2.2 2.2.3 反射变换

又点 P′(x′，y′)在直线 y＝4x 上，所以 y′＝4x′，从而有 y
0 1 ＝4x，从而直线 y＝4x 在矩阵 －1
－1 1 作用下变换成直线 y＝4 0
x.根据(*)，它们关于直线 y＝－x 对称．如图所示．
0 1．计算 －1
0 解： －1 0 －1
－ 1 x y ，并说明其几何意义． 0
－y x － 1 ＝ y ，其几何意义是：由矩阵 M ＝ 0 －x
－1 确定的变换是关于直线 y＝－x 的轴反射变换，将 0
点(x，y)变换为点(－y，－x)．
图形分别为
曲线在反射变换作用下的象
0 x2 2 椭圆 9 ＋y ＝1 在经过矩阵 1
[例 2]
1 对应的变换后所得 0
的曲线是什么图形？
[思路点拨] 断图形的形状． 先通过反射变换求出曲线方程， 再通过方程判
[精解详析]
0 阵 1
x2 2 任取椭圆 9 ＋y ＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在矩
－1 轴的轴反射变换，矩阵形式为 0
(2)对应的是关于 y
0 . 1
－1 3． 求△ABC 在经过矩阵 0
0 对应的变换后所得图形的面积， 1
其中 A(1,0)，B(－2,0)，C(5,4)．
－1 解：矩阵 0
0 确定的变换是关于 y 轴的轴反射变换，它将 1 0 1
－1 换矩阵： 0 1 0 表示关于原点对称的反射变换矩阵， 0 －1
0 －1
表示关于 x
－1 轴对称的反射变换矩阵， 0
0 表示关于 y 轴对称 1
0 的反射变换矩阵， 1 0 －1
1 表示关于直线 y＝x 对称的反射变换矩阵， 0
0 解：T＝ 1 0 1 或 T ＝ 0 －1
－1 . 0
7．求关于直线 y＝3x 对称的反射变换所对应的矩阵 A.
解：在平面上任取一点 P(x，y)，令点 P 关于 y＝3x 的对称 点为 P′(x′，y′)． y－y′ ×3＝－1， x－x′ 则 x＋x′ y＋ y′ ＝3× 2 ， 2 4 3 x′＝－5x＋5y， 化简得 y′＝3x＋4y. 5 5
－1 点(x， y)变换为点(－x， y)． 所以平面△ABC 在经过矩阵 0
对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求 出△ABC 的面积即可．所以所求图形的面积为 6.
4 ．求出曲线 y ＝ e
－1 0
x
－1 先在矩阵 0
0 对应的变换，后在矩阵 1
－1 表示关于直线 y＝－x 对称的反射变换矩阵． 0
1．计算下列各式，并说明其几何意义．
1 (1) 0 －1 (2) 0 0 (3) 1 0 5 3； －1 0 5 3； － 1 1 5 . 0 3
－1 .在平面直角坐标系中，设 0
直线 2x－y＋1＝0 在变换 TM，TN 先后作用下得到曲线 F， 求曲线 F 的方程．
解：∵TM 是关于直线 y＝x 对称的反射变换， ∴直线 2x－y＋1＝0 在 TM 的作用下得到直线 F′： 2y－x＋1＝0. 设 P(x0，y0)为 F′上的任意一点，它在 TN 的作用下变为 P′(x′，y′)，
0 (2) 因为 1
7 1 2 ＝ ，即点 A(2,7)wk.baidu.com经过变换后变为点 0 7 2
A′(7,2)，它们关于 y＝x 对称， 所以该变换为关于直线 y＝x 对称的反射变换(如图 2)．
(1)点在反射变换作用下对应的象还是点． (2)常见的反射变
5．变换 T 使图形 F：y＝x2－1 变为 F′：y＝|x2－1|，试求变 换 T 对应的变换矩阵 A.
1 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A＝ 0
解：当 当
0 ； 1
1 x∈[－1,1]时，A＝ 0
0 . －1
x2 y2 x2 y2 6．若曲线 4 ＋ 2 ＝1 经过反射变换 T 变成曲线 2 ＋ 4 ＝1，求变 换 T 对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)
变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．
点在反射变换作用下的象
[例 1]
－1 (1)矩阵 0
0 将点 A(2,5)变成了什么图形？画 1
图并指出该变换是什么变换．
0 (2)矩阵 1
1 将点 A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出 0
该变换是什么变换．
4 x′ －5 ∴ ＝ 3 y′ 5
3 5 x . 4 y 5
∴关于直线 y＝3x 对称的反射变换对应的矩阵为 4 －5 A＝ 3 5 3 5 . 4 5
8．已知矩阵
0 M＝ 1
0 1 ， N ＝ 0 1
0 对应的变换作用下得到的 －1
曲线．
－1 解：矩阵 0
0 对应的变换是关于原点对称的变换，因 －1
1 此，得到的曲线为 y＝x(x<0)．
4．求直线 y＝4x
0 在矩阵 －1
－1 作用下变换所得的图形． 0
－1 作用下变换所得的 0
0 1 x0 1 ′ ′ 对应的变换作用下变为 P ′ ( x ， y ) ．则有 ＝ 0 0 0 1 0 y0
′ ′ x0 y ＝ x 0 0 ′ ′ ，故 y0 x0＝y0
.
2 x2 2 x0 因为点 P 在椭圆 9 ＋y ＝1 上，所以 9 ＋y2 0＝1，
′ 2 y′0 2 y 0 ′ ′ ∴ 9 ＋x 0 2＝1；因此 x 0 2＋ 9 ＝1.
2 y 从而所求曲线方程为 x2＋ 9 ＝1，是椭圆．
0 矩阵 1
1 把一个图形变换为与之关于直线 y＝x 对称的图 0
形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．
－1 1 3． 求曲线 y＝x(x>0)在矩阵 0
[思路点拨]
先通过反射变换求出变换后点的坐标，再
画出图形即可看出是什么变换．
[精解详析]
－1 (1)因为 0 0 2 －2 5＝ ， 1 5
即点 A(2,5)经过变换后变为点 A′(－2,5)，它们关于 y 轴对 称， 所以该变换为关于 y 轴对称的反射变换(如图 1)．
0 对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换 －1
后对应的是什么变换？
－1 解： 因为矩阵 0
0 对应的变换是关于 y 轴的轴反射变换， 变 1
－1 .又因为矩阵 0
换后曲线为 y＝e
－x
0 对应的变换是关于原 －1
点 O 的中心反射变换，变换后曲线为－y＝ex，即 y＝－ex.两次 变换对应的变换是关于 x 轴的轴反射变换．
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于 x 轴反射变换、关 于原点的中心反射变换以及关于直线 y＝x 的轴反射变换， 得到 的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．
2 ．求出△ ABC 分别在
－1 0
－1 M1 ＝ 0
1 0 ， M ＝ 2 0 1
理解教材 新知 2.2.3 反射 变换
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一
考点二
2.2.3
反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换
1 像 0 0 －1 ， －1 0 0 －1 ， 1 0
0 这样将一个平面图形 F 变 －1
定直线 或_____ 定点 对称的平面图形的变换矩阵，我们称之 为关于________
2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO 变成了△A′B′O， 其中点 A 的象为点 A′，点 B 的象为点 B′，试判断相应 的几何变换是什么？
解 ： (1) 对 应 的 是 关 于 原 点 的 中 心 反 射 变 换 ， 矩 阵 形 式 为
－1 0
0 . －1
x′ 0 ∴ ＝ y′ 1
－ 1 x0＝y′， x0 y ，即 0 0 y0＝－x′.
∵点 P 在直线 F′上， ∴2y0－x0＋1＝0， 即－2x′－y′＋1＝0. ∴所求曲线 F 的方程为 2x＋y－1＝0.
0 ， M3 ＝ －1
0 对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图， －1
其中 A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)．
解：在 M1 下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1,2)； 在 M2 下，A→A″(0,0)，B→B″(2,0)，C→C″(1，－2)； 在 M3 下，A→A///(0,0)，B→B/// (－2,0)，C→C/// (－1，－2)．
反射变换 ．相应地，前者叫 为反射变换矩阵，对应的变换叫做_________
轴反射 ，后者称做_________ 中心反射 ．其中定直线称为反射轴，定 做________
点称做反射点．
2．线性变换
直线 ， 二阶非零矩阵对应的变换把直线变为______ 这种把直线变 直线 的变换称为线性变换． 为______ 二阶零矩阵把平面上所有的点都
1 解：(1) 0 －1 (2) 0
0 5 5 3＝－3； －1
5 －5 0 ＝ 3 ； －1 － 3
0 (3) 1
1 5 3 ＝ . 0 3 5
解：任取直线 y＝4x
0 在矩阵 －1
图形上的一点 P(x， y)， 一定存在变换前的点 P′(x′， y′ ) 与它对应，使得
x 0 y ＝ －1 －1 x＝－y′， x′ (*) ，即 0 y′ y＝－x′.