高等数学3.3曲线的凹凸性与函数图形的描绘

2( x 2)( x 3) 例1 求 f ( x ) 的渐近线. x 1
解
D : ( ,1) (1,).
lim f ( x ) ,
x 1

lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
f ( x)
1 ( , ) 3


1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值

32 27

y
1 3
1 ( ,1) 3
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
4( x 1) f ( x) 2 2 x
例3 作函数 ( x )
解
D : ( , ),
1 W : 0 ( x) 0.4. 2π
, ( x ) ( x 1)( x 1) e 2π
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )

0
拐点
( 3, 26 ) 9


0



间 断 点
极值点
3
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
π 有水平渐近线两条: y , 2
π y . 2
(3)斜渐近线
如果
x x
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
3.作图举例
4( x 1) 例2 作函数 f ( x ) 2 的图形. 2 x 解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x [0,2π]内的拐点. 解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
第三节 曲线的凹凸性与函数 图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 二、函数图形的描绘
一、曲线凹凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义
设f ( x )在( a, b)内连续, 如果对( a, b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 ( x1 x2 ), 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凹的 ;
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x 得铅直渐近线 x 0.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点

凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 ,且
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
x2 2
1 e 2π
x2 2
的图形.
偶函数, 图形关于y轴对称.
x ( x ) e 2π
x2 2
.
令 ( x ) 0, 令 ( x ) 0,
得驻点 x 0,
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
Fra Baidu bibliotek
1 lim ( x ) lim e x x 2 π
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
(2) 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) .
y cos x sin x . 3π 7π , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7π 3π f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
3π 7π 在[0,2π]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
二、函数图形的描绘
1.渐近线
定义: 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线. (1)铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
2.图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
曲线的拐点及其求法
1.定义
0, 得水平渐近线 y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1) 1 ( 1,0) 0
( x )
( x )
( x)
( 0,1)
1
(1, )

( 1,

0
拐点
1 ) 2πe
0
极大值

1 2π

(1,

0
拐点
1 ) 2πe

注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
y
1 2
1
o
1
x
1 ( x) e 2π
x2 2
例4 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形. 解
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
如果 (a , b) 任意 x1 , x2 ( x1 x2 ), 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末 f ( x )在(a , b) 的 形是凸的 ;
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹 (或凸)的 ;