考研高数：常见的旋转曲面求法
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)
虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3 )
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
截痕图
o x
y
（3）用坐标面 yoz ( x 0) 或 x x1 去截曲面
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
2. 双叶双曲面
该方程就是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理， yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f
y,
x z
2
2
0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
方程可写为
（二）双曲面 1. 单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
z
o x
y
与平面 z z1 的交线为椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
2
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2
x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c
如方程
x 2 y 2 2 z 2 1 表示旋转椭球面
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
x2 y2 2 2 1 a z1 b z1 z z 1
空间几何旋转曲面方程记忆口诀
空间几何旋转曲面方程记忆口诀空间几何旋转曲面方程记忆口诀一、引子在学习空间几何的过程中，我们经常会遇到旋转曲面方程这一内容。
它们在三维空间中呈现出各种不同的形态，对于我们理解和掌握空间几何的知识至关重要。
但是，由于其复杂的形式和多样的变化，我们往往会感到困惑和不知所措。
本文将结合口诀的形式，带领大家逐步记忆和理解空间几何旋转曲面方程，希望对大家的学习能够有所帮助。
二、空间几何旋转曲面简介在空间几何中，旋转曲面是指直线或者曲线绕着一条轴线旋转而形成的曲面。
它们可以分为圆锥曲面、双曲面、抛物面等多种类型，每种类型又有不同的特点和方程形式。
而要深入理解和掌握这些旋转曲面的方程，我们首先需要记忆它们的具体形式和特点。
三、提出口诀为了更好地帮助大家记忆空间几何旋转曲面的方程，我特意设计了如下口诀，希望能够带给大家一些帮助：“圆锥曲面轴中心，双曲面两异心。
抛物面退化记，口诀带你追。
”四、口诀解读1. 圆锥曲面轴中心：圆锥曲面的方程一般形式为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \)当圆锥曲面的轴与坐标轴重合时，即轴线通过空间坐标系的原点时，称之为轴中心圆锥曲面。
2. 双曲面两异心：双曲面的方程有两种形式，一般的双曲面方程为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \)当双曲面有两个焦点且与坐标轴相交时称之为双曲面两异心。
3. 抛物面退化记：抛物面的一般方程为：\( z = ax^2 + by^2 \)当抛物面变化成简单曲线的时候，我们称之为抛物面退化。
五、口诀应用以上口诀为大家概括了圆锥曲面、双曲面和抛物面的方程形式和特点。
我们可以根据这些口诀，快速记忆和掌握各类旋转曲面的方程，帮助我们更好地理解和应用空间几何的知识。
六、个人观点对于空间几何旋转曲面方程的记忆，我认为口诀是一种非常有效且有趣的方式。
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
旋转曲面_精品文档
旋转曲面引言旋转曲面是3维几何中常见的一类曲面形式，它由一个曲线绕着一个轴进行旋转所生成。
旋转曲面在数学、几何学和计算机图形学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍旋转曲面的定义、性质和应用，并举例说明其在现实生活中的实际应用。
定义旋转曲面是由一个曲线绕着一个轴旋转一周所形成的曲面。
具体地说，给定一个曲线 C 和一个轴线 L，如果将 C 绕着 L 旋转一周，相当于将曲线 C 中的每个点沿着一条与 L 垂直的直线移动，然后将所有移动后的点连接起来，就得到了旋转曲面。
旋转曲面的方程可以用参数方程或者隐式方程表示。
如果使用参数方程来表示旋转曲面，可以将旋转曲面上的点表示为 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中 (u, v) 是某个参数的取值。
常见的参数方程包括球坐标系和柱坐标系等。
性质旋转曲面具有许多有趣的性质。
首先，旋转曲面是一个连续的曲面，没有任何突变或断裂。
其次，旋转曲面具有对称性，即对于曲面上的每个点，如果对应于某一参数值的点旋转180度，那么这两个点关于轴线对称。
此外，旋转曲面也具有轴对称性，即曲面上的每个点关于轴线对称。
旋转曲面的形状取决于曲线和轴线的选择。
如果曲线是一个闭合曲线，如一个圆，那么旋转曲面将是一个闭合曲面，如一个球体。
如果曲线是一个直线段，那么旋转曲面将是一个圆柱体。
而如果曲线是一个非闭合曲线，如一个抛物线，那么旋转曲面将是一个卷曲曲面。
应用旋转曲面在许多领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：旋转曲面是几何学研究中的重要工具。
它可以用来描述和分析平面几何、立体几何和曲线几何等问题。
通过研究旋转曲面的性质和变化，可以推导出许多几何学定理和结论。
2. 工程学：旋转曲面在工程学中有广泛的应用。
例如，工程师可以使用旋转曲面来描述和分析机械零件的形状和运动。
另外，在产品设计中，旋转曲面也常用于建模和制造。
3. 计算机图形学：旋转曲面是计算机图形学中常用的建模技术之一。
证明曲线是旋转曲面
证明一个曲线是旋转曲面步骤：
第一步，假设我们有一条已知的曲线C，这条曲线在平面上。
第二步，我们以这条曲线C所在的直线为轴，围绕它旋转360度。
第三步，我们观察旋转后的结果。
如果这条曲线C在旋转过程中始终保持与轴线相切，那么旋转后的结果就是一个旋转曲面。
第四步，进一步观察，我们发现这个旋转曲面上的任意一点都与轴线保持等距离。
这是因为曲线C在旋转过程中始终与轴线保持相切，所以它们的距离始终不变。
第五步，通过上述观察，我们可以得出结论：如果一个曲面上的任意一点都与某一直线保持等距离，那么这个曲面就是由这条曲线围绕该直线旋转而成的。
4.3：旋转曲面
z
绕 z 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
b
x2 y 2 z 2 2 1 2 b c
y
x
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
y
绕 y 轴一周
0
z
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
2
由于旋转曲面的经线，总可以作为最初的母 线来产生旋转曲面. 因此为了方便，今后总是取旋转曲面的某一条经线 （显然是平面曲线）作为旋转曲面的母线. 在直角坐标系下导出旋转曲面 的方程时，我们又常把母线所
M1
l
在平面取作坐标面而旋转轴取 作坐标轴，这时旋转曲面的 方程具有特殊的形式.
M
P0
设旋转曲面的母线为
P0
l
设 M1 ( x1 , y1 , z1 )是母线 上的任意点，那么过 M 1的 纬圆总可以看成是: 过 M 1 且垂直于旋转轴 l 的平面
与以 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为中心,
P0 M 1 为半径 的球面的交线.
M1
M
P0
所以过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的纬线的方程为：
（7）
（8）
由于 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，所以又有
x1 y1 z1 1 2 1 0
即
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x1 y1 z1
x1 2 y1 ,
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
3-4 旋转曲面
5.2 特殊位置的旋转曲面方程
母线为坐标面上的曲线,旋转轴为坐标轴的旋 转曲面：
定理3.5.2 设旋转曲面S的母线为yOz坐标面上 的曲线
G:F(yx,z)00 S的旋转轴为z轴,则旋转曲面S的方程为
F( x2 y2,z) 0
一般的旋转曲面S的动纬圆C的方程为
xXxx02xx11yxY0y20y2yy11zyZ0z02z2zz11z002
得的旋转曲面的方程。
设P1(x1,y1,z1)为母线上任意一点，因为旋转轴过 原点且方向向量为{1,1,1}, 所以过P1的纬圆C的 方程为
x2y2z2
x12y12z12
(xx1)(yy1)(zz1)0
再由
x1 2
y1 1
z1 1 0
得x1=2y1,
z1=1，
代入纬圆C所在平面的方程：
( x 2 y 1 ) ( y y 1 ) ( z 1 ) 0 3 y 1 x y z 1
z1 z
| y1 | MP x2 y2
P M
Sz
o
N (0, y1,z1) .
z1 C
y1
y
.
x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1,z1) .
ff (y11,,zz11))==00 .
z1 z
这里P0 (x0, y0, z0)为(0, 0, 0) ，X=Y=0, Z=1，即
x2y2z2x 1 2y 1 2z1 2 y 1x2y2 x 1 2
z z1 0
z1z
由 F(y x1 1, z1)00 F(x2y2,z)0
旋转曲面的趣事
旋转曲面的趣事（实用版）目录1.旋转曲面的定义和概念2.旋转曲面的数学公式3.旋转曲面的应用4.旋转曲面的趣事：莫比乌斯带和克莱因瓶5.旋转曲面在科学研究和生活中的重要性正文旋转曲面是三维空间中的一种曲面，它可以通过某个曲线围绕一个轴线旋转而成。
在数学领域，旋转曲面是一个重要的研究对象，它具有很多有趣的性质和应用。
首先，我们来了解旋转曲面的定义和概念。
旋转曲面是由一个曲线（通常是空间曲线，如圆柱面或圆锥面）围绕一个轴线旋转形成的。
根据曲线和旋转轴的不同，可以得到各种各样的旋转曲面。
接下来，我们介绍一下旋转曲面的数学公式。
假设曲线的参数方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t)，旋转轴的方向向量为<cosθ, sinθ, 0>，那么旋转曲面的参数方程可以表示为：x = x(t)y = y(t) + r * sinθ * (0 ≤ t ≤ 2π)z = z(t) + r * cosθ * (0 ≤ t ≤ 2π)其中，r 表示旋转曲面的半径。
旋转曲面在各个领域都有广泛的应用。
在建筑领域，旋转曲面可以创造出独特的造型，如悉尼歌剧院；在航空航天领域，旋转曲面可以用于设计飞机机身和机翼等部件，以减少阻力；在生物医学领域，旋转曲面可以用于模拟生物器官的形状，以便进行更精确的研究。
然而，旋转曲面中最有趣的莫过于莫比乌斯带和克莱因瓶。
莫比乌斯带是一种由一条长纸带围绕其一半长度旋转而成的旋转曲面，它具有只有一个面的特性。
克莱因瓶则是一种由旋转曲面构成的瓶子，它的瓶颈与瓶身相交，形成一个连续的曲面，没有明显的进出口。
这两种现象都展示了旋转曲面的奇妙性质。
总之，旋转曲面作为一种重要的数学对象，不仅具有丰富的理论性质，还具有广泛的实际应用。
从建筑、航空航天到生物医学等领域，旋转曲面都在发挥着重要作用。
旋转曲面方程的求法
当 M1 点绕 Z 轴旋转时，生成一个圆，在该圆 上任取一点 M（ x，y，z） ，其与中心 N（ 0，0，z1 ） 的距 离 MN = M1 N ，即
x2 + y2 = x21 + y21 ，又 z = z1 ， 所以
x2 + y2 = x2 （ z1 ） + y2 （ z1 ） = x2 （ z） + y2 （ z） ， 即得 C 绕 z 轴旋转所成的曲面方程为
高等数学教材中［1］，在讲述旋转曲面方程一 节时，对母线和旋转轴有一个限制，即母线是坐标 平面内的曲线、旋转轴是坐标轴。例如 yoz 坐标平 面内的曲线
{L： f（ y，z） = 0 x =0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面方程为
( ) f ± 槡x2 + y2 ，z = 0。
下面就空间任意曲线做母线，坐标轴为旋转 轴所形成的旋转曲面方程的形式给以推导，求空
{ 间任意曲线 C： F（ x，y，z） = 0绕 Z 轴旋转所成的 G（ x，y，z） = 0 旋转曲面方程，推导如下。
{ 从 C 中解出 x = x（ z） ，在 C 上任意取一点 y = y（ z）
{ M1 （ x1 ，y1 ，z1 ） ，得 x1 = x（ z1 ） 。 y1 = y（ z1 ）
defects plus mixed valence of transition metals： a
［J］． Thin Solid Films，2012，520： 4110 － 4113．
strong strategy for ferromagnetic enhancement in ZnO ［10］ Philip J，Theodoropoulou N，Berera G，et al． High －
旋转曲面的方程特点
旋转曲面的方程特点旋转曲面是指由一个曲线绕着某一轴旋转而形成的曲面。
旋转曲面在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将从方程特点的角度，对旋转曲面进行详细介绍。
一、旋转曲面的定义二、旋转曲面的方程1. 柱面的方程2. 圆锥的方程3. 球体的方程4. 扭曲表面的方程三、旋转曲面的特点1. 对称性2. 曲率半径3. 面积和体积4. 积分计算四、结语一、旋转曲面的定义旋转曲面是由一个平面图形，以某条轴线为轴进行旋转所得到的空间图形。
这个平面图形可以是任何形状，包括圆形、椭圆形和多边形等。
二、旋转曲面的方程通过不同类型图形绕不同轴线所得到的旋转曲面，其方程也各不相同。
下文将对常见几种情况进行介绍。
1. 柱面的方程柱体是指一个平行于轴线且截距相等的长方体。
若将一个矩形绕着其中一条边所在的直线旋转一周，就可以得到一个柱面。
柱面的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 = r^2$$其中，r是旋转轴线到矩形边缘的距离。
2. 圆锥的方程圆锥是指以一个圆为底面，以一个点为顶点，通过连接底面和顶点而得到的曲面。
圆锥的方程可以表示为：$$z^2 = \frac{r^2}{h^2}(x^2 + y^2)$$其中，r是底面半径，h是高度。
3. 球体的方程球体是由绕着一个直线旋转一条弧线所得到的曲面。
球体的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$其中，r是球体半径。
4. 扭曲表面的方程扭曲表面是指由任意平面图形绕任意轴线旋转而得到的曲面。
扭曲表面没有特定公式可用于计算其方程，需要根据具体情况进行推导。
三、旋转曲面的特点1. 对称性旋转曲面具有轴对称性，在旋转轴线上的任意点，其左右两侧的形状是相同的。
这种对称性使得旋转曲面在计算中具有方便性。
2. 曲率半径旋转曲面的曲率半径取决于其绕轴线旋转时所用到的图形和轴线。
例如，圆锥和球体具有不同的曲率半径。
3. 面积和体积旋转曲面的面积和体积可以通过积分计算得到。
高数讲义第五节 曲面及其方程(一)
o
y
或 x2 y2 a2z2 , a tan
例6 将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a y
2 2
0
z c
2 2
1
分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
一、1、z2 2 x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4 x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x2 a2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
x2 y2 R2 移动而形成的 该曲面称为圆柱面
x
zHale Waihona Puke M( x, y, z)L 准线
o
y
M( x, y,0)
母线
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)
旋转曲面的参数方程---------利用正交变换作旋转众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为()0F z =（1）（见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。
如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为()f z =或222[()]x y f z += （2）这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。
当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。
如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面：()cos ()sin x f z y f z z z θθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。
当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。
如果曲线的方程能写成参数方程()()y f t z g t =⎧⎨=⎩（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为：()cos ()sin ()x f t y f t z g t θθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（02θπ≤≤，a t b ≤≤）（4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。
当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。
推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为()()()x h t y f t z g t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（a t b ≤≤），则此曲线绕z轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：()x y z g t θθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （5） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈直于z 轴的圆。
y^2=2x绕x轴旋转一周的曲面名称
y^2=2x绕x轴旋转一周的曲面名称
首先，我们需要了解一下什么是曲面。
曲面是一种数学图形，可以理解为三维空间中
的一张网格纸，由无数个二维图形构成。
这些二维图形可以是平面，也可以是曲线。
如果
一个曲面是由一个平面图形绕某个轴旋转而成，那么这个曲面就叫做旋转曲面。
首先，我们可以将y^2=2x用极坐标表示。
根据极坐标的定义，有：
x=r cosθ
y=r sinθ
将y^2=2x代入得：
r^2 sin^2θ=2r cosθ
r=2cosθ/sin^2θ
通过极坐标得到该曲面的方程为：
其中，r表示距离极点的距离，θ表示与x轴的夹角。
我们知道，旋转曲面是由一个
平面图形绕某个轴旋转而成的。
那么，要求出y^2=2x绕x轴旋转一周之后的曲面，就需要将极坐标下的方程转换成直角坐标系下的方程。
y^2+z^2=4x
其中，y和z的取值范围为正负无穷，x的取值范围为非负实数。
这个方程描述的就是一条打开的抛物面，并且抛物面的顶点位于原点。
抛物面是一种很常见的旋转曲面，具有很多的实际应用。
例如，抛物面可以用来描述
声波在空气中的传播，也可以用来描述流体在圆柱形容器中的运动。
抛物面还被广泛应用
于建筑设计中，可以用来设计拱门、穹顶等建筑构件。
总之，通过对y^2=2x绕x轴旋转一周的曲面的分析，我们可以使用极坐标转换得到该曲面的方程，并进一步将其转换成直角坐标系下的方程，从而确定该曲面的名称为抛物面。
抛物面是一种十分常见的旋转曲面，在科学和工程领域有着广泛的应用。
考研高数：常见的旋转曲面求法
考研⾼数：常见的旋转曲⾯求法
我们之前给⼤家介绍过数⼀、数⼆和数三的区别主要在于考点的内容范围，⽽不在考试要求。
考数⼀的考⽣需要额外掌握空间解析⼏何和多元函数积分学这两⼤模块的内容。
⽽空间解析⼏何是后⾯我们计算⼆重积分、三重积分、和曲线、曲⾯积分的基础。
因为计算积分⾸先需要正确地把积分区域的图像画出来。
这就要求我们掌握常见的⼆次曲⾯的图像和⼀般旋转曲⾯的求法。
常见的⼆次曲⾯包括圆柱⾯、旋转抛物⾯、锥⾯、椭球⾯、单叶双曲⾯和双叶双曲⾯等，这些曲⾯都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。
那么我们就来分析⼀般的旋转曲⾯的求解⽅法，这也是后期计算各类积分的基础。
1. 概念
⼀条曲线绕某⼀条直线旋转⼀周所成的曲⾯就是旋转曲⾯。
这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲⾯的母线和轴。
旋转曲⾯的概念很好理解，这个曲⾯的形成⽅式是旋转，⽽且常⽤到的是绕着坐标轴旋转，下⾯我们来看旋转曲⾯的求法。
2. 旋转曲⾯求法
求解旋转曲⾯，⼀般母线的形式有以下两种：掌握这两种形式的旋转曲⾯的求解⽅法，在计算重积分和曲线曲⾯积分时也就够⽤了，这⾥不要求⼤家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的⽅法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲⾯的表达式，再去画图计算积分即可。
旋转曲面的方程直角坐标系
o
b
y
.
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
x
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
b
z
0
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
F x, y, z 0
l
M1
注： ⅰ 写出这母线上任意一点 M1 x1, y1, z1 的纬圆方程或母线族 ⅱ 写出参数 x1 , y1 , z1 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）
S
例1 求直线 ：
x 2
y z 1 绕直线 l : x y z 旋转所得的旋转曲面的方程 1 0
《解析几何》 －Chapter 4
§3 旋转曲面
surface of revolution
Contents
一、旋转曲面的有关概念 二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
一、旋转曲面的有关概念
l
一、旋转曲面的有关概念
定义1
在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S 称为旋转曲面（或回转曲面）
z
o
y
.
x 例5
2 . y b z 2 a2 . 将圆 : 绕 z 轴旋转 b a 0 x 0
y
例 6 （ 1）
x2 y 2 1 将椭圆 : a 2 b 2 a b z 0
o b
z
a
x
旋转曲面2
2 2 2
.
总 结
1.平面曲线 面方程为 2. 1)
f ( y, z ) 0 绕z轴旋转一周所得旋转 x 0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
z x2 y2
2 2
旋转抛物面
圆锥面
z 2） x y
思考:
x2 y2 z 2 曲面 2 2 2 1 是怎样形成的？ a b a
旋转曲面及其方程
主讲教师：许召春 景德镇陶瓷学院信息工程学院
卫星接收装置
.
.
救生圈
旋转曲面及其方程
•定义 •旋转曲面方程 •特殊的旋转曲面 方程及图形
一.旋转曲面的定义
定义 一条平面曲线绕其平面上一条定直 线旋转一周所形成的曲面叫做 旋转 C
f ( y, z ) 0 x 0
z
(0, y1 , z1 )
P N
绕 z轴
M
旋转一周得旋转曲面 S
M ( x, y, z ) S z1 z | y1 || MP | x y
2 2
S
z
z1
C
o
y1
f ( y1 , z1 ) 0
则有
f ( x 2 y 2 , z ) 0
x
y
.
结论：
yoz面上曲线C f ( y, z ) 0 绕z轴旋转所成曲面
绕z轴旋转一周得旋转抛物面
z
x 2 y 2 az
.
y
.
o
x
y
2、圆锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 b a z = 0
x
y
绕 x 轴旋转一周
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研高数：常见的旋转曲面求法
我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。
考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。
而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。
因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。
这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。
常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。
那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。
1. 概念
一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。
这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。
2. 旋转曲面求法
求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：
掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。
凯程教育：
凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩
教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；
凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；
信念：让每个学员都有好最好的归宿；
使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；
激情：永不言弃，乐观向上；
敬业：以专业的态度做非凡的事业；
服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。
如何选择考研辅导班：
在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。
判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。
还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。
凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。
而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。
对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。
在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。
在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。
对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。
最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。
例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。
有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。
凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。
此外，最好还要看一下他们的营业执照。