微分几何曲面论曲面的概念

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线
1.光滑曲面，正常点
定义4
(光滑曲面) x x(u,v),
如果曲面方程 y y(u,v), z z(u,
v)或r
r (u,
v)
中的函数有直至k阶的连续偏微商, 则称为C k类曲面.
特 别 地 ，C1类曲面又称为光滑曲面，
定义5如(正果常ruC点(u0)类0对,v曲0于)面曲r又v (面u称S0,:为vr0 )连r续0(u曲, v面 ).上 的 点P(u0 , v0 )，
注 (1)切方向的表示法：
v
Gf
.
(u, v)
z
C P (u,v) S
O
u
O
y
切方向//
dr dt
ru
du dt
rv
x
dv dt
//dr
rudu
rv dv ,
切方向//dr
dv(ru
du dv
rv
),
切方向//
ru
du dv
rv
,
切方向常用du : dv表示，也 用dr或(d )表 示.
R sin R cos 0 0,即x cos y sin R
0
0
1
z
(S)在点P( , t)处的法线方程 为：
x Rcos y Rsin z t ,
R cos
R sin
0
即 x Rcos y Rsin z t .
cos
sin
0
o
y
x
可 见,沿 同 一 条 直 母 线 的 切 平面 唯 一, 法 线 平 行.
或u u(t), v v(t)
曲线(C )的曲纹坐标方程
或u u(v)或v v(u) 或f (u, v) 0
曲 线(C )在 点P(u0 , v0 )的 切 向 量 为
r t0
du
ru (u0 , v0 ) dt
t0
dv
rv (u0 , v0 ) dt
t0
定义7(切方向) 与曲线(C )在点P的切向量平行的方向
(其中0 2 , t )
其坐标曲线为: 曲 线(t 常 数) t 曲 线( 常 数)
: :
r r
{R cos , R sin , t0 } {R cos0 , R sin0 , t}
纬
圆
{R cos0 , R sin0 ,0} t{0,0,1}
直母线
z 例2（带缝的球面）
r (u0 , v0 ) [ru(u0 , v0 ) rv (u0 , v0 )]
X x(u0 , v0 )
Y y(u0 , v0 )
Z z(u0 , v0 )
yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
(u0 , v0 )为 正 常 点 ， 0, 因为曲面是光滑
的，ru
在(u0 , v0 )的 一 个 邻 域U，
,
rv
连
续,
于 是 点P(u0 , v0 )在 邻 域U所 对 应 的 正 则 曲 面 片 上，
其上的曲纹坐标网是正规网.
命题1曲面在正常点的邻域中总可以用形如
z z(x, y)或y y(x, z)或x x( y, z)
z ，q x
z ， y
曲面在点( x, y)处的切平面方程为：
Xx Yy Zz
1
0
p 0
0
1
q
即Z z p( X x) q(Y y).
法线方程为：X x Y y Z z .
p
q 1
例1
求
圆
柱
面(
S
)
:
r
{
R
cos
,
R
sin
,
t }在
任
一
点P
(
,
t
)处
解：的r 切{R平c面os和, R法s线 in方, t程}., r { R sin , R cos ,0}, rt {0,0,1}, (S)在任一点P( , t)处的切平面方程为： x R cos y R sin z t
它 们 中 间 一 个 是 有 限 的，
另一部分是无限的.
定义2（初等区域）
约 当 曲 线 的 内 部 及 其 内部 在 平 面 上 的 同 胚 像
称 为 平 面 上 的 初 等 区 域.
y
如：
•
O
x
长方形内部正方形内部 圆内部 椭圆内部 全平面
定义3（简单曲面）
平面上的初等区域在E 3中的同胚像称为简单曲面. 如：
证：设总点 的存P参(在u数0(,u表 v00,)v示为0 .)的正一常个点邻，则域ruU(，u0在,v0此)邻rv (域u0内 ,vr0u)r0v,
0,
y
即ru
rv
u y
v
z z
u z
,
u z
v v
x x
u x
,
u x
v v
y
u y
0,
(u, v)U .
v
x y
不 妨 设 u x
此曲线在点P(u0,v0 )的切向量就是V .
TP {ru
称 , rv
为 曲面S在点P处的 切空 }是 切 空 间TP的 一 组 基.
间
，
3.曲面的参数变换及曲面的正侧
定义10
给
定曲
面( S
)
:
r
r (u,
v),
(u,
v
)
G
及 函 数 组uv
u(u,v ) v(u , v )
()
(u , v ) G
同胚f
z
(S) P (u,v)
同胚g
O
u
O
y
.
(u , v )
同胚h x
G
在 ()下,
曲
面 的(
S
)方
程
为:
r r[u(u, v ),v(u, v )] r(u,v ), (u, v ) G
函 数组()称 为曲 面(S)的 一个 参 数变 换.
叫做曲面在该点的切方向 (或方向).
命题2 曲面在一点处的所有切方向都在过该点的
定义8
坐标曲线的切向量ru , rv所决定的平面上. (切平面) 曲 面 在 一 点 处 的 坐 标 曲线 的 切 向
量ru
,
rv
所 决 定 的 平 面 上 叫 做 曲面 在 该 点 的 切 平 面.
定义9 (法方向、法线)曲 面 在 正 常 点 处 垂 直 于切 平 面 的
rv
P(u0 , v0 )ru S
X x(u0 , v0 ) Y y(u0 , v0 ) Z z(u0 , v0 )
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
法
线 方 程:
第二章
曲面论
§1 曲面的概念
1.简单曲面及其参数表示；
主要内容 2.光滑曲面 曲面的切平面和法线； 3.曲面上的曲线族和曲线网.
1.1 简单曲面及其参数表示
1.简单曲面
定义1（约当曲线）平面上不自交的闭曲线称为约当曲线.
注
（约当定理）约当曲线分平面为两部分，
并 且 每 一 部 分 都 以 此 曲线 为 边 界 ，
若 函 数 组()满 足 下 列 条 件 ：
(i) 函 数 组()至 少 有 一 阶 连 续 偏 微 商；
u v
(ii)
Jocbi行列式(u, v) (u, v )
u u
u v
0,
v v (iii) 函数组()给出了G到G的一宗一一对应.
则称函数 组()为曲面(S)的一个参 数变换.
注
G
v
(u., v)
x
u -曲线
定义6(正规曲线网) 曲面上两族曲线构成的曲线网，
如Байду номын сангаас果 任 意 两 条 异 族 曲 线不 相 切 ，则 称 该 曲 线 网 为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹坐标网是正规网. (2)曲面的正常点总在一正则曲面片上，
因而其上的曲纹坐标网是正规网.
事 实 上 ，如 果 点P 从 则 在r而此u(ru邻 u0,v域 r0u)连内 rr续 vu(.u0r,v总v0 )存0,
绕z轴 旋 转 一 周 得 一 带 缝 的旋 转 曲 面(如 图).
z v(t)
f
O
2 u( )
(x, y, z)
o
y
x
参数方程：x (t)cos , y (t)sin , z (t) (其中0 2 , t )
其坐标曲线为: 曲 线(t 常 数) : 纬 圆. t 曲 线( 常 数) : 经 线.
f
g
简单曲面
2.简单曲面的参数表示
v
G
.
(u, v)
f
z
P(xu, vy), z) S
r r (u, v)
O
u
O
y
r
r (u,
v)
{
x(u,
v),
y(u,
v),
x
z(u,
v)},(
S
)的
向
量
式
参
数
表
示
x x(u,v), y y(u,v), z z(u,v), (S)的坐标式参数表示
u, v叫做曲面的参数或曲纹坐标. 曲面上的点P( x, y, z)也可直接写作P(u, v).
方 向 称 为 曲 面 的 法 方 向. 过 该 点 平 行 于 法 方 向 的直 线 叫 做 曲 面 在 该 点 的
法 法
单
线 向 位.量 法N向量rnu
rvr， u
rv
.
P
S
ru rv
切(1)平若面曲和面S法:线r 方r(程u, v)，
切 平面方程:
(R r (u0 , v0 ), ru(u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 )
(2)若曲面S : z z( x, y)，则r {x, y, z( x, y)}，
于 是rx
{1,0,
p}，ry
{0,1, q}，其 中p
则 称 点P(u0 , v0 )为 曲 面 上 的 正 常 点 ， 否 则, 称 为 奇 点.
注
正 常点的几 何意义：
rv (u0 , v0 )
ru(u0,v0 ) rv (u0,v0 ) 0 表 示 经 过 点(u0 , v0 )的
z S P
u -曲 线 和v -曲 线 不 相 切.
O
y
v -曲线 ru (u0 , v0 )
v坐标曲线族 P(u0 , v0 )S
O
u u坐标直线族 O
x
u坐标曲线族的方程为v 常数；
v坐标曲线族的方程为u 常数.
y
u坐标曲线族
u坐标曲线族与v坐标曲线族形成的曲线网
叫做曲纹坐标网（或参数曲线网）
例1（带缝的圆柱面）
z
v(t)
f
O
2 u( )
o
t R
y
x
参数方程：x Rcos , y Rsin , z t
3.曲纹坐标网
v坐标直线
v
G
f
z
.
(u0 , v0 )
v坐标曲线 P(u0 , v0 )S
O
u u坐标直线 O
y u坐标曲线
x
设u坐曲标面直( S线)的的方方程程为为 rvr(vu0,,v ),
则 过 曲面(S)上点P(u0 , v0
r r (u, v0 ) {x(u,v0 ), y(u,v0
注 (2)切空间
v
Gf
.
(u0 , v0 )
rv
z
TP
(C )
P(u0
,v ru
0
)
S
O
u
O
y
任给一个向量V
x ru(u0 , v0 )
rv
(u0,v0 ),
则 在曲 面S上 必 定 能 找 到 过 点P(u0 , v0 )的 曲 线:
r r (u0 (t t0 ), v0 (t t0 )),
v( )
2
R
f
O θ
y
O
2 u()
x
2
参数方程：x Rcos cos, y Rcos sin, z Rsin
(其中 ,0 2 )
2
2
其坐标曲线为:
曲线( 常数) : 纬 圆.
曲线( 常数) : 经 线.
例3（带缝的旋转曲面）
将xoz面上的曲线(C)：x (t), z (t)，( t )
)的u -曲线的方程为：
), z(u,v0 )}, 或v v0 ,
同样, v坐标直线的方程为u u0 ,
则r 过r(曲u0,面v)(S{)x上(u点0,vP),(yu(0u,0v,v0 )),的z(uv0-,曲v)}线 , 或的u方 u程0 ,为：
3.曲纹坐标网
v
G
v坐标直线族
f
z
.
(u0 , v0 )
注 z即rz( xr,{yx),是y,曲z(面x, 的y)}一，( x种, y特是殊参的数参)数. 表示，
2.曲面的切平面和法线
v坐标直线
v
G
f
z
.
(u0 , v0 )
v坐标曲线
P(u0
C
,v0 )
S:
r
r (u,
v)
O
u u坐标直线 O
y u坐标曲线
u u(t),v v(t) x
r r[u(t),v(t)]
u y
0,
v v ( u0 ,v0 )
由反函数存在定理可知，总 存 在(u0 , v0 )的 一 个 邻 域V， 在 此 邻 域V内 ，方 程 组()有 唯 一 一 对 连 续 可 微 的反 函 数
u u( x, y)
v
v(
x,
y)
将其代入z z(u,v)得：z z[u( x, y), v( x, y)] z( x, y)
u y
0,
对
于
方
程
组
x y
x(u, v) y(u, v)
()
v v
满足：(i) x(u, v)，y(u, v)至少有一阶连续偏微商；
(ii)
x0 y0
x(u0 , v0 ) y(u0 , v0 )
x y
(iii) Jocbi行 列 式( x, y) (u, v)
( u0 ,v0 )
u x