人教a版必修4学案：1.1.1任意角(含答案)

第一章三角函数

§1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

自主学习

知识梳理

1．角的概念

(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

类型定义图示

正角按______________________形成的角

负角按________________形成的角

零角一条射线________________，称它形成了一个零角

2.象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．

4．终边落在坐标轴上角的集合

终边所在的位置角的集合

x轴正半轴

x轴负半轴

x轴

y轴正半轴

y轴负半轴

y轴

自主探究

终边落在各个象限的角的集合.

α终边所在的象限角α的集合

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

对点讲练

知识点一终边相同的角与象限角

例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.

知识点二 终边相同的角的应用

例2 已知，如图所示，

(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．

变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

知识点三 角的象限的判断

例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α

2

的终边所在的位置．

回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α

3等是第几象限角，主要方法是解不等

式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．

变式训练3 已知α为第三象限角，则α

2

所在的象限是( )

A ．第一或第二象限

B ．第二或第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．

2．关于终边相同角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

注意：(1)α为任意角．

(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．

(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

(4)k ∈Z 这一条件不能少.

课时作业

一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )

A ．{α|－45°≤α≤120°}

B ．{α|120°≤α≤315°}

C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }

D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }

二、填空题

6．经过10分钟，分针转了________度．

7．下列命题：

①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)

8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.

三、解答题

9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．

10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

第一章三角函数

§1.1任意角和弧度制

1．1.1任意角

知识梳理

1．(1)一条射线端点旋转

(2)

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角

4.

终边所在的位置角的集合

x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}