人教a版必修4学案：1.1.1任意角(含答案)
高中数学必修4全套学案含答案
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制►1.1.1 任意角课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、角的概念1．角的概念(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边；终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针旋转而成的角负角按照顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．三、终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )提示：(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列各组角中，终边不相同的是( )A．60°与－300° B．230°与950°C．1050°与－300° D．－1000°与80°答案 C(2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．答案195°＋(－3)×360°课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1终边相同的角之间有什么关系？提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍．2如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)；终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)；第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．题型一正确理解角的概念例1 下列结论：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．[解析] ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[答案] ①角的概念的理解正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )A．60° B．－60°C．30° D．－30°(2)如图∠α＝__________，∠β＝__________. 答案 (1)B (2)－150° 210°解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.题型二 终边相同的角的表示及象限角 例2 已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°. [解] (1)∵－1910°÷360°＝－6余250°， ∴－1910°＝－6×360°＋250°.相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. ∴θ＝－110°或θ＝－470°.[变式探究] 与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．答案 240° －120°解析 与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.怎样表示终边相同的角及象限角(1)已知终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0°～360°范围内的角，然后再加k ·360°(k ∈Z )组成集合即可．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．二是根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【跟踪训练2】 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′.解(1)－120°＝－360°＋240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)640°＝360°＋280°，∴在0°到360°范围内与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限的角．(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，∴在0°到360°范围内与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角．题型三区域角的表示例3 写出终边落在阴影部分的角的集合．[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[变式探究] 将例3改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角．(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练3】写出终边在如下图所示阴影部分内的角α的取值范围．解(1)与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，与30°－180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋k·360°，k∈Z}，因此终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．[规律小结]1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴非负半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴非正半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}3.表示与α终边相同的角时应注意的问题(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k ·360°与α之间是“＋”号，如k ·360°－30°应看成k ·360°＋(－30°)(k ∈Z )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． [走出误区]易错点⊳分角所在象限及范围的确定的误区 [典例] 若α是第三象限的角，则α3是( )A.第一象限的角B.第三象限的角C.第四象限的角D.第一象限或第三象限或第四象限的角[错解档案] 因为α是第三象限的角，所以取α＝210°，得到α3＝70°，是第一象限的角，故选A.[误区警示] 第三象限的角α有无数个，用α＝210°得到α3＝70°而选择答案A ，犯了以偏概全的错误．[规范解答] 因为α是第三象限的角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，则k ·120°＋60°<α3<k ·120°＋90°(k ∈Z )，取k ＝0，得到α3可在第一象限；取k ＝1，得到α3可在第三象限；取k ＝2，得到α3可在第四象限．故选D.矫正训练 若α为第二象限的角，则α2为第几象限角？解 若α为第二象限角，则有随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．[2016·吉林实验高一期中]下列叙述正确的是( ) A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．钝角是第二象限角 C ．第二象限角比第一象限角大 D ．不相等的角终边一定不同 答案 B解析 三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在y 轴非负半轴上的角，故A 错误；钝角是第二象限角，B 正确；象限角不能比较大小，故C 错误；不相等的角终边也可能相同，如40°和400°，故D 错误．2．[2016·山东枣庄模拟]若α是第四象限角，则180°＋α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 因为α与180°＋α的终边关于点(0,0)对称，所以角180°＋α的终边在第二象限．3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案 －5 －60解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．若α为锐角，则－α＋k ·360°(k ∈Z )在第________象限． 答案 四解析 由于0°<α<90°，所以－90°<－α<0°，所以－α是第四象限角，从而－α＋k ·360°(k ∈Z )在第四象限．5．[2016·大连高一检测]写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出来：(1)60°；(2)－21°.解 第一步：利用终边相同的角的集合公式写出： (1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }．第二步：在第一步的基础上，利用约束条件对其中的k 值分别采用赋值法求出元素α； (1)－300°，60°，420°；(2)－21°，339°，699°.课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN 时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知α＝－130°，则α的终边落在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析∵－130°＝－360°＋230°，而230°是第三象限角，∴α的终边落在第三象限．2．已知角α的终边落在直线y＝x上，则角α的集合S＝( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}答案 D解析本题考查终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想．由于角α的终边落在直线y＝x上，故角α在0°～360°内所对应的两个角分别为45°及225°，从而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选D.3．若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是( )A．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角答案 D解析当k为偶数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第二象限角，当k为奇数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第四象限角．4．已知角α、β的终边互为反向延长线，则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案 C解析由题意知β＋180°应与α终边相同，即α＝β＋180°＋k·360°(k∈Z)，∴α－β＝180°＋k·360°.故选C.5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案 C解析由条件知k·360°<2α<k·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2016·广东佛山一中期中]终边在x轴上的角β的集合是________．答案{β|β＝180°·k，k∈Z}解析 本题考查终边相同的角的概念．终边在x 轴正半轴上的角的集合为{β|β＝360°·k ，k ∈Z }，终边在x 轴负半轴上的角的集合为{β|β＝180°·(2k ＋1)，k ∈Z }，所以终边在x 轴上的角β的集合为{β|β＝180°·k ，k ∈Z }．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________． 答案 －480°解析 时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因顺时针旋转的角为负角，∴分针转过的角为－43×360°＝－480°.8．若集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }，则M ________N ．(填“”“”)答案解析 M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z } ＝{x |x ＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }＝{x |x ＝45°·(k ＋2)，k ∈Z }，∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N . 三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，试写出终边落在阴影区域内的角的集合S (包括边界)，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解 由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合S ＝{β|120°＋k ·360°≤β≤250°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′，且120°<129°48′<250°，∴－950°12′是该集合中的角． 10．已知α为第二象限角，问2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k2·360°<α2<90°＋k2·360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． ►1.1.2 弧度制课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、弧度的概念设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝πr ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪α180l ＝r |α| 扇形的面积S ＝πr 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪α360S ＝12r 2|α|＝12rl1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度量角的单位．( )(2)终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝k ·360°＋π(k ∈Z )．( ) (3)1 rad 的角和1°的角大小一样．( )(4)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3D.π3答案 C解析 由扇形面积公式S ＝12r 2·|α|可得S ＝12×4×π3＝2π3，故选C. (2)角度与弧度互化： ①7π6＝________；②－75°＝________. 答案 ①210° ②－5π12课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1角度制与弧度制如何换算？提示：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.2扇形的弧长与面积的计算公式是什么？ 提示：l ＝|α|·r ，S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2.题型一 弧度制的概念例1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[解析] 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题．选项A 、B 、C 均为真命题．[答案] D“度”与“弧度”的区别和联系(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360. (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值．【跟踪训练1】 下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案 D解析 根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各选项，可知D 为真命题．故选D.题型二 弧度和角度的换算 例2 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.[解] (1)20°＝20×π180＝π9.(2)－15°＝－15×π180＝－π12.(3)712π＝712π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.(4)－115π＝－115π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.角度制与弧度制互化的注意事项(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【跟踪训练2】 (1)－450°化成弧度是________． (2)75π化成角度是________． 答案 (1)－52π (2)252°解析 (1)－450°＝－450×π180＝－52π.(2)75π＝75π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝252°.题型三 用弧度表示角例3 (1)把下列角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：①16π3；②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． [解] (1)①16π3＝4π＋4π3.∵0≤4π3<2π，∴16π3＝4π＋4π3.②－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4.∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4.(2)330°＝360°－30°＝2π－π6，而60°＝π3，它所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x 轴的正半轴．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋π3，k ∈Z.弧度制表示角的注意事项(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．可以先写(－π，π)或(0,2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(2)终边在同一直线上的角可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z.【跟踪训练3】 (1)把－1480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9.令k ＝－2, 则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.题型四 扇形的弧长与面积 例4 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . [解] 设这个扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)． (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝3，l ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，l ＝6.由|α|＝l R 可得：α＝23或α＝6.(2)扇形的面积 S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0<R <4)，所以，当且仅当R ＝2时，S 取得最大值4. 这时，l ＝8－2R ＝4，可求出：α＝lR＝2. 又∵0<2<π，∴|AB |＝2R ·sin α2＝4sin1.[变式探究] 将例4中扇形周长改为6 cm ，面积改为2 cm 2，求圆心角的大小． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝612lR ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2l ＝2，由|α|＝lR得α＝4或α＝1.扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πr .(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长L 转化为关于r 的函数，但要注意r 的取值范围．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1) AB ︵的长； (2)弓形AOB 的面积．解 (1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示．又S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos30°×6×sin30°＝9 3. ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.[规律小结]1.弧度制与角度制的区别与联系 (1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同． (2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可； (2)如无特别要求，不必把π写成小数；(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度； (4)同一个式子中角度和弧度不能混用． [走出误区]易错点⊳角度制与弧度制的应用误区[典例] 将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． [错解档案] 因为－1485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315°.[误区警示] 只考虑了将－1485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．[规范解答] 由－1485°＝－5×360°＋315°， 所以－1485°可以表示为－10π＋74π.矫正训练 将17π4化成k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式为________．答案 2·360°＋45° 解析 17π4＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°， 故17π4＝2·360°＋45°.随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．1920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案 D解析 ∵1°＝π180弧度，∴1920°＝1920×π180＝323π.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵－3≈－171.9°，∴α＝－3表示的角的终边在第三象限．3．[2016·南昌市高一月考]已知扇形的半径为R ，面积为R 2，那么这个扇形中心角的弧度数是________．答案 2解析 由l ＝|α|·R 及S ＝12lR ，得S ＝12|α|R 2.∴|α|＝2S R 2＝2R2R2＝2.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z解析 若角α的终边落在第二象限，则 2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .5．将下列各角转化成2k π＋α(k ∈Z )，且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.解 (1)∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋5π12，∴－1725°角与角5π12的终边相同．又∵5π12是第一象限角，∴－1725°是第一象限角． (2)∵64π3＝20π＋4π3，∴角64π3与角4π3的终边相同．又∵4π3是第三象限角，∴64π3是第三象限角． ,课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分) 1．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6答案 B解析 ∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－5π3 rad.2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案 C 解析 ∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴8π5＝8π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝288°.3．[2016·清华附中月考]若角α，β的终边关于y 轴对称，则α，β的关系一定是( ) A ．α＋β＝π B ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) 答案 D解析 本题考查关于y 轴对称的两个角之间的关系．角α，β的终边关于y 轴对称，则画图可知α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，D 选项正确；也可以用特殊值方法，例如取α＝π4，β＝3π4或α＝－π4，β＝－3π4，结合选项可知D 正确．故选D. 4．[2016·兰州一中高一期末]已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 由S ＝12lR 及|α|＝l R ，得S ＝12l 2|α|＝12·422＝4.5．[2016·浙江永嘉高一月考]集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，} k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案 C解析 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 6．角度制与弧度制间的互化：(1)1095°＝__________rad ；(2)－94π＝__________.答案 (1)7312π (2)－405°解析 (1)1095°＝1095×π180＝73π12.(2)－94π＝－94π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－405°. 7．若圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用π表示)答案π2 cm 32π cm 2解析 15°＝15×π180＝π12，l ＝|α|·r ＝π12×6＝π2cm ， S ＝12l ·r ＝12×π2×6＝32π cm 2.8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．答案 13解析 本题考查弧长公式的应用．设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr ，设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.∵角α与14π9终边相同，∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，面积为S cm 2，弧长为l cm ，则有l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R ，∴S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25.故当半径R ＝5时，扇形的面积有最大值25 cm 2.此时扇形的圆心角为α＝l R ＝20－2×55＝2.[基础自学]一、三角函数的定义 1．单位圆中三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 2．任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P 的坐标(x ，y )，它到原点的距离是r (r >0)，r ＝x 2＋y 2，那么任意角的三角函数的定义：tanαyxtanα＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠kπ＋π2，k∈Z记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)终边相同的角的同名三角函数值相等1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα，cosα，tanα中可以将“α”与“sin”“cos”“tan”分开．( )(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．( )(3)sin253π＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝sinπ3＝32.( )提示：(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则角α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 D解析若sinα<0，则α为第三或第四象限角．若tanα<0，则α为第二或第四象限角，故α为第四象限角，选D.(2)计算：sin180°＋2cos270°的值为________．答案0解析sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.(3)tan390°的值为________．答案33解析tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？提示：由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．题型一 求任意角的三角函数值例1 [2015·黑龙江五校联考]已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ 的值．[解] 由已知有24m ＝m3＋m2， 得m ＝0，或m ＝± 5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. [变式探究] 将例1中的P 点坐标改为(3，m )再去求解． 解 ∵24m ＝mm 2＋3，∴m ＝0或m ＝±5， 当m ＝0时，cos θ＝1，tan θ＝0； 当m ＝5时，cos θ＝64，tan θ＝153； 当m ＝－5时，cos θ＝64，tan θ＝－153.利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．(3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．【跟踪训练1】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则2cos 2θ－1＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝t5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. ∴2cos 2θ－1＝25－1＝－35.题型二 三角函数值的符号例2 (1)α是第四象限角，判断sin α·tan α的符号； (2)若sin α|sin α|＋|cos α|cos α＝0，试判断α所在象限．[解] (1)∵α是第四象限角，∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0. (2)由条件知，sin α与cos α异号． ∴α是第二象限角或第四象限角．[变式探究] 将例2(1)中α改为第三象限角，则sin α·tan α的符号如何？ 解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，tan α>0，∴sin α·tan α<0.熟记各象限函数值的符号准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号并牢记记忆口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”是解决这类问题的关键．【跟踪训练2】 (1)若sin α＝－2cos α，判断sin α·tan α的符号；(2)判断符号：sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)∵sin α＝－2cos α，∴sin α与cos α异号． ∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α<0，sin α>0，∴sin α·tan α<0. 当α是第四象限角时，tan α<0，sin α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0. ∴sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π<0.题型三 诱导公式(一)的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式化简(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的．【跟踪训练3】 求值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin810°＋ta n765°＋tan1125°＋cos360°. 解 (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.[规律小结]1.对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2.三角函数值在各象限内的符号(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． (2)对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．3.诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．[走出误区]易错点⊳求三角函数定义域的误区[典例] 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围． [错解档案] 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0tan x ≥0①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0tan x ≤0②对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 因此x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π－π2≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋π2或x ＝⎭⎬⎫k π2，k ∈Z .[误区警示] 求y ＝sin x ·tan x 的x 取值范围时没有考虑tan x 的条件，致使思考问题不周全而出错．[规范解答] 所求x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ·tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2k ∈Z .根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π－π2<x <2k π或2k π<x <2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z .矫正训练 求y ＝cos xsin x的x 的取值范围． 解 ∵cos x ≥0∴x 为第一、四象限角或x 轴非负半轴上的角或y 轴上 又∵sin x ≠0 ∴x 不能在x 轴上∴x 为第一或第四象限角或y 轴上．x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －π2＋2k π≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z。
人教A版高中数学必修四教案全
高中数学必修4 教案1.1．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类： ④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵B 1 y⑴O x45° B 2O x B 3y30°60o 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边顶点AO B例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角此时，2α属于第四象限角 因此2α属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制（一）教学目标（四） 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（五） 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：2360；180；1801()57.305718rad ；180( )nn．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．7．弧长公式 l l rr弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度． 例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+=而67π是第三象限的角,193是第三象限角.(2) 315316,666是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．O R l22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P 6 –P 8；②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．4-1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
高一数学人教A版必修4学案：111任意角含答案1.doc
THE FIRST CHAPTER第一章三角函数1. 1任意角和弧度制1. 1.1任意角［学习目标］1•了解角的概念2掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.尹预习导学全挑战自我•点点落实________________________________________________ ［知识链接］1.手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小吋，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30。
；可将时针逆时针方向旋转45。
.2.在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的儿何图形叫做角.定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.3.初中所学角的范围是什么？答角的范围是［0。
，360°］.［预习导引］1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示方法：①常用大写字母儿3, C等表示:②也可以用希腊字母$、匸匕等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母丄表示.(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第儿象限，就说这个角是第儿象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=｛0|0=a+E36O。
，MZ｝, 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.戸课堂讲义/ 重点难点，个个击破 ____________________________________________________________要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中：①0。
〜90。
的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.1.1 任意角
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课后篇巩固探究1.200°角是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以200°角是第三象限角.2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )A.-300°B.-300°,60°C.60°D.420°60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.±45°,k∈Z},P=,P之间的关系为( ) 6.已知集合M={x|x=k·180°2A.M=PB.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z, M,x=k·180°2对于集合P,x=k·180°±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴4M⊆P.7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.若角α与角288°终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是.,得α=288°+k·360°(k∈Z),α4=72°+k·90°(k∈Z).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为.由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k ∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.Z}10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-1910360=-51136.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.。
人教A版数学必修四1.1.1任意角基础达标(含答案解析).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．下列命题中，正确的是( )A ．始边和终边都相同的两个角一定相等B ．－135°是第二象限角C ．若450°<α≤540°，则α4是第一象限角 D ．相等的两个角终边一定相同解析：选D.据角的相关概念易知．2．－1 120°角所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得－1 120°＝320°＋(－4)×360°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°＋(－5)×360°解析：选D.注意角α的取值范围是解题的关键．4．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k 为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．5．终边落在x 轴上的角的集合为( )A ．{β|β＝n ·360°，n ∈Z }B ．{β|β＝n ·180°，n ∈Z }C ．{β|β＝(2n ＋1)·180°，n ∈Z }D ．{β|β＝(2n ＋1)·360°，n ∈Z }答案：B6．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是________．解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°，k ∈Z .当k ＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．答案：－7°，353°，713°7．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时，－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°. 答案：－960°8．根据角α终边的位置，写出角α的集合：在第二象限角平分线上时，α＝________，k ∈Z ；在第一、三象限角平分线上时，α＝________，k ∈Z .解析：先研究角在[0°，360°)内的情况，再加上360°的整数倍，即可得终边在第二象限角平分线上的角，α＝135°＋k ·360°，k ∈Z ；终边在第一、三象限角平分线上，α＝45°＋k ·180°，k ∈Z .答案：135°＋k ·360° 45°＋k ·180°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．写出如图所示阴影部分的角α的范围．解：(1)因与45°角终边相同的角可写成45°＋k ·360°，k ∈Z 的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k ·360°，k ∈Z 的形式．所以图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k ·360°<α≤45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k ·360°≤α≤300°＋k ·360°，k ∈Z }．。
人教版高中数学必修4教案学案：1.1.1任意角(教、学案)
1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限； 2．终边相同的角的书写。
四、学情分析 五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
2020-2021高中数学必修4学案：1.1.1 任意角
1.1.1任意角考试标准课标要点学考要求高考要求任意角的概念 a a终边相同的角的表示b b象限角的概念 b b注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”．知识导图学法指导1.结合实例明确任意角的概念．2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．3．角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角4.象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．()(2)第一象限的角一定是锐角．()(3)终边相同的角是相等的角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2019°是第()象限角()A．一B．二C．三D．四解析：2019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°，∴2019°是第三象限角．答案：C类型一任意角的概念及应用例1(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】(1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×22 3＝－960°.【答案】(1)C(2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、差90°的整数倍．跟踪训练2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．(1)α＝60°；(2)α＝－210°；(3)α＝364°13′.解析：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360 °＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．类型三象限角与区间角的表示例3(1)若α是第四象限角，则－α一定在()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【解析】(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．【答案】(1)A(2)见解析依题意写出α的范围，再求－α的范围．由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.方法归纳象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练3已知α是第二象限角，则180°－α是()A.第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．答案：A定α的范围→定180 °－α的范围→定180 °－α是第几象限角[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A．45°B．90°C．180°D．270°解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．答案：B2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.答案：D3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.答案：C5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)解析：α与β的终边关于y轴对称，则α与180°－β终边相同，故α＝180°－β＋360°·k，即α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390°－150°60°7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}三、解答题(每小题10分，共20分)9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．|能力提升|(20分钟，40分)11．若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是()A．α＋β＝－50°B．α－β＝180°C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)解析：由题意可知，α＝k1·360°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．答案：D12．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且0°<α<360°，则角α的值为________．解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k ·360°－75°，k ∈Z }．又0°<α<360°，令k ＝1，得α＝285°.答案：285°13．如图，写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．解析：方法一 终边在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }．综上，终边在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．方法二 如图，观察图形可知，终边在直线y ＝3x 上的最小正角为60°，其终边每旋转180°便与直线重合，∴终边在y ＝3x 上的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．14．已知α是第四象限角，则2α，α2各是第几象限角？解析：由题意知k ·360°＋270°<α<k ·360°＋360°(k ∈Z )，因此2k ·360°＋540°<2α<2k ·360°＋720°(k ∈Z )，即(2k ＋1)360°＋180°<2α<(2k ＋1)360°＋360°(k ∈Z )，故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．又k ·180°＋135°<α2<k ·180°＋180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则n ·360°＋135°<α2<n ·360°＋180°(n ∈Z )，此时，α2是第二象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则n ·360°＋315°<α2<n ·360°＋。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《任意角三角函数一》(含答案解析)学生版
思考 1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考 2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变？
思考 3 在思考 1 中，当取|OP|=1 时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域 思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理 三角函数的定义域
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点 P(x，-1)(x≠0)，且 tan θ=-x，则 sin θ＋cos θ=
.
1
1
15.已知
=-
，且 lg(cos α)有意义.
|sin α| sin α
(1)试判断角α所在的象限；
3 ，m
(2)若角α的终边与单位圆相交于点 M 5 ，求 m 的值及 sin α的值.
C.第三象限角
D.第四象限角
2π
2π
sin ，cos
4.已知角α的终边上一点的坐标为
3
3 ，则角α的最小正值为( )
5π A.
6
2π B.
3
4π C.
3
11π D.
6
3 5.已知角α的终边经过点 P(3，4t)，且 sin(2kπ＋α)=- (k∈Z)，则 t 等于( )
5
9 A.-
高中数学：1.1.1 任意角的概念 Word版含答案
1.1.1任意角的概念一、三维目标：知识与技能：理解任意角的概念、象限角”、“终边相同的角”的含义，体会角的概念推广的必要性和实际意义，会表示终边相同的角，能在0360o o :的角找出与已知角终边相同的角。
过程与方法：通过实例理解用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，同时培养数形结合的思想和用运动变化观点思考问题的意识。
情感态度与价值观：通过学习，体会数学的发展源于实际的需要，从而激发学习热情和求知欲。
二、学习重、难点：重点：理解正角、负角、象限角、终边相同的角的含义，将0360o o :的角推广到任意角。
难点：角的概念的推广；终边角相同的角的表示，象限角的集合。
三、学法指导：认真阅读教材,对教材的相关概念进行标注。
通过具体的实例来领会概括任意角的概念，象限角”、“终边相同的角”的含义 。
四、知识链接：初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 。
五、学习过程：阅读教材P2-3,回答下面问题(一～二)：（一）、正角、负角、零角概念：注：如何理解角的概念？高中数学中的角是以动态的观点来刻画的，对其理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待：既有旋转方向，又有旋转大小，同时注意即使不旋转也是一个角，从而得到正角、负角、零角的定义及范围超出0360o o :的角。
A 例1： 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.50小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？（二）、象限角概念C 思考问题：在直角坐标系内讨论角有什么好处？是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？B 例2：{90}A =o 小于的角，{}B =第一象限的角，{}C =锐角，={090{090}}D θθ≤<o o o o :间（即）的角）.下列选项中正确的有 （填序号）。
①A=C=D ⊆B ； ②C ⊆ D ⊆A ； ③C ⊆ D ⊆B④C ⊆ D ⊆ B ⊆A ； ⑤B ∩D=C ；⑥A ∩B=C 。
2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)
1．1.1 任意角[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛] 对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．( )(2)钝角是第二象限的角．( )(3)终边相同的角一定相等．( )2．与45°角终边相同的角是( )A．－45° B．225° C．395° D．－315°3．下列说法正确的是( )A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．任意角的概念[典例]A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．终边相同角的表示[典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．象限角的判断[典例]作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角αn，nα(n∈N *)所在象限的确定 [典例] 已知α是第二象限角，求角2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况． (2)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．层级一学业水平达标1．－215°是( )A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．下面各组角中，终边相同的是( )A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )A．M∩N＝∅ B．M N C．N M D．M＝N5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．参考答案[小试身手]1．答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．答案：D 3．答案：A4．答案：－25° 395°[典例][解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误． [答案] C [活学活用]解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60° [典例][解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k<21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角． [活学活用]解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k·180°，k ∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k ∈Z}. [典例][解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． [活学活用]解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.[典例][解] 法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n(n ∈Z)，得n·360°＋45°<α2<n·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n·360°＋225°<α2<n·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一 学业水平达标1．解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k ∈Z ，当k ＝2n ＋1，n ∈Z ，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角．4．解析：选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确． 5．解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确． 答案：①③7．解析：5α＝α＋k·360°，k ∈Z ，∴α＝k·90°，k ∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144° 9．解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．解析：选D ①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
新人教A版必修四第一章1.1.1任意角知识梳理及重难点题型(含解析版)
.1.1.1 任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点 1 任意角的概念】1.任意角定义构成要素表示2.角的分类分类正角负角零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 始边、顶点、终边常用大写字母 A ，B ，C 等表示腊字母 α，β，γ 等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母 x 表示.定义按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角【知识点 2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{x | k ⋅ 360o < α < k ⋅ 360o + 90o , k ∈ Z }第二象限角{x | k ⋅ 360o + 90o < α < k ⋅ 360o + 180o , k ∈ Z }第三象限角{x | k ⋅ 360o + 180o < α < k ⋅ 360o + 270o , k ∈ Z }第四象限角{x | k ⋅ 360o + 270o < α < k ⋅ 360o + 360o , k ∈ Z }3.非象限角βββββ β{ }当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示 角的终边位置x 轴的非负半轴集合表示{ | β = k ⨯ 360 , k ∈ Z }x 轴的非正半轴{ | β = k ⨯ 360+ 180, k ∈ Z }x 轴上{ | β = k ⨯180 , k ∈ Z }y 轴非负半轴y 轴非正半轴{ | β = k ⨯ 360{ | β = k ⨯ 360+ 90 , k ∈ Z }- 90 , k ∈ Z}y 轴上{ | β = k ⨯180+ 90, k ∈ Z }【知识点 3 终边相同的角】一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S = β | β = α + k ⋅ 360 , k ∈ Z ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.举一反三【考点 1 象限角与集合间的基本关系】【例 1】（2019 春•杜集区校级月考）设 A ＝{小于 90°的角}，B ＝{第一象限角}，则 A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于 90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【考点 3 已知 α 终边所在象限求 2α， α， 】【变式 1-1】（2019 秋•钦南区校级月考）已知 A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于 90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆CC ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【变式 1-2】（2019 秋•黄陵县校级月考）设 A ＝{θ|θ 为锐角}，B ＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C ＝{θ|θ 为第一象限的角}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【变式 1-3】（2019 秋•宜昌月考）设 M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k•45°，k ∈Z }，则（） A ．M ⊆NB ．M ⊇NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅【考点 2 求终边相同的角】【例 2】（2019 春•娄底期末）下列各角中与 225°角终边相同的是（）A ．585°B ．315°C ．135°D ．45°【变式 2-1】（2018 春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A ．﹣398°，1042°C ．﹣398°，38° B ．﹣398°，142°D ．142°，1042°【变式 2-2】（2018 春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A ．{α|α＝k •360°+457°，k ∈Z }C ．{α|α＝k •360°+263°，k ∈Z } B ．{α|α＝k •360°+97°，k ∈Z }D ．{α|α＝k •360°﹣263°，k ∈Z }【变式 2-3】（2018 春•林州市校级月考）在 0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（）A ．136°18'B ．136°42'C ．226°18'D ．226°42'α2 3【例 3】（2018 秋•宜昌期末）已知 α 为锐角，则 2α 为（）2是（A．第一象限角C．第一或第二象限角B．第二象限角D．小于180°的角【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则α的终边所在位置不可能是（）3A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则α所在的象限是（）2A．第一或第二象限C．第一或第三象限B．第二或第三象限D．第二或第四象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则-α）A．第一象限角C．第一或第三象限角B．第一或第二象限角D．第二或第四象限角【考点4终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合C．关于x轴对称B．关于原点对称D．关于y轴对称【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．（2）集合 M = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ ，N = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ 那么两集合的关系是什么？k k 2 4【考点 5 已知终边求角】【例 5】（2019 春•凉州区校级月考）已知 α＝﹣1910°．（1）把角 α 写成 β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出 θ 的值，使 θ 与 α 的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【变式 5-1】若角 α 的终边落在直线 x +y ＝0 上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角 α．【变式 5-2】已知 α、β 都是锐角，且 α+β 的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β 的终边与 670°角的终边相同，求∠α、∠β 的大小．【变式 5-3】（2018 春•武功县期中）已知角 α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭【考点 6 已知角终边的区域确定角】【例 6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【变式 6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1任意角的概念】1.任意角.β定义构成要素表示2.角的分类分类正角负角零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 始边、顶点、终边常用大写字母 A ，B ，C 等表示腊字母 α，β，γ 等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母 x 表示.定义按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角【知识点 2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{x | k ⋅ 360o < α < k ⋅ 360o + 90o , k ∈ Z }第二象限角{x | k ⋅ 360o + 90o < α < k ⋅ 360o + 180o , k ∈ Z }第三象限角{x | k ⋅ 360o + 180o < α < k ⋅ 360o + 270o , k ∈ Z }第四象限角{x | k ⋅ 360o + 270o < α < k ⋅ 360o + 360o , k ∈ Z }3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示 角的终边位置x 轴的非负半轴集合表示{ | β = k ⨯ 360 , k ∈ Z }ββββ β{ }x 轴的非正半轴{ | β = k ⨯ 360+ 180, k ∈ Z }x 轴上{ | β = k ⨯180 , k ∈ Z }y 轴非负半轴y 轴非正半轴{ | β = k ⨯ 360{ | β = k ⨯ 360+ 90 , k ∈ Z }- 90 , k ∈ Z}y 轴上{ | β = k ⨯180+ 90, k ∈ Z }【知识点 3 终边相同的角】一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S = β | β = α + k ⋅ 360 , k ∈ Z ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.举一反三【考点 1 象限角与集合间的基本关系】【例 1】（2019 春•杜集区校级月考）设 A ＝{小于 90°的角}，B ＝{第一象限角}，则 A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于 90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【分析】先求出 A ＝{锐角和负角}，B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，由此利用交集的定义给求出 A ∩B ．【答案】解：∵A ＝{小于 90°的角}＝{锐角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，∴A ∩B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}．D故选：D ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角的概念的合理运用．【变式 1-1】（2019 秋•钦南区校级月考）已知 A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于 90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆CC ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【分析】分别判断，A ，B ，C 的范围即可求出【答案】解解：∵A ＝{第一象限角}＝（k •360°，90°+k •360°），k ∈Z ；B ＝{锐角}＝（0，90°），C ＝{小于 90°的角}＝（﹣∞，90°）∴B ⊆C ，故选：B ．【点睛】本题考查了任意角的概念和角的范围，属于基础题．【变式 1-2】（2019 秋•黄陵县校级月考）设 A ＝{θ|θ 为锐角}，B ＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C ＝{θ|θ 为第一象限的角}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【分析】根据 A ＝{θ|θ 为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得结论．【答案】解：根据 A ＝{θ|θ 为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}， ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得 A ＝D ．故选：D ．【点睛】本题考查象限角和任意角，考查学生对概念的理解，比较基础．【变式 1-3】（2019 秋•宜昌月考）设 M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k•45°，k ∈Z }，则（ ）A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】讨论k为偶数和k为奇数时，结合N的表示，从而确定N与M的关系．【答案】解：∵N＝{α|α＝k•45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n时，n∈Z，α＝k•45°＝2n•45°＝n•90°，∴当k为奇数，即k＝2n+1时，n∈Z，α＝k•45°＝（2n+1）•45°＝n•90°+45°，又M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，∴M⊆N．故选：A．【点睛】本题主要考查了集合之间的关系与应用问题，是基础题．【考点2求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（）A．585°B．315°C．135°D．45°【分析】写出与225°终边相同的角，取k值得答案．【答案】解：与225°终边相同的角为α＝225°+k•360°，k∈Z，取k＝1，得α＝585°，∴585°与225°终边相同．故选：A．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，是基础题．【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°C．﹣398°，38°B．﹣398°，142°D．142°，1042°【分析】根据终边相同的角的定义，化﹣398°和1042°为α+k•360°，k∈Z的形式，再判断即可．【答案】解：由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．【点睛】本题考查了终边相同角的概念与应用问题，是基础题．）【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又263°与﹣457°终边相同．【答案】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k•360°，k∈Z，又263°与﹣457°终边相同，∴{α|α＝263°+k•360°，k∈Z}，故选：C．【点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．）【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（A．136°18'B．136°42'C．226°18'D．226°42'【分析】直接由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′得答案．【答案】解：由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′，可得，在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为226°42′，2，3】3的终边所在位置不可能是（故选：D．【点睛】本题考查终边相同的角的表示法，是基础题．【考点3已知α终边所在象限求2α，αα【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角【分析】写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．【答案】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选：D．【点睛】本题考查象限角与轴线角，基本知识的考查，送分题．【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则αA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【分析】写出第二象限的角的集合，得到的范围，分别取k值得答案．【答案】解：∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z．则30°+k•120°＜＜60°+k•120°，k∈Z．当k＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．）2是（由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查终边相同角的集合，是基础题．【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则α所在的象限是（）2A．第一或第二象限C．第一或第三象限B．第二或第三象限D．第二或第四象限【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【答案】解：∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则-αA．第一象限角B．第一或第二象限角）C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【分析】由α是第三象限角，得到180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，从而能求出﹣的取值范围，由此能求出﹣所在象限．【答案】解：∵α是第三象限角，∴180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，∴﹣135°﹣k•180°＜﹣＜﹣90°﹣k•180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意第三象限角的取值范围的合理运用．【考点4终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合C．关于x轴对称B．关于原点对称D．关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可．【答案】解：α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°，∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【点睛】本题主要考查角的终边位置关系的判断，结合角的关系是解决本题的关键．【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【分析】角α的终边与45°角的终边关于原点对称，可得α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【答案】解：∵角α的终边与45°角的终边关于原点对称，∴α＝k•360°+225°，（k∈Z）．故答案为：α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【点睛】本题考查了终边相同的角，属于基础题．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【分析】求出β∈[0°，360°）时角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称的值，再根据终边相同的角写出角β的取值集合．【答案】解：若β∈[0°，360°），则由角α＝﹣60°，且角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称，可得β＝330°，所以当β∈R时，角β的取值集合是{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．故答案为：{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题主要考查了终边相同的角的定义和表示方法，是基础题．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【分析】由题意画出图形，然后利用终边相同角的表示法得答案．【答案】解：如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k•360°，k∈Z；210°+k•360°，k∈Z；30°+k•360°，k∈Z．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，数形结合使问题更加直观，是基础题．【考点5已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【分析】（1）利用终边相同的假的表示方法，把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，然后指出它是第几象限的角；（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且﹣720°≤θ＜0°．【答案】解：（1）∵﹣1910°＝﹣6×360°+250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式为：﹣1910°＝﹣6×360°+250°，它是第三象限的角．（2）∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k•360°+250°，k∈Z，k＝﹣1，k＝﹣2满足题意，得到θ＝﹣110°，﹣470°．【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查．【变式5-1】若角α的终边落在直线x+y＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【分析】求出角α的终边相同的角，然后求解在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【答案】解：角α的终边落在直线x+y＝0上，则直线的倾斜角为：45°，角α的终边的集合为：{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}．当k＝﹣2时，α＝﹣315°，k＝﹣1时，α＝﹣135°，k＝0时，α＝45°，k＝1时，α＝225°，在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α：﹣315°，135°，45°，225°．【点睛】本题考查终边相同角的表示，考查计算能力．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【分析】按照终边相同角的表示方法将α+β、α﹣β表示出来，然后解出α、β，由α、β都是锐角得到所求．【答案】解：因为α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，所以α+β＝﹣280°+360°k；α﹣β＝670°+360°k；k∈Z；（2）集合 M = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ ，N = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ 那么两集合的关系是什么？k k 2 4 两式相加，2α＝390°+720°k ＝360°+30°+720°k ＝30°+720°k ；α＝15°+360°k ；因为 α，β 是锐角，所以 α＝15°；β＝65°．【点睛】本题考查了终边相同角的表示，利用方程组的思想求两角，属于基础题．【变式 5-3】（2018 春•武功县期中）已知角 α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭【分析】（1）所有与角 α 有相同终边的角可表示为 45°+k ×360°（k ∈Z ），列出不等式解出整数 k ，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数 k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【答案】解析：（1）由题意知：β＝45°+k ×360°（k ∈Z ），则令﹣720°≤45°+k ×360°≤0°，得﹣765°≤k ×360°≤﹣45°，解得 ，从而 k ＝﹣2 或 k ＝﹣1，代回 β＝﹣675°或 β＝﹣315°．（2）因为 M ＝{x|x ＝（2k +1）×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N ＝{x|x ＝（k +1）×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ⊊N ．k 【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k ，代回求出所求解；（2）可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论．【考点 6 已知角终边的区域确定角】【例 6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【分析】利用象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质即可得出．【答案】解：图 1：角的集合为{α|30°+k ×360°≤α≤120°+k •360°，k ∈Z }；图 2：角的集合为{α|﹣210°+k •360°≤α≤30°+k •360°，k ∈Z }；图 3：角的集合为{α|﹣45°+k •360°≤α≤30°+k •360°，k ∈Z }；图 4：角的集合为{α|60°+k •360°≤α≤120°+k •360°， ∈Z }∪{α|240°+k •360°≤α≤300°+k •360°， k ∈Z }．【点睛】本题考查了象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【变式 6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．k【分析】（1）直接由终边相同角的表示法写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）结合（1）中写出的终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合，利用不等式表示出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】解：（1）如图，终边落在 OA 上的角的集合为{α|α＝150°+k •360°，k ∈Z }．终边落在 OB 上的角的集合为{α|α＝﹣45°+k •360°，k ∈Z }；（2）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为{β|﹣45°+k •360°≤β≤150°+k •360°， ∈Z }．【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题．【变式 6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于 x 轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图 1 所表示的角的集合：{α|k •360°﹣30°＜α＜k •360°+75°，k ∈Z }．图 2 终边落在阴影部分的角的集合．{α|k •360°﹣135°＜α＜k •360°+135°，k ∈Z }【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图（1）所表示的角的集合：{α|k•360°﹣135°≤α≤k•360°+135°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合{α|k•180°+30°≤α≤k•180°+60°，k∈Z【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．。
数学人教A版必修4目标导引 1.1.1任意角 含解析 精品
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
一览众山小
诱学导入
材料：在实际生活中，许多地方都会涉及到角的概念，如自行车轮子、螺丝扳手、曲轴连杆等，在按不同方向旋转时都形成了不同的角，挂在墙上的钟表、戴在手脖的手表，更是为我们展示了角的形象.
问题：如果你的手表慢了5分钟，你将怎样将它校准？假如你的手表快了1.25小时，你又应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
导入：在生活中，由于钟表的时针与分针都是按顺时针方向旋转的，所以它们转动的角度都是一个负数，这样经过1小时后分针转动了一周为360°，时针转动了360°÷12=30°.
因此你的手表慢了5分钟，只需把分针按顺时针方向旋转30°即可.由于旋转是相对的，比如说手表快了1.25小时，只需把分针按逆时针方向旋转1.25×360°=450°；也可理解为手表慢了10.75小时，只需把分针按顺时针方向转10.75×360°=3 870°就可以把它校准.当然还可旋转更大的角度.
要准确地刻画角，必须既知道旋转量，又要知道旋转方向.这就需要对角的概念进行推广.
温故知新
1.初中数学中,角的定义有哪两种?
答:①从一点出发的两条射线所构成的图形；②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所构成的图形.
2.初中数学中,如何理解角的旋转?
答:射线旋转时所经过的平面部分为角的内部，此时不考虑射线旋转的方向，即不论按逆时针方向还是顺时针方向旋转，旋转的绝对量是一样的，而且旋转的绝对量不超过一个周角(0°到360°).。
高一数学人教A版必修四教案：1.1.1 任意角 Word版含答案
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
人教版高中数学高二人教A版必修4同步学案 1.1.1任意角
第1章1.1第1课时1.1.1任意角课前准备温故知新：在过去我们所学的角都是在003600--之间的角，如果把角局限到这样一个范围之内，有很多问题无法解决，比如时钟分针顺时针和逆时针方向分别转半圈，所形成的角是否相等，跳水运动员转体2周半是转了多少，这些都无法表示。
这些都要求角的范围必须在原有的基础上扩大。
学习目标：了解任意角的概念，会表示终边相同的角，并能结合图示了解象限角和轴上角。
课前思索：正角和负角的区别是什么？终边相同的角一定相等吗？课堂学习一、学习引领1．角的概念进行推广的导因：在初中学习数学时，我们认识了在003600≤≤α范围内的角，但是在现实生活中会接触到不在该范围内的角，这样对角进行了推广就急切的被提出来。
为了使按不同方向旋转所得角有所区别，规定：在直角坐标系中，将角α的始边绕原点O 逆时针方向旋转，则可以得到所有的正角；如果按照顺时针方向旋转，则得到所有的负角。
另外，对于角的概念推广之后要注意几个问题：（1）注意旋转方向不同产生正角、负角和零角；（2）要注意角的集合形式不唯一；（3）按终边位置不同产生象限角和轴线角；（4）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；（5）要注意{}090|<=ααA ，=B {α是锐角}，=C {α是第一象限角}这三者之间的联系；（6）要注意区间角：如[]0090,0，注意它与象限角和轴线角的区别；（7）若α是第二象限角，2α不一定是第一象限角，α2也不一定是第四象限角。
2．正角、零角、负角的形成：正角是指一条射线按逆时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．对于它的理解首先是要旋转，不旋转不行，同时要注意旋转方向，一定是逆时针方向，至于旋转多少没有限制．所以任意的正角是存在的，正角越大说明按逆时针旋转的量也越大（或者圈数越多）．零角则是一条射线没有做任何旋转所形成的角，有的同学对这个会出现理解上的误差，他认为不旋转就形不成角．负角则是指一条射线按顺时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．有了负角之后，角的范围就可以任意得到扩充．3．理解好象限角与轴上角（有的称为轴线角）：象限角：角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的非负半轴，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角；终边在第二象限的角可表示为：{}Z k k k ∈+⋅<<+⋅,180360903600000αα，同学们，你能表示出终边在第一、三、四象限的角吗？请你试一试．轴上角（有的称为轴线角）：角的顶点合于坐标原点，角的始边是x 轴的非负半轴，那么角的终边落在坐标轴上，称为轴上角（也可称为轴线角），此时这个角不属于任何一个象限．终边在y 非负半轴的角的集合为{}Z k k ∈+⋅=,9036000ββ，你能写出其它轴上角吗？请同学们试一试． 4．终边相同的角：所有与α角终边相同的角内可以构成一个集合：S={β|β=α+k ·360°，k ∈Z }，也就是说任意与角α终边相同的角，都可以表示成角α与0360的整数倍的和．同学们要记住终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
高中数学必修四教案-1.1.1 任意角(10)-人教A版
任意角【教学目标】要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
【教学重点】理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义【教学难点】“旋转”定义角【课标要求】了解任意角的概念【教学过程】一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。
三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体7200”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转3000；顺时针旋转3000师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转。
说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法。
2．角的概念的推广：（1）定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
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第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。