【最新】一章非线振动初步
非线性振动第1章 等效
ε 2π ω 2 = ω02 − ∫ f (a cos ϕ , −ap0 sin ϕ ) cos ϕ dϕ πa 0
例1
mɺɺ + cx + kx + µx3 + γx5 = 0 x ɺ
1 ɺ (cx + kx + µx3 + γx5 ) = 0 m
ɺɺ + x
k ω = m
2 0
1 ɺ ɺ f ( x, x) = (cx + kx + µx3 + γx5 ) m
∫ε
0
[ 2 λ ( − a ω 0 sin ϕ ) + ω 2 a co s ϕ + ω 02 a co s ϕ − f ( a co s ϕ , − a ω 0 sin ϕ )] 2 d ϕ
2 2[2λ(−aω0 sin ϕ) + ω2a cosϕ − ω0 a cosϕ + ε f (a cosϕ, −aω0 sin ϕ)]
2π 2π
0
ψ 1 − sinψ = π 2 4 0
将解代入等价线性化方程
& & & x + λe x + ke x = F0 sin ωt
则得
F0 F0 = a= 2 3 2 ke − ω 2 ω0 + ε a − ω 2 4
幅频特性曲线
例3
用等价线性化法求如下非自治振动方程的定常解：
0
∫ caω0
0
1 − cos 2ϕ c dϕ = 2 2m
1 1 ω2 = [c(−aω0 sin ϕ) + ka cosϕ + µ(a cosϕ)3 + γ a(cosϕ)5 ]cosϕdϕ πa m ∫ 0 1 1 [ka cos2 ϕ + µa3 cos4 ϕ + γ a5 cos6 ϕ]dϕ = πa m ∫ 0 1 1 1 1 3 2 5 5 3 3 1 5 5 3 1 π = ⋅ 4 ⋅[ka ⋅ + µa ⋅ + γ a ⋅ ⋅ ] = (k + µa + γ a ) πa m 2 4 2 6 4 2 2 m 4 8
非线性振动第1章
近20多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题 可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性 振动问题的解法向前推进了一大步。
1 非线性振动的利用； 2 非线性振动的控制； 3 非线性振动的机理 。
目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究 还很不深入。例如，对于一些在复杂非线性因素影响下的强 非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复 杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些 重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解 的形成，混沌运动的产生等等。
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非线性振动第1章
10
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8. 复杂非线性振动系统的自激振动；
9. 带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；
10. 非线性系统的振动及其稳定性的控制；
11. 有关非线性振动的动态过程的机理及利用；
12. 与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；
13. 在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；
14. 板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；
非线性振动第1章
非线性振动——精选推荐
非线性振动非线性振动§0.1非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。
这类现象称为振荡。
例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。
振动是一种特殊的振荡，即平衡位置四周微小或有限的振荡。
如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。
从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。
有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。
尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和同一的数学表达形式。
因此有可能建立同一的理论来进行研究，即振动力学。
振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。
它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际题目提供理论依据。
根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。
线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。
不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。
线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够正确地反映振动的客观规律。
频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。
实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。
因此工程实际中的振动系统尽大多数都是非线性系统。
由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。
(振动理论课件)非线性振动概述
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学 中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的 科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动 力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性 和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散 结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨 落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往 会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观 察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月 食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹 教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种 信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了 这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的 桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈 频 繁 地 出 现 。 早 在 1940 年 美 国 塔 可 马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故 就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系 统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的 物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非 线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
非线性振动第1章 等效
1 2 2 1 2
2
2
0
1 2 ( x, x)dx 2
2
2 2 2 [2 x x x f ( x , x )] d 0 0
f (a cos , a
0
2
2 [2 ( a0 sin ) 2 a cos 0 a cos 2 sin )] d 0
3 5 0 2 a 2 a 4 4 8
则原方程的等价线性方程为：
骣2 3 5 2 ç & & & x + cx + ç0 + a + a 4 ÷ x = F0 sin t ÷ ÷ ç 桫 4 8
强迫振动的稳态解为：
x t a cos t
1 kx x 3 x 5 ) 0 (cx m
x
k m
2 0
1 ) (cx kx x 3 x 5 ) f ( x, x m
1 2a0 1
2
x 2 x x 0
2
0
f (a cos , a0 sin )sin d
根据线性振动理论振幅和相位角分别为：
a F0 2 3 5 2 2 4 2 0 a a c 4 8
2 1/ 2
arctan
c 02 a 2 a4 2
3 4 5 8
2 3 5 & & & x + 0 x + (cx + x + x ) = F0 sin t
等效线性化方程
& & & x + e x + ke x = F0 sin t
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
第一章 非线性振动初步
第一章 非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡1 小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。
其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。
我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。
因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。
理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。
图1-1 数学摆首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。
由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：(1-1-1)式中θ为摆角，g 为重力加速度。
将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：设 ，它是以单位时间的弧度为单位的角频率，则式(1-1-1)可写为：(1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。
用级数展开正弦函数：(1-1-3)如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即。
这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：ml d dtmg 22θθ=−sin 0sin 22=+θθl g dt d l g /0=ω0ω0sin 2022=+θωθdt d L +−+−=!7!5!3sin 753x x x x x x x ≈sin(1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：式中λ为常数。
代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程：(1-1-5)方程(1-1-5)的特征根为：由此得到方程(1-1-4)的通解为：(1-1-6)式中，为复常数。
由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数，必须满足条件：于是得条件：，。
将满足这样条件的系数，写成指数形式：， 其中P 为它们的模，为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式：(1-1-7)(1-1-7)式是一个振幅为P ，角频率为的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示。
(振动理论课件)非线性振动概述
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不 十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动 过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常 工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳 定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单 自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹 的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期 运动。
非线性振动1
通解为:
式中 x , x 2 0是初扰动,由此得:
1 2 n
严格的稳定性概念由 A .M 李雅普诺夫给出: 定义1 如果任取 0 ( H , 无论如何小),对于任意给定的初时 刻 t 0 0 ,存在 ( t , ) 0 ,( 由 t 0 和 确定),任取初扰动 x 0,只要满 足 x ,对于一切 t t 0 有 X ( t ) 那么系统(1)的平衡就是稳定的.
故单摆运动在其平衡位置是稳定的. 另外，根据，定理2，不是渐近稳定的 定理3 (巴尓巴欣---克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数 ,它由(1)构成 的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合 ,除原点外,不包含(1)的整 条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的. 例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的. 证明:扰动运动的微分方程是:
T 1 2
1 2 k 2 A 1 2
1
2
1 2
求得 a 1 1
1 2
k
2
0
,
A
1 4
(k )
2 2
根据定理1,只要 A
0 ,即 k
时,函数 V ( x1 , x 2 )是正定的.
n
对于扰动运动微分方程 x X ( x ) x R , (1) 以下假设函数V ( x ) 是单值连续的.V (0 ) 0 ,对x具有连续偏导数 (i=1,2…n)
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
（完整word版）工程非线性振动学习总结,推荐文档
（完整word版）⼯程⾮线性振动学习总结,推荐⽂档东北⼤学《⾮线性振动》学习总结第⼀章⾮线性振动的定性分析⽅法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受⼲扰的运动，简称为稳态运动，⽽受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。
李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接⽅法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。
（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。
（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。
定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤⽴极⼩值，则平衡状态稳定。
对于复杂的⾮线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据⼀次近似⽅程的稳定性，判断原⽅程的稳定性：（1）若⼀次⽅程的所有本征实部均为负，则原⽅程的零解渐进稳定（2）若⼀次近似⽅程⾄少有⼀本征实部为正，则原⽅程的零解不稳定（3）若⼀次近似⽅程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原⽅程的零解的稳定性1.2相平⾯、相轨迹和奇点与系统的运动状态⼀⼀对应的像平⾯上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。
像平⾯内能使⽅程右边分⼦分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平⾏线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满⾜⼏点的定义；（4）在势能取极⼩值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个⼩领域内都有E⼤于等于V（x）。
这种类型的奇点是稳定的，称为中⼼。
（5）在势能取极⼤值的点x= S2处，设E⼩于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。
第一章非线性振动初步
x ' (t ) A0e
t
cos( t )
2 0 2
2 2 2
A
F
e i
( 2 2 )2 4 2 2
1．线性单摆的受迫振动
小摆角驱动单摆的通解
A F e i
x " (t ) Ae
i t
x " (t )
F
e i e i( t )
代入、 以后特解为：
x " (t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t x(t ) x' x" A0e t cos( t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t tg1 2 ) 2 2
A
2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
2. 方程解(续)
F cos 0 2 1 F 1 A2 sin 0 16 A ( + ) F cos 0 2 F e sin 0 A( + )
A
A
e 1
1 2 A 16
等效自 振频率
考虑近共振：
2
e
A F cos 2 2 (e )A F sin
sin2 cos2 1
A= F [(e2 2 )2 + ()2 ]
共振 频率
将分母根号下对频率求导并令其等于零： df (v ) d [( 2 2 )2 42 2 ] 0 (2 2 ) 22 d d
r 2 2 2
共振频率r小于系统自振频率，
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坐标原点。原点是该区域的不
动点，是该区域吸引子。左右
两个区域也有相应的吸引子，
它们分别处在该图左( -22)和右
(+2202)2两1/2/侧2 。
19
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d d22 xtd d x txx3Fco ts
最后有：
Petcots ()
2021/2/2
17
1. 阻尼单摆 不动点
相轨线 吸引子
对阻尼单摆解 Petcots ()
微分
d P e t[co t s ) (sit n)(]
坐标从[ d ,]变t换到[u,v]
u Ae tco ts ()co fs v A e tsi n t () sifn
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角， f
代入单摆方程
d2
d2t
02s
in
0
得方程 dd2f2t 02sinf0
利用 sinxx得方程
d2f
dt2
2f
0
积分得双曲方程：1df2
12f2
E
2dt 2
当E＝0时有
df f
dt
这是在[ f0， ]f处的0双曲线的渐近线，
这点称为双曲奇点，也称鞍点。
积分得：
1dx211x4x2E
2dt 22
由系统能量 KVE得：
00
V11x4x2
22
讨论：由 dV /dx0知： 1. 当 0 时有一个平衡点：x0
2. 当 0 时有三个平衡点：x0 x
3. 平衡点 x 为两个能量最小点
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0
0
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2. 杜芬方程
相图
0
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0 22
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1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
相图
使
0 1
得：
d 2
dt2
0
一次积分后：
1d2
12
E
2 dt 2
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d看d作t,为两个变量，则方程是 一个圆周方程，圆的半径为 ，振E 动过程是一个代表点沿圆周转动。
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1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
2. 杜芬方程
相图
从杜芬方程势能曲线，画出( x）,x平面上的相轨线。
1. 对于 ，0坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 ,0坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 x处是椭圆点，附
近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。
3. 对于 0,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另两
忽略方程 (022)Acost
eA1A21si nt+1eA3si3nt
4
4
中的三次谐波项。因为：
dxAsint
dt
就有：
e(x2-1d ) xe1A21dx
dt 4 dt
就可将范德玻耳方程化为线性化方程：
dd2x2t 02xe(x21)d dxt
d d2x 2te(1 4A21)d d x t0 2x0
相图
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相
空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻
状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运
动轨迹称为轨线。
能量方程
1d2
12
E
2 dt 2
KVE
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。
当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
须满足条件：C 1 * e i 0 t C 2 * e i 0 t C 1 e i 0 t C 2 e i 0 t
将 C1,C2 写成指数形式后得：
( t ) ( P /2 )e i ( ( 0 t ) e i ( 0 t ) ) P co 0 t ) s(
该式是振幅为P，角频率为 的0 简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率 只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
设t = 0时， 0，周期为 T，在 t时T应/4有 ，故 有0：
0 T/40 02si2n 0/2 d si2n /21/2
最后得：
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TT 0 1 1 2 2si2 n 2 0 1 24 3 2si4 n 2 0
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2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿 点。
0
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0
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2. 杜芬方程
阻尼方程相图
• 有阻尼： 0
dd22 xtd dxtxx30
1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。
3. ，0原点是鞍点，坐标( x)处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
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2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d2
dt2
02s
in0
乘以 d/dt 后积分
d2
dt
E202cos
其中 E202co0 s
积分 d d t0[2(coc so 0)s1/2
0t
d [2(cosco 0)s1]/2
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
由牛顿第二定律：
mldd22tFmsgin
d2
dt2
gsin
l
0
d2
d2t
02s
in
0
非线性方程
式中角频率：
0 g/l
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1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
线性化处理
d2
d2t
02sin
0
sin xxx3x5x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
0 221/2 0 21 4e2 1 4A21 2 1/2
与振幅相关，由此得：
1.当 A ，Ac (系A)统0作衰减振动，振动频率 ； 0 2.当 A <，Ac (系A)统0作增幅振动，振动频率 ； 0 3.当 A=Ac 时2，系统作等幅振动，振动频率 ； 0 4.整体上只要初振幅不等于零，振动总是趋向于稳定幅值。
单摆完整相图 1.坐标原点[ 0， ]附近0相轨线为近似椭圆形的闭合轨道；
2.平衡点[ ]为 单0摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ ]到 [ 0 ]或相反的0连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外
单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
dt
d2x dt2
A2cost
一起代入方程得： (022)Acost
eA1A21si nt+1eA3si3nt
4 Βιβλιοθήκη 4令方程两边同次谐波项系数相等得：
(0 22)A0 0
eA 1 4A21 0 AA c2
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3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
范德玻耳方程解法
• 谐波线性化方法（续）
式中 Aet ft 消去时间 t t(f)/ AP
Cef/
• 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺 旋线簇。在[ , ]平面内也与此类似。
• 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向 坐2标021原/2/2点，原点为“吸引子”，它把相空间的点吸引过来 ，原点又称18 不动
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
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3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
dd22t 2ddt020
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
d d2x 2te(x21)d dx t0 2x0 0 1/ LC 阻尼项系数是 e(x2 1) 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。
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3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
范德玻耳方程相图
方程解 x(t)Ae的t结c论o是ts振动趋于一个定常振幅的周期振
荡。在相平面上是一条闭合轨线，称为极限环。极限环是另一 类吸引子，它将环内与环外的相点吸引到环上。
当 A <时Ac，系统作增幅振动，初 始相点从内向外趋近于极限环；
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
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2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期
周期与摆角无关？
T 0 2 / 0 2 lg ? T
看看实验结果：
0
5 1 0 2 0 3 0 4 5
T /T 0 1 .0 0 0 0 1 .0 0 0 5 1 .0 0 1 9 1 .0 0 7 7 1 .0 1 7 4 1 .0 3 6 9
dd22t 2ddt020