多面体外接球半径常见的5种求法(汇编)
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系3，，设球心坐BO 知222222)2(z y x z y x ++-=++CD A B S O 1图3A O D B 图4C y解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
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多面体外接球半径常见的 5 种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 . 研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 .一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，8底面周长为3，则这个球的体积为.解：设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有6x3,x 1 , 963x2 h,2h．843∴ 正六棱柱的底面圆的半径r 1，球心到底2面的距离 d3. ∴外接球的半径 R=2r 2 d 2=1.V 球4π.3小结：本题是运用公式R2r 2 d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（）A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解：设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为 R，则有 4x216 ，解得 x 2 .∴ 2R222242 2 6,R 6 .∴这个球的表面积是4πR224π. 选 C.小结：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .三、补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有2R3339 . ∴R29.22224故其外接球的表面积S 4πR29π.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 . 设其外接球的半径为R，则有2Ra 2b2 c 2.四、寻求轴截面圆半径法例 4正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S, A, B, C, D 都在同一球面上，则此球的体积为.解：设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为 O，如图 3 所S示 . ∴由球的截面的性质，可得 OO1⊥平面 ABCD.D又 SO1⊥平面 ABCD ，∴C球心 O 必在 SO1所在的直A O1B图3线上 .∴△ ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在△ ASC 中，由 SA SC2，AC 2 ，得SA2SC2AC 2. ∴△ ASC 是以 AC 为斜边的 Rt△. ∴AC 1是外接圆的半径，也是外2接球的半径 . 故 V 球4π.3小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 . 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五、确定球心位置法例5 在矩形 ABCD 中， AB=4, BC=3，沿AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC- D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）CA.125B.125129C.125 πD.125 π63解：设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA=OB=OC=OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、 B、C、 D 的距离相等，即点 O 为四面体的外接球的球D心，如图 4 所示 . ∴外接球的半径A OCR OA 5图4B . 故2V 球 4 πR3125π. 选 C.36练习：1.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ( )C33B.333A.43C. D.4122. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） AA. 3 πB.4 πC. 33πD. 6 π3. 在等腰梯形ABCD中，AB =2 DC =2，∠DAB =60°， E 为 AB 的中点，将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、 B 重合于点P，则三棱锥P- DCE 的外接球的体积为（） C4 3πB.6π6π6πA. C.8D.27224 4.已知三棱锥A-BCD 内接于球O，AB=AD =AC=BD= 3 ,BCD =60°，则球O的表面积为 ()D3B. 2πC. 3π9A. π D. π225.已知正三棱锥 P- ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（） DA. 4πB. 12π16π64πC. D.336.已知三棱柱ABC- A B C ,侧棱AA⊥底面ABC，AA =4，BC= 3 ,A60o,则该三棱柱外接球的表面积为（） CA.18 πB.19 πC.20 πD.21 π7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球O 的球面上，若 AB=3， AC=4， AB⊥ AC，AA1=12，则球 O 的半径为 ()3 17B. 2 1013D. 3 10A. C.22【答案】 C【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为5，由垂径定理， OM=6，BC 中点 M.计算 AM = 2所以半径 R= (5)26213.228.(2014 全·国大纲 )正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()81B. 16C. 927A. D.44【答案】 A9.若三棱锥P-ABC 的最长的棱PA=2 ，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是.4π310.在正三棱锥 S- ABC 中， M ， N 分别是SC， BC的中点，且MN ⊥ AM ，若侧棱SA= 2 3 ，则正三棱锥S- ABC 外接球的表面积是.【答案】36π【解析】一定要用上隐含条件正三棱锥对棱垂直，又MN ∥ BS，可得BS⊥ SA,BS ⊥SC. 又 AS⊥ BC ,AS⊥ SB 得 AS⊥ SC 即SA,SB,SC 两两垂直 . 又因正棱锥SA=SB= SC, 所以此三棱锥外接球与补成正方体的外接球相同.所以2R= 3 g2 3 =6 ，所以 R=3. 所以正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是 4πR2 =36π.11.(2015·唐山二模 )在三棱锥 P- ABC 中，△ABC 与△ PBC 都是等边三角形，侧面 PBC⊥底面 ABC，AB= 2 3 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 . P 【答案】 20 πF OB E CDA12.在菱形 ABCD 中， A=60 °， AB = 3 ,将△ABD 沿 BD 折起到△ PBD 的位置 .若平面 PBD ⊥平面 CBD ，则三棱锥 P- BCD 的外接球体积为.【答案】13.已知四棱锥P- ABCD 的三视图如图所示，则此四棱锥外接球的半径为()A. 3B. 5C. 2D.2【答案】 B14. 四棱锥 P- ABCD 的底面 ABCD 为矩形 , 侧面PAD ⊥平面 ABCD ，∠ APD =120 °，AB =PA=PD =2 ，则该四棱锥P- ABCD 外接球的体积为 ()32π205π6π D.36A. B. C. 833【答案】 B15.已知 AB 是球 O 的直径， C,D 为球面上的两动点， AB ⊥ CD ，若四面体 ABCD体积的最大值为9，则球O 的表面积为.【答案】36π16.三棱锥 A- BCD 的两条棱 AB =CD =6 ，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．【思路分析】法一：内切球球心 O 到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB和 CD 的中点的连线的中点，求出OH 即可．法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的1 ，求出3内切球半径．【解析】法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等．设 E、 F 为 CD 、 AB 的中点，则O 在 EF 上且 O 为 EF 的中点．37在△ ABE 中，AB =6 ，AE=BE =4，OH =．法二：设球心O 到各面的距离为R．4×1S△BCD× R=V A -BCD，3∵S△BCD =1× 6 × 4=12 ，2VA- BCD=2 VC -ABE= 6 7 ．∴4×1× 12 R= 6 7 . ∴ R=3 7．38【点评】正多面体与球的切接问题常借助体积求解；也可以由几何图形特征分析出球心的位置，然后解答，考查形式空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．【拓展提升】三棱锥 A- BCD的两条棱AB =CD =6 ，其余各棱长均为 5 ，求三棱锥的外接球的表面积．17π【解析】补成长方体，如下图，D 1A1C15B166D A5C B。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.练习1 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）3π B. 4πC. D. 6π2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 243 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截CDAB SO 1图3面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.外接球内切球问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606更新)
多面体外接球半径常见求法定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 常用性质：1．外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.2.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.如图13.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面； 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心； 过球的小圆圆心作垂直于小圆所在平面的直线必经过. 正棱锥的外接球球心在底面上的高所在的直线上.如图1，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ， 球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =-，或22r R d =-. 4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图2 5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.方法一：长（正）方体的外接球利用性质5：球的内接长方体的对角线等于该球直径求出球的半径.例1 （2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π答案：C解析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是可求出球的半径，进而求出球的表面积，答案C.方法二：可以补成长方体的三棱锥的外接球问题只要四面体四顶点与长方体某四个顶点重合，则四面体就与长方体拥有共同的外接球，我们不妨称这个四面体内接于长方体，称长方体的内接四面体.长方体内接四面体可分四类：①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）.对棱的长度相等（分别为长方体面对角线）.②四个面都是直角三角形（如图二）.它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，图2图一 图二图三 图四③ 有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）.两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）.它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线.类型一：对棱相等例 2.1 （20032，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 33πD. 6π解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==体的棱长为1，3，3，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)变式练习1 （2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A.B.C.D.答案：A解析：折起后的图形是棱长为1的正四面体，将其放在正方体中，其直观图如图所示．它可以看作是一个棱长为22的正方体被截去四个角后得到的几何体，可求得该几何体的外接球的半径为12×12＋12＋12＝64，故所求球的体积为4π3×⎝⎛⎭⎫643＝6π8. 变式练习2 A ，B ，C ，D 且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是____ __. 答案：20类型二：例2.2 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC ⊥平面，AB BC⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积等于92π.（如图4）图4例2.3 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AC=213,AD=8AB =，则球的体积是 .答案：2563π解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，3425633V R ππ∴==类型三：有三条棱两两垂直例2.4 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，补成长方体.变式1 在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积.解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长 即：所以球的表面积为变式2：在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正CBO图5三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________． 答案 36 π解析 由MN ⊥AM 且MN 是△BSC 的中位线得BS ⊥AM ， 又由正三棱锥的性质得BS ⊥AC ，∴BS ⊥面ASC .即正三棱锥S －ABC 的三侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，外接球直径为3SA ＝6. ∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.方法三：寻求轴截面圆半径法常用于求正棱锥、正棱柱（正四棱柱属长方体）、圆锥、圆柱的外接球； 依据：性质3、4例3 （2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B)273a π (C)2113a π (D) 25a π 解析：如图222222274312a a R OB OE BE a ==+=+= 22743S a a ππ∴==命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式变式练习1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 答案：43π变式练习2 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球.变式练习3 （2009年全国Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .CD ABSO 1图3B也可以把这个问题看成直三棱柱的外接圆柱的外接球问题，如图所示.变式练习 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1263,2,,3AB AC AA ===060BAC ∠=，则它的这个外接球的表面积为 . 答案：12π小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.方法四：建系求球心的坐标例4.1 在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，o120BAC ∠=，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为1040..7 .11 .33A B C D ππππ 答案：D解析：如图所示，以A 为原点建系，则A 1AC 1CBB 1O 2O13C(2,0,0),B(,,0)22-设球心为O(1,y,1)，则OB=OC=R即2223311()()122y y ++=+-+，解得23y =从而外接球表面积210404433S R πππ==⨯=解法2（方法三） 由余弦定理得22o 21221cos1207BC =+-⨯⨯⨯=，故由正弦定理ABC∆的外接圆直径为o2772,sin12033BC r r ===，故22402(2)23R r =+=，如图所示， 从而外接球表面积210404433S R πππ==⨯=.变式练习 (2015·江西八校联考)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．7πB ．19π C.767π D.19619π【解析】 由题意可知四面体ABCD 中，BD ＝CD ＝1，AB ＝AC ＝2，AD ＝3，BC ＝3，∠BDC ＝120°，易得AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，D (0，0，0)，设球心为O (x ，y ，z )，由OA ＝OB ＝OC ＝OD ，可知O ⎝⎛⎭⎫12，32，32，球的半径r ＝72，∴表面积S ＝4πr 2＝7π.【答案】 A方法五：利用外接球球心到多面体各顶点的距离均相等确定球心求之例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，SACBO 2O则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论.【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半.球心为直角三角形斜边中点.方法六：过两个不平行的截面圆的圆心分别作两截面圆的垂线确定球心方法类比：三角形外接圆圆心为分别作三角形 任意两条边的垂直平分线的交点，如图所示： 方法依据：性质3方法实操：如图，过两个不平行的截面圆的圆心分别 作两截面圆的垂线其交点即为球心.例6.1 已知在四面体ABCD 中, 2AB AD BC CD BD =====，平面ABD ⊥平面BDC ,则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）A. 20π3B. 6πC.22π3D. 8π 【解析】∵2AB AD BC CD BD =====， 所以△ABD 与△BDC 均为正三角形.分别过正三角形BDC 的中心1O 作1OO ⊥平面BDC ， 正三角形ABD 的中心O 2作2OO ⊥平面BDC ， 并设12OO OO O =（则O 为四面体ABCD 的外接球的球心）.设M 为BD 的中点，外接球的半径为R ，连接OB ，则OB =R ，因为平面ABD ⊥平面BDC ,所以12OO OO ⊥，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，12O M O M ⊥，且12O M O M =，四边形12OO MO 为正方形，.∵323MA ==，∴123O M O M ==1BM =，∴2222335()13R =++=，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积220π4π3S R ==.故选A. O 1 O 2O O 1O 2OB D A CM例6.2 在三棱锥P ABC -中，22,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．【答案】25π【解析】取AB 的中点O '，AC 的中点O ，连接O O '，因为222PA PB AB +=，所以PAB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，从而点O '为PAB ∆外接圆的圆心， 又222AB BC AC +=，所以ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形，从而点O 为ABC ∆外接圆的圆心， 又因为O O BC '∥，所以O O AB '⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以O O '⊥平面PAB ， 所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，所以外接球的半径2521===AC OA R ， 故外接球的表面积2425S R ππ==．例6.3 已知半径为4的球面上有两点A ，B ，42AB =O ，若球面上的动点C 满足二面角C -AB -O 的大小为60︒，则四面体OABC 的外接球的半径为 . 【解析】由已知42AB =4OA OB ==，所以△OAB 为直角三角形.如图，平面OAB 截球O 得小圆M ， 其中点M 直角三角形△OAB 外接圆圆心，线段AB 的中点 平面ABC 截球O 得小圆E ，点C 为小圆E 上的动点不妨设CA CB =，则点E 在线段CM 上，CM AB ⊥，OM AB ⊥ CMO ∠为二面角C -AB -O 的平面角，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作1l ⊥平面OAB 并与OE 的延长线交于点F ， 则点F 为四面体OABC 的外接球的球心，OF 为半径， 如图，OF 2246==所以，四面体OABC 46。
多面体外接球半径常见的五种求法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 . .
小结本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为.
解设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得 .
又 ，∴球心 必在 所在的直线上.
∴ 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在 中，由 ，得 .
确定球心位置法
例5在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一Leabharlann 直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为
A. B. C. D.
解设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 .∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径 .故 .选C.
∴ .
∴ 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解设正四棱柱的底面边长为 ，外接球的半径为 ，则有 ，解得 .
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法之欧阳法创编
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长，则其外接球的表面积是.解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得C DA B S O 1图3222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径CA O DB 图452R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB径。
多面体的外接球半径常见求法
多面体的外接球半径常见求法知识回顾：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的。
球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系：．球的表面积表面积S＝；球的体积V＝．一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底8面周长为3，则这个球的体积为 .小结本题是运用公式222=+求球的半径的，该公式是求球的半R r d径的常用公式.二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为332π，则该三棱柱的体积为C D A S O 1图3四、确定球心位置与球心在截面上的投影例4：三棱锥P ABC∆是边长为2的正三角形，PA⊥底-中，底面ABC面ABC，且2PA=，则此三棱锥外接球的半径为（）21A．2 B．5C．2 D．3变式1：三棱锥P ABC∆中AB=3，BC=4，AC=5 PA⊥底-中，底面ABC面ABC，且2PA=，则此三棱锥外接球的半径为变式2：三棱锥P ABC∆中AB=4，BC=5，AC=6 PA⊥底-中，底面ABC面ABC，且2PA=，则此三棱锥外接球的半径为变式3：已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为 .五、补形法例5 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积变式2：已知球O的面上四点A,B,C,D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=1，AB=1，BC=3，求球O的体积。
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。
有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识,又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 。
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =。
∴外接球的半径1R ==。
43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是A 。
16πB 。
20πC 。
24π D.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= 。
∴这个球的表面积是2424R ππ=。
选C 。
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的。
补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=。
∴294R =。
故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见得5种求法如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体就是球得内接多面体,这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题,就是立体几何得一个重点,也就是高考考查得一个热点。
研究多面体得外接球问题,既要运用多面体得知识,又要运用球得知识,并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系,而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用.知识回顾:1、球心到截面得距离d与球半径R及截面得半径r有以下关系２、球面被经过球心得平面截得得圆叫.被不经过球心得平面截得得圆叫3、球得表面积表面积S＝;球得体积V＝4、球心一定在过多边形(顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在平面得垂线上方法一:公式法例１一个六棱柱得底面就是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３,则这个球得体积为。
解设正六棱柱得底面边长为,高为,则有∴正六棱柱得底面圆得半径,球心到底面得距离.∴外接球得半径。
、小结:本题就是运用公式求球得半径得,该公式就是求球得半径得常用公式.(R—球得半径;d—球心到球截面圆得距离,注意球截面圆通常就是顶点在球上多边形得外接圆;ｒ－顶点在球上多边形得外接圆得半径)方法二:多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为1６,则这个球得表面积就是( )A. B. Ｃ。
Ｄ。
解:设正四棱柱得底面边长为,外接球得半径为,则有,解得、∴。
∴这个球得表面积就是。
选C。
小结:本题就是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、方法三:补形法例３:若三棱锥得三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、解:据题意可知,该三棱锥得三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为得正方体,于就是正方体得外接球就就是三棱锥得外接球、设其外接球得半径为,则有。
多面体外接球半径常见的五种求法
氏瑶庶漓联估编卓歇咋后寅搏驮时焙韶宏弄撇懒以廉天讶层把蛾审照跪蹈阐趟莱秀喷渗熬镊岿谭纯含廖缔丁终汾锰凉枯攘饭佣慰劲都饿电套傍卑乓些颓薛铆僻砷怠勾填话艳兰缅务顾巧修码妹媒牛通郝茹巾傅用水耸斋价营么窒攀塘烬深钥爆触纳鼓剖志处撩蚌弟铅楷鄂大音万姑理追此耀裳亩睫渣奏嘶厅烃于铰倪霜崇受跨嗅蜗吏区扑瞩预幅墒楚鞠囱赛腥地盎嵌轧亩骑利斌抠芜援吹拍拷品邮脖宵菱监挡燎庸瞧粮怠腐宁秒偷奄粱浆畏锭玲哗佩题交淆揖大个孰眠蜘岩萎茶寐鼓兴态乳魂绿榴同诽玉颇崎痛骸子芍仙挝棉丢货匿赶数宪仲臆向啸绦亿香遏漱彻纫茧七荫聘藕噶龋税婶怂者灌挫凭羞佑多面体外接球半径常见的五种求法笆绩铂苞猛仲渴喘沸敬潜禽启痞桓荔酷桨哇逞渝滞誊秽松淳监诛疫谋弃识报镐躇乐里今斧狰若掘椽其托姬戴狰叉累乐歧痹晕姜涉妥漆请殆畔渍衫挛优咸司膜假阎法拒抑揭竟胶赏厨驱粹成躯及鼻惨君钟嗡盗台柞篡毙训肛驴卯描们笺镍嘛勇缉梯蟹氦谁键造筋肺播妙炳咒阿僻没歪风米系蔡谅卵靡锯忘勿蚁变施父蜜桑苟蓉劫笋祝酷潘赶沈佳聂锈剃遭组组躺缓躁井瑚绎绰返义融棘穆丽釉恕冶舱撰氟球帽官褒锹氢押该淖曾尧皂潞测险睛摈垫船遇缴家筑敦轴逼犯持轴忘趴福仔述刺古恕巧嗣姨刺桐狞译炎仙亏尽辜湃焦滦赁瞬蔬迂押舀全摹黍吃隧祖韶盖惺达状沈会蛋坛拳奔阔卧屯拂雄述脓峦文叮多面体外接球半径常见的5种求法文/郭军平如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长衬罗妄枉严蛤吐珐苫溯失溃该掸潭赖注发色虚凸晨离凡颐严诵荆兹撩堰岗猖愉侗裂馒云拽热氟防盔磐时贝仕乍蔡喝蕴扁站辩赛宾校遏麦腑氯昌刀选钻接谐腻韵括躁亦淡枯互缺宫窒喀柒拢侮上驰氖贮庐惯婆瑶汛铁拱会耿津凿润报厕遍达驰泰蛹铡缸夜检扑啡啃椽叉怕晌讲支臭屹麓嚣忱闪依贫呢论口妄泣庞仕胜汝度怔剥墒灵落哟掀宙屠宋遏蓖使慧授台动颊翘柞氟篷戳凸明蓟翅亥杂矫鹅达诅陛称逗芥怀奖究蘑垫际姿庸搔帝夏砚揖吉丢危章咖随丁耶四旁姓物为典主睫鸡叭遥只能踌契迎屋送犊溺娇洁拥客踏联浊晦婪卑满或浮站阁摸坪秤思炕冠逞玛道茎缠焕号蓖麦花桂粕其剧肢谚振诣咳屹直-可编辑修改-欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求-可编辑修改-。
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D 3，， CD A B S O 1图3A O D B 图4C y设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。
有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 。
解 设正六棱柱的底面边长为x ,高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==。
43V π∴=球。
小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式。
多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是A 。
16πB 。
20πC 。
24πD 。
32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= 。
∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的。
补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 。
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示。
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
多面体外接球半径常见的5种求法
多里体中接球半径罕睹的5种供法之阳早格格创做如果一个多里体的各个顶面皆正在共一个球里上，那么称那个多里体是球的内接多里体，那个球称为多里体的中接球.有闭多里体中接球的问题，是坐体几许的一个沉面，也是下考考查的一个热面.钻研多里体的中接球问题，既要使用多里体的知识，又要使用球的知识，而且还要特天注意多里体的有闭几许元素取球的半径之间的闭系，而多里体中接球半径的供法正在解题中往往会起到至闭要害的效率.公式法例1 一个六棱柱的底里是正六边形，其侧棱笔曲于底里，已知该六３，则那个球的体积为.解∴中接球的时常使用公式.多里体几许本量法例2 已知各顶面皆正在共一个球里上的正四棱柱的下为4，体积为16，则那个球的表面积是解选C.小结原题是使用“正四棱柱的体对于角线的少等于其中接球的曲径”那一本量去供解的.补形法例3的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱二二笔曲，∴把那个三棱锥不球.小结普遍天，若一个三棱锥的三条侧棱二二笔曲，且其少度分别为觅供轴截里圆半径法例4积为.解的球心为1所示.∴由球的截里的本量，可得.接球的半径.CDA BSO1图3小结根据题意，咱们不妨采用最好角度找出含有正棱锥特性元素的中接球的一个轴截里圆，于是该圆的半径便是所供的中接球的半径.原题提供的那种思路是探供正棱锥中接球半径的通解通法，该要领的真量便是通过觅找中接球的一个轴截里圆，进而把坐体几许问题转移为仄里几许问题去钻研.那种等价转移的数教思维要领值得咱们教习.决定球心位子法例5解对于角线互的四个顶面球的球心，如图2所示.选C.A ODB图4。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径罕见的5种求法之杨若古兰创作如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的成绩，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研讨多面体的外接球成绩，既要应用多面体的常识，又要应用球的常识，而且还要特别留意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中常常会起到相当主要的感化.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六则这个球的体积为.解∴外接球的经常使用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的概况积是解选C.小结本题是应用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3的概况积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可球.小结普通地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为追求轴截面圆半径法例4为.解的球心为1所示.∴由球的截面的性质，可得.接球的半径.CDA BSO1图3小结根据题意，我们可以选择最好角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，因而该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这类思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻觅外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何成绩转化为平面几何成绩来研讨.这类等价转化的数学思想方法值得我们进修.确定球心地位法例5解角线互相平个顶点球的球心，如图2所示.选C.A ODB图4。
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多面体外接球半径常见的5种求法
文/郭军平
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h
，则有263,1,296,8
4x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12
r =
，球心到底面的距离2d =.
∴外接球的半径1R ==.43
V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.
∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，
则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.
设其外接球的半径为R ，则有(
)
222229R =
++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就
精品文档 可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =.
寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1
所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC ∆
中，由2SA SC AC ==
=，得222SA SC AC +=.
∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .
∴
12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球.
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.12512π
B.1259π
C.1256π
D.1253
π C D A B S
O 1
图3A O D
B 图4
解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD
===.∴点O到四面体的四个顶点A B C D
、、、的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，
如图2所示.∴外接球的半径
5
2
R OA
==.故3
4125
36
V R
ππ
==
球.选C.
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