【真题】2018年北京市高考数学(理)试题含答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01， （B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，， 2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）．A ．12 B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b r r ,均为单位向量，则“33a b a b -=+r r r r ”是“a b ⊥r r”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为 。

（10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ= 相切，则a = 。

（11）设函数()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>。

若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 。

（12）若,x y 满足12x y x +≤≤ ，则2y x -的最小值是 。

（13）能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是 。

（14）已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=。

若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 。

三．解答题 （15）（本小题13分）在ABC V 中，a 7=，8b =，1cos 7B =-。

（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高。

（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11A C ,1BB 的中点，AB BC =,12AC AA ==.（I ）求证：AC ⊥平面BEF ;（II ）求二面角1B CD C --的余弦值；（III ）证明：直线FG 与平面BCD 相交.（16）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 （1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ= ”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=” 表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）.写出方差561234,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系（18）（本小题13分）设函数()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． （19）（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点()1,2P ．过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个 不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．20.（本小题14分）设n 为正整数，集合(){}{}12|,,...,,0,1,1,2,...,n k A t t t t k n αα==∈=.对于集合A 中的任意元素()12,,...,n x x x α=和()12,,...,n y y y β=，记()()()()111122221,...2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--+++--⎣⎦ ()I 当3n =时，若()()1,1,0,0,1,1αβ==，求(),M αα和(),M αβ的值；()II 当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(),M αβ是奇数；当,αβ不同时，(),M αβ是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；()III 给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(),0M αβ=.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.答案： 一. 选择题 1. 【答案】A2. 【答案】D11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222z ++====+--+， 则1i 22z =-，故11i -的共轭复数在第四象限， 故选D3. 【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始1k =，1s =，执行()11111112s =+-⋅=+，2k =，此时3k ≥不成立，循环，()211512126s =+-⋅=+，3k =，此时3k ≥成立，结束， 输出56s =．故选B ．4. 【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f 为首项，为公比的等比数列，故第八个单音的频率为81f -⋅=．故选D ．5. 【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示， 在正方体中，PAD △,PCD △,PAB △均为直角三角形，3PB =,BC ,PC =PBC △不是直角三角形．故选C ．6. 【答案】 C【解析】 充分性：|3||3|a b a b -=+r r r r， 2222||69||9||6||a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r，又||||1a b ==r r ，可得0a b ⋅=r r ，故a b ⊥r r . 必要性：a b ⊥r r ，故0a b ⋅=r r，所以2222||69||9||6||a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，所以|3||3|a b a b -=+r r r r ．7. 【答案】C【解析】：()P cos ,sin θθQ ，所以P 点的轨迹是圆。

直线20x my --=恒过()0,2点。

转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.8. 【答案】：D【解析】：若()2,1A ∈，则2103214222a a a -≥⎧⎪+>⇔>⎨⎪-≤⎩。

则当32a >时，()2,1A ∈； 当32a ≤时，()2,1A ∉ 选D二.填空题9．答案：()63n a n n N +=-∈解析：由题知，设等差数列公差为d ，所以：1215134a a a d a a d=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，即1113+4=36a a d a d =⎧⎨++⎩，解得13=6a d =⎧⎨⎩，所以()()1=163n a a n d n n N ++-=-∈。

10．答案：1+解析： cos sin a ρθρθ+=Q直线方程转化为x y a += 即0x y a +-=Q 2cos ρθ=22cos ρρθ=圆的方程转化为222x y x += 即22(1)1x y -+= 、Q 直线与圆相切∴1=解得1a = Q 0a>1a ∴=11. 答案：23解析：由题知：()max14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，即cos 146ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()246k k Z ππωπ-=∈， 解得:()2=83k k Z ω+∈，0ω>，所以0k =时，min 23ω=。

12．答案：3解析：将不等式转换成线性规划，即121x y y x x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩目标函数2z y x =- 如右图z 在A (1,2) 处取最小值∴ min 3z =13. 答案：()23f x x x =-+，()答案不唯一解析：函数需要满足在[]0,2上的最小值为()0f ，并且在[]0,2上不单调。

选取开口向下，对称轴在()0,2上的二次函数均可，其余正确答案也正确。

14. 【答案】1，2【解析】：设正六边形边长为t；根据椭圆的定义)21a t =，22c t =，1ce a==椭圆双曲线的渐近线方程为y =，b a =2ce a=双曲线。

三.解答题 15. 【解析】（Ⅰ ）ABC V 中，1cos 7B =-，所以B ∠为钝角，sin B =；由正弦定理：sin sin a bA B=，所以sinB sin a A b ⋅==， 所以2,3A k k Z ππ=+∈；或者22,3A k k Z ππ=+∈； 又ABC V 中，B ∠为钝角，所以A ∠为锐角，所以3A π=。

（Ⅱ）ABC V 中，1sin sin(=sin +=sin 32C A B B B π=+=）（），三角形ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ==V ，设AC 边上的高为h ，11822ABC S bh h ==⋅⋅=V h ，即AC 。

16. 【解析】（I ）证明：∵AB BC =，且E 是AC 的中点，∴AC BE ⊥,∵在三棱柱111ABC A B C -中，E ,F 分别是AC ,11A C 的中点， ∴1EF CC ∥∵1CC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC , ∵AC ⊂平面ABC ， ∴EF AC ⊥,∵EF ,BE ⊂平面BEF , EF BE E =I∴AC ⊥平面BEF .（II ）由（I ）知，EF AC ⊥，AC BE ⊥，EF EB ⊥,∴以E 为原点，EA ,EB ,EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，()0,2,0B ,()1,0,0C -,()1,0,1D ,()11,0,2C - ()1,2,0BC =--u u u r ，()2,0,1CD =u u u r设平面BCD 的法向量(),,z n x y =r，∴00BC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r,即2020x y x z --=⎧⎨+=⎩， ∴()2,1,4n =--r，.易知平面1CDC 法向量()0,1,0m =u r∴cos ,m n m n m n⋅<>===⋅u r ru r r u r r ， 由图可知，二面角1B CD C --的平面角为钝角， ∴二面角1B CD C --的余弦值. （III ）方法一：∵()0,0,2F ,()0,2,1G ,∴()0,2,1FG =-u u u r∵平面BCD 的法向量()2,1,4n =--r，设直线FG 与平面BCD 的夹角为θ，∴sin cos ,0FG n FG n FG nθ⋅=<>===≠⋅u u u r ru u u r r u u u r r， ∴0θ≠∴直线FG 与平面BCD 相交.方法二：假设直线FG 与平面BCD 平行，∵设CD 与EF 的交点为M ,连结BM ，∵FG ⊂平面1BB FE ,且平面1BB FE I 平面BCD BM =, ∴FG BM ∥, ∵BG FM ∥,∴四边形BMFG 为平行四边形， ∴FM BG =,易知FM BG ≠， ∴假设不成立，∴直线FG 与平面BCD 相交.17. 【解析】（1）由表格可知电影的总部数 140503002008005102000+++++= 获得好评的第四类电影 2000.2550⨯=设从收集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件A ,则501()200040P A ==（2）由表格可得获得好评的第五类电影 8000.2160⨯=第五类电影总数为800 未获得好评的第五类电影 800160640-= 第四类电影总数为200 未获得好评的第四类定影 20050150-=设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评为事件B则1111506401501601120080017()100C C C C P B C C +== （3）514236D D D D D D ξξξξξξ>>=>>18. 【解析】（1）函数定义域为x ∈R ，()()2()241e 4143e x xf x ax a ax a x a '⎡⎤=-++-+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()2e 212x ax a x ⎡⎤=-++⎣⎦()()e 12x ax x =--，若函数在()()1,1f 处切线与x 轴平行，则()()1e 10f a '=--=，即1a =．（2）由（1）可知()()()()2212e 21e x xf x ax a x x ax '⎡⎤=-++=--⎣⎦，①当0a =时，令()0f x '=，2x =，不满足题意；当0a ≠时，令()0f x '=，2x =或1x a=， ②当0a <时，即12<，不满足题意； ③当0a >时， 1）当12a =，即12a =时，()0f x '≥，函数()f x 无极值点； 2）当12<，即1a >时，满足题意； 3）当12>，即10a <<时，不满足题意．综上所述，若()f x 在2x =处取得极小值，12a >．19. 【解析】（1）由已知可得42p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．令11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 显然不能与x 轴垂直，令其方程为1y kx =+，带入24y x =整理得214y y k =⋅+，即2440ky y -+=．所以由已知可得016160k k ≠⎧⎨∆=->⎩，解得1k <且0k ≠．所以直线l 的斜率k 的取值范围为()(),00,1-∞U ． （2）由（1）知124y y k +=，124y y k=． 而点11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上，所以2114y x =，2224y x =．因为直线PA 与直线PB 与y 轴相交，则直线PA 与直线PB 的斜率均存在，即12y ≠-，22y ≠-． 因为111221111224(2)414214PA y y y k y x y y ---====--+-， 所以直线PA 的方程为142(1)2y x y -=-+， 令0x =，可得11124222M y y y y =-=++，即112(0,)2y M y +．同理可得212(0,)2y N y +． 而由QM QO λ=u u u u r u u u r 可得，11212y y λ-=-+，所以11212y y λ+=-． 同理由QN QO μ=u u u r u u u r 可得，22212y y μ-=-+，所以22212y y μ+=-． 所以121221121222(2)(2)(2)(2)1122(2)(2)y y y y y y y y y y λμ+++-++-+=+=---- 121212888882244442()424y y kk y y y y k k k---====+-++-⨯-．20. 【解析】 解：（Ⅰ）(1,1,0)α=, (0,1,1)β=1(,)[(11|11|)(11|11|)(00|00|)]21[220]22M αα=+--++--++--=++= 1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]21[020]12M αβ=+--++--++--=++= （Ⅱ）,{0,1}i i x y ∈Q0,0||2,==1i i i i i i i i i i x y x y x y x y x y ==≠⎧∴+--=⎨⎩或4n =，因为(,)M αα为奇数，则α有1项或3项为1，其余为0，所以理论上元素个数最多有13448C C +=个。