几何证明压轴题选.doc

儿何体精选

1、如图，在梯形ABCD 中，AB〃CD, ZBCD=90°，且AB=1, BC=2, tanZADC=2.

(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，旦NEDC=NFBC, DE=BF,试判断Z\ECF的形

状，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，当BE： CE=1： 2, ZBEC=135°

时，求sinZBFE 的值.

［解析］(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.

2

又tanZADC=2,所以DM =- = 1.即DC=BC.

2

(2)等腰三角形.

证明：因为DE = DF,』EDC = ZFBC, DC = BC .

所以，ADEC竺ZXBFC

所以，CE = CF,ZECD = ZBCF.

所以，ZECF =』BCF + ZBCE = ZECD + ZBCE = ZBCD = 90°即AECF是等腰直角三角形. (3)设BE = k,则CE = CF = 2k,所以EF = 2&.

因为为BEC = 135。, XZCEF= 45°,所以ZBEF = 90°.

所以BF =+(2gkV = 3k

k 1

所以sinZBFE = —=-.

3k 3

2、已知：如图，在OABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG〃DB 交CB的延长线于G.

(1)求证：AADE^ACBF；

(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什

么特殊四边形？并证明你的结论.

［解析］(1)..•四边形ABCD是平行四边形,

.\Z1 = ZC, AD=CB, AB=CD .

・.•点E、F分别是AB、CD的中点，

1 1

・.・AE=-AB , CF=-CD . 2 2

・・・AE=CF

A AADE^ACBF .

(2)当四边形BEDF是菱形时，

［解析］ (1) BM=FN. 证明：

(2) (3)

四边形AGBD 是矩形.

.・・四边形ABCD 是平行四边形， ・.・AD 〃BC . •.・AG 〃BD ,

.・・四边形AGBD 是平行四边形. ・.•四边形BEDF 是菱形， ・・・DE=BE . VAE=BE ,

・・・AE = BE = DE . .*.Z1 = Z2, Z3=Z4.

V Z1 + Z2+ Z3+ Z4= 180° , .•.2Z2+2Z3 = 180° . .•.Z2+Z3=90° . 即 ZADB=90° .

.•・四边形AGBD 是矩形

3、如图13-1, 一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在 —起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点。也是8。中点） 按顺时针方向旋转.

（1） 如图13-2,当与A8相交于点M, GF 与8。相交于点N 时，通过观察或测 量BM,

FN 的长度，猜想BM, FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2） 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时•，线段FE 的延长线与A8的延长

线相交于点M,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N,血，（1）中的矜 想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

•： 4GEF 是等腰直角三角形，四边形时CO 是正方形，

ZABD=ZF =45° , OB = OF. 又•： ZBOM=ZFON,

:.BM=FN. BM=FN 仍然成立.

证明：VAGEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形, /. ZDBA=ZGFE=45° , OB=()F.

:.ZMBO=ZNFO=\35Q

.

乂 ,：匕MOB 二 ZNOF, :. △O8M 竺△OF/V .

・・・BM=FN.

A(G)

B(E)

图 13-1

图 13-2

4、如图，已知。0的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。

3

(1)若sin ZBAD =-,求CD 的长；

(2)若ZADO： ZEDO=4： 1,求扇形OAC (阴影部分)的而枳

(结果保留4)。

［解析］(1)因为AB是。O的直径，OD = 5 所以ZADB=90° , AB=1()

BD

在Rt^ABD 中，sin ZBAD =——

AB

Q Dr\Q

又sin ABAD =-,所以——=-,所以BD = 6 5 10 5

AD = ^AB2 -BD2= V102 -62 = 8

因为NADB=90°,AB1CD

所以DE • AB = AD • BD, CE = DE

所以。Ex 10 = 8x6

24

所以DE =—

5

48

所以CD = IDE =—

5

(2)因为AB是(DO的直径，AB±CD

o o o

所以CB = BD, AC=AD

所以/BAD=/CDB, ZAOC=ZAOD 因为AO = DO,所以ZBAD=ZADO 所以NCDB = NAD0

设ZAD0=4x,则ZCDB=4x

由ZADO： ZED0=4： 1,则ZED0 = x

因为ZADO+ ZEDO+ ZEDB=90°

所以4x + 4x + x = 90°

所以x=10°

所以ZAOD=180° - (ZOAD+ZADO) =100°

所以ZA0C= ZA0D= 100°

Q _ 100 _2 _ 125

扇形。M 360 18A B