离散数学课件 第四章 二元关系习题
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《离散数学》课件-第4章二元关系
例1 设A＝{a,b,c,d}，R＝ {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求Rn。(用关系矩阵 求)。 解：
由于M4=M2，故R的所有自然数次幂的集合为： Rn{R0，R1，R2，R3}。
例2 设A＝{a,b,c,d,e,f},定义在A上的关系 R＝{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>}， S＝{<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>},求Rn和Sn。
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(3)合成关系的性质 ① 合成运算对∪,∩的分配律 定理 设R是从集合A到B的关系，S和T均为B到C 的关系。U是C到D的关系，则有
(1). R•(S∪T)=R • S∪R • T； (2). R•(S∩T) R • S∩R • T； (3). (S∪T) • U=S • U∪T • U； (4). (S∩T) • U S • U∩T • U；
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
4-6 二元关系与函数 离散数学 教学课件
问如何安排任务的加工次序，使截止时间D最 小？——最优调度问题
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用
4-5 二元关系与函数 离散数学 教学课件
f ：R→Z, f (x)= x 满射, 但不单射, 例如 f (1.5)=f (1.2)=1.
f ：R→R, f (x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调并且ranf =R.
f ：R+→R +, f (x)=x /(x2+1) 有极大值f (1)=1/2. 该函数既不单射也不满射.
当A1=A时，称f (A1)=f (A)=ran f 是函数的像。
注意：函数值 f(x)∈B, 而像 f [A1]B. 例：设f：{1,2,3}→{a,b}，
f={1,a,2,a,3,b}，A1={1,2}， 试求A1在f 下的像f (A1)和函数f 的像f (A)。 解：
f (A1)={f (x) |xA1} ={f (1), f (2)}
f (A)={f (x) |xA}
={f (1), f (2), f (3)}
={a}
={a,b}
函数的性质——满射
定义 设 f ：X→Y, （1）若ranf = Y, 则称 f ：X→Y是满射的.
X
Y
x1
y1
x2
x3
y2
满射(到上映射)
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
到内法：直线方程
解1： 令 f：[0,1]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/4
解2： 令 f ：[1, 0]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4
构造从A到B的双射函数（续）
三、A 与自然数集合之间构造双射
方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应
f(x)
f ：R→R, f (x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调并且ranf =R.
f ：R+→R +, f (x)=x /(x2+1) 有极大值f (1)=1/2. 该函数既不单射也不满射.
当A1=A时，称f (A1)=f (A)=ran f 是函数的像。
注意：函数值 f(x)∈B, 而像 f [A1]B. 例：设f：{1,2,3}→{a,b}，
f={1,a,2,a,3,b}，A1={1,2}， 试求A1在f 下的像f (A1)和函数f 的像f (A)。 解：
f (A1)={f (x) |xA1} ={f (1), f (2)}
f (A)={f (x) |xA}
={f (1), f (2), f (3)}
={a}
={a,b}
函数的性质——满射
定义 设 f ：X→Y, （1）若ranf = Y, 则称 f ：X→Y是满射的.
X
Y
x1
y1
x2
x3
y2
满射(到上映射)
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
到内法：直线方程
解1： 令 f：[0,1]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/4
解2： 令 f ：[1, 0]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4
构造从A到B的双射函数（续）
三、A 与自然数集合之间构造双射
方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应
f(x)
离散数学第4章-二元关系
第二十二页，共45页。
• 例4.29
• 例4.30
4.7 次序关系
第二十三页，共45页。
4.7 次序关系
• 二 拟序关系
• 定义4.21（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称R为A上的拟序
关系。称(A, R)为拟序集，或记为(A, <)。（不意味着小于）
• 定理4.22
A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称的。
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，AB的子集R称为从A到B的
二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若(a, b)R，则 称a与b有关系R，记为aRb。
(a, b)R：a与b没有关系R R=：空关系 R=AB：全关系
第一页，共45页。
4.1 二元关系
• 二 定义4.2（定义域，值域）
第五页，共45页。
4.2 关系的性质
• 三 关系图
设A={a1, ……, an}，R是A上的二元关系。A中每个元素 ai用一个点表示，称该点为顶点ai 。
如果ai R aj，则从顶点ai到顶点aj存在一条弧。 如果ai R ai，则从顶点ai到顶点ai存在一条封闭弧。 这样表示R中关系的图形，称为R的关系图。
个元素a, bA，必有a b或b a，则称 是A上的全序关系
（或线性次序关系）。
• 定义4.23（全序集） 若集合A具有全序关系 或R），则称A为全序集或线
性次序集，记为(A, )或(A, R) 。
第二十六页，共45页。
4.7 次序关系
• 四 最大元、最小元、极大元、极小元
• 定义4.22（最大元、最小元、极大元、极小元）
第二十七页，共45页。
• 例4.29
• 例4.30
4.7 次序关系
第二十三页，共45页。
4.7 次序关系
• 二 拟序关系
• 定义4.21（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称R为A上的拟序
关系。称(A, R)为拟序集，或记为(A, <)。（不意味着小于）
• 定理4.22
A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称的。
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，AB的子集R称为从A到B的
二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若(a, b)R，则 称a与b有关系R，记为aRb。
(a, b)R：a与b没有关系R R=：空关系 R=AB：全关系
第一页，共45页。
4.1 二元关系
• 二 定义4.2（定义域，值域）
第五页，共45页。
4.2 关系的性质
• 三 关系图
设A={a1, ……, an}，R是A上的二元关系。A中每个元素 ai用一个点表示，称该点为顶点ai 。
如果ai R aj，则从顶点ai到顶点aj存在一条弧。 如果ai R ai，则从顶点ai到顶点ai存在一条封闭弧。 这样表示R中关系的图形，称为R的关系图。
个元素a, bA，必有a b或b a，则称 是A上的全序关系
（或线性次序关系）。
• 定义4.23（全序集） 若集合A具有全序关系 或R），则称A为全序集或线
性次序集，记为(A, )或(A, R) 。
第二十六页，共45页。
4.7 次序关系
• 四 最大元、最小元、极大元、极小元
• 定义4.22（最大元、最小元、极大元、极小元）
第二十七页，共45页。
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学第四章-二元关系和函数
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
离散数学课件第四章(第1讲)
例：设A={ 1 }，B={1，2}，C={2，3},则 A（B ∪ C）= { 1 }{1，2，3} = {〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉}
（AB）∪（AC）= { 1 }{1，2} ∪ { 1 }{2，3} = {〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉}
例：设A={ 1 }，B={1，2}，C={2，3},则： A（B ∩ C）= { 1 }{2} = {〈1,2〉}
例：设A={a，b，c}， B={1，3，4}， R1 是A—>B上的 二元关系，给出R1的关系矩阵.
R1={<a,1> <a,4> <b,1> <b,3> <c,3> <c,4>}
1
MR1 = b
1
1
0
c
0
1
1
例：设X={a，b，c}， Y={1，2}， R2 是X—>Y上 的二元关系， 给出R2的关系矩阵.
向y。反之不画任何联线。
例：设X={1，2，3，4}， R1 是X 上的二元关系， 给出R1的关系图。
R1={<4,1> <4,2> <4,3> <3,1> <3,2> <2,1>}
３. 关系的前域和值域
《定义》设R是一个二元关系，由<x,y> R的所有序偶的 第一元素x组成的集合dom R称R的前域,即
证明:A(B ∩ C)=(AB) ∩ (AC) 证明：设<x,y>是A（B ∩ C）中的任一元素，则： <x,y> A（B ∩ C）
<x,y> {<x,y> |xA yB ∩ C} <x,y> {<x,y>|xA yB yC} <x,y> {<x,y>|(xA yB) (xA yC)} <x,y> (AB) ∩ (AC) 即 A(B ∩ C) = (AB) ∩ (AC)
离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.1-4.2
证明：x,w(R∘S)∘T(z)(x,zR∘S∧z,wT)
(z)((y)(x,yR∧y,zS)∧z,wT)
(z)(y)((x,yR∧y,zS)∧z,wT)
(y)(z)(x,yR∧(y,zS∧z,wT))
(y)(x,yR∧(z)(y,zS∧z,wT))
(y)(x,yR∧y,wS∘T)x,wR∘(S∘T)
【例4.7】X=1,2,3,4,5，X上的二元关系R和S定义如下：
R=1,2,3,4,2,2
S=4,2,2,5,3,1,1,3
试求R∘S，S∘R，R∘(S∘R)，(R∘S)∘R，R∘R，S∘S，R∘R∘R
解：R∘S=1,5,3,2,2,5， S∘R=4,2,3,2,1,4
(R∘S)∘R=3,2，
R∘(S∘R)=3,2
都是用列举法表示的。 2.用描述法表示二元关系 设R是实数集，LR= x,y | xR∧yR∧x≤y， LR是
实数集R上的小于等于关系，是一个二元关系。
3.用矩阵表示二元关系 如果A，B是有限集，
A=a1, a2,„, am， B=b1, b2,„, bn，
R是A到B的二元关系，R的关系矩阵定义为： MR= rij mn
第4章 二元关系
4.2.2二元关系的复合运算（也叫合成运算）
定义4.2.2 （R与S的复合） 设X，Y，Z是集合，RX×Y，
SY×Z，则R与S的复合为：
R∘S = |<x, z> | y (<x,y>R<y,z>S) }
= x, zxX∧zZ∧(y)(yY∧x, yR∧y, zS)
[注]: R∘S 是从X到Z的二元关系，即R∘S X ×Z 。
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义A上的大于等于关系, 小于关系, 大于关 系, 真包含关系等等.
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学(第二版)第4章二元关系和函数
第四章 二元关系和函数
定义4.2.3 设R是A到B的二元关系。 (1) 用xRy表示 <x，y>∈R，意为x，y有R关系(为使可读 性好，我们将分场合使用这两种表达方式中的某一种)。 xy 表示<x，y> R。 (2) 由<x,y>∈R的所有x组成的集合称为关系R的定义域 (domain),记作Dom R，即
显然A×B与 B×A所含元素的个数相同(A，B是有限集 合)，但A×B≠B×A。
定理4.1.1 若A，B是有穷集合，则有 |A×B|=|A|·|B|(·为数乘运算)
该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.2 对任意有限集合A1，A2，…，An，有 |A1×A2×…×An|＝|A1|·|A2|·… ·|An|(·为数乘运算)
第四章 二元关系和函数
本节主要介绍关系的基本概念以及关系的表示方法。 定义4.2.1 任何序偶的集合，确定了一个二元关系，并 称该集合为一个二元关系，记作R 。 二元关系也简称关系。 对于二元关系R，如果<x，y>∈R，也可记作xRy。 定义并不要求R中的元素<x，y> 中的x，y取自哪个个体 域。 因此，R={<2，a>，<u，狗>，<钱币，思想>}也是一 个二元关系。
若R={<x，y>|x∈A∧y∈B∧ x|y }，则称R为整除关系， 常记为|，其中x|y表示x整除y。
若A是任意集合，R是A上的二元关系，下面的关系也常 见：
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为包含
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为真包
第四章 二元关系和函数
离散数学二元关系习题讲解
极 大 元
极 小 元
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 最 最 极 极 上 下 ，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子 集 上 下 大 小 大 小 确 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 ={x ,x ,x } ， X ={x ,x ,x } 的上 界 界 2 3 4 5 3 1 3 5 元 元 元 元 界 界 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小 元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确 界。 h
f d
c a
4
g e
集 合 B1
最 大 元 无
最 小 元 无
b
B2
无
c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, b, h c d,e c h c
x1
x3 x3 x1 x1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}
离散数学 二元关系
例：R1={ <1,a>,<1,c>,<2,b>,<3,a>,<4,c>} R2={ <1,1>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>, <4,1>,<4,2>}
上例中
2019/3/20
1 MR1 = 2 3 4
abc
101 010 100 001
MR2=
4× 3
1 2 3 4
1234 1001 0010 1001 1100
2019/3/20
次序关系。
1
4-1
序偶与集合的笛卡尔积
一、序偶与有序n元组 1.定义:由两个对象x、y组成的序列称为有序二元 组，也称之为序偶，记作<x,y>；称x、y分别为 序偶<x,y>的第一，第二元素。 注意，序偶<x,y>与集合{x,y}不同：
–序偶<x,y>：元素x和y有次序； –集合{x,y}：元素x和y的次序无关紧要。
2019/3/20 10
6)约定 (…(A1A2)…An-1)An)=A1A2…An 特别 AA…A = An 设R是实数集合，则R2表示笛卡尔坐标平面， R3表示三维空间，Rn表示n维空间。
3. 应用
1)令A1={x|x是学号} A2={x|x是姓名} A3={男,女} A4={x|x是出生日期} A5={x|x是班级} A6 ={x|x是籍贯} 则A1A2A3 A4A5 A6中一个元素： <001，王强，男，1981:02:16，计2001-1，辽宁> 这就是学生档案数据库的一条信息，所以学生的档 案就是A1A2A3 A4A5 A6的一个子集。
离散数学第四章二元关系和函数
③ F在A上的限制记作FA= {<x,y>|xFyxA}; ④ A在F下的象F[A]=ran(FA).
例题
1. 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,yNy=x2}; G={<x,y>| x,yNy=x+1}, 求G-1,FoG,F{1,2},F[{1,2}]
2. 解:
① G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,...,<x+1,x>,...}; ② z((z=x+1)y=z2)
① <<x,y>,z>(AxB)xC, <x,<y,z>> Ax(BxC), <x,<y,z>> (AxB)xC.
笛卡儿积运算具有的性质(2)
1. 笛卡儿积运算对或运算满足分配律, Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA) Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA)
2. domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
3. 图解方法
1
0
-1
R2
domR2
1 0 -1
ranR2
逆、合成、限制和象
1. 定义4.9: 设F,G为任意的关系,A为集合,则
① F的逆记作F-1, F-1={<x,y>|yFx}; ② F与G的合成记作FoG={<x,y>|z（xGzzFy）};
0100 1010 . 0001 0000
例题
1. 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,yNy=x2}; G={<x,y>| x,yNy=x+1}, 求G-1,FoG,F{1,2},F[{1,2}]
2. 解:
① G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,...,<x+1,x>,...}; ② z((z=x+1)y=z2)
① <<x,y>,z>(AxB)xC, <x,<y,z>> Ax(BxC), <x,<y,z>> (AxB)xC.
笛卡儿积运算具有的性质(2)
1. 笛卡儿积运算对或运算满足分配律, Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA) Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA)
2. domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
3. 图解方法
1
0
-1
R2
domR2
1 0 -1
ranR2
逆、合成、限制和象
1. 定义4.9: 设F,G为任意的关系,A为集合,则
① F的逆记作F-1, F-1={<x,y>|yFx}; ② F与G的合成记作FoG={<x,y>|z（xGzzFy）};
0100 1010 . 0001 0000
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
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反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件
闭包 Nhomakorabea构造方法举例
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
离散左孝凌第4章二元关系
【例4.8】A=1,2,3,4,5，A上的二元关系R和S定义如下： R=1,2,2,2,3,4 S=1,3,2,5,3,1,4,2 试求MR ∘ S和MR ∘ MS，它们是否相等 ? 解：按照R 和S的定义，求出 R∘S=1,5,3,2,2,5 写出R 、S和R ∘ S关系矩阵如下：
0 0 MR= 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 MS = 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 MR ∘ S = 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 0
所以MR ∘ S=MR ∘ MS 4.2.3二元关系的求逆运算 定义4.2.4 设X，Y是集合，RX×Y，集合 y,xx,yR 叫做R的逆关系。记为RC，RCY×X，RC是Y到X的二元关系。 容易证明，RC的关系矩阵 M R C 是R的关系矩阵MR的转置矩 阵，即 M R C =MRT 可以验证，将R关系图中的弧线的箭头反置，就可以得到 RC关系图。
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定义4.2.1设A，B是集合，RA×B。 dom R=x|x,yR 叫做R的定义域。 ran R=y| x,yR 叫做R的值域。 FLD R= dom R∪ran R叫做R的域。 A叫做R的前域；B叫做R的陪域。 4.2.1二元关系的交、并、补、对称差运算 定理 4.2.1 设 R ， S 是 X 到 Y 的二元关系，则 R∪S ， R∩S ， R-S，~R，R S也是X到Y的二元关系。 证明：因为R，S是X到Y的二元关系，所以， RX×Y且SX×Y。显然， R∪SX×Y，即R∪S是X到Y的二元关系。 R∩SX×Y，即R∩S是X到Y的二元关系。 R-SX×Y，即R-S是X到Y的二元关系。
离散数学 第四章 二元关系和函数
类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真 包含关系等等.
第12页，此课件共30页哦
实例
例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
笛卡儿积
定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,
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关系基本运算的性质（续）
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(F∘G)1
<y,x>∈F∘G t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G) t (<x,t>∈G1∧(t,y)∈F1) <x,y>∈G1∘F1 所以 (F∘G)1 = G1∘F1
第23页，此课件共30页哦
A上关系的幂运算
实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4}
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实例
例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
笛卡儿积
定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,
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关系基本运算的性质（续）
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(F∘G)1
<y,x>∈F∘G t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G) t (<x,t>∈G1∧(t,y)∈F1) <x,y>∈G1∘F1 所以 (F∘G)1 = G1∘F1
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A上关系的幂运算
实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4}
离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.5-4.7
即：A/R = { [a]R | a∈A } 实例：令A={1, 2, …, 8}，A关于模 3 同余等价关系为
R=x,yx,yI∧x≡y mod 3
则R的所有等价类分别为：
[1]R= 1，4，7 [2]R= 2，5，8 [3]R= 3，6 于是，A关于R 的商集为： A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为：
第4章 二元关系
模k同余关系
设x和y是两个整数，k是一个正整数，若x，y用k除的 余数相等，就称x和y模k同余，也称x和y模k等价。 记为 x ≡ y mod k
设x(y)用k除的商为t1 ( t2 )，余数为a1 ( a2 )，数学上将 x(y)表示成为：
x= k×t1＋a1， t1I，a1I且0≤a1＜k。 y= k×t2＋a2， t2I，a2I且0≤a2＜k。 若x，y用k除的余数相等，x-y= k×(t1-t2)，t1-t2I。 即x-y可以被k整除。 所以，x和y模k同余还可以描述为：x-y可以被k整除。 可以证明： x和y模k同余关系是等价关系。
第4章 二元关系
(3) 假设[a]R∩[b]R≠, 则存在z∈[a]R∩[b]R, 从而有 z∈[a]R∧z∈[b]R, 即<a,z>∈R∧<b,z>∈R 成立. 根据R 的对称性和传递性必有<a,b>∈R, 与a b矛盾.
(4) 先证
[x] A. 任取y∈
xA R
[x]
xA R
,则
y∈
[x]
xA R
第4章 二元关系
等价类
定义4.5.2 设R是非空集合A上的等价关系，aA，集合 x xA∧aRx 即x xA∧< a,x > R
R=x,yx,yI∧x≡y mod 3
则R的所有等价类分别为：
[1]R= 1，4，7 [2]R= 2，5，8 [3]R= 3，6 于是，A关于R 的商集为： A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为：
第4章 二元关系
模k同余关系
设x和y是两个整数，k是一个正整数，若x，y用k除的 余数相等，就称x和y模k同余，也称x和y模k等价。 记为 x ≡ y mod k
设x(y)用k除的商为t1 ( t2 )，余数为a1 ( a2 )，数学上将 x(y)表示成为：
x= k×t1＋a1， t1I，a1I且0≤a1＜k。 y= k×t2＋a2， t2I，a2I且0≤a2＜k。 若x，y用k除的余数相等，x-y= k×(t1-t2)，t1-t2I。 即x-y可以被k整除。 所以，x和y模k同余还可以描述为：x-y可以被k整除。 可以证明： x和y模k同余关系是等价关系。
第4章 二元关系
(3) 假设[a]R∩[b]R≠, 则存在z∈[a]R∩[b]R, 从而有 z∈[a]R∧z∈[b]R, 即<a,z>∈R∧<b,z>∈R 成立. 根据R 的对称性和传递性必有<a,b>∈R, 与a b矛盾.
(4) 先证
[x] A. 任取y∈
xA R
[x]
xA R
,则
y∈
[x]
xA R
第4章 二元关系
等价类
定义4.5.2 设R是非空集合A上的等价关系，aA，集合 x xA∧aRx 即x xA∧< a,x > R
相关主题
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12
• 对于任何x,y∈c1i则x,y∈c2j • 于是有<x,y>∈Ｒ1则<x,y>∈R2 • 即Ｒ1⊆R2充分性得证． • 再证必要性： • 设Ｒ1⊆R2，于是对任意<x,y>∈Ｒ1(等价于
x,y应属于Ｒ1造成的划分Ｃ1 的某一个类c1i 中,i=1,2,...n) • 则<x,y>∈R2，(等价于x,y一定属于Ｒ2造成 的划分Ｃ2 的某一个类c2j中,j=1,2,...m) • 必要性得证．
•
(i≠j)
•
5
• 3.(85页第２题） • 把n个元素的集合划分为两个类，共有多
少种不同的分法？ • 解：２个元素的有１种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2}},即2(2-1)-1 • 3个元素的有３种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2}}即2(３-1)-1
14
• =(∀x)(¬x∈X∨<x,x>∈R1)∧ (∀x)(¬x∈X∨<x,x>∈R2)
• 证明：因为Ａ1⊆Ａ
•
Ａ2⊆Ａ
•
┄
4
•
• Ａn⊆Ａ
• 于是有Ａ1∩B⊆Ａ∩B
•
Ａ2 ∩B ⊆Ａ∩B
•
┄
•Hale Waihona Puke Ａn ∩B ⊆Ａ∩B• 并且Ａ1∩BＡ2∩B ┄ Ａn ∩B
• =(Ａ1 Ａ2 ┄ Ａn) ∩B
• = A∩B.
• 对任何(Ａi∩B) ∩(Ａj∩B)=(Ａi∩Ａj) ∩B=Φ∩B= Φ
8
• 都不与其它结点相关联的正五角星构成一 个等价类；
• •
• 都不与其它结点相关联的正六角星构成一 个等价类；
•
9
• 上述图例中，省略了各结点上的自环，用 一条无向边代替一对方向相反的有向边．
• 5.(85页第７题) • 设Ｒ是集合Ｘ中的关系，对于所有的xi,xj
和xk属于Ｘ，如果xiＲxj和xjＲxk就有xkＲxi • 则称Ｒ是循环关系，试证明当且仅当Ｒ是
2
• 证(3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)
• t(R1R2)=(R1R2) (R1R2)2 ┄ (R1R2)n • 而(R1R2)2= (R1R2)o (R1R2)
• =((R1R2)oR1) ((R1R2)oR2)
• •
=
R12R2oR1┅ R1oR2R22⊇R12
练习
• １、(79页第３题)
• R1,R2是集合Ｘ中的关系，试证明： • (1)r(R1R2)=r(R1) r(R2) • (2)s(R1R2)=s(R1) s(R2) • (3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)（书上是等号） • 证明(1)左边=r(R1R2)
•
=R1R2 Ix
一个等价关系，Ｒ才是自反的和循环的． • 证明：充分性设Ｒ是等价关系，来证明Ｒ
是循环的．(自反性是明显的)
10
• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xiＲxk及xkＲxi(由Ｒ的可传递性和对称性得) • 即Ｒ是循环的．
• 必要性：设Ｒ是自反的和循环的来证Ｒ是 个等价关系．实际上只要证Ｒ是对称的和 可传递的即可．
• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xkＲxi及xiＲxi于是有xiＲxk即Ｒ是对称的和
可传递的．
• 综上问题得证．
11
• 6.(86页第７题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，试证明：
当且仅当Ｃ1中的每一个等价类都包含于Ｃ 2中的某一个等价类中，才有R1⊆ R2 • 证明：设Ｒ1和R2造成的划分分别是 • Ｃ1={c11 ,c12,┅, c1n} • Ｃ2={c21 ,c22,┅, c2m} • 对任意的c1i∈Ｃ1(i=1,...,n),在Ｃ2中都存在 • 某一个c2j(j=1,2,...,m)并且c1i⊆c2j
有2(n-1)-1种
7
• 4.(85页第６题) • 在等价关系图中，应如何识别等价类？ • 解：关系图中如果有孤立的结点，则它是
一个等价类；
• 都不与其它结点相关联的相互联结的两个 结点构成一个等价类；
• 都不与其它结点相关联的相互联结的三个 结点构成一个等价类；
• 都不与其它结点相关联对角线相关联的四 个结点构成一个等价类
6
• 4个元素的有７种： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3 ,a4}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3 ,a4}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2, a4}} • Ｃ4＝{{a4}, {a1 ,a2 ,a3 }} • Ｃ5＝{{a1,a2}, {a3 ,a4}} • Ｃ6＝{{a1,a3}, {a2, a4}} • Ｃ7＝{{a1,a4}, {a2 ,a3 }} 即2(4-1)-1 • 一般具有n个元素的集合分成两堆的分法
• 右边= r(R1) r(R2)
• =R1 Ix R2 Ix
• =R1R2 Ix • (1)式得证。
1
• 证(2)左边=s(R1R2) • =(R1R2) (R1 R2) 〜 • = R1R2 R1〜 R2〜 • = (R1 R1〜) (R2 R2〜) • =s(R1) s(R2) • (2)得证。
R22
• (R1R2)n ⊇R1n R2n • 于是有(R1R2) (R1R2)2 ┅ (R1R2)n ⊇
R1 R12┅ R1n R2 R22
3
• R22┅ R2n • 即t(R1R2)⊇t(R1) t(R2) • (3)得证．
• ２、(85页第１题)
• 设｛Ａ1,Ａ2, ┄,Ａn｝是集合Ａ的划分，试 证明：｛Ａ1∩Ｂ，Ａ2∩Ｂ, ┄,Ａn ∩Ｂ｝是 集合Ａ ∩Ｂ的划分．
13
• ７.(86页第９题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，并分别
有秩r1和r2，试证明：Ｒ1∩R2也是集合X中 的等价关系，它的秩至多是r1r2。而 • Ｒ1R2不一定是集合X中的等价关系． • 证明：首先证明Ｒ1∩R2是等价关系 • 1)(∀x)(x∈X→ <x,x>∈R1∩R2) • =(∀x)(¬x∈X∨(<x,x>∈R1∧<x,x>∈R2)) • =(∀x)((¬x∈X∨<x,x>∈R1)∧(¬x∈X∨ <x,x>∈R2))
• 对于任何x,y∈c1i则x,y∈c2j • 于是有<x,y>∈Ｒ1则<x,y>∈R2 • 即Ｒ1⊆R2充分性得证． • 再证必要性： • 设Ｒ1⊆R2，于是对任意<x,y>∈Ｒ1(等价于
x,y应属于Ｒ1造成的划分Ｃ1 的某一个类c1i 中,i=1,2,...n) • 则<x,y>∈R2，(等价于x,y一定属于Ｒ2造成 的划分Ｃ2 的某一个类c2j中,j=1,2,...m) • 必要性得证．
•
(i≠j)
•
5
• 3.(85页第２题） • 把n个元素的集合划分为两个类，共有多
少种不同的分法？ • 解：２个元素的有１种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2}},即2(2-1)-1 • 3个元素的有３种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2}}即2(３-1)-1
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• =(∀x)(¬x∈X∨<x,x>∈R1)∧ (∀x)(¬x∈X∨<x,x>∈R2)
• 证明：因为Ａ1⊆Ａ
•
Ａ2⊆Ａ
•
┄
4
•
• Ａn⊆Ａ
• 于是有Ａ1∩B⊆Ａ∩B
•
Ａ2 ∩B ⊆Ａ∩B
•
┄
•Hale Waihona Puke Ａn ∩B ⊆Ａ∩B• 并且Ａ1∩BＡ2∩B ┄ Ａn ∩B
• =(Ａ1 Ａ2 ┄ Ａn) ∩B
• = A∩B.
• 对任何(Ａi∩B) ∩(Ａj∩B)=(Ａi∩Ａj) ∩B=Φ∩B= Φ
8
• 都不与其它结点相关联的正五角星构成一 个等价类；
• •
• 都不与其它结点相关联的正六角星构成一 个等价类；
•
9
• 上述图例中，省略了各结点上的自环，用 一条无向边代替一对方向相反的有向边．
• 5.(85页第７题) • 设Ｒ是集合Ｘ中的关系，对于所有的xi,xj
和xk属于Ｘ，如果xiＲxj和xjＲxk就有xkＲxi • 则称Ｒ是循环关系，试证明当且仅当Ｒ是
2
• 证(3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)
• t(R1R2)=(R1R2) (R1R2)2 ┄ (R1R2)n • 而(R1R2)2= (R1R2)o (R1R2)
• =((R1R2)oR1) ((R1R2)oR2)
• •
=
R12R2oR1┅ R1oR2R22⊇R12
练习
• １、(79页第３题)
• R1,R2是集合Ｘ中的关系，试证明： • (1)r(R1R2)=r(R1) r(R2) • (2)s(R1R2)=s(R1) s(R2) • (3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)（书上是等号） • 证明(1)左边=r(R1R2)
•
=R1R2 Ix
一个等价关系，Ｒ才是自反的和循环的． • 证明：充分性设Ｒ是等价关系，来证明Ｒ
是循环的．(自反性是明显的)
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• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xiＲxk及xkＲxi(由Ｒ的可传递性和对称性得) • 即Ｒ是循环的．
• 必要性：设Ｒ是自反的和循环的来证Ｒ是 个等价关系．实际上只要证Ｒ是对称的和 可传递的即可．
• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xkＲxi及xiＲxi于是有xiＲxk即Ｒ是对称的和
可传递的．
• 综上问题得证．
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• 6.(86页第７题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，试证明：
当且仅当Ｃ1中的每一个等价类都包含于Ｃ 2中的某一个等价类中，才有R1⊆ R2 • 证明：设Ｒ1和R2造成的划分分别是 • Ｃ1={c11 ,c12,┅, c1n} • Ｃ2={c21 ,c22,┅, c2m} • 对任意的c1i∈Ｃ1(i=1,...,n),在Ｃ2中都存在 • 某一个c2j(j=1,2,...,m)并且c1i⊆c2j
有2(n-1)-1种
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• 4.(85页第６题) • 在等价关系图中，应如何识别等价类？ • 解：关系图中如果有孤立的结点，则它是
一个等价类；
• 都不与其它结点相关联的相互联结的两个 结点构成一个等价类；
• 都不与其它结点相关联的相互联结的三个 结点构成一个等价类；
• 都不与其它结点相关联对角线相关联的四 个结点构成一个等价类
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• 4个元素的有７种： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3 ,a4}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3 ,a4}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2, a4}} • Ｃ4＝{{a4}, {a1 ,a2 ,a3 }} • Ｃ5＝{{a1,a2}, {a3 ,a4}} • Ｃ6＝{{a1,a3}, {a2, a4}} • Ｃ7＝{{a1,a4}, {a2 ,a3 }} 即2(4-1)-1 • 一般具有n个元素的集合分成两堆的分法
• 右边= r(R1) r(R2)
• =R1 Ix R2 Ix
• =R1R2 Ix • (1)式得证。
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• 证(2)左边=s(R1R2) • =(R1R2) (R1 R2) 〜 • = R1R2 R1〜 R2〜 • = (R1 R1〜) (R2 R2〜) • =s(R1) s(R2) • (2)得证。
R22
• (R1R2)n ⊇R1n R2n • 于是有(R1R2) (R1R2)2 ┅ (R1R2)n ⊇
R1 R12┅ R1n R2 R22
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• R22┅ R2n • 即t(R1R2)⊇t(R1) t(R2) • (3)得证．
• ２、(85页第１题)
• 设｛Ａ1,Ａ2, ┄,Ａn｝是集合Ａ的划分，试 证明：｛Ａ1∩Ｂ，Ａ2∩Ｂ, ┄,Ａn ∩Ｂ｝是 集合Ａ ∩Ｂ的划分．
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• ７.(86页第９题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，并分别
有秩r1和r2，试证明：Ｒ1∩R2也是集合X中 的等价关系，它的秩至多是r1r2。而 • Ｒ1R2不一定是集合X中的等价关系． • 证明：首先证明Ｒ1∩R2是等价关系 • 1)(∀x)(x∈X→ <x,x>∈R1∩R2) • =(∀x)(¬x∈X∨(<x,x>∈R1∧<x,x>∈R2)) • =(∀x)((¬x∈X∨<x,x>∈R1)∧(¬x∈X∨ <x,x>∈R2))