第4章 频率变换电路基础答案

第4章 频率变换电路基础

4.1非线性器件的伏安特性为212i a u a u =+，其中的信号电压为

1cos cos cos 22

cm c m m u U t U t U t

ωΩΩ=+Ω+

Ω

式中，c ωΩ 。求电流i 中的组合频率分量。 解：212i a u a u =+

2

122

222222

12211cos cos cos 2cos cos cos 22211cos cos cos 2cos cos cos 2242cos cos cos co cm c m m cm c m m cm c m m cm c m m cm m c cm m c a U t U t U t a U t U t U t a U t U t U t a U t U t U t a U U t t U U t ωωωωωωΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ⎛⎫⎛⎫

=+Ω+Ω++Ω+Ω ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫=+Ω+Ω++Ω+Ω ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+Ω+()

2

s 2cos cos 2m t U t t ΩΩ+ΩΩ

∴电流i 中的频率分量为c ω、Ω、2Ω、2c ω、4Ω、c ω±Ω、2c ω±Ω、3Ω。其中组合频率分量为：

c ω±Ω、2c ω±Ω。

4.2非线性器件的伏安特性为

(0)0

(0)

d g u

u i u >⎧=⎨

<⎩

式中，1122cos cos Q m m u U U t U t ωω=++。设2m U 很小，满足线性时变条件，且112

Q m

U U =，求时变电

导()g t 的表达式，并讨论电流i 中的组合频率分量。 解：本题可用开关函数分析法来分析。 (0)

()0

(0)d d g u u i g s t u u >⎧==⎨

<⎩，其中1

(0)()0

(0)

u s t u >⎧=⎨

<⎩

∴时变电导1112

2

()()cos cos 32

3d d g t g s t g t t ωωπ

π⎛⎫

==+-

+ ⎪⎝⎭

∴()11112212

2

()cos cos 3cos cos 2

3d d Q m m i g s t u g t t U U t U t ωωωωπ

π⎛⎫

==+-

+++

⎪⎝⎭

∴电流i 中的组合频率分量为12(21)n ωω-±（n N ∈）。

4.3两个信号的数学表达式分别为：1cos 2V u Ft π=，2cos 20V u Ft π=。写出两者相乘后的数学表达

式，并画出其波形图和频谱图。 解：121cos 2cos 20(cos 22cos18)2

u u Ft Ft Ft Ft ππππ=⨯=+ （DSB

信号）

频谱表达式为

[](11)(11)(9)(9)2

f F f F f F f F πδδδδ++-+++-

其波形与频谱图分别为

图4.3

(b)频谱

f

4.4一非线性器件的伏安特性为230123i a a u a u a u =+++，式中

112233cos cos cos Q m m m u U U t U t U t

ωωω=+++

试写出电流i 中组合频率分量的频率通式，说明它们试由i 中的哪些乘积项产生的，并求出其中1ω、

122ωω+、123ωωω+-的频率分量的振幅。

解：∵230123i a a u a u a u =+++且112233cos cos cos Q m m m u U U t U t U t ωωω=+++

∴电流i 所含的频率分量有：直流、基波分量（1ω、2ω、3ω）、二次谐波分量（12ω、22ω、32ω）、组合频率分量（12ωω±、13ωω±、23ωω±）、三次谐波分量（13ω、23ω、33ω）

、组合频率分量（122ωω±、132ωω±、23

2ωω±、212ωω±、312ωω±、322ωω±、123ωωω+±、123ωωω-±）。

4.5若二极管VD 的伏安特性曲线可用图题4.5（b ）中的折线来近似，输入电压为cos m o u U t ω=。试求图题4.5（a ）中电流i 各频谱分量的大小（设g 、L R 、m U 均已知）。

图题4.5

L

(a)

(b)

解：此电路可以实现半波整流功能。 根据图（a ）可得到：

u >时，VD 导通，且1D

L

L

u i

u u g i R R --=

=

，∴11L

L u gu i gR R g

=

=

++

；

u <时，VD 截止，0i =。

引入单向开关函数()s t ，且1(0)()0

(0)

u s t u >⎧=⎨<⎩，有

()

1L

gu i s t gR =

+

2

122cos cos cos 3123122cos cos cos 3cos 2311111cos cos 2cos 4cos 22

331122cos cos 2cos 42315m

o o o L m o o o o m o o o o m o o o gU t t t gR I t t t t I t t t t I t t t ωωωππωωωωππωωωωπ

π

π

π

ωωωπππ⎛⎫

=

+-+ ⎪

+⎝⎭

⎛⎫=+-+ ⎪

⎝⎭

⎛⎫=++--+ ⎪

⎝⎭

⎛⎫

=++-+ ⎪

⎝⎭

1m m L gU I gR ⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

故电流i 中各频谱分量及其大小分别为：直流分量（1

m

I π

）、基波分量（1

2

m I ）、偶次谐波分量

（2

2(1)m

I n π

-，n 为偶数）。

4.6同4.5题，试计算图题4.6电路中电流i 各频谱分量的大小。设变压器B 的变压比为1:2，VD1与VD2特性相同（如图题4.5（b ）所示）。

图题4.6

+ -+ -1D u 2D u

解：此电路可以实现全波整流功能。 根据图题4.6可得到：

u >时，VD1导通、VD2截止，且1

1

111D L

L L u i u u gu i g i R R gR ---=

=

=，∴11L

gu i gR =

+；

u <时，VD1截止、VD2导通，且2

2

221D L

L

L

u i u u gu i g i R R gR +++=-

=-

=-

，∴21L

gu i gR =-

+。

引入双向开关函数()s t ，且1(0)()1

(0)

u s t u >⎧=⎨

-<⎩，有

()1L

gu i s t gR =+