绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解

答案: [10 , 5) U(1, 2]
33
3
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g(x) f x g(x)或f x g(x) (4) f x g(x) g(x) f x g(x) (5) f x g x f x2 g x2
1.求 x 3 的x最大9 值 2.求 x 3 的x最 9小值
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
rr r r ab a b
rr 当向量 a, 共b 线时，
rr r r 同向： a b a b
rr r r 反向： a b a b
y
rr ab
r
r b
a
O
x
rr r r ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,-B两点之间的距
离
a A
0
a
x
ab
ab
-B
A
B
-b
a
O
b
x
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与之a 间 的b 大
小关系吗？
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b 当ab=0时，a b a b
ab a b
定理1
如果a,b是实数，则 a b a b
当且仅当 ab 时0，等号成立。
把实数a，b换成相量 a，b，你能得出什么结果？
你能解释它的几何意义吗？
rr 当向量 a, 不b 共线时，
例3.解不等式 | x2 3x 4 | x 1.
解
1:原不等式
x x
2 2
3x 3x
4 4
0 x
或 1
x2 3x 4 0
(
x2
3x
4)
x
1
x x
4或x 5或x
1或 1
1 1
x x
4 3
x 1,或x 5，或 1 x 3,
原不等式的解集为{x | x 1,或 1 x 3,或x 5}.
例3.解不等式 | x2 3x 4 | x 1.
解2:原不等式 x2 3x 4 (x 1)或x2 3x 4 x 1 x2 2x 3 0或 x2 4x 5 0 (x 1)(x 3) 0,或(x 1)(x 5) 0
1 x 3,或x 1,或x 5, 原不等式的解集为{x | x 1,或 1 x 3,或x 5}.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1, ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
例2.解不等式 | x2 5x | 6．
解:原不等式
6
x2
5x
6
x 2
x2
5x 5x
6 6
x2 x2
5x 5x
6 6
0 0
x 2或x 1 x 6
3
1 x 2或3 x 6,
原不等式的解集为(1, 2) U(3,6).
变式练习: 解不等式1 | 3x 4 | 6．
a |a|a2 a , ab 源自a b ， | b | | b |
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察； 法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
∴ －1＜x＜0 综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集.
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.
对原不等式两边平方得x2<1, 即(x+1)(x-1)<0
∴－1<x<1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}.
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看,不等式|x|<1的解集,是函
数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部
分对应的x的取值范围.
y
∴不等式|x|<1的解集为
1 y=1
{x|-1<x<1}
－1 o 1 x
一般结论: 形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集:
①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
a b ab a b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
(1). a b c a b c (2). a c a b b c
定理2
1、求证：（1）a b a b 2 a
（2） a b a b 2 b
2、求证：（1） x a x b a b
（2） x a x b a b
-a
0
a
想一想:如果 a ≤0 ,以上不等式的解集是什么？
例1.解不等式 | 3 2x | 7. 解:原不等式 2x 3 7
2x 3 7或2x 3 7
x 2或x 5
原不等式的解集为{x | x 2或x 5}.
变式练习: 解不等式 | 3x 2 | 1．
答案: (, 0) U(1, )
2020年4月24日星期五
一、复习回顾
a ,a>0
1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0
2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：