)D 、m(a-2)(m+1) 7．已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b8、若n 为任意整数，()n n +-1122的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A. 11B. 22C. 11或22D. 11的倍数二、填空题：（每小题3分，共24分）9．多项式－2x 2－12xy 2+8xy 3的公因式是_____________．10．分解因式：2183x x -=__________11．完全平方式49222x y -+=()12．利用分解因式计算:32003+6×32002－32004=_____________．13．若A x y B y x =+=-353，，则A A B B 222-⋅+=_________ 14．若)4)(2(2-+=++x x q px x ，则p = ，q = 。
北师大版八年级数学下册第四章测试题及答案
（第5题）命题单位：电力设备厂子校 姓名：魏巍1、如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ）A 、都扩大为原来的5倍B 、都扩大为原来的10倍C 、都扩大为原来的25倍D 、都与原来相等2、已知线段a=9cm, c=4cm, x 是a 、c 的比例中项，则x 等于（ ） A 、 6cm B.、－6cm C 、 ±6cm D 、814cm 3、已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且AB=3,AC=5,A ′C ′=15,则A ′B ′=( )A 、 9B 、1C 、6D 、34．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于（ ）A 、91B 、－9C 、9D 、－91 5、如右下图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 2.0AC =米，8.0BC =米，则旗杆的高度是（ ）Ａ、6.4米 Ｂ、7.0米 Ｃ、8.0米 Ｄ、9.0米6、已知0432≠==c b a ,则cb a +的值为( )A 、54 B 、45 C 、2 D 、217、下列说法正确的个数有（ ）个①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81. A 、1B 、2C 、3D 、48、下列四个三角形，与已知图构成相似的三角形是（ ）9、下列说法中错误的是( )A 、所有的等腰三角形都相似B 、所有的等边三角形都相似C 、有一对锐角相等的两个直角三角形相似D 、全等的三角形一定相似10、如右下图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45．若使容 器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ） Ａ、10cmＢ、20cmＣ、30cmＤ、35cm二、填空题（3分×8＝24分，每题3分）11、 如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.12、在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆（已知图） A ． B ． C ． D ．题11与ABC ∆相似，应添加的条件是 。
【详细答案版】初二数学下册《第4章达标检测卷》(北师大版适用)
北师大版初二数学下册第四章达标检测卷(120分， 90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )A ．x(a －b)＝ax －bxB ．x 2－1＋y 2＝(x －1)(x ＋1)＋y 2C ．x 2－1＝(x ＋1)(x －1)D ．x 2＋1＝x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2．下列四个多项式，能因式分解的是( )A ．a －1B ．a 2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－6x ＋93．下列分解因式正确的是( )A ．－a ＋a 3＝－a(1＋a 2)B ．2a －4b ＋2＝2(a －2b)C ．a 2－4＝(a －2)2D ．a 2－2a ＋1＝(a －1)24．因式分解x 3－2x 2＋x 正确的是( )A ．(x －1)2B ．x(x －1)2C ．x(x 2－2x ＋1)D ．x(x ＋1)25．多项式①16x 2－x ；②(x －1)2－4(x －1)；③(x ＋1)2－4x(x ＋1)＋4x 2；④－4x 2－1＋4x ，分解因式后，结果中含有相同因式的是( )A ．①和②B ．③和④C ．①和④D ．②和③6．若多项式x 2＋mx －28可因式分解为(x －4)(x ＋7)，则m 的值为( )A ．－3B ．11C ．－11D ．37．已知a ＋b ＝2，则a 2－b 2＋4b 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．68．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．不论x ，y 为什么实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( )A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )(第10题)A ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b)＝a 2－abC ．(a －b)2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)二、填空题(每题3分，共24分)11．分解因式：m 3n －4mn ＝________________．12．一个正方形的面积为x 2＋4x ＋4(x ＞0)，则它的边长为________．13．比较大小：a 2＋b 2________2ab －1(填“＞”“≥”“<”“≤”或“＝”)．14．若m －n ＝－2，则m 2＋n 22－mn 的值是________． 15.如果x 2＋kx ＋64是一个整式的平方，那么k 的值是________．16．已知P ＝3xy －8x ＋1，Q ＝x －2xy －2，当x ≠0时，3P －2Q ＝7恒成立，则y ＝________．17．多项式4y 2＋1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是__________(写出一个即可)．18．如图是两邻边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．(第18题)三、解答题(20～22题每题10分，其余每题12分，共66分)19．分解因式：(1)a 2b －abc ；(2)(2a －b)2＋8ab ；(3)(m 2－m)2＋12(m 2－m)＋116.20．先因式分解，再求值：(1)4a 2(x ＋7)－3(x ＋7)，其中a ＝－5，x ＝3；(2)(2x －3y)2－(2x ＋3y)2，其中x ＝16，y ＝18.21．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．22．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．23．如图，在一个边长为a m的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为b m的正方形花坛(a＞2b)，其余的地方种草坪．(1)求草坪的面积是多少平方米；(2)当a＝84，b＝8，且每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？(第23题)24．观察猜想：如图，大长方形是由一个小正方形和三个小长方形拼成的，请根据此图填空：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(__________)·(__________)．说理验证：事实上，我们也可以用如下方法进行变形：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝__________＝(________)·(________)．于是，我们可以利用上面的方法继续进行多项式的因式分解．尝试运用：例题把x2＋5x＋4因式分解．解：x2＋5x＋4＝x2＋(4＋1)x＋4×1＝(x＋4)(x＋1)．请利用上述方法将下面的多项式因式分解：x2－8x＋15.(第24题)参考答案及解析一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D7．C 点拨：a 2－b 2＋4b ＝(a ＋b)(a －b)＋4b ＝2(a －b)＋4b ＝2a ＋2b ＝2(a ＋b)＝4.8．D 9.A 10.D二、11.mn(m ＋2)(m －2) 点拨：先提公因式再利用平方差公式，注意分解要彻底．12．x ＋2 13.＞14．2 点拨：m 2＋n 22－mn ＝m 2＋n 2－2mn 2＝（m －n ）22＝（－2）22＝2. 15．±1616．2 点拨：∵P ＝3xy －8x ＋1，Q ＝x －2xy －2，∴3P －2Q ＝3(3xy －8x ＋1)－2(x －2xy －2)＝7.∴9xy －24x ＋3－2x ＋4xy ＋4＝7，∴13xy －26x ＝0，即13x(y －2)＝0.∵x ≠0，∴y －2＝0.∴y ＝2.17．4y(答案不唯一)18．70 点拨：由题意知，ab ＝10，a ＋b ＝142＝7，故a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝10×7＝70. 三、19.解：(1)原式＝ab(a －c)．(2)原式＝4a 2－4ab ＋b 2＋8ab＝4a 2＋4ab ＋b 2＝(2a ＋b)2.(3)原式＝(m 2－m)2＋2·(m 2－m)·14＋⎝⎛⎭⎫142＝(m 2－m ＋14)2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m －1222＝(m －12)4. 20．解：(1)原式＝(x ＋7)(4a 2－3)．当a ＝－5，x ＝3时，(x ＋7)(4a 2－3)＝(3＋7)×[4×(－5)2－3]＝970.(2)原式＝[(2x －3y)＋(2x ＋3y)]·[(2x －3y)－(2x ＋3y)]＝－24xy.当x ＝16，y ＝18时，－24xy ＝－24×16×18＝－12. 21．解：∵a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0，∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－4b ＋4)＝0，即(a ＋1)2＋(b －2)2＝0.∴a ＋1＝0且b －2＝0.∴a ＝－1，b ＝2.∴2a 2＋4b －3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.22．解：a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝(a －2)2＋(b －3)2＝0，故a ＝2，b ＝3.当腰长为2时，则底边长为3，周长＝2＋2＋3＝7；当腰长为3时，则底边长为2，周长＝3＋3＋2＝8.所以这个等腰三角形的周长为7或8.23．解：(1)草坪的面积是(a2－4b2) m2.(2)当a＝84，b＝8时，草坪的面积是a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(84＋2×8)(84－2×8)＝100×68＝6 800(m2)，所以种这块草坪共需投资5×6 800＝34 000(元)．24．解：观察猜想：x＋p；x＋q说理验证：x(x＋p)＋q(x＋p)；x＋p；x＋q尝试运用：x2－8x＋15＝x2＋(－8x)＋15＝x2＋(－3－5)x＋(－3)×(－5)＝(x－3)(x－5)．。
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第4章单元检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( C )
A ．(3－x )(3＋x )＝9－x 2
B ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y )(y ＋1)
C ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n )(m －n )
D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y (2z －yz )＋z
2．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( A )
A ．x －1
B ．x ＋1
C ．x 2－1
D ．(x －1)2
3．下列各式中，能用公式法分解因式的有( B )
①－x 2－y 2；②－14a 2b 2＋1；③a 2＋ab ＋b 2；④－x 2＋2xy －y 2；⑤14
－mn ＋m 2n 2. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
4．把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是( D )
A ．3x (x 2－4x ＋4)
B ．3x (x －4)2
C ．3x (x ＋2)(x －2)
D ．3x (x －2)2
5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( B )
A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2
B ．x 3－x ＝x (x 2－1)
C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y )
D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )
6．若a 2－b 2＝14，a －b ＝12
，则a ＋b 的值为( B ) A ．－12 B.12
C ．1
D ．2 7．已知多项式2x 2＋bx ＋c 因式分解后为2(x －3)(x ＋1)，则b ，c 的值为( D )
A ．b ＝3，c ＝－1
B ．b ＝－6，c ＝2
C ．b ＝－6，c ＝－4
D ．b ＝－4，c ＝－6
8．计算(－2)99＋(－2)100的结果为( A )
A ．299
B ．2100
C ．－299
D ．－2
9．若多项式x 2－2(k －1)x ＋4是一个完全平方式，则k 的值为( D )
A ．3
B ．－1
C ．3或0
D ．3或－1
10．若三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2b －a 2c ＋b 2c －b 3＝0，则这个三角形是( A )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．三角形的形状不确定
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．分解因式：4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝__(2＋3x －3y )2__．
12．若2a －b ＋1＝0，则8a 2－8ab ＋2b 2的值为__2__．
13．已知实数x ，y 满足x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，则x ＋y 的值为__1__．
14．多项式2ax 2－8a 与多项式2x 2－8x ＋8的公因式为__2(x －2)__．
15．若多项式(3x ＋2)(2x －5)＋(5－2x)(2x －1)可分解为(2x ＋m)(x ＋n)，其中m ，n 均为整数，则mn 的值为__－15__．
16．已知长方形的面积为6m 2＋60m ＋150(m ＞0)，长与宽的比为3∶2，则这个长方形的周长为__10m ＋50__.
17．已知代数式a 2＋2a ＋2，当a ＝__－1__时，它有最小值，最小值为__1__．
18．从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图甲，然后拼成一个平行四边形，如图乙，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可
以验证成立的为__a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )__．
三、解答题(共66分)
19．(12分)将下列各式分解因式：
(1)2x 2y －8xy ＋8y; (2)a 2(x －y)－9b 2(x －y)；
解：2y (x －2)2 解：(x －y )(a ＋3b )(a －3b )
(3)9(m ＋2n )2－4(m －2n )2; (4)(y 2－1)2＋6(1－y 2)＋9.
解：(5m ＋2n )(m ＋10n ) 解：(y ＋2)2(y －2)2
20．(10分)先分解因式，再求值：
(1)已知x －y ＝－23
，求(x 2＋y 2)2－4xy(x 2＋y 2)＋4x 2y 2的值； 解：原式＝(x －y )4，当x －y ＝－23时，原式＝1681
(2)已知x ＋y ＝1，xy ＝－12
，求x (x ＋y )(x －y )－x (x ＋y )2的值． 解：原式＝－2xy (x ＋y )，当x ＋y ＝1，xy ＝－12时，原式＝－2×(－12
)×1＝1
21．(6分)下列三个多项式：12x 3＋2x 2－x ，12x 3＋4x 2＋x ，12
x 3－2x 2，请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算，再将结果因式分解．
解：12x 3＋2x 2－x ＋12
x 3＋4x 2＋x ＝x 3＋6x 2＝x 2(x ＋6)(答案不唯一)
22．(8分)甲，乙两同学分解因式x 2＋mx ＋n ，甲看错了n ，分解结果为(x ＋2)(x ＋4)；乙看错了m ，分解结果为(x ＋1)(x ＋9)，请分析一下m ，n 的值及正确的分解过程．
解：∵(x ＋2)(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8，甲看错了n 的值，∴m ＝6，又∵(x ＋1)(x ＋9)＝x 2＋10x ＋9，
乙看错了m的值，∴n＝9，∴原式为x2＋6x＋9＝(x＋3)2
23．(8分)阅读下列解题过程：
已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4, (A)
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2), (B)
则c2＝a2＋b2, (C)
∴△ABC为直角三角形. (D)
(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__C__；
(2)错误的原因__忽略了a2－b2＝0，即a＝b的可能__；
(3)请写出正确的解答过程．
解：∵a2c2－b2c2＝a4b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，即c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，即a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
24．(10分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如图①
(1)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张(如图②)，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系将多项式a2＋3ab＋2b2分解因式；
(2)小明想用类似的方法将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式，那么需要1号卡片__2__张，2号卡片__3__张，3号卡片__7__张．试画出草图，写出将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式的结果．解：(1)画图略．a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)
(2)2，3，7.画图略.2a2＋7ab＋3b2＝(2a＋b)(a＋3b)
25．(12分)阅读下列计算过程：
多项式x2－11x＋24分解因式，可以采取以下两种方法：
①将－11x 拆成两项，即－6x －5x ；将24拆成两项，即9＋15，则：
x 2－11x ＋24＝x 2－6x ＋9－5x ＋15＝(x 2－6x ＋9)－5(x －3)＝(x －3)2－5(x －3)＝(x －3)(x －3－5)＝(x －3)(x －8)；
②添加一个数(112)2，再减去这个数(112
)2，则： x 2－11x ＋24＝x 2－11x ＋(
112)2－(112)2＋24＝[x 2－11x ＋(112)2]－254＝(x －112)2－(52)2＝(x －112
＋52)(x －112－52
)＝(x －3)(x －8)． (1)根据上面的启发，请任选一种方法将多项式x 2＋4x －12分解因式；
(2)已知A ＝a ＋10，B ＝a 2－a ＋7，其中a ＞3，指出A 与B 哪个大，并说明理由．
解：(1)x 2＋4x －12＝x 2＋4x ＋4－16＝(x ＋2)2－16＝(x ＋6)(x －2) (2)B ＞A.理由：B －A ＝a 2－a ＋7－a －10＝a 2－2a ＋1－4＝(a －3)(a ＋1)，∵a ＞3，∴a －3＞0，a ＋1＞0，∴B －A ＞0，即B ＞A。