数学-2019月联考真题

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2019届高三数学联考试题(含解析)人教版

2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

2019高三联考理科数学试题(含答案)

是的等差中项.设是整数，若
存在 N ，使得等式
U
o
S 成立，则的最大值是________.
14.某同学手中有 4 张不同的“感动中国十大人物”照片，现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_________．
15.设集合 M 1, 2, 3, 4, 5, 6, S1, S 2, S3,，S k 都是 M 的含有两个元素的子集，且满足：
A． ,
2 2

B． ( 2, 0)
C． (0, 2)
D．
2 2
,

9.如图， h
h 是棱长为的正方体， h 是棱长为的正四面体，底面
h ,h 在同一个平面内， h䂖䂖h ，则正方体中过且与平面 h 平行的截面面积
是
A． t
B．
C．
D． t
上存在点 M (x0 , y0 )
，使得：①
x0

x1
x2 2
；②曲线 C
在点 M
处
的切线平行于直线 AB ，则称函数 F (x) 存在“中值相依切线”．试问：函数 f (x) 是否存
在“中值相依切线”，请说明理由．
19.（本小题满分 12 分）
数学联考试题第 4页共 6 页
如图，平面 ABCD⊥平面 ABE，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=1，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE．
D
评卷说明：对于本大题，评分时只有满分档和零分档两档，评分误差为零分，与答案不同不得分。
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案直接填写在答题卡的相应位置上。

山东中学数学联盟高中名校2019级高三12月大联考数学试题及答案

山东中学数学联盟高中名校2019级高三12月大联考数学试
题及答案
山东中学数学联盟高中名校2019级高三12月大联考数学试题，整体难度中等偏上，题目典型，考查全面。

单选题较为容易，其中7、8稍有难度，第7题体现了对焦点三角形的研究，结合定义求离心率。

第8题侧重考查了奇函数的性质、函数的单调性等。

多选题第12题是立体几何中的动态问题，求解关键是得到点A1的轨迹。

填空题比较基本。

解答题感觉第19和22有些难度。

不过第22题可用对数均值不等式来证明，思路比较清晰。

参考答案：。

全国名校2019年高三11月大联考-文科数学(全解全析)

全国名校2019年高三11月大联考文科数学·全解全析1．A 【解析】由题可得{|ln 1}{|0e}A x x x x =<=<<，若{|0}A B x x =>，则0e a <≤，即a 的取值范围为{|0e}a a <≤，故选A ． 2．B 【解析】AC AB AD =+，AD ACAB ∴=-，1m ∴=，1n=-，0m n ∴+=，故选B ．3．A 【解析】由11||22x-<得01x <<，由1222x <<得11x -<<，所以“11||22x -<”是“1222x <<”的充分不必要条件，故选A ．4．B 【解析】由an 2()t θπ-=得tan 2θ=-，则s i n 2c o s θθ=-，所以sin θcos θ=或sin θ=cos θ，所以3sin sin()2sin (cos )52θθθθπ+=-=，故选B ． 5．B 【解析】因为等差数列{}n a 的前5项的和为10，所以155()102a a ⨯+=，所以154a a +=，所以32a =，又3a ，6a ，9a 成等差数列，64a =，所以96326a a a =-=，故选B ．6．C 【解析】若函数()f x 为偶函数，则1a =，故2()2g x x x =+，()22g'x x =+，因为(0)0g =，(0)2g'=，所以曲线()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程为2y x =，故选C ．7．A 【解析】因为()()sin()cos()sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ；因为()cos f x x x '=，所以()f x 在(0,)2π上是增函数，在(,)2ππ上是减函数，所以()f x 有极大值()sin cos (1,2)22222f πππππ=+=∈，排除B 、C ，故选A ．8．C 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，因为22a ，33a ，44a 成等差数列，所以324624a a a =+，即21162a q a q =+ 314a q ，解得1q =或12，当1q =时，6131623S a S a ==；当12q =时，616633311[1()]21111()922118[1()]1()22112a S S a ---===---，故选C ．9．A 【解析】将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再向右平移3π个单位长度，得到函数2sin(2)3y x π=-的图象，令223x k π-=π，k ∈Z ，则123x k π=π+，k ∈Z ，当1k =-时，6x π=-，所以函数sin()y x ωϕ=+的图象上距离原点最近的对称中心的坐标为(,0)6π-，故选A ．10．D 【解析】由(2)()-⊥+a b a b ，得(2)()0-⋅+=a b a b ，得22||2||0-⋅-=a a b b ，又|||=a b ，⋅=a b2||||cos |cos θθ⋅a b b ，所以2223||||c o s 2||0θ-=b b b，cos θ，又0θ≤≤π，所以s i n θ=，tan θ=D ． 11．D 【解析】2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，当1a =时，易知()f x 在R 上单调递增，恰有一个零点，故1a ≠，所以()f x 有两个极值点1x =，x a =，结合三次函数的图象及题设可知，(1)0f =或()0f a =，解得0a =或13或3，故选D ．12．B 【解析】设3232123123121323()()()[()()ax bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x +++=---=-+++++-123]x x x ，由123()a x x x b -++=得123bx x x a++=-，①正确；由121323()a x x x x x x c ++=得122313cx x x x x x a++=，②正确；由123ax x x d -=得123d x x x a=-，122313123123111x x x x x x c x x x x x x d ++++==-，④正确，③不正确．故选B ． 13【解析】由正弦定理sin sin b c B C =得sin sin c C B b ==，因为2b ，所以b c >，C为锐角，所以cos C =． 14．2【解析】()f x a x =+有零点即方程x a -有解，令1y x a =-，2y =当直线1y x a =-经过A 点时，直线的纵截距最小，此时a 取得最大值为2． 15．12610 【解析】当工资、薪金为8000元时，缴纳税款30003%90⨯=（元）；当工资、薪金为17000元时，缴纳税款30003%900010%990⨯+⨯=（元），所以他的工资、薪金在8000~17000元之间，设他的工资、薪金为x 元，则30003%(10000)10%390x ⨯+-⨯=，解得13000x =，税后所得为1300039012610-=（元）． 16【解析】由题可得2222cos (sin 1)sin cos sin sin 2sin sin 1y'x x x x x x x x =-+=--=--+=(2sin 1)(sin 1)x x -++，令0y'=，则1sin 2x =或sin 1x =-，因为函数(sin 1)cos y x x =+的定义域为R ，所以该函数的最大值应在极大值处取到，当1sin 2x =，cos x (sin 1)cos y x x =+． 17．（本小题满分10分）【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k x k π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ．故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（5分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)14x π≤-≤，所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）由32312S a ==，得24a =，由1a ，2a ，6a 成等比数列，得216216a a a ==，（3分）即44(6)(1)4d d -+=，整理得230d d -=，又因为公差d 不为0，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-．（6分）（2）111111()(32)(31)33231n n n a a n n b n n +==--+-+=，（9分）所以2012320T b b b b =++++11111111[(1)()()()]34477105861⨯-+-+-++-= 11(1)361=⨯- 2061=．（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由tan 3tan A B =-，得sin sin 3cos cos A BA B=-⨯，即sin cos 3sin cos 0A B B A +=，即3(sin cos sin cos )2sin cos A B B A A B +=，所以3sin()2sin cos A B A B +=，（3分）又A B C ++=π，所以sin()sin A B C +=，所以3sin 2sin cos C A B =，根据正弦定理，得32cos c a B =，又4c =，所以cos 6a B =．（6分）（2）根据正弦定理及sin sin 1)sin A B C +=，4c =，得1)a b +=，（8分）根据余弦定理及cos 6a B =，得221668a b a a+-⨯=，即2232a b -=，解得a =，4b =，所以cos C =，又0C <<π，所以6C π=．（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）当1n =时，1143(1)a a =+，解得13a =；当2n ≥时，1143(1)n n a S n --=+-，根据43()n n a S n =+，得11443(1)n n n n a a S S ---=-+，又1n n n a S S -=-，所以1443(1)n n n a a a --=+，（4分）所以143n n a a -=+，所以114(1)n n a a -+=+，所以1141n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是以4为首项，4为公比的等比数列．（6分）（2）根据（1）得1144n n a -+=⨯，即14n n a +=，（8分）所以22log (1)log 42n n n b a n =+==，224n b n =，（9分）当1n =时，214b =，2111142b =<；当2n ≥时，2244(1)nb n n n =>-，211111()4(1)41n b n n n n <=--- 222212311*********11(1)44223341n b b b b n n++++<+-+-+-++-- 111111(1)44242n n =+-=-<，综上，2222123111112n b b b b ++++<．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）()e [(1)]e (1)e [(1)21]x x x f x a x a a a x a '=-++-=-+-，当1a =时，()e 1x f x =-，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；（2分）当1a >时，令()0f x '>，得121a x a ->-；令()0f x '<，得121ax a -<-，所以()f x 在12(,)1a a -+∞-上单调递增，在12(,)1aa --∞-上单调递减；（4分）当1a <时，令()0f x '>，得121a x a -<-；令()0f x '<，得121ax a ->-，所以()f x 在12(,)1a a --∞-上单调递增，在12(,)1aa -+∞-上单调递减．（6分）（2）当1a =时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，由（1）知()f x 在12(,)1a a -+∞-上单调递增，且1201aa -<-，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x >时，()(0)0f x f >=，与()0f x ≤矛盾，不符合题意；（8分）当12a ≤时，由（1）知()f x 在12(,)1a a -+∞-上单调递减，且1201aa -≤-，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，对任意的0x ≥，有()(0)0f x f ≤=，符合题意；（10分）当112a <<时，由（1）知()f x 在12(,)1a a --∞-上单调递增，且1201a a ->-，所以()f x 在12(0,)1aa --上单调递增，当1201ax a -<<-时，()(0)0f x f >=，与()0f x ≤矛盾，不符合题意．因此实数a 的取值范围是1(,]2-∞．（12分）22．（本小题满分12分）【解析】（1）当e a =时，()eln f x x x =-，则e()1f x x'=-，(1)1f =-，(1)e 1f '=-，（2分）所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1(e 1)(1)y x +=--，即(e 1)e 0x y ---=．（4分）（2）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x-'=-=，当0x a <<时()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x a >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得最大值为()ln (ln 1)f a a a a a a =-=-，（6分）当0e a <<时，()0f a <，()0f x <恒成立，函数()f x 无零点；（7分）当e a =时，()0f a =，函数()f x 有唯一零点；（8分）当e a >时，()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=->，因为(1)10f =-<，所以函数()f x 在(0,)a 上有一个零点，（10分）易得222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，令()2ln (e)h x x x x =->，则2()0xh'x x-=<，所以函数()h x 在(e,)+∞上单调递减，则()2lne e 2e <0h x <-=-，所以2()0f a <，所以函数()f x 在(,)a +∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点．（11分）综上，当0e a <<时，函数()f x 无零点；当e a =时，函数()f x 有唯一零点；当e a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）。

2019年3月2019届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(全解全析)

数学第 1 页（共 11 页）21 21 2 3 31．【答案】{0，1}【解析】因为 A = {x | 2x + 1 > 0} = {x | x > - 1}， B ={x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 1} ={-2, -1,0,1} ，所以 A B = {0，1}．2 2．【答案】12 + 5i【解析】因为 z = (5 - 4i) ⋅1 + i= (5 - 4i)i = 4+5i ，所以 z = 4 - 5i ，所以2z + z = 2(4 + 5i) + (4 - 5i) =12 + 5i ．1 - i4. 【答案】3 3 4π【解析】依题意，圆的面积为 S = πr 2，由对称性知黑色部分的面积为 S= 3S 正△OAB= 3 3 r 2 ，故此点取4自黑色部分的概率是 P = S 1 = 3 3．5. 【答案】–4 或 9S 4π【解析】依题意，当 x ≤ 3 时，由 x 2 - 6 = 10 ，解得 x = -4 或 x = 4（舍去）；当 x > 3 时，由log x + 8 = 10 ，解得 x = 9 ．综上可得 x = -4 或 9． 6．【答案】4【解析】由茎叶图知，学生甲五次化学测试考出的分数分别为 77，79，80，81，83，则其平均分x =77 + 79 + 80 + 81 + 83= 80 ，故方差 s 2 = 1⨯ (32 + 12 + 02 + 12 + 32 ) = 4 ．557．【答案】 72【解析】依题意，知双曲线的渐近线方程为bx ± ay = 0 ．由对称性得左焦点 F 到一条渐近线bx - ay = 0 的距离为= bc = b = 3 ，又a +b = 3 + 2 c，所以 a = 2 ，则c == ，故双曲线的离心率e = c = = 7．a 23 3 1数学第 2 页（共 11 页）8．【答案】[-1,8]【解析】要使函数 y =有意义，需满足 2 + x - x 2 ≥ 0 ，解得-1 ≤ x ≤ 2 ，即 A = [-1, 2]．函数y = 4x - 2x +1 = 22x - 2 ⋅ 2x = (2x -1)2 -1，且 x ∈[2],-1 ，则 1≤ 2x ≤ 4 ，易知当2x =1 时，得 y= -1，当2x = 42时，得 y max = 8 ，从而得-1 ≤ y ≤ 8 ．故所求函数的值域是[-1,8] ．学！科网min10. 【答案】3 32【解析】由 m ⊥ n ，得 m ⋅ n =a ( a + c ) a 2 + c 2 - b 21 +( c + b ) ( c - b ) 2π ，即 a2 + c 2 - b 2 = -a ．由余弦定理得 cos B == - ，因为 B ∈(0, π) ，所以 B = ．又b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = a 2 + c 2 + ac = 18 ≥2ac 23 2ac + ac = 3ac ，当且仅当 a = c 时等号成立，所以 ac ≤ 6 ，则 S = 1 ac sin B = 3 ac ≤ 3 3 ，即(S △ABC )m a x=3 3 ．2△ABC2 4 2 11. 【答案】1【解析】依题意知 f (x ) 的图象关于 y 轴对称，且有 f (3) = f (-3) = 0 ．因为偶函数 f (x ) 在[0, +∞) 上是单调递增的，所以由 f (| 2a - 5 |) = f (2a - 5) ≤ 0 = f (3) ，得| 2a - 5 |≤ 3 ，即-3 ≤ 2a - 5 ≤ 3 ，解得1 ≤ a ≤ 4 ，所以a 的最小值为 1．数学第 3 页（共 11 页）=- = - 1 113．【答案】{k |1 < k < 2 或 2 < k < 3} （填(1, 2) (2,3) 也给满分）【解析】由题意， x ≠ 0 ，令 f (x ) = 0 ，得 2k - 4 = x 3 - 3x (x ≠ ．设 g ( x )= x 3- 3 x ( x ≠ ，则g '( x )= 3 (x 2 - ，易得 g (x ) 在(-∞, -1) 和(1，+ ∞) 上单调递增，在(-1, 0) 和(0,1) 上单调递减．因为函数y = f (x ) 有3 个零点，所以函数 y = g (x ) 的图象和直线 y = 2k - 4 有3 个交点，而 g (-1) = 2 ， g (1) = -2 ，注意 x ≠ 0 ，即 x 轴与 y = g (x ) 的图象只有 2 个交点．画出函数 y = g (x ) 的大致图象和直线 y = 2k - 4 如图，依题意得-2 < 2k - 4 < 0 或0 < 2k - 4 < 2 ，即1 < k < 2 或2 < k < 3 ．故实数k 取值的集合是{k |1 < k < 2 或 2 < k < 3} ．14．【答案】3sin(11x - π)6【解析】由题意， A = 3 ．因为 f (x ) 的周期T =2π，且 f (x ) 在区间(2π , 5π) 上单调，则由ω > 0 及 ω33 33π = T ≥ 5π - 2π = π ，可得0 < ω ≤ 11 ①；又因为点(- π , 0) 是函数 y = f (x ) 图象的对称中心，直线 x = π ω 2 33 33 11 6 3是函数 y = f (x ) 图象的对称轴，所以 π - (- π) = π = T + k ⋅ T = 2k +1 ⋅ 2π，即ω = 2k + 1（ k ∈ N ）②．由3 6 24 2 4 ω①②得ω 是小于或等于 11 的正奇数，所以ω 的最大值为 11．当ω = 11时，将 x π代入11x + ϕ = k'π ，6解得 ϕ = k'π + 11π (k' ∈ Z ) 6 ，又 | ϕ |≤ π 2 ，取 k' = -2 可得 ϕ π6 ，故实数 ω 取最大值时，f ( x )= 3 s i n (x - π ． 615．（本小题满分 14 分）【解析】（1）在底面四边形 ABCD 中，由∠BAD = ∠ABC = 90︒ ，可得 BC AF ；数学第 4 页（共 11 页）又 AD = 2BC ， F 为 AD 的中点，所以 BC = AF ，从而四边形 ABCF 为平行四边形，所以 FCAB ，而 AB ⊂ 平面 PAB ， CF ⊄ 平面 PAB ，所以CF 平面 PAB ．（5 分）由题意，知 EF 是△ADP 的中位线，得 EFPA ，同理可证 EF 平面PAB ．又CF 与 EF 是平面 EFC 内两相交直线，所以平面 EFC 平面 PAB ；因为 EC ⊂ 平面 EFC ，所以 EC 平面 PAB ．（8 分）（2）由（1）知 FC AB ，因为∠BAD = 90︒ ，所以 AB ⊥ AD ，（10 分）又 AB ⊥ PD ，且 AD , PD 是平面 PAD 内两相交直线，所以 AB ⊥ 平面 PAD ，从而 FC ⊥ 平面 PAD ，又 FC ⊂ 平面 EFC ，故平面 EFC ⊥ 平面 PAD ．（14 分） 16．（本小题满分 14 分）（2）由（1）及正弦定理c sin C= b sin B，解得b = c sin B = sin C 13 ⨯ 513 = 5 2 ．（10 分） 22当cos A =- 7 2 时，得sin A = = 17 2 ，则 S = 1 bc sin A = 85；26 26△ABC 2 2当cos A = 17 2 时，得sin A = = 7 2 ，则 S = 1 bc sin A = 35．26 26△ABC 2 2综上， △ABC 的面积为 85或35．（14 分）2 217．（本小题满分 14 分）数学第 5 页（共 11 页）3 x 【解析】（1）依题意，每个长方体水箱的底面宽是 x ，则长是2x ，设其高为h ，所以其表面积为2(2x 2 + xh + 2xh ) = 432 ，解得h = 72 - 2x ， x 3所以V (x ) = x ⋅ 2x ⋅ (72 - 2 x ) = 144x - 4x 3 ，（3 分） x 3 3⎧x > 0⎪72 2由⎨ - x > 0 ，解得0 < x < 6 ， ⎪ 3 ⎪⎩2x > 0 所以函数V (x ) 的定义域为(0, 6 3) ．（7 分）18．（本小题满分 16 分）【解析】（1）因为a + 3a + 5a + + (2n - 3)a + (2n -1)a = (n -1)3n +1 + 2 ①，123n -1n所以a + 3a + 5a + + (2n - 3)a = (n - 2)3n + 2 (n ≥ 2) ②，123n -1①②两式相减，得(2n -1)a n =[(3n - 3) - (n - 2)]3n = (2n -1)3n (n ≥ 2) ，（5 分）所以a n = 3 (n ≥ 2) ③．（6 分） n由①式，当 n = 1 时，得a 1 = 2 ，检验③式，对 n = 1不成立． ⎧2(n = 1) 故数列{a n } 的通项公式为a n = ⎨ n．（8 分）⎩3 (n ≥ 2)（2）由（1）知， S 1 = 2 ，所以 S 1 > 2019 不成立，（9 分）当 n ≥ 2 时，2 3n3⨯ (1- 3n ) 3n +1 - 5S n = a 1 + a 2 + a 3 + = -1+ 3 + 3 + 3 ++ 3 = -1+= ，+ a n数学第 6 页（共 11 页）由 S n > 2019 ，即 3n +1 - 52> 2019 ，可得3n +1 > 4043．（12 分）令 f (n ) = 3n +1 ，易知 f (n ) 是关于 n 的递增函数，又因为2187 = 37 = f (6) < 4043 < f (7) = 38 = 6561 ．（14 分）因此要使3n +1 > 4043成立，只需n ≥ 7 ，故使 S n > 2019 成立的正整数n 的最小值为 7．（16 分） 19．（本小题满分 16 分）（2）由（1）知 F 1 (-3, 0) ，则k AC = k EF = 1 ，所以直线 AC 的方程为 y = x + 3 ，代入椭圆 M 的方程，整理得 x 2 + 4x = 0 ，解得 x = 0 或 x = -4 ，可得 A （0，3），C （–4，–1），则| AC |= 4又因为 BD ⊥ AC ，则k BD = -1，．（10 分）设直线 BD 方程为 y = -x + m ，代入椭圆 M 的方程，整理得3x 2 - 4mx + 2m 2 -18 = 0 ．2 1数学第 7 页（共 11 页）66∆ =16m 2 -12⨯(2m 2 -18) = 8⨯(-m 2 + 27) ，4m 2m 2-18设 B (x 3 , y 3 ), D (x 4 , y 4 ) ，则 x 3 + x 4 = 3 ， x 3 ⋅ x 4 = 3．（13 分）将 A (0,3),C (-4, -1) 的坐标分别代入 y = -x + m 中，对应得m = 3, -5，由弦 BD 与弦 AC 相交，知-5 < m < 3 ，此时∆ = 8⨯(27 - m 2 ) > 0 恒成立．由弦长公式得| BD |= 则四边形 ABCD 的面积 S = 1 | BD | ⋅ | AC | 8 （当且仅当 m = 0 时取等号）．2所以四边形 ABCD 的面积的最大值为8 ，此时直线 BD 方程为 y = -x ．（16 分）20．（本小题满分 16 分）（2）先考虑 x > 1时的情况，' 4(x -1)2 + 2a4当 a < 0 时，则 f (x ) ==x -1 x -1 (x -x -1 -；（6 分）易知当1 < x < 1 时， f '(x ) < 0 ；当 x > 1 + f '(x ) > 0 ；所以函数 f (x ) 在(1,1 上单调递减，在[1 ++∞) 上单调递增．（8 分）又因为函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 1 对称，所以 f (x ) 在(-∞,1 -和(1,1 +上单调递减，在[1 和[1 ++∞) 上单调递增．所以函数 f (x ) 无极大值点，有 2 个极小值点，分别为1 - 1 +9 分）（3）仍然先考虑 x > 1时的情况，①当a ≥ 0 时，由（1）知函数 f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增，数学第 8 页（共 11 页）0 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 又 f (2) = 0 ，所以函数 f (x ) 在(1, +∞) 上有一个零点，是 x = 2 ；（10 分）②当a < 0 时，由（2）知函数 f (x ) 在(1,1 上单调递减，在[1 ++∞) 上单调递增．所以函数 f (x ) 在(1, +∞) 上的最小值 f (x )min = f (1 += -a - 2 + 2a令 g (a ) = -a - 2 + 2a lna < 0) ，则 g '(a ) = -1 + 2 ln21 -a - 1( ) 2 (-1) = 2 ln 12 分） 2 2 2 由 g '(a ) > 0 ，解得a < -2 ；由 g '(a ) < 0 ，解得-2 < a < 0 ，所以 g (a ) 在(-∞, -2] 上递增，在[-2, 0) 上递减，所以 g (a )max = g (-2) = 0 ，数学Ⅱ（附加题）·全解全析21．A ．[选修 4—2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡1 1 ⎤【解析】（1）设矩阵 A = ⎡1 -1⎤ ，易得 A 可逆，且 A -1= ⎢2 ⎥ ，（3 分） ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦⎢0 ⎣ ⎥ 1 ⎥ 2 ⎥⎦ ⎡1 故 B = ⎡ 0 2⎤ A -1 = ⎡ 0 2⎤ ⎢1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤2 ⎥ = ⎢ ⎥ ．（5 分）⎢-1 0⎥ ⎢-1 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢-1 - 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢0 ⎥ ⎣ 2 ⎦（2）设 D (x 0 , y 0 ) 为直线l 1 上任意一点，它在矩阵 B 对应的变换作用下变为 P (x , y ) ，即点 P 在直线l 2 上，且2x 0 - y 0 + 1 = 0 ①．2 ⎦数学第 9 页（共 11 页）2 53⎨ ⎡ 0 1 ⎤⎡ x ⎤⎡ x ⎤⎧ y 0 = x 又⎢ ⎥ 0 = ，则⎪ ，（8 分） ⎢-1- 1 ⎥ ⎢ y ⎥⎢ y ⎥⎨-x - 1y = y ⎣ 2 ⎦⎣ 0 ⎦⎣ ⎦ ⎩⎪ 0 2 0 ⎧x = - 1 x - y 所以⎪ 02 ，代入①，整理得2x + 2y -1 = 0 ．⎪ y = x ⎩ 0故直线l 2 的方程为2x + 2y -1 = 0 ．（10 分）C ．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）【解析】由柯西不等式，得(x 2 + 4 y 2 + z 2 )[22 + (- 12 + 32 ] ≥ [2x + 2 y ⋅ (- 1) + 3z ]2 = (2x - y + 3z )2 ，（3 分）2 2因为 x 2 + 4y 2 + z 2 =16 ，所以16 ⨯ (4 + 1+ 9) ≥ (2x - y + 3z )2 ，4整理得(2x - y + 3z )2 ≤ 212 ，当且仅当 x = 2 y = z，即 x = -8y ， z = -12 y ， y =± 时取等号，（7 分）2 - 13 2于是-2 ≤ 2x - y + 3z ≤ 2 53 （当 y = 2 , - 2时左、右不等式分别取等号）．53 53故得2x - y + 3z 的取值范围是[-2 53, 2 53] ．（10 分）22．（本小题满分 10 分）【解析】（1）如图，分别以 AB 、AD 、AA 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ．依题意知， O (1,1, 4) ， B (2, 0, 0) ， C (2, 2, 0) ，53数学第 10 页（共 11 页）10 设 AE = t (0 ≤ t ≤ 4) ，则 E (0, 0,t ) ，于是CO = (-1, -1, 4) ， BE = (-2,0,t ) ．（3 分）因为sin θ = 1，且θ ∈(0, π] ，所以cos θ =2 2， 3所以| cos < 23=2 2 ，3解得t =15∈[0, 4] ，即 AE = 15．（5 分） 4 423．（本小题满分 10 分）【解析】（1）依题意，10 头成年牛中恰有3 头感染 H 型疾病的概率是f ( p ) = C 3 p 3 (1- p )7，且0 < p < 1 ．CO , BE >|= | 2 + 4t |3 2 ⋅则有 f '( p) = C3 [3p2 (1-p)7 - 7 p3 (1-p)6 ] = C3 p2 (1-p)6 (3 -10 p) ，10 10令 f '( p) = 0 ，结合0 <p < 1 ，解得p = 0.3 ．（3 分）则当p ∈(0, 0.3) 时，f '( p) > 0 ；当p ∈(0.3,1) 时，f '( p) <0 ．即函数f ( p) 在(0, 0.3) 上单调递增，在(0.3,1) 上单调递减，故当概率p = 0.3 时，f ( p) 有最大值．（5 分）数学第11 页（共11 页）。

象山县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

象山县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．982．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（）A ．B ．C ．2 D ．44．已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （）A ．211B ．227C ． 32259D ．324355．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．6． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （）1111] A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化8．若变量x ，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（）A ．﹣2＜t＜﹣ B ．﹣2＜t ≤﹣ C ．﹣2≤t ≤﹣ D ．﹣2≤t＜﹣9．已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（） A ．15- B ．15C ．-5D ．510．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）A ．24B ．80C ．64D ．240 11．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（）个A.个B.个C.个D.个12．若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（）A ．10B ．11 C.12 D ．13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为．14．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为（结果用数值表示）． 15．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．16．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅱ卷)数学(理)学试题(解析版)

2019届2019年5月高三第三次全国大联考 (新课标H卷)数学(理)学试题一、单选题1.已知集合A 二｛x | x - 2 _ 0｝, B 二｛x| log 2 x ：： 2｝，则A - B 二A. (0,2]B.(」：,2]C. (0,2)D.(」：,4)【答案】A【解析】解一元一次不等式以及对数不等式得到集合A和B，结合交集的定义计算即可•【详解】由题可得集合A=(-：：,2] , B=(0,4)，所以A B=(0,2]，故选A .【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题.2.已知i为虚数单位，若复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则复数z(1 - 3i)的虚部为A. 7B. -7iC. -1D. -7【答案】D【解析】根据复数的几何意义得到Z = 2 - i，计算出Z(1 - 3i)结合虚部的概念即可得结果.【详解】由题可得复数z =2 -i，所以z(1 _3i) =(2 _i)(1 _3i) = “ _7i ,所以复数z(1 -3i)的虚部为-7，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数乘法的运算以及复数的分类，属于基础题.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A •圭B .主C . 5-D .三123 3【答案】B1【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为 2，高为• 5的圆锥的一，由椎体体积公+ 4式即可得结果• 【详解】1由三视图可知该几何体是底面半径为 2，高为、5的圆锥的，4【点睛】的数据是解题的关键，属于中档题【答案】C最后利用两角差的正弦公式即可得结果【详解】因为 sin( )5，所以 sin 二 11 cos ： =—10 ,45 5【点睛】故该几何体的体积V =1124 3、、5 二—，故选 B .3本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量JI4 .已知：:：：■，若 sin( )44n ，则 sin(2)=4A .一三10B . 一 -I10C .丄10D .耳10【解析】将sin （「?=¥展开，两边同时平方可得sin 2-，根据〉的范围cos2〉，、 2两边同时平方可得1 2sin -：：cos ，所以sin2-：：53 ■: JI因为二23-… 盲，所以一 2「石，所以W3 54 5所以sin 2「4拧（sin 2： ®?）凉，故选C .sin2_：的本题主首先得到是解题的关键，属于中档题x y 仁05•已知x , y 满足约束条件 x - y • 1乞0 ，若使z 二ax- y 取得最小值的最优解x-2y 4 _ 0有无穷多个，则实数 a =1A • -1B .C • 1D • 22【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域， z =ax -y 可化为y =ax -z ，由z =a y 取得最小值的最优解有无穷多个可得 y 二ax - z 的斜率与直线 AB 的斜率相等，即可得 a 的值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,z 二ax-y 可化为y=ax-z ，要使z 二ax - y 取得最小值，只需直线y=ax-z 在y 轴上的截距最大，又 z 二ax - y 取得最小值的最优解有无穷多个，所以直线y 二ax - z 的1 1 斜率与直线 AB 的斜率相等，因为直线 AB 的斜率为一，所以a ，故选B . 22【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用 z 的几何意义是解决本题的关键，属于中档题•6•在边长为2的正方形OABC 中，点D 为线段BC 的中点，点 M 在线段0D 上，则MA MB 的最大值为【答案】C 【解析】设线段AB 的中点为N ，连接MN ，根据1 2 2 1 2MA MB [(MA MB) -(MA-MB)][(2 MN ) 44【详解】设线段AB 的中点为N , 连接MN ，贝U•BA]=MN -1即可得结A •B .MA MB =MB ）2 _（MA _MB ）2] = 一（2 M N ）2 - BA 2^ M N 2 _1，易得44所以 MA MB 的最大值为4，故选c .【点睛】得到MA M B‘ = MN "2 _1是解题的关键，属于中档题•【解析】模拟程序的运行过程，寻找其规律第2018 12018次循环：N, T 二20192019i =2019，此时i ：：：2019不成立，结束循环，可得结果【详解】初始值： 1 1―1, □，第1 次循环：, T s , ‘2;础题•2（MN ）max =0N = 5，7 •执行如图所示的程序框图，则输出的T 的值为1A. —2020【答案】BB .1 20192018C .20192019 D .2020本题主第2次循环：N 第2017次循环: 第2018次循环:2 T 1 . ，T，i 33 M 2017- N , T 2018M 2018 -N , T2019 20181 2019i =2018;i =2019，此时i ：：： 2019不成立，结束循1环，输出T =，故选B .【点本题主要考查了程序框图的应用问题,模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属于基8 •已知点P位于第一象限，双曲线C : y2=1的左、右顶点分别为A, A，记411直线PA 1，PA 2的斜率分别为k ! , k 2，若点P在双曲线C 上，则-E 的取值范围A • [1, ：：）B . [1,4]C . [4, ：：）D . （4,：：）【答案】Dx 21【解析】设P(x o , y o )且y 2-1，根据两点间斜率计算公式得 k*2，结合基本4 411 kj+k 2不等式得k 1 k 2 1，根据 1一2即可得结果•【详解】2由题可得A 1( -2,0)，A 2(2,°)，设P(x o , y o )，因为点P 在双曲线C 上，所以y ：=也-1，41 1故的取值范围为(4, •：：)，故选D .k 1 k 2【点睛】本题主要考查了双曲线上点的特征，整体代换思想的应用，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题•9 •已知定义在R 上的函数f(x)满足f (1 • x) • f (-1 -X )=O ,f (2 x)-f(2-x)=O •当 x (O,2]时，f(x)=3x ，则 f(-2O18)f(2O19)二A . -6B . -3C . 3D . 12【答案】A且 x o 2， y o • 0 ,则 k 1y ox o 2o，k 2y oX o —2 O ，所以 y oy o k ）k 2 :X o +2 x o -22yo所以宁1，当且仅当因为 K = k2，所以k 1 k 21，所以丄丄==4（k 1 , k 2） . 4，【解析】由f (1 x) f ^^xHO得f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(O) =O ,由f(2・x) — f(2—x)=：0得函数f(x)的周期为8，结合(0,2］时，f(x)=3x 即可得结果• 【详解】令 t =1 x ，由 f(1 x)f(_1 _x) =0 可得 f(t) - _f(_t),所以函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0) =0 • 由 f (2 x) 一 f (2 一 x) = 0 可得 f (2 x)二 f (2 一 x), 所以 f (4 x)二 f ( —x)二—f (x)，所以 f (8 x) = f (x), 故函数 f (x)的周期为 8，所以 f (一2018)= f(—252 8-2) = f (-2) = - f (2)= -9 ,f (2019) = f(252 8 3) = f (3) = f(1) = 3，所以 f (-2018) f (2019) = -6，故选【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性在求值中的应用, 关键，属于中档题• 10•已知函数f（xt 人刑我」）（A 。

2019届高三第四次大联考数学试题(内附答案)!

全国大联考|2019届高三第四次大联考数学试题（内附答案）！
距离每年一度的高考又进了一天，学弟学妹们是不是已经做好准备了呢！
昨天有个学弟微信我说：‘我觉得我要挂在数学上了！’他是文科的学生，其他成绩都很棒，唯独数学不是很好，很拉分。

其实，我想说的是，数学没有那么难，真的！
高中数学得学习是一种积累，是一个长期的过程，高考也并不需要灯光下的熬夜苦战，也不需要题海中的无边漫游，有一适合自己的学习方法，才是最为重要的!每年的高考其实都是换汤不换药！只要摸索到其中的方法，数学拿高分还是很容易的。

今天我帮大家整理了一套最新高考数学测试题！大家可以看一下！这都是最新的题型，相信对你们的考试会有一定的帮助的！
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2019届高三全国大联考月考试卷(数学理科)

2019届高三全国大联考月考试卷数学(理科)时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若y 1－i＝x ＋i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 138且D ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＜06．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎡⎦⎤12，3内的概率为( )A.34B.58C.12D.387．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：( )①函数f (x )的最小正周期是2π；②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称；④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48.已知命题p ：若a ＞2且b ＞2，则a ＋b ＜ab ；命题q ：x >0，使(x －1)·2x ＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧q X n ，≠．)对应的所有I (A 的和记为S (S m a n }(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积．成＝b ax OB(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，⎧x ＝1－255t ，点。

西市区第二小学校2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷

西市区第二小学校2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．（2分）小红有1元钱，买尺子用去6角钱，她还剩（）。

A.4元B.4角2．（2分）在60和70之间,且个位和十位上的数相同的数是（）。

A. 55B. 66C. 77D. 883．（2分）通过数一数，发现23里面有（）个6.A.1B.2C.3D.44．（2分）9角+5元=（）A. 5元9角B. 14元5．（2分）有甲、乙两种品牌的饮料，甲饮料4天卖出132瓶，乙饮料3天卖出102瓶，平均每天甲、乙两种饮料，（）卖的多．A. 甲B. 乙6．（2分）我比61少1，我是（）A.60B.61C.62D.59二、判断题7．（2分）80前面一个数是78。

8．（2分）43是由4个一和3个十组成的。

（）9．（2分）鸭子、鸟、鸡与鱼是两类动物。

（）10．（2分）人民币兑换时要保留二位小数。

11．（2分）9090090左边的9表示9个十万，中间的9表示9个万，右边的9表示9个十。

三、填空题12．（5分）填一填。

13．（7分）填上适当的数。

68＜________＜70 45＞________＞38 85＜________＜9280＞________＞________＞75 56＜________＜________＜7814．（1分）一个两位数，十位上是7，个位上是4，这个数是________。

15．（4分）5个1角就是5个________元，是________元；6个1分是6个________元，是________元。

16．（15分）在正确答案右边画“ ”。

（1）下面哪个数最接近70？59 72 82 69（2）100的百位上的1表示多少？1个十十个一一个百（3）一个数从右起，第二位是什么数位？个位十位百位17．（5分）写出十位上和个位上数字相同的两位数：________，________，________，________，________。

山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题(含解析)

一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >．二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-，所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-，当2n =时，164428m m -=-+⇒=-，当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-．三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值．答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-．解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分（Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =，因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ，平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案：（Ⅰ）80.2；（Ⅱ）30万元；（Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分（Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分（Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，增加收入55.23020 5.2--=万元，综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围．答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答：【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<，则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->，所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=．（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案：（Ⅰ）5x =；（Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ，代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数，所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥；（Ⅱ）[1,2]-．解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分（Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。

吉林省部分重点中学2019届高三第三次联考联考数学(理)试题

吉林省部分重点中学2019届高三第三次联考高三数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合(){}{}214,,1,0,1,2,3A x x x R B =-<∈=-，则AB =（）A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2,3-D.{}0,1,2,3 2. 以1x =为准线的抛物线的标准方程为（）A. 22y x =B. 22y x =-C. 24y x =D.24y x =- 3. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若93845,12S a a =+=, 则7a =（） A. 10 B. 9 C. 8 D.7 4. 若两个单位向量a ,b 的夹角为120°, 则2a b +=（）A. 2B. 3C.D.5. 函数()221cos cos 2sin 2f x x x x x =-+-的最小正周期为（）A.2πB. πC. 2πD. 4π6. 已知变量x，y满足约束条件331x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y=+的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积是( )A. 24πB. π D. 16π8. 下列叙述中正确的是( )A. 若,a b R∈，则“22a b>”的充要条件是“22log loga b>”B. 函数()23sin,0,42f x x x xπ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的最大值是2C. 命题“2,0x R x∀∈≥”的否定是“200,0x R x∃∈≥”D. l是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l lαβ⊥⊥则αβ9. 若双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为( )A. B. 2 C. D.310. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，1120,2,1ABC AB BC CC ∠=︒===,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）B. C. 11. 在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（）A. 等边三角形B. 不含60°的等腰三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形12. 设函数()2ln f x x ax bx =++，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A. 12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B. ()-1∞，C. [)1,+∞D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 曲线()log 33a y x =-+()01a a >≠且恒过定点_______. 14. 曲线()33xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程是________．15. 从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有一位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 16. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2019届河北省中原名校联盟高三联考考试数学(理)试题(解析版)

【点睛】
考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。
11．已知圆锥的母线长为2r，底面圆半径长为r，圆心为O，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径若点C是底面圆周上一点，且OC与母线PB所成的角等于，则MC与底面所成的角的正弦值为
A．
B．或
C．
D．或
【详解】
结合题意，可知
，故，结合，可知
故，设，所以，，
所以，故选D。
【点睛】
考查了三角函数关系式，考查了椭圆的性质，难度中等。
二、解答题
13．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．
求b的值；
求的周长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由条件及两角和正弦公式可得，再结合正弦定理可得的值;
10．已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。
【详解】
结合题意，绘制图像，可知
当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。
【详解】
证明：在直角梯形中，由平面几何的知识，得四边形为正方形，
则
又平面，平面，所以平面 .
又平面，所以平面平面 .
解：由得是二面角的平面角，即 .
又，所以为正三角形.
以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系

2019年5月2019届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学卷(考试版)

11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数在上的值域为______________.
12．如图，，点是线段AB上的一个动点，D为OB的中点，则的最小值为______________.
13．在锐角三角形中，内角，，的对边分别是，，，且满足，则的取值范围为______________.
B．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（θ为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与曲线相交于不同的两点A,B，且，求的值．
C．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设函数．若关于x的不等式有解，求实数的取值范围．
14．若存在实数，使函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为______________.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面 .
求证：
（1）平面；
6．已知正六边形的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点
得到线段，则的概率为______________.
7．现有橡皮泥制作成的圆柱和圆锥各一个，已知它们的底面半径都为r，高都为2，现在把它们重新捏成一个实心球体，其半径也为r（不计捏合过程中的损耗），则这个实心球体的表面积为______________.
8．若矩形的长和宽分别为，，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.
9．已知双曲线的方程为 (a＞0，b＞0)，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆弧被双曲线四等分，则双曲线离心率的平方为______________.

2019联考数学真题

2019联考数学真题随着社会的发展和科技的进步，数学已经成为一门重要的学科，广泛应用于各个领域。

而在学生的学习阶段，数学也是必修课程之一。

对于许多学生来说，数学可能是一门较为困难的学科，需要通过不断的练习和掌握技巧来提升成绩。

因此，2019年联考数学真题的研究和分析对于了解考试趋势以及学生的知识水平有着重要的意义。

一、数学真题概述2019年联考数学真题是一份包含了多个具体数学问题的试卷。

该试卷涵盖了数学各个方面的知识点，包括代数、几何、概率统计等。

通过做这份试卷，可以了解到当年考试所重点关注的知识点和能力要求，以及考试的难度和趋势。

二、代数题分析代数题是数学中的一类重要题型，也是学生需要进行深入理解和掌握的内容之一。

2019年联考中的代数题主要涉及到方程、函数和变量等方面的知识。

通过分析这些代数题，可以发现其中存在一定的难度和技巧。

其中一个代数题是解一元二次方程。

这类题目要求学生根据给定的方程，通过运用求根公式或配方法等算法，求出方程的解。

在解这类题目时，学生需要熟练掌握公式的运用，同时注重计算的准确性。

另一个代数题是函数的应用问题。

这类题目要求学生根据函数的定义和性质，通过分析问题条件，建立函数模型，并求解实际问题。

在解这类题目时，学生需要深入理解函数概念，具备将实际问题转化为函数模型的能力。

三、几何题分析几何题是数学中的另一类重要题型，也是对学生几何思维和空间想象能力的考察。

2019年联考中的几何题主要涉及到平面几何和立体几何等方面的内容。

通过分析这些几何题，可以发现学生在几何方面的优势和不足。

其中一个几何题是平面图形的性质分析。

这类题目要求学生根据图形的特征，推导出图形的性质和关系。

在解这类题目时，学生需要善于观察图形的特征，用几何知识和推理能力进行分析和论证。

另一个几何题是三维立体图形的计算。

这类题目要求学生根据图形的形状和给定条件，计算图形的面积和体积等数值。

在解这类题目时，学生需要熟练掌握几何计算公式，进行准确的计算和推导。

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系列数学系物理系化学系生物系地理系
录取人数 60
120
90
60
30
今年与去年相比，物理系平均分没有变，则理学院录取平均分升高了.
（1）数学系录取平均分升高了 3 分，生物系录取平均分降低了 2 分.
（2）化学系录取平均分升高了 1 分，地理系录取平均分降低了 4 分. 24. 设数列{�� }的前��项和为�� ，则{�� }为等差数列.
9. 如图，正方体位于半径为 3 的球内，且一面位于球的大圆上，则正方体表面积最大为（）.
（A）12
（B）18
（C）24
（D）30
10. 在三角形��中，�� = 4，�� = 6，�� = 8，��为��的中点，则�� =（
则不同的选派方式有（）种.
（A）20
（B）24
（C）30
（D）40
（E）45
15. 设数列{�� }满足�� = 0，�� − 2�� = 1，则�� =（）.
（A）2 − 1
（B）2
（C）2 + 1
（D）2 − 1
（E）2 + 1
二、条件充分性判断：
解题说明：本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。阅读条件（1）和（2）后选择： A：条件（1）充分，但条件（2）不充分。 B：条件（2）充分，但条件（1）不充分。 C：条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。 D：条件（1）充分，条件（2）也充分。 E：条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
（D）
（E）
8. 10 名同学的语文和数学成绩如表：
语文成绩 90 92 94 88 86 95 87 89 91 93 数学成绩 94 88 96 93 90 85 84 80 82 98 语文和数学成绩的均值分别是�� 和�� ，标准差分别为�� 和�� ，则（）.
16. 甲、乙、丙三人各自拥有不超过 10 本图书，甲丙购入 2 本图书后，他们拥有的图书数量构成等比数列，
则能确定甲拥有图书的数量.
（1）已知乙拥有的图书数量.
（2）已知丙拥有的图书数量. 17. 有甲乙两袋奖券，获奖率分别为��和��，某人从两袋中各随机抽取 1 张奖券，则此人获奖的概率不小于 .
（E）1 ）.
（A）3: 4
（B）5: 6
（C）12: 13
（D）13: 12
（E）4: 3
4. 设实数��，��满足�� = 6，|�� + ��| + |�� − ��| = 6，则�� + �� =（）.
（A）10
（1）��为��的三等分点.
（2）��为��的三等分点.
22. 设��为正整数，则能确定��除以 5 的余数.
（1）已知��除以 2 的余数.
（2）已知��除以 3 的余数.
23. 某校理学院五个系每年录取人数如下表：
（B）11
（C）12
（D）13
（E）14
5. 设圆��与圆(�� − 5) + �� = 2关于�� = 2��对称，则圆��的方程为（）.
（A）(�� − 3) + (�� − 4) = 2
（B）(�� + 4) + (�� − 3) = 2
需要提高（）.
（A）20%
（B）30%
（C）40%
（D）50%
（E）60%
2. 设函数��(��) = 2�� + (�� > 0)在(0， + ∞)内的最小值为��(�� ) = 12，则�� =（）.
（A）5
（B）4
（C）3
（D）2
3. 某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男士观众人数之比为（
（A）√
（B）√3
（C）2√3
（D）3√3
13. 货车行驶 72��用时 1 小时，速度��与行驶时间��的关系如图所示，则�� =（
（E）4√3 ）.
（A）72
（B）80
（C）90
（D）85
（E）100
14. 某中学的 5 个学科各推荐 2 名教师作为支援候选人，若从中选出来自不同学科的 2 人参加支援工作，
（A）�� > �� ，�� > ��
（B）�� > �� ，�� < ��
（C）�� > �� ，�� = ��
（D）�� < �� ，�� > ��
（E）�� < �� ，�� < ��
每隔 2 米种一棵，那么恰好种满正方形的 3 条边，则这批树苗有（）棵.
（A）54
（B）60
（C）70
（D）82
（E）94
7. 在分别标记 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片上，甲抽取 1 张，乙从余下的卡片中再抽取 2 张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）.
（A）
（B）
（C）
（C）(�� − 3) + (�� + 4) = 2
（D）(�� + 3) + (�� + 4) = 2
（E）(�� + 3) + (�� − 4) = 2
6. 将一批树苗种在一个正方形花园边上，四角都种，如果每隔 3 米种一棵，那么剩下 10 棵树苗；如果
参考答案： 1—5 CBCDE 6—10 DDBEB 11—15 EDCDA 16—20 CDACD 21—25 BECAA
（1）已知�� + �� = 1. （2）已知�� = . 18. 直线�� = ��与圆�� + �� − 4�� + 3 = 0有两个交点. （1）− √ < �� < 0. （2）0 < �� < √ . 19. 能确定小明年龄. （1）小明年龄是完全平方数. （2）20 年后小明年龄是完全平方数. 20. 关于��的方程�� + �� + �� − 1 = 0有实根. （1）�� + �� = 0. （2）�� − �� = 0. 21. 如图，已知正方形��面积，��为��上一点，��为��的中点，��为��上一点，则能确定三角形��的面积.
（E）36 ）.
（A）√11
（B）√10
（C）3
（D）2√2
（E）√7
11. 某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需 6 天完成，工时费共 2.4 万元. 若甲公司单独做 4 天后由
乙公司接着做 9 天完成，工时费共计 2.35 万元. 若由甲公司单独完成该项目，则工时费共计（）
万元.
（A）2.25
2019 年 1 月全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题
一、问题求解：第 1～15 小题，每小题 3 分，共 45 分。下列每题给出的 A、B、C、D、E 五个选项中，只有一个选项符合试题要求。请在答．题．卡．上将所选项的字母涂黑。
1. 某车间计划 10 天完成一项任务，工作了 3 天后因故停工 2 天，若要按原计划完成任务，则工作效率
（1）�� = �� + 2��，�� = 1，2，3. （2）�� = �� + 2�� + 1，�� = 1，2，3. 25. 设三角区域��由直线�� + 8�� − 56 = 0，�� − 6�� + 42 = 0与�� − �� + 8 − 6�� = 0(�� < 0) 围成，则对任意的(��，��)，lg(�� + �� ) ≤ 2. （1）�� ∈ (−∞， − 1]. （2）�� ∈ [−1， − ).
（B）2.35
（C）2.4
（D）2.45
（E）2.5
12. 如图，六边形��是平面与棱长为 2 的正方形所截得到的，若��，��，��，��分别为相应棱的中
点，则六边形��的面积为（）.