韦达定理与整数根的问题专题

韦达定理与整数根的问题专题

知识结构图

一．韦达定理与代数式求值

如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当

一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值．

二．韦达定理与根的分布

在的条件下，我们有如下结论：

当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．

当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．

更一般的结论是：

若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：

①，

②且，

③且，

特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．

其他有用结论：

⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

⑵若，则方程必有实数根．

⑶若，方程不一定有实数根．

⑷若，则必有一根．

⑸若，则必有一根．

三．整数根问题

对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：

1. 为完全平方数；

2. 或，其中为整数．

以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)．

题模一韦达定理与代数式求值

例1.1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

例1.2、设实数分别满足，并且，求的值例1.3、已知，是一元二次方程的两个根，求的值

题模二韦达定理与根的分布

例2.1、已知一元二次方程．

（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？

（2）此方程会有两个负根吗？为什么？

例2.2、实数k为何值时，关于x的一元二次方程．

（1）有两个正根？

（2）两根异号，且正根的绝对值较大？

（3）一根大于3，一根小于3？

题模三整数根问题

例3.1、已知：关于的一元二次方程 (为实数)

(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；

(2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；

(3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根

例3.2、已知关于的方程的两根都是整数，求的值．

例3.3、求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．

随堂练习

随练1.1、已知一元二次方程x2-2x+m=0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

随练1.2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；

（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

随练1.3、若，且有及，则，_________

随练1.4、已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求：⑴

的值；⑵的值

随练1.5、已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．

随练1.6、已知关于x的方程（m≠0）

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．

随练1.7、求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．

随练1.8、设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．

能力拓展

拓展1、已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）（2）（3）

拓展2、已知关于的方程的两根、满足条件，求的值．

拓展3、已知方程的根是和，方程的根是和．其中，、、、为不同实数，求、、、的值？

拓展4、已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？

拓展5、已知关于的方程的两根都大于5，求的取值范围．

拓展6、已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．

（1）若、均为负整数，且，求、的值；

（2）若，，求证：

拓展7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．

拓展8、已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根