高三数学一轮复习 18 基本不等式及其应用学案 文
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学案18 基本不等式及其应用
班级________姓名________
【导学目标】 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【知识梳理】 1．基本不等式
ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥__________(a ,b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥____(a ,b 同号). (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 22 (a ,b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________； 基本不等式可叙述为：________________________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．
5．一个结论：11
02; 0 2.x x x x x x
>+
≥<+≤-当时，则当时，则 【自我检测】
1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2．已知t >0，则函数y ＝
t 2－4t ＋1
t
的最小值为________．
3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2
y
的最小值是_________．
4．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.24
5
B.285
C ．5
D ．6
5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是
( )
A.⎝
⎛⎦
⎥⎤－∞，14
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
0，14
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，0
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－∞，14 6．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A ．y ＝x ＋4x
B ．y ＝sin x ＋4
sin x (0 C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 【典型例题】 探究一 利用基本不等式求最值 【例1】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9 y ＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知x >54，求函数y ＝4x －2＋1 4x －5的最小值； (3)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋1 4x －5 的最大值； 变式1 已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.9 2 D ．5 探究二 基本不等式在证明不等式中的应用 【例2】 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1 b )≥9. 探究三 基本不等式的实际应用 【例3】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x (单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用 建筑总面积) 变式3 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备 费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 【课后练习与提高】 1．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3 b 的最小值为( ) A.25 6 B.83 C.113 D ．4