模态分析

2 n x 0 x x (0) x0 , x (0) x0
k n m
运动微分方程
解
x A1 cos n t A2 sin n t A cos(n t )
A1 x0
x
2 0 2 n
A2
n
x0
A
x
2 0
k m c
x
kx
· cx
m
c c 2 mk 2mn
阻尼自由振动
解 特征方程
x Ae
st
ms 2 cs k 0
2 s 2 2n s n 0
临界阻尼
ce 2 mk 2mn
c c c ce 2 mk 2mn
阻尼自由振动
ET U E
能量关系
Rayleigh商
动能系数
1 1 2 2 T mA mxmax 2 2
k U max m T
2 n
阻尼自由振动
方程
O
mx cx kx 0 x (0) x0 , x0 (0) 0
2 2n x n x 0 x x (0) x0 , x0 (0) 0
2 n 2 n
an tan n bn
把谐波分析 的结果形象化：An，n和之间的 关系用图形来表示，称为频谱
单自由度系统
自由振动
简谐振动
非周期强迫振动
自由振动
振动系统在初始激励下或外加激励消失后的
运动状态。 自由振动时系统不受外界激励的影响，其运 动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性 元件中存储的能量。 振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和 系统本身的性质。
1 2 ET mx 2
1 2 U kx 2
ET U E
能量关系
1 2 ET mA2n sin 2 (n t ) 2
1 2 2 U kA cos (n t ) 2
2 1 2 1 2 x0 ET U kA ( x0 2 ) 2 2 n
简谐强迫振动 振动计
7
位移测量计
•扰动频率大于仪器的固有频 率（B点），记录的振幅逐 渐接近于扰动频率的振幅 •仪器的固有频率应该比要记 录测量的频率低2倍 •当振动包含高阶频率时，不 影响位移振动计的测量
X/A
4 3 2 1 1
0.1
0
0.2 0.3 0.4 0.7
0
0.5
1
/ n
简谐强迫振动
相频特性
n tan 1 1 ( )2 n
2

0.1
0
0.2 0.5 0.7
1
2
0
0
1
2
3
简谐强迫振动
全解
全解
特征方程解
s1,2 n n 1
2
1
Im
0
-1 -2 -1 Re 0 1
阻尼自由振动
方程的通解 三种情况 >1，相异实根。阻尼大于临界阻尼。强阻尼 =1，重根。阻尼等于临界阻尼 <1，共轭复根。阻尼小于临界阻尼，弱阻尼，
x (t ) A1e A2e
阻尼固有频率
d 1 2 n
x (t ) e n t (c1 cos d t c2 sin d t )
x (t ) Xe n t cos(d t )
c1 x0 , c2 ( x n x0 ) / d
阻尼自由振动
对数衰减率
惯性元件，弹性元件，阻尼元件，外界激励。
通常用物理量：
质量M，刚度K，阻尼C，和外界激励F表示。
x
1
x k
2
x
1
x c
2
振动分类
按系统分： 线性系统和非线性系统 离散系统和连续系统 确定性系统和随机系统 按激励分： 自由振动 受迫振动 自激振动 参数共振
振动分类
按响应分： 简谐振动 周期振动 Βιβλιοθήκη Baidu非周期振动 随机振动
对复数Aeit每求导一次，相当于在它的前面乘上一个i，而每乘 i i / 2 上一个i，相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转/2
e 1
e
i
运动学
谐波分析
把一个周期函数展开成傅立叶级数，亦即展开成一系列简谐函数之和
一般的周期振动可以通过谐波分析分解成简谐振动
运动学 谐波分析
傅立叶级数
2 T an F t cos n1tdt T 0
2 T bn F t sin n1tdt T 0
谐波分析
两个频率相同的简谐振动可以合成一个简谐振动
an cos n1t bn sin n1t An sin n1t n
An a b
虚轴
e x cos i sin
z A cos t i sin t Ae
it
it
i
P
A
t
实轴
y A sin t Im z Im Ae
运动学 速度、加速度的复数表示
位移
x Ae
it
d i itt / 2 it 速度 x Ae iAe Ae dt dx d it 2 i it t 加速度 x i Ae e A Ae dt dt
cos(d t1 ) x1 Xe n ( t1 t2 ) nTd e e n t 2 x2 Xe cos(d t1
n t1
x2 x1e
nTd
x1 2 ln nTd 2 x2 1
简谐强迫振动
方程
2 2 2n x n x n A cos t x
A X 2 2 1 ( ) 2 2 n n 2 n tan 1 2 1 ( ) n
简谐强迫振动
放大系数
X 1 2 2 A 2 1 ( ) 2 n n
s1t
s2 t
阻尼自由振动
>1
s1,2 ( 2 1)n
x (t ) e
=1
n t
( A1e
2 1n t
A2e
2 1n t
)
s1,2 n
x (t ) ( A1 A2 t )e
n t
阻尼自由振动
<1
s1,2 ( i 1 2 )n
工况监视与故障诊断。 例：用五轮仪来测量路面的不平度 对于五轮仪，其系统特性已知，通过测 量五轮仪的输出，可以反推出路面的不平度 特性。
机械振动的作用

消极方面：影响仪器设备功能，降低机械设 备的工作精度，加剧构件磨损，甚至引起结 构疲劳破坏。
积极方面：利用振动性能的设备

机械振动的破坏作用
大小和位移成正比
速度
加速度
方向和位移相反，始终指向平衡位置
运动学 拍
不同频率振动的叠加 频率接近于相等时
a sin 1t b sin 2t , 1 2
1 2
•拍的频率：每秒中振幅从最小值经过最大值到最小值的次数 •拍的圆频率：12
运动学 简谐振动的复数表示
•复平面上的一点z代表一个矢量 •使该矢量以等角速度在复平面内旋转（复数旋转矢量）
系统识别：分析已知的激
F0 sin t
励与响应，确定振动系统 的性质
环境预测：已知振动系统
和在未知激励下的响应， 研究该未知激励的性质
响应分析
车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应
工程提法：系统设计
在一定的激励条件下，如何来设计系统的特
性，使得系统的响应满足指定的条件。
c x
运动微分方程
振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。 自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量来自
于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量。 振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和系统本身的性质。
隔离体受 力分析
kx
k
x (t )
m
O
运动微分方程
运动微分方程
mx kx 0 x (0) x0 , x (0) x0
解
x Be
O k
n t
cos(d t )
X cos t
x
2 2 [1 ( ) ] 2 n n
2
m c x kx m · cx
F0 cos t
简谐强迫振动
系数
2 2 B x0 x0 n x0 d 1 x0 n x0 tan d x0
机械振动的积极作用

共振放大 利用颗粒的振动进行清洗，抛光，零件去毛刺； 利用振动减小零部件之间的摩擦阻力和间隙
阀体 阀芯 电磁铁
学习机械振动的意义
1. 2. 3.
4.
进行结构动强度设计的需要 消除有害的振动 利用振动有利的一面 是学好相关知识的基础
离散系统的基本元件


机械振动系统：
a0 F t a1 cos 1t a2 cos 21t ... 2 b1 sin 1t b2 sin 21t ... a0 an cos n1t bn sin n1t 2 n 1
1:基频
2 T a0 F t dt T 0

x0 arc tan x0n
运动微分方程
单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动
m T 2π n k
2π
1 n 1 k fn T 2π 2π m
能量关系
dx dx mx kx 0 dt dt
意义：惯性力的功率Fm与弹性力的功率Fs之和为零
d 1 1 2 kx 2 0 mx dt 2 2
按自由度分： 单自由度振动 多自由度振动 连续体振动
运动学
一、简谐运动
按时间的正弦函数(或余弦函数)所作的振动
x A sin t
振幅 相位 圆频率 初相位
运动学 简谐振动的速度和加速度
位移
x A sin t x A cos t A 2 sin t x
振动系统三要素及其关系
振动系统的三要素：激
励、系统和响应 外界对振动系统的激励 或作用，称为振动系统 的激励或输入。 系统对外界影响的反映， 称为振动系统的响应或 输出。 二者由系统的振动特性 相联系。
激励 输入
系统
响应 输出
三种基本振动问题
响应分析：在扰动条件和
x k
系统特性已知的情形下， 求系统的响应


颤振：大气紊流和其他振源都会使飞机等飞行器 产生振动（舒适性，机载仪表） 自激振动：输电线的舞动 1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速 风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造 成坍塌事故 1972年日本海南的一台66×104kW汽轮发电机组， 在试车过程中发生异常振动而全机毁坏； 步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共 振现象造成桥梁坍塌
k c k c
系统识别
方法：以某种已知的激振力作用在被测振动
系统上，使其产生响应，根据已知的激励和 测量得到的响应量值，进而根据一定的分析 方法（模态分析），确定系统的振动参数， 如：质量矩阵，刚度和阻尼矩阵以及系统的 振型和固有频率向量。 模态试验
环境预测
例：振源判断、载荷识别、基于振动信号的
第四章 模态分析
振动与噪声控制研究所 李晓雷
第四章 模态分析
4.1 引言
4.2 实模态分析
4.3 复模态分析
4.4 试验模态分析
绪论
机械振动的研究对象、意义
数学准备和运动学
绪论
机械振动的研究对象、意义
振动，是指物理量在它的平均值附近不断地
经过极大值和极小值而往复变化的过程。 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附 近的往复弹性运动。 机械振动研究的对象是机械或结构，即具备 质量和弹性的物体。在理论分析时，需要把 机械或结构按照力学原理，通过数学建模， 抽象为力学系统（又称为数学模型）。 可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。