对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

积分弧段
n
积分和式
曲线形构件的质量 M ( x , y )ds.
L
2.存在条件：
当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 L f ( x , y )ds 存在.
3.推广
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为


f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
b a

L
f ( x , y )ds f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx. ( a b )
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c
(3) L : r r ( ),

L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy.
练习题答案
一、1、 ( x , y )ds ； 2、 L 的弧长；
L
3、弧长；
a
4、<.
二、1、e ( 2 a ) 2 ； 2、9； 4 2 3 2 2 a ( 1 2 )； 3、 4、2a 2 ( 2 2 ) . 2 2 2 2 2 2 2 三、 I z a a k ( 3a 4 k ) ； 3 2 2 6ak 6ak x 2 y 2 2 2； 2 2 ； 3a 4 k 3a 4 k 3k ( a 2 2 2 k 2 ) z . 2 2 2 3a 4 k
四、几何与物理意义
(1) 当 ( x, y )表示 L的线密度时,
M L ( x , y )ds ; ( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
z f ( x, y)
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
1 故 I ( x 2 y 2 z 2 )ds 3
a 2a 3 ds . ( 2a ds, 球面大圆周长) 3 3
2
例：计算

L
x y ds ,L：x y a
2 2 2 2
2
例、计算 (x y )ds ,
2 2
L
其中L是以O(0,0)、A(2,0)、B(0,1)为顶点 的三角形的边界。
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一 点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,
i 1 n
y
B
L M n 1
L 为折线ABCD ,这里A , B , C , D 2、 x 2 yzds ,其中

依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； L 为曲线 3、 ( x 2 y 2 )ds ,其中
x a (cos t t sin t ) ( 0 t 2 ) ； y a (sin t t cos t ) L 为双纽线 4、计算 y ds ,其中
L L1 L2
( L L1 L2 ).
三、对弧长曲线积分的计算
定理 设 f ( x, y )在曲线弧 L上有定义且连续,
x (t ), L的参数方程为 ( t )其中 y (t ), (t ), (t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 则
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1
o
x
如果当各小弧段的长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
被积函数
L
f ( i , i ) si . L f ( x , y )ds lim 0 i 1

L
f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t )dt


( )
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
特殊情形
(1) L : y ( x ) a x b.
L
y2 4 x
其中L : y 2 4 x , 从(1,2)到(1,2)一段.
解
y 2 I y 1 ( ) dy 0. 2 2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,

z k的一段. ( 0 2)
.
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L
f ( x, y)ds

f [r ( ) cos , r ( ) sin ] r ( ) 2 r ( )2 d .
推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x , y, z )ds
解 I a 2 cos sin k a 2 k 2 d 0
1 2 2 2 ka a k . 2
2
例4 求I x 2ds,

x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0.
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
S柱面面积 f ( x , y )ds.
L
s
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
I x y 2 ds,
L
I y x 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
0
i 1
n
注意：
1. 若 L (或 )是分段光滑的 , ( L L1 L2 )

L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为 f ( x , y )ds.
n
x
取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si .
求和 取极限
M ( i , i ) si .
i 1
近似值
精确值
M lim ( i , i ) si .
0
i 1
n
二、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
L
3 、对________的曲线积分与曲线的方向无关；
2 2 4 、 f ( x , y )ds = f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) dt 中 要 L 求 ________ .

二、计算下列求弧长的曲线积分: x2 y2 ds ,其中 L 为圆周x 2 y 2 a 2 ,直线 y x 1 、 Le 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
L
L
( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 ) ( a 0) . 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 x a cos t , y a sin t , z kt ,其中0 t 2 ,它的线密度 ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量 I Z ； 2、它的重心 .
L
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
L L L
( 2) kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds ( k为常数).
L L
( 3) f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
第一节
对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)
一、问题的提出
二、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量 M s .
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1
o M , M , , M s , 分割 1 2 n1 i
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt

( )
x a cos t , 例1 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
思考题解答
S i 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
练习题
一、填空题: L 的质量 1 、已知曲线形构件L 的线密度为 ( x , y ) ,则 M =_______________； 2 、 ds =_______________；
解 I a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
2 0 2 0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b)
例2 求I yds,