高中数学必修二课件-二面角.pptx

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B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
F
E
B
l
C
中学学科网
B
A
二面角－ l－
A
B
D
D
C
二面角C－AB－ D
l
5
图形
角
顶点 O
A 边
边B
二面角
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的中学学两科网 条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
D1
C1
A1
B1
D
CE
F
A
B
例2、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到 的
距离为2 ，3 到l 的距离为4，求二面角－ l－ 的大
小。 解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得AD⊥ l ②∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角 A ③∵ AO为A到的距离 ， AD为A到 l 的距离
∴CD=PC 2a
∴∠COD=90º
一“作” 二“证”
因此，二面角的度数为90º
三“计算”
二面角
2.A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在平面
内且与棱CD成45º角，又AB与平面 成30º，求二面
角－CD－ 的大小。
C AO
B
D
C
解：作BC于C，连结AC 过C作COCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD
则 ∠BOC是二面角 CD 的平面角
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2a 在RtACB中，BAC= 30º,AB= 2a, BC= 22a
在RtBCO中，sin ∠BOC= BC 2
∴所求二面角的大小为45º OB 2
二面角
例3．如图P 为二面角 l 内一点，PA⊥,PB⊥, 且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
CO2 AC 2 AO2 2AO AC COS120 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
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二面角练习
1.如图,已知P是二面角 AB 棱 上一点，过
P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。
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作业
1. 课本P.46 4，5，7 2.《苏大》P.176 6
解：设过PA、PB 的平面PAB
与棱l 交于O 点
∵PA⊥ ∴PA⊥ l
∵PB⊥∴PB⊥ l
B
lO
P
A
∴ l⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角 l 的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7
由余弦定理得 cos P AP 2 BP 2 AB2 1
2AP BP
2
∴∠P = 60º∴∠AOB=120º
∴所求二面角的度数为120º
二 面 角 二 面 角 －AB－
二 面 角 C－AB－ D
从一条直线出发的两个半 平面所1、组二成面的角图的形平叫面做角二
一、二面角的定义： 二 面 角 1－、根l－据定 义作出来 面角。这必条须直满线足叫三做个二条面件 2、利用直线和平面垂角的棱2、。二这面两角个的半平平面面角叫
∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
∴二面角－ l－ 的大小为60 °
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例 3 如图，已知A、B是120的二面角
—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别 在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2， BD=1，AB=3，求线段CD的长。
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空间两个平面
面面垂直 和二面角 中学学科网
2 空间中的面面垂直
（1）如定果义两—个—平面相交所成的二面角是直二 面角，那么我们称这两个平面相互垂直。
（2）记法—— “平面1⊥平面2” 例如： ①“平面α与平面β垂直”记作：“α⊥β”
②“平面ABC与平面DBC垂直”记作： “平面ABC ⊥平面DBC”
Q PA I AC A PA 面PAC, AC 面PAC
BC 面PAC Q BC 面PBC 面PAC 面PBC
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 中学学科网 面ABC
直作出来
做二面角的的大面小。与 其顶点
二、二面3、角借的助三表垂示线定方理法或 ： 在棱上的位置无关
三、二面角12其、、的逆找证定到明平理或1面作中作出的出角来角二：就面是角所的3求平、的面它小二角角的来面平度角面量的角大的小大用
四、二面角3、的计算平所面求的角角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
B
面面垂直 线面垂直 线线垂直
例1、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α Q PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 中学学科网
AC BC Q PA BC AC BC
l
O1 O
A A1
9
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
注意： 二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
A
O B
10
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A
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A, B l
AC BD
Bl
C
D
AC⊥l
AO
BD ⊥l
二面角--l--
B
D
O
E 二面角A--BC--D
C
D’
C’
A’
BO’
D C
A
B
二面角B--B’C--A
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二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
∴∠ABE=90。是二
B
E
面角α—CD—β的平面角， C
∴二面角α—CD —β是直二面角，即α⊥β。
由左侧按进此入继下续一环节
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1
B1
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面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
面ABD 面BCD AB 面BCD
B
D C
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H
分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
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E
A1
G
F
B1
H
D
C
A
B
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法： 中学学科网 （1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直面面垂直
二面角
中学学科网
1
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，
其中的每一部分都叫做射线。
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一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部
分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
A
B
O
A
B
中学学科网
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
解：①在PB上取不同于P的一点O，
在内过O作OC⊥AB交PM 于C，
C M
在 内作OD⊥AB交PN于D， A P O B
连结CD，可得：
②∠COD是二面角 AB 的平面角
D N
③设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2a
又∵∠MPN=60º
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l
P
P
A
B
A
B
l
B
P
O
l
A
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明1中的角就是所求的角
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3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
例1
例2
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二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求: （1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2） 平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
由左按侧此进继入续下一环节
（3）判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面相互垂直。
U
已知：直线 AB⊥平面β于B点，AB 平面α，
求证：平面α⊥平面β。
证明：设α U β=CD，则B∈CD， α
在平面β内过B
A
点作BE⊥CD。
D
又∵AB⊥平面α，
β
∴AB⊥CD，AB⊥BE。
面—直线—面 （棱）
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—