韦达定理与整数根的问题专题
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
2021年中考一轮复习数学重难点 ：一元二次方程解法、判别式和韦达定理、整数根问题
重难点突破：一元二次方程解法、判别式和韦达定理、整数根问题题型一、一元二次方程的定义：关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【解析】21a +恒大于0 【答案】C【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 【解析】整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程． 【答案】3a ≠【例2】若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠【答案】B【例3】若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 【答案】分以下几种情况考虑：⑴22a b +=，2a b -=，此时43a =，23b =-； ⑵22a b +=，1a b -=，此时1a =，0b =； ⑶21a b +=，2a b -=，此时1a =，1b =-【巩固】已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【答案】本题有3种情况：22a b a b +=⎧⎨-=⎩；21a b a b +=⎧⎨-=⎩；12a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得20a b =⎧⎨=⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．题型二：一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）【例4】关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.12【答案】B【例5】若m 是方程23220x x --=的一个根，那么代数式2312m m -+的值为________【解析】∵m 是方程23220x x --=的一个根， ∴23220m m --= 即2312m m -=，∴代数式23122m m -+=（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）【答案】2【巩固】若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则（ ）A.a b =B.0a b +=C.1a b +=D.1a b +=-【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得a 、b 满足的关系式 【答案】设两方程的公共根为m ，则20m am b ++=①，20m bm a ++=②，①-②得，()0a b m b a -+-=，∴()a b m a b -=-，解得1m = 将1m =代入①得10a b ++= ∴1a b +=-选D【例6】一元二次方程22110a x ax a +-+-=（）的一个根为0，则a =________。
韦达定理与根的判别式
韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
2021年中考一轮复习数学重难点 ：一元二次方程解法、判别式和韦达定理、整数根问题
重难点突破：一元二次方程解法、判别式和韦达定理、整数根问题题型一、一元二次方程的定义：关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【解析】21a +恒大于0 【答案】C【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 【解析】整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程． 【答案】3a ≠【例2】若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠【答案】B【例3】若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 【答案】分以下几种情况考虑：⑴22a b +=，2a b -=，此时43a =，23b =-； ⑵22a b +=，1a b -=，此时1a =，0b =； ⑶21a b +=，2a b -=，此时1a =，1b =-【巩固】已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【答案】本题有3种情况：22a b a b +=⎧⎨-=⎩；21a b a b +=⎧⎨-=⎩；12a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得20a b =⎧⎨=⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．题型二：一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）【例4】关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.12【答案】B【例5】若m 是方程23220x x --=的一个根，那么代数式2312m m -+的值为________【解析】∵m 是方程23220x x --=的一个根， ∴23220m m --= 即2312m m -=，∴代数式23122m m -+=（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）【答案】2【巩固】若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则（ ）A.a b =B.0a b +=C.1a b +=D.1a b +=-【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得a 、b 满足的关系式 【答案】设两方程的公共根为m ，则20m am b ++=①，20m bm a ++=②，①-②得，()0a b m b a -+-=，∴()a b m a b -=-，解得1m = 将1m =代入①得10a b ++= ∴1a b +=-选D【例6】一元二次方程22110a x ax a +-+-=（）的一个根为0，则a =________。
韦达定理例题
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1+x2=－p，x1x2=q．
于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，
即x1·x2－x1－x2+1=199．
例4已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β．
由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q．
于是p+q=α+β－αβ，
x1+x2=12－m，x1x2=m－1．
于是x1x2+x1+x2=11，
即(x1+1)( x2+1)=12．
∵x1、x2为正整数，
解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．
故有m=6或7．
例3求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数．
∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，
解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．
例2已知关于x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值．
解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
=－(αβ－α－β+1)+1
初中数学韦达定理习题及答案
10.(4分)(2004郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b﹣1)=63,那么a+b的值为_________ .
考点:单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;整式的除法｡1923992
分析:根据单项式乘单项式的法则,单项式除单项式的法则,幂的乘方的`性质,同底数幂的除法的性质,对各选项计算后利用排除法求解.
解答:解:①3x3(﹣2x2)=﹣6x5,正确;
②4a3b÷(﹣2a2b)=﹣2a,正确;
③应为(a3)2=a6,故本选项错误;
整式的乘除与因式分解单元测试卷(选择题)
下面是对整式的乘除与因式分解单元测试卷中选择题的练习,希望同学们很好的完成｡
整式的乘除与因式分解单元测试卷
选择题(每小题4分,共24分)
1.(4分)下列计算正确的是()
A.a2+b3=2a5B.a4÷a=a4C.a2a3=a6D.(﹣a2)3=﹣a6
2.(4分)(x﹣a)(x2+ax+a2)的计算结果是()
因式分解同步练习(解答题)
解答题
9.把下列各式分解因式:
①a2+10a+25②m2-12mn+36n2
③xy3-2x2y2+x3y④(x2+4y2)2-16x2y2
10.已知x=-19,y=12,求代数式4x2+12xy+9y2的值.
11.已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数,求x2+2xy+y2的值.
(含答案)韦达定理(根与系数的关系)
根与系数的关系（韦达定理）练习题一、填空：1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0（B ）正数（C ）－8（D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C )－2 (D)－5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B)－6 (C )21(D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。
韦达定理的应用题_证明_公式
韦达定理的应用题_证明_公式(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+R a=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△ =（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；此处无图（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△ =k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△ =显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，①②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤分析将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论.证明由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤同理可证：0≤y≤，0≤z≤.例5设a1，a2，a3，b是满足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b的实数.求证：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.证明由已知可得≤0.设则∵a3是实数，故△≥0，即有（a1+a2）2≥（）-2a1a2+4b+r≥2（）-（a1+a2）2+4b.于是（a1+a2）2≥（）+2b，∴a1a2≥b.同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a1≥3b.例6 设a、b、c为实数，方程组与均无实数根.求证:对于一切实数x都有＞证明由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴＞2．韦达定理的应用例7 （1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题）假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时是方程的根.证明由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0，①a2x2+b2x+c2=0，②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 ③③也有两个负根.证明∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9（1983年上海初中数学竞赛题）对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解由韦达定理得=而=（n≥3），∴原式=+=例10（1989年全国初中联赛试题）首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由或解得或∴例11 （仿1986年全国高中联赛题）设实数a，b，c满足①②求证:1≤a≤9.证明由①得bc=a2-8a+7.①-②得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 （1933年福建初中数学竞赛题）求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k（k≥1）.分析设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证明满足条件的矩形B存在，只须证明方程组（k，a，b为已知数）有正整数解即可.再由韦达定理，其解x，y可以看作是二次方程z2-k（a+b）z+kab=0的两根.∵k≥1，故判别式△ =k2（a+b）2-4kab≥k2（a+b）2-4k2ab=k2（a-b）2≥0，∴上述二次方程有两实根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，从而，z1＞0，z2＞0，即方程组恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B总是存在的.练习二十一1．填空题（1）设方程的两根为m，n（m＞n），则代数式的值是_____ __;（2）若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是_____ _____;（3）已知方程x2-8x+15=0的两根可以写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.2.选择题(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于( ).(A) (B)1985 (C) (D)(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为（）.(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m +2）x+m=0的实根个数为(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3．（1983年杭州竞赛）设a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的两个根是和；a1x2+b1x+c1=0的两根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求证:(1) 如果m＜n，那么方程有不等的实数根；(2) 如果m＞n，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足7．（1987年全国初中竞赛题）当a，b为何值时，方程x2+（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实根？8．（1985年苏州初中数学竞赛题）试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值.9．（第20届全苏中学生数学竞赛题）方程x2+ax+1=b的根是自然数，证明a2+b2是合数.10．（1972年加拿大试题）不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习二十一1.(1)(2)(3)3.B A.3.=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略+2=0.7.因为方程有实根,所以判别式8.设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.10.由，可得x2-198x+1=0,其根。
初中数学培优：韦达定理与根的判别式
初中数学培优：韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【巩固】关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞−54，即m的取值范围是m＞−54；（2）由（1）知：当m＞−54时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y）中，的最大值是多少？【解答】解：设y＝kx，则直线y＝kx与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6相切时k有最大值和最小值，把y＝kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6，得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+12＝0，∴Δ＝36（k+1）2﹣4×12×（1+k2）＝0，即k2﹣6k+1＝0，解此方程得，k＝3+22或3﹣22．所以=k的最大值是3+22．【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分式2r8r2(≥0)的最大值是多少？解：2r8r2=2r4+4r2=2(r2)+4r2=2+4r2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4r2的最大值是2，所以2+4r2的最大值是4，即2r8r2(≥0)的最大值是4．根据上述方法，试求分式22+102+2的最大值是．【解答】解：22+102+2=22+4+62+2=2(2+2)+62+2=2+62+2，∵x2≥0，∴x2+2的最小值为2，∴62+2的最大值为3，∴2+62+2的最大值为5，∴分式22+102+2的最大值是5，故答案为：5．三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+（2m﹣1）x+1＝0的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是．【解答】解：根据题意得m﹣4≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣4）≥0，解得m≠4，x1+x2=−2K1K4，x1x2=1K4，s=11+12=1+212=−2m+1，由于m≠4，所以s≠﹣7．故答案为s≠﹣7．【巩固】已知关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×2（2m2+3m﹣2）≥0，∴﹣24m+16≥0，∴m≤23，∴实数m的取值范围为≤23；（2）∵x1+x2＝2m，x1•x2=12（2m2+3m﹣2），∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2×12（2m2+3m﹣2）＝2m2﹣3m+2＝2（m−34）2+78，∵m≤23，23＜34，∴当m=23时，x12+x22＝2（23−34）2+78=89，∴当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89．巩固练习1．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．34≤m C．34≤m≤1D．34＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞34．∴34＜m≤1．故选：D．2．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥14；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥14，故选：D．3．已知m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根．记S1=11++11+，S2=11+2+11+2，…，S t=11++ 11+（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根，∴m+n=5，mn＝1，∴S1=11++11+=1+r1+(1+p(1+p=2+(rp=＝1，S2=11+2+11+2=1+2+1+2(1+2)(1+2)=2+(rp2−2B1+(rp2−2B+(B)2=2+5−21+5−2+1＝1，…，∴S t=11++11+=1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t 2﹣t ﹣56＝0，（t ﹣8）（t +7）＝0，解得：t ＝8或t ＝﹣7（舍去）．故选：B ．4．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2mx ﹣4m +1＝0有两个相等的实数根，则（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）的值为．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m 2﹣2（1﹣4m ）＝4m 2+8m ﹣2＝0，∴m 2+2m =12，∴（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）＝﹣m 2﹣2m +4=−12+4=72，故答案为：725．设下列三个一元二次方程：x 2+4ax ﹣4a +3＝0；x 2+（a ﹣1）x +1+a 2＝0；x 2+2ax ﹣2a +3＝0，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是．【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有162+16−12＜0(−1)2−4(2+1)＜042−4(3−2p ＜0，解得−32＜a ＜12．故答案为：a ≤−32或a ≥12．6．已知关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴1−2≠0+3≥0△=(−2+3)2−4(1−2p ×(−1)＞0，解得：﹣3≤k ＜4且k ≠12．故答案为：﹣3≤k ＜4且k ≠12．7．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，则（x +1）2+a （x +1）﹣1＝0的根为．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，∴m 2+am ﹣1＝0，n 2+an ﹣1＝0，设x+1＝m或n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0，∴（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为x＝m﹣1或n﹣1，故答案为：x＝m﹣1或n﹣1．8．已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，求x+y的值．【解答】解：由（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，得（3x+1）2+3（x﹣y）2＝0，则3+1=0−=0，解得=−13=−13，故x+y=−13−13=−23．9．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2−92ac＝0；我们记“K＝b2−92ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2−B+23n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2−92×1×（﹣2）＝10≠0；在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2−92×1×8＝0．∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．故答案为：②．（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，∴K＝（n﹣2m）2−92m•（﹣2n）＝0，∴4m2+5mn+n2＝0．（3）∵2−B+23=0是倍根方程，∴=(−p2−92×23=0，整理得：m＝3n．∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此方程的表达式为2−3+23=0．11．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求B121−1+B221−2的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m ＜1．（1）∵x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4（m ﹣2）2﹣2（m 2﹣3m +3）＝2m 2﹣10m +10＝6∴=∵﹣1≤m ＜1，∴=（2）B 121−1+B 221−2=n 12+22−12(1+2)](1−1)(1−2)=o23−82+8K2)2−=2oK1)(2−3r1)oK1)=2(2−3+1)=2(−32)2−52（﹣1≤m ＜1）．∵对称轴m =32，2＞0，∴当m ＝﹣1时，式子取最大值为10．12．如果方程x 2+px +q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣p ，x 1•x 2＝q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p ＝﹣4，q ＝3，求方程x 2+px +q ＝0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【解答】解：（1）当p ＝﹣4，q ＝3，则方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝3，x 2＝1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5＝0的解，当a ≠b 时，a +b ＝15，ab ＝﹣5，+=2+2B=(rp 2−2BB=152−2×(−5)−5=−47；当a ＝b 时，原式＝2．（3）设方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则11+12=1+212=−，11•12=112=1，则方程x 2+x +1=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
韦达定理与整数根的问题专题
韦达定理与整数根的问题专题知识结构图一．韦达定理与代数式求值如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值．二．韦达定理与根的分布在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．⑵若，则方程必有实数根．⑶若，方程不一定有实数根．⑷若，则必有一根．⑸若，则必有一根．三．整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：1. 为完全平方数；2. 或，其中为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)．题模一韦达定理与代数式求值例1.1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例1.2、设实数分别满足，并且，求的值例1.3、已知，是一元二次方程的两个根，求的值题模二韦达定理与根的分布例2.1、已知一元二次方程．（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？例2.2、实数k为何值时，关于x的一元二次方程．（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？（3）一根大于3，一根小于3？题模三整数根问题例3.1、已知：关于的一元二次方程 (为实数)(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；(3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根例3.2、已知关于的方程的两根都是整数，求的值．例3.3、求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．随堂练习随练1.1、已知一元二次方程x2-2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．随练1.2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．随练1.3、若，且有及，则，_________随练1.4、已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求：⑴的值；⑵的值随练1.5、已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．随练1.6、已知关于x的方程（m≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．随练1.7、求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．随练1.8、设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．能力拓展拓展1、已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）（2）（3）拓展2、已知关于的方程的两根、满足条件，求的值．拓展3、已知方程的根是和，方程的根是和．其中，、、、为不同实数，求、、、的值？拓展4、已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？拓展5、已知关于的方程的两根都大于5，求的取值范围．拓展6、已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．（1）若、均为负整数，且，求、的值；（2）若，，求证：拓展7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．拓展8、已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根。
韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理公式介绍及典型例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，若b-4ac0 则方程没有实数根若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1x2-x1-x2+1=199.运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。
韦达定理知识点及应用解析
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = ac 。
对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cb x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。
（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。
6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。
（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
2023年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用(教师版含解析)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。
【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
初中数学韦达定理习题及答案
初中数学韦达定理习题及答案初中数学韦达定理习题及答案法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求.若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得∴x1x2-X1-x2=2，(x1-1)( x2-1)=3.因为x1-1、x2-1均为整数，所以X1=2，X2=4;X1=—2，X2=0.所以k=1,或k=-1/7韦达定理在方程论中有着广泛的应用，在考试中也不例外。
因式分解同步练习(解答题)关于因式分解同步练习知识学习，下面的题目需要同学们认真完成哦。
因式分解同步练习（解答题）解答题9．把下列各式分解因式：①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y210．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．答案：9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。
因式分解同步练习(填空题)同学们对因式分解的内容还熟悉吧，下面需要同学们很好的完成下面的题目练习。
因式分解同步练习（填空题）填空题5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．答案：5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。
中考数学专题讲练韦达定理与整数根问题
中考数学专题讲练韦达定理与整数根问题一．韦达定理与代数式求值要是20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特殊地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式举行变形，代入求值． 二．韦达定理与根的漫衍在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当时0c a <，方程的两根必一正一负．若0ba-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时0c a >，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba-<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（此中12x x ≥），且m 为实数，当时0∆≥，一般地： ② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当时0m =，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论：⑴如有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． 三．整数根标题敷衍一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根环境，可以用鉴别式24b ac ∆=-来鉴别，但是知识精讲敷衍一个含参数的一元二次方程来说，要鉴别它是否有整数根或有理根，那么就没有联合的要领了，只能具体标题具体剖析求解，固然，通常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：要是一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： 1. 24b ac ∆=-为完全平方数；2. 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，此中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．别的，要是只满足鉴别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(此中a 、b 、c 均为有理数)．一．考点：1．韦达定理与代数式求值；2．韦达定理与根的漫衍；3．整数根标题． 二．重难点：韦达定理与根的漫衍；整数根标题． 三．易错点：1．含参一元二次方程要是参数没有明确取值范畴必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解标题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．题模一：韦达定理与代数式求值例1.1.1 设12,x x 是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数的干系，求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x -- （2）2212(1)(1)x x +++（3）211211x xx x +++（4）12x x - （5）122111()()33x x x x ++ （6）3312x x +【答案】 （1）2（2）494（3）3116（4）172（5）2518（6）958【剖析】 由韦达定理可得，1252x x +=，1212x x =．然后对各式举行适当变形．（1）原式()121239x x x x =-++；（2）原式()()2121212222x x x x x x =+-+++；三点剖析题模精讲（3）原式()()()2121212121221x x x x x x x x x x +-++=+++；（4）原式（5）原式=12121293x x x x ++； （6）原式()()21212123x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦．例1.1.2 设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=而且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【剖析】 由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-．注意：此处方程是布局成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的布局特点而定，待求式含1t，布局方程2199910x x ++=更快．本来布局成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s和t ，由根系干系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-例1.1.3 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值 【答案】 21-【剖析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-． 同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-题模二：韦达定理与根的漫衍例1.2.1 已知一元二次方程210210x x a -++=． （1）当a 为何值时，方程有一正、一负两个根？ （2）此方程会有两个负根吗？为什么？【答案】 （1）21a <-；（2）不可能，因为12100x x +=>．若10x <、20x <，则与1210x x +=矛盾【剖析】 不妨设方程的两根为1x 、2x ，由韦达定理可知1210x x +=，1221x x a =+．例1.2.2 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=． （1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？【答案】 （1）2k >（2）322k <<（3）72k >【剖析】 []2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =- （1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； （3）由13<可知，72432k k ->⇒>． 题模三：整数根标题例1.3.1 已知：关于x 的一元二次方程()231230mx m x m --+-= (m 为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范畴；(2)求证：无论m 为何值，方程总有一个稳定的根；(3)若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值及方程所有的根 【答案】 （1）m 的取值范畴是3m ≠且0m ≠； （2）见剖析（3）1m =-或3m =±【剖析】 (1)()()()2224314233b ac m m m m =-=----=-⎡⎤⎣⎦方程有两个不相等的实数根，()230m ->且0m ≠3m ∴≠且 0m ≠，m ∴ 的取值范畴是3m ≠且0m ≠；证明：由求根公式()()3132m m x m -±-=∴ 无论m 为何值，方程总有一个稳定的根是1； (3)m 为整数，且方程的两个根均为正整数，132x m ∴=-必为整数，1m ∴=±或3m =±当时1m =,11x =- (舍去);当时1m =-,15x = 当时3m =,11x =;当3m =- 时,13x = 1m ∴=- 或3m =±例1.3.2 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【答案】 0或16【剖析】 设两个根为12x x ≥，由韦达定理得从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩ 即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．例1.3.3 求使关于x 的方程223(1)(1)260a x a x a +-++-=的根均为整数的所有整数a ． 【答案】 0,1,2,3a =--【剖析】 当时1a =-，方程变为280x --=，得4x =-，相符要求； 当时1a ≠-，设方程的两个整数根为12x x ，，则由韦达定理，得 因为12x x ，都是整数，所以1212x x x x +和均为整数． 即2411a a ++和也应为整数，由整除性可知0,1,2,3a =--．随练1.1 已知一元二次方程x 2-2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m 的范畴；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1+3x 2=3，求m 的值．【答案】 （1）m≤1（2）34【剖析】（1）∵方程x 2-2x+m=0有两个实数根， ∴△=（-2）2-4m≥0， 解得m≤1；（2）由两根干系可知，x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ， 解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴m=x 1•x 2=34． 随练1.2 要是方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1．x 2=q ，请根据以上结论，办理下列标题：（1）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2-15a-5=0，b 2-15b-5=0，求a b +b a的值；（3）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值．【答案】 （1）x 2+m n x+1n =0（2）-47（3）4【剖析】（1）设方程x 2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x 1，x 2，随堂练习则：11x +21x =1212x x x x =-m n， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：x 2+m n x+1n=0； （2）∵a 、b 满足a 2-15a-5=0，b 2-15b-5=0， ∴a ，b 是x 2-15x-5=0的解， 当a≠b 时，a+b=15，ab=-5，a b +b a=22a b ab =2()2a b ab ab =2152(5)5=-47． 当a=b 时，原式=2； （3）∵a+b+c=0，abc=16， ∴a+b=-c ，ab=16c， ∴a 、b 是方程x 2+cx+16c=0的解， ∴c 2-4•16c≥0， c 2-34c≥0， ∵c 是正数， ∴c 3-43≥0， c 3≥43， c≥4，∴正数c 的最小值是4．随练1.3 若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则a b = ，1a b+=_________ 【答案】95；20015- 【剖析】 29200150b b ++=，2115200190b b++=，又25200190a a ++=， 所以a ，1b可以看作是方程25200190x x ++=的两个根． 由韦达定理，得：195a a b b ⋅==，120015a b +=-随练1.4 已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【剖析】 2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，,αβ=又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=． 故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=． 故()43325αβαβ+=++=．随练1.5 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范畴．【答案】 52m >【剖析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练1.6 已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）要是方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值． 【答案】 （1）见剖析（2）1m =-或1m =【剖析】（1）证明：∵ m ≠0， ∴ 220mx x m--=是关于x 的一元二次方程． ∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分 （2）解：由求根公式，得∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分随练1.7 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根． 【答案】 1，3，6，10【剖析】 由原方程知2x ≠-，不妨将方程整理成关于a 的一元一次方程2(44)212x x a x ++=+，得22121(2)x a x +=≥+（因为a 为正整数），解得42x -≤≤，因此x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，分别代入a 的表达式得所求的正整数a 的值是1，3，6，10随练1.8 设关于x 的二次方程()()2222682644k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【答案】 103k =，6，3 【剖析】 原方程可化为22(4)(2)(264)(2)(2)0k k x k k x k k --+-+-+=－， 即()()()()42220k x k k x k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得12241,142x x k k =--=----． 由于1x ≠-，则有12244,211k k x x -=--=-++． 两式相减，得1224211x x -=++，即12(3)2x x +=-． 由于1x ，2x 是整数，故可求得12x =，24x =-或12x =-，22x =-或11x =，25x =-． 分别代入，易得103k =，6，3．作业1 1x ，2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2212x x + （2）12x x - （3）2212233x x x +- 【答案】 （1）()2221212122924x x x x x x +=+-=；（2）21212127()42x x x x x x -=+-=； （3）原式=22212222949()(23)544x x x x ++-=+=【剖析】 （1）()2221212122924x x x x x x +=+-=；自我总结课后作业（2）1272x x -=； （3）原式=22212222949()(23)544x x x x ++-=+=作业2 已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值．【答案】 30【剖析】 由一元二次方程根与系数的干系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．作业3 已知方程20x ax b +-=的根是a 和c ，方程20x cx d ++=的根是b 和d ．此中，a 、b 、c 、d 为不同实数，求a 、b 、c 、d 的值？【答案】2a =，1b =，2c =，1d =或1a =，2b =，2c =-，0d = 【剖析】 ∵方程20x ax b +-=的根是a 和c ，∴a c a +=-，ac b =-． ∵20x cx d ++=的根是b 和d ，∴b d c +=-，bd d =， （1）若0d ≠，则由bd d =知1b =．由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知221a -=-，解得a =当时a =，c =1d c b =--=-；…………⑴当时a =c1d c b =--=．………⑵阅历证，a =，1b =，2c =，1d =-是相符条件的两组解． （2）若0d =，则b c =-，由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知ac c =若0c =，则0a =，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若0c ≠，则1a =，再由2c a =-知2c =-，从而2b c =-=． 阅历证，1a =，2b =，2c =-，0d =也是相符条件的解作业4 已知12,x x （12x x <）是方程2(1)0x m x n --+=的两个实数根，12,y y 是方程2(1)60y n y m ++-=的两实数根，且112x y -=，222y x -=，求,m n 的值？ 【答案】 2m =，2n =-【剖析】 根据题意，对方程2(1)0x m x n --+=有211212[(1)]401m n x x m x x n ⎧∆=---≥⎪+=-⎨⎪⋅=⎩对方程2(1)60y n y m ++-=有221212(1)240(1)6n m y y n y y m ⎧∆=++≥⎪+=-+⎨⎪⋅=-⎩ 又112y x =-，222y x =+ 由⑴得：m n =-，代入⑵得：122()54x x n -=+⑶ 又12x x <，540n ∴+<，对⑶双方平方得：22124()(54)x x n -=+，即：2212124[()4](54)x x x x n +-⋅=+224[(1)4](54)n n n ∴---=+，整理得：271640n n ++=解得：12n =-，227n =-当时27n =-，540n +>与540n +<矛盾，舍去．当时2n =-，5460n +=-<，此时2m =，170∆=>，2490∆=>．作业5 已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范畴．【答案】 104a <≤【剖析】 设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．作业6 已知方程240ax x b ++=(0)a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β．（1）若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值； （2）若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<< 【答案】 见剖析【剖析】 ⑴ 由题意得3a αβ+=-，ba αβ=，由()2141αβαβαβ-=⇒+-=2941b a a⇒-=()49a a b ⇒+=．又a 、b 均为负整数，所以1a =-，49a b +=-．故1a =-，2b =-． ⑵ 因为12αβ<<<，所以30460a b a b ++>⎧⎨++<⎩．从而430a b a b ++>++>，即当时1x =，240ax x b ++>． 由48460a b a b -+<++<，即当时2x =-，240ax x b ++<． 因为0a <，所以1221x x -<<<作业7 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【答案】 22,0,1,2,3- 【剖析】 当时0k =，原方程化为480x +=，解得2x =-．故当时0k =，原方程的解都是整数．当时2k =，原方程化为880x -+=，解得1x =，故当时2k =，原方程的解都是整数． 当0k ≠且2k ≠时，原方程化为(2)[(2)4]0kx k x ---=．解得12x k =，242x k =-． 由12x k =，得12k x =．把12k x =代入242x k =-中，得121220x x x x +-=．故12(1)(2)21(2)2(1)x x -+=-=⨯-=⨯-．因为1x 、2x 为整数，所以11x -、22x +也均为整数．于是，有121122x x -=⎧⎨+=-⎩或121221x x -=-⎧⎨+=⎩或121221x x -=⎧⎨+=-⎩或121122x x -=-⎧⎨+=⎩． 分别解得1224x x =⎧⎨=-⎩或1211x x =-⎧⎨=-⎩或1233x x =⎧⎨=-⎩或1200x x =⎧⎨=⎩(舍去)． 故21,2,3k =-． 综上，k 的值为22,0,1,2,3-． 作业8 已知a 是正整数，要是关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根【答案】 当时39a =，方程的三个根为1，1-和56-；当时12a =，方程的三个根为1，2-和28-【剖析】 查看易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分化因式，得：2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦．因为a 是正整数，所以关于x 的方程：()218560x a x +++= ……①的鉴别式()2182240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的鉴别式()218224a ∆=+-应该是一个完全平方数．设()2218224a k +-=(此中k 为非负整数)，则()2218224a k +-=，即：()()1818224a k a k +++-=． 显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=⨯=⨯=⨯，所以：18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩解得3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩，或010a k =⎧⎨=⎩． 而a 是正整数，所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩． 当时39a =，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-．此时原方程的三个根为1，1-和56-．当时12a =，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-．此时原方程的三个根为1，2-和28-．。
韦达定理经典例题
韦达定理经典例题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程根与系数的关系培优训练例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
例3.已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根。
求证：（1）方程 有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为 ，若 ，则 .例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．∴α2=3α+5，β2=3β+5∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值范围。
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韦达定理与整数根的问题专题
知识结构图
一．韦达定理与代数式求值
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当
一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值．
二．韦达定理与根的分布
在的条件下，我们有如下结论：
当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．
当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．
更一般的结论是：
若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：
①，
②且，
③且，
特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．
其他有用结论：
⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
⑵若，则方程必有实数根．
⑶若，方程不一定有实数根．
⑷若，则必有一根．
⑸若，则必有一根．
三．整数根问题
对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：
1. 为完全平方数；
2. 或，其中为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)．
题模一韦达定理与代数式求值
例1.1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
例1.2、设实数分别满足，并且，求的值例1.3、已知，是一元二次方程的两个根，求的值
题模二韦达定理与根的分布
例2.1、已知一元二次方程．
（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？
（2）此方程会有两个负根吗？为什么？
例2.2、实数k为何值时，关于x的一元二次方程．
（1）有两个正根？
（2）两根异号，且正根的绝对值较大？
（3）一根大于3，一根小于3？
题模三整数根问题
例3.1、已知：关于的一元二次方程 (为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；
(3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根
例3.2、已知关于的方程的两根都是整数，求的值．
例3.3、求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．
随堂练习
随练1.1、已知一元二次方程x2-2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．
随练1.2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
随练1.3、若，且有及，则，_________
随练1.4、已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求：⑴
的值；⑵的值
随练1.5、已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．
随练1.6、已知关于x的方程（m≠0）
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
随练1.7、求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．
随练1.8、设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．
能力拓展
拓展1、已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）（2）（3）
拓展2、已知关于的方程的两根、满足条件，求的值．
拓展3、已知方程的根是和，方程的根是和．其中，、、、为不同实数，求、、、的值？
拓展4、已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？
拓展5、已知关于的方程的两根都大于5，求的取值范围．
拓展6、已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．
（1）若、均为负整数，且，求、的值；
（2）若，，求证：
拓展7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．
拓展8、已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根。