四边形的性质及证明

儒洋教育学科教师辅导讲义

教学目标 综合运用平行四边形、特殊的平行四边形和三角形的有关知识进行四边形或多边形的有关证明

重点、难点

考点及考试要求

教学容

：

一、多边形

多边形的角和：

多边形角和等于0

180)2n (- 多边形的外角和： 多边形外角和等于360

过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有2

)

3(-n n 条对角线． 过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．

二、平行四边形

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．

2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．

两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

3．平行四边形的性质：

文字表达：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分．

符号语言表达：

四边形ABCD 是平行四边形

O

D

4．平行四边形的判定：

文字表达：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言表达：

AB∥CD，BC∥AD⇒四边形ABCD是平行四边形

AB=CD，BC=AD⇒四边形ABCD是平行四边形．

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD⇒四边形ABCD是平行四边形．

OA=OC，OB=OD⇒四边形ABCD是平行四边形．

∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB⇒四边形ABCD是平行四边形．

三、矩形、菱形、正方形

1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③

具有平行四边形所有性质．

2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．

5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

四、梯形

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相等的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。

五、中位线

定义；

几何证明中经常用到中位线。

六、平面向量

定义：要素

加减法则。

七、常见辅助线用语：

1、连结XX

延长XX至X，使XX=XX

延长XX与XX，交于点X

2、过点X作XX∥XX

3、过点X作XX⊥XX于X

巩固练习：

一、填空题

1．六边形共有（）条对角线.

2．一个多边形角和为540°，则其边数为（）.

3．一个多边形每一个外角都是30°，则这个多边形是（）边形.

4．从凸n边形一个顶点出发，有（）条对角线.

5．一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数，则边数为（）.

6．任意多边形的外角和为（）度.

二、选择题（把正确答案的序号字母填入括号中）

1．一个凸n边形的n个角中，至多有几个角是锐角.结论应该是至多有（）个.

（A）4个（B）3个（C）2个（D）不能确定

2．一个凸多边形角和900°，则这个多边形边数为（）条.

（A）8 （B）5 （C）7 （D）10

3．如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形角和为（）.

（A）1800°（B）2400°（C）3240°（D）4206°

4．平行四边形对角线将其分成全等三角形（）对.

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

三、求解题

1．一个多边形的角和是其外角和的2倍，求边数.

2．多边形每一个角都是150°，求对角线的条数.

3．两个角的两边分别垂直，且一个角是另一个角的4倍还少30°，求这两个角的度数.

4．一个多边形的各角都相等，且外角之差的绝对值为60°，求边数.

5．一个多边形的角和与其一个外角的总和为1350°，求边数.