高考数学中的恒成立问题与存在性问题

“恒成立问题”的解法

常用方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。

一、函数性质法

1. 一次函数型：给定一次函数 f ( x) ax b( a 0) ,若 y f (x) 在[m,n]内恒有 f ( x)0 ，则根据函数

f (m)0

；同理，若在 [m,n] 内恒有f ( x)0f ( m)0

的图象（直线）可得上述结论等价于

0，则有.

f (n) f ( n)0 y y

o m n x o m n

x

例 1. 对满足p 2 的所有实数p ,求使不等式x2px1 2 px x 恒成立的x的取值范围。

略解：不等式即为 (x1)p x22x10 ,设 f ( p)(x1)p x22x1,则f ( p)在[2,2] 上恒大

f ( 2) 0x24x 3 0或

于 0，故有：，即x 3 x 1

x1或 x 3 .

f (2)

x 2

1 0

或

x1

x 1

2. 二次函数：

① . 若二次函数 f ( x)ax 2bx c(a0)0 （或0）在 R上恒成立，则有a0 （或 a 0

）；

00

② . 若二次函数f (x)ax2bx c(a0) 0（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及

根的分布等知识求解。

例 2. 已知函数f x 2mx2 2 4m x 1, g x mx ，若对于任一实数 x ，f ( x)与g( x)的值至少

有一个为正数，则实数m 的取值范围是（)

A．(0 ， 2)B． (0 ，8)C．(2 ，8)D．(－∞，0)

选 B。

例 3. 设f (x)x22ax2,当x[ 1,) 时，都有 f ( x) a 恒成立，求a的取值范围。

解：设 F (x) f (x)a x2 2ax2a ，

（1) 当（2）当4(a 1)(a 2) 0 时，即 2 a 1时，对一切 x [ 1, ) ， F ( x)0 恒成立；

y

4(a 1)(a 2)0 时，由图可得以下充要条件：

-1o

x

1

0(a1)(a2)0

f ( 1)0即a 3 03a 2 ;综合得 a 的取值范围为[-3，1]。

2a

1,a1,

2

例 4. 关于x的方程9x(4a)3x40 恒有解，求 a 的范围。

解法：设 3x t ,则 t0 .则原方程有解即方程t2(4a)t40有正根。

(4a) 2160

x1x2(4a)0a8.

a4

x1 x240

3.其它函数：

f ( x)0 恒成立 f (x)min0 （若 f ( x)的最小值不存在，则 f ( x)0 恒成立 f ( x) 的下界0）；

f ( x)0 恒成立 f ( x)max0（若f ( x)的最大值不存在，则f ( x)0 恒成立 f ( x) 的上界0）.

例 5．设函数f (x) 1 x3(1a)x24ax 24a ，其中常数 a1，

3

（1）讨论f( x) 的单调性；

（2）若当x0 时， f ( x)0 恒成立，求a的取值范围。.s.5.u.c.o.m

解：（ 2）由（ I ）知，当x0 时， f ( x) 在 x2a 或 x0 处取得最小值。

f (2a)1

(2a)3(1a)(2a) 24a2a24a 4 a34a 224a ；f ( 0) 24a 33

a1 a 1,

则由题意得 f (2a)0,即4

3)(a 6)0 1 a6a (1,6) 。

a( a

f (0)0,3

24a0.

二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例 6．已知函数 f ( x)

a x33x2(a 1)x 1，其中a为实数．

3 2

（1）已知函数f ( x)在x 1处取得极值，求a的值；

（2）已知不等式 f ( x)＞x2x a 1对任意a (0，)都成立，求实数x的取值范围．

2

解：由题设知 “ ax 2

3x (a 1) x 2

x a 1对

a (0，

) 都成立，即 a(x 2 2) x 2

2x 0 对

a (0，

) 都成立。设 g( a)

( x 2 2)a x 2 2x （ a R ），则 g( a) 是一个以 a 为自变量的一

次函数。

x 2

2 0恒成立，则对

x

R ， 为 R 上的单调递增函数。 所以对

a (0， )，

g(a)

g (a) 0 恒成立的充分必要条件是 g(0)

0 ， x 2

2x 0 ，2 x

0 ，于是 x 的取值范围是

{ x |

2 x

0} 。

三、 分离参数法： 利用分离参数法来确定不等式

f x,

为实参数）恒成立时参数

的

（ x D ,

取值范围的基本步骤 :

（ 1） 将参数与变量分离，即化为

g f x （或 g f x ）恒成立的形式；

（ 2） 求 f

x 在 x D 上的最大（或最小）值；

（ 3） 解不等式 g f (x)max ( 或 g f x min )

，求得

的取值范围。

适用题型：（ 1）参数与变量能分离； （2）函数的最值易求出。

例 7．当 x

(1,2) 时， x 2

mx 4 0 恒成立，则 m 的取值范围是 .

解 : 当 x

(1,2) 时，由 x 2 mx 4

0 得 m

x 2 4 . 令 f ( x)

x 2 4 x 4 ，则易知 f ( x) 在 (1,2)

x x x

上是减函数，所以 4

f ( x) 5 ，所以

x 2 4

5 ，∴ m

5 .

x

例 8. 已知 x R 时，不等式 a cos2 x 5 4sin x

5a 4 恒成立，求实数 a 的取值范围。

解：原不等式即为： 1 4sin x

2sin 2 x 5 a

5a 4 ，要使上式恒成立，只需

5a 4 -a+5 大于

1 4sin x

2sin 2 x 的最大值，因为

1 4sin x 2sin

2 x

3 ，

a 2 0

a

2 0

4

∴ 5

a

5a 4 3

5a 4 a 2

5a 4 0

a<8.

，即

或

5a 4

，解得

5a 4

(a

2)

2

5

四、数形结合 （对于 f (x) g(x) 型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）

：若把等

式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接

判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

y

例 9．若对任意 x

R , 不等式 | x | ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（

y | x |

y | x |

）

y ax

y ax

(A) a1

(B)| a | 1

(C)| a | 1

（ D ） a 1

x

3

O